Difference between revisions of "User:Jon Awbrey/TABLE"

MyWikiBiz, Author Your Legacy — Wednesday November 13, 2024
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−
==Differential Logic==
+
==Cactus Language==
  
 
===Ascii Tables===
 
===Ascii Tables===
  
 +
{| align="center" cellpadding="6" style="text-align:center; width:90%"
 +
|
 
<pre>
 
<pre>
−
Table 1.  Propositional Forms On Two Variables
+
o-------------------o
−
o---------o---------o---------o----------o------------------o----------o
+
|                  |
−
| L_1    | L_2    | L_3    | L_4      | L_5              | L_6      |
+
|        @        |
−
|        |        |         |          |                  |          |
+
|                  |
−
| Decimal | Binary  | Vector  | Cactus  | English          | Ordinary |
+
o-------------------o
−
o---------o---------o---------o----------o------------------o----------o
+
|                  |
−
|         |      x : 1 1 0 0 |         |                 |         |
+
|        o        |
−
|        |       y : 1 0 1 0 |         |                 |         |
+
|        |        |
−
o---------o---------o---------o----------o------------------o----------o
+
|        @        |
−
|         |         |         |         |                 |          |
+
|                  |
−
| f_0    | f_0000  | 0 0 0 0 |    ()    | false            |    0    |
+
o-------------------o
−
|        |        |         |          |                  |          |
+
|                   |
−
| f_1    | f_0001  | 0 0 0 1 |  (x)(y)  | neither x nor y  | ~x & ~y  |
+
|         a        |
−
|        |         |         |         |                 |         |
+
|        @         |
−
| f_2    | f_0010 | 0 0 1 0 | (x) y  | y and not x     | ~x &  y  |
+
|                   |
−
|         |         |         |          |                  |          |
+
o-------------------o
−
| f_3    | f_0011  | 0 0 1 1 |  (x)    | not x            | ~x      |
+
|                  |
−
|        |         |         |         |                 |         |
+
|        a        |
−
| f_4    | f_0100 | 0 1 0 0 |  x (y) | x and not y     |  x & ~y  |
+
|        o        |
−
|         |        |        |          |                  |          |
+
|        |        |
−
| f_5    | f_0101 | 0 1 0 1 |    (y) | not y            |     ~y  |
+
|        @        |
−
|         |        |        |         |                  |          |
+
|                  |
−
| f_6    | f_0110 | 0 1 1 0 | (x, y) | x not equal to y |  x +  y  |
+
o-------------------o
−
|         |         |         |          |                  |          |
+
|                  |
−
| f_7    | f_0111  | 0 1 1 1 |  (x  y)  | not both x and y | ~x v ~y  |
+
|      a b c      |
−
|        |         |        |          |                  |          |
+
|        @        |
−
| f_8    | f_1000  | 1 0 0 0 |  x  y  | x and y          |  x &  y  |
+
|                  |
−
|        |        |        |          |                  |          |
+
o-------------------o
−
| f_9    | f_1001  | 1 0 0 1 | ((x, y)) | x equal to y    |  x =  y  |
+
|                   |
−
|        |        |        |          |                  |          |
+
|      a b c      |
−
| f_10    | f_1010 | 1 0 1 0 |     y  | y                |      y  |
+
|      o o o      |
−
|        |        |        |          |                  |          |
+
|       \|/        |
−
| f_11    | f_1011  | 1 0 1 1 | (x (y)) | not x without y | x => y  |
+
|         o         |
−
|         |        |        |          |                  |          |
+
|        |        |
−
| f_12    | f_1100  | 1 1 0 0 |   x      | x                |  x       |
+
|         @        |
−
|         |        |        |          |                  |          |
+
|                   |
−
| f_13    | f_1101  | 1 1 0 1 | ((x) y)  | not y without x  |  x <= y  |
+
o-------------------o
−
|        |        |        |          |                  |          |
+
|                  |
−
| f_14    | f_1110  | 1 1 1 0 | ((x)(y)) | x or y          |  x v  y  |
+
|        a  b    |
−
|        |        |         |          |                  |          |
+
|        o---o    |
−
| f_15    | f_1111  | 1 1 1 1 |  (())  | true            |    1    |
+
|        |        |
−
|         |        |        |          |                  |          |
+
|        @        |
−
o---------o---------o---------o----------o------------------o----------o
+
|                  |
 +
o-------------------o
 +
|                  |
 +
|      a  b      |
 +
|      o---o      |
 +
|        \ /        |
 +
|        @        |
 +
|                  |
 +
o-------------------o
 +
|                   |
 +
|       a  b      |
 +
|       o---o      |
 +
|       \ /        |
 +
|        o         |
 +
|         |         |
 +
|        @         |
 +
|                   |
 +
o-------------------o
 +
|                   |
 +
|     a b c     |
 +
|     o--o--o      |
 +
|       \  /      |
 +
|       \ /        |
 +
|        @         |
 +
|                   |
 +
o-------------------o
 +
|                   |
 +
|     a b c     |
 +
|     o o o     |
 +
|     |  |  |     |
 +
|     o--o--o      |
 +
|       \  /      |
 +
|       \ /        |
 +
|        @         |
 +
|                   |
 +
o-------------------o
 +
|                   |
 +
|        b c     |
 +
|        o  o      |
 +
|     a |  |     |
 +
|     o--o--o      |
 +
|       \   /       |
 +
|       \ /        |
 +
|        @         |
 +
|                   |
 +
o-------------------o
 
</pre>
 
</pre>
 +
|}
 +
 +
{| align="center" cellpadding="6" style="text-align:center; width:90%"
 +
|
 
<pre>
 
<pre>
−
Table 2.  Ef Expanded Over Ordinary Features {x, y}
+
Table 13.  The Existential Interpretation
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
−
|     |           |           |           |           |           |
+
| Ex |   Cactus Graph    | Cactus Expression |   Existential    |
−
|     |    f      |  Ef | xy   | Ef | x(y)  | Ef | (x)y  | Ef | (x)(y)|
+
|   |                   |                   |  Interpretation   |
−
|      |            |            |            |            |            |
+
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
|   |                   |                   |                   |
−
|     |           |           |           |           |           |
+
|  1 |         @        |       " "        |       true.      |
−
| f_0 |     ()    |     ()    |     ()    |    ()    |    ()    |
+
|   |                   |                   |                   |
−
|     |           |           |           |            |            |
+
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
|   |                  |                  |                  |
−
|     |           |           |           |           |           |
+
|   |         o        |                   |                   |
−
| f_1  |   (x)(y)  |   dx dy  |   dx (dy)  | (dx) dy  |  (dx)(dy)  |
+
|   |        |        |                  |                  |
−
|      |            |            |            |            |            |
+
|  2 |         @        |       ( )       |      untrue.      |
−
| f_2  |  (x) y   |   dx (dy)  |   dx  dy  | (dx)(dy)  |  (dx) dy  |
+
|    |                   |                   |                   |
−
|     |            |            |            |            |            |
+
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
−
| f_4  |    x (y)  |  (dx) dy  |  (dx)(dy)  |   dx  dy  |   dx (dy)  |
+
|   |                   |                  |                   |
−
|     |           |           |           |            |            |
+
|   |         a        |                   |                   |
−
| f_8 |   x  y    | (dx)(dy)  | (dx) dy  |   dx (dy)  |   dx  dy  |
+
|  3 |         @        |         a        |         a.        |
−
|     |           |            |            |            |            |
+
|   |                   |                   |                   |
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
−
|     |           |           |           |           |           |
+
|   |                  |                   |                   |
−
| f_3  |   (x)      |   dx      |   dx      | (dx)      | (dx)      |
+
|   |         a        |                   |                   |
−
|     |           |           |           |           |            |
+
|   |         o        |                   |                   |
−
| f_12 |   x      | (dx)     | (dx)     |  dx      |  dx      |
+
|   |         |         |                   |                   |
−
|     |           |           |           |            |            |
+
| 4 |         @        |       (a)       |       not a.     |
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
|   |                   |                   |                   |
−
|     |           |           |           |           |           |
+
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
−
| f_6 |  (x, y)  |  (dx, dy) | ((dx, dy)) | ((dx, dy)) | (dx, dy)  |
+
|   |                  |                  |                  |
−
|     |            |            |            |            |            |
+
|   |       a b c      |                   |                   |
−
| f_9  |  ((x, y))  | ((dx, dy)) |  (dx, dy)  |  (dx, dy)  | ((dx, dy)) |
+
|  5 |        @        |      a b c      |  a and b and c. |
−
|      |            |            |            |            |            |
+
|   |                   |                   |                   |
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
−
|     |           |           |           |            |            |
+
|   |                   |                   |                   |
−
| f_5  |      (y)  |      dy  |     (dy)  |       dy  |      (dy)  |
+
|   |      a b c      |                   |                   |
−
|     |           |           |           |           |           |
+
|   |       o o o      |                  |                  |
−
| f_10 |      y   |     (dy)  |       dy  |     (dy)  |      dy  |
+
|    |       \|/        |                   |                   |
−
|     |           |           |           |           |           |
+
|    |         o        |                   |                   |
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
|   |         |         |                   |                   |
−
|     |           |           |           |           |           |
+
|  6 |        @        |    ((a)(b)(c))    |    a or b or c.  |
−
| f_7  |  (x  y)  | ((dx)(dy)) | ((dx) dy)  | (dx (dy)) | (dx  dy)  |
+
|    |                  |                  |                  |
−
|     |           |           |           |           |           |
+
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
−
| f_11 |   (x (y))  | ((dx) dy)  | ((dx)(dy)) |  (dx  dy)  | (dx (dy)) |
+
|   |                   |                   |                   |
−
|     |           |           |           |            |            |
+
|   |                   |                   |   a implies b.   |
−
| f_13 |  ((x) y)  |  (dx (dy)) |  (dx  dy)  | ((dx)(dy)) | ((dx) dy)  |
+
|    |         a  b    |                   |                   |
−
|      |            |            |            |            |            |
+
|   |         o---o    |                   |   if a then b.  |
−
| f_14 | ((x)(y))  | (dx  dy)  | (dx (dy)) | ((dx) dy)  | ((dx)(dy)) |
+
|   |         |         |                   |                   |
−
|     |           |           |           |           |           |
+
|  7 |        @        |     ( a (b))     |    no a sans b.  |
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
|   |                   |                   |                   |
−
|     |           |           |           |           |           |
+
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
−
| f_15 |   (())    |   (())    |   (())    |   (())    |   (())   |
+
|    |                  |                   |                  |
−
|     |           |           |           |           |           |
+
|   |       a  b      |                   |                   |
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
|    |      o---o      |                   | a exclusive-or b. |
−
</pre>
+
|   |        \ /        |                   |                   |
−
<pre>
+
| 8 |         @        |     ( a , b )    | a not equal to b. |
−
Table 3. Df Expanded Over Ordinary Features {x, y}
+
|    |                  |                  |                  |
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
−
|      |           |           |           |           |            |
+
|   |                  |                  |                  |
−
|     |     f     | Df | xy  | Df | x(y)  | Df | (x)y | Df | (x)(y)|
+
|   |       a  b      |                   |                   |
−
|      |           |           |           |           |           |
+
|   |       o---o      |                   |                   |
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
|    |       \ /        |                   |                   |
−
|     |           |           |           |           |           |
+
|   |         o        |                  | a if & only if b. |
−
| f_0  |     ()     |    ()     |    ()     |    ()     |     ()    |
+
|    |        |        |                  |                  |
−
|     |           |           |           |            |            |
+
|  9 |        @        |    (( a , b ))    | a equates with b. |
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
|    |                  |                  |                   |
−
|     |           |           |           |           |           |
+
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
−
| f_1 |  (x)(y)   |   dx  dy  |   dx (dy) | (dx) dy  | ((dx)(dy)) |
+
|    |                  |                  |                  |
−
|      |           |           |           |           |            |
+
|    |      a  b c      |                  |                  |
−
| f_2  |  (x) y   |   dx (dy)  |  dx  dy  | ((dx)(dy)) | (dx) dy   |
+
|    |      o--o--o     |                  |                  |
−
|     |           |           |           |           |           |
+
|    |      \  /      |                  |                  |
−
| f_4  |   x (y)   |  (dx) dy  | ((dx)(dy)) |  dx  dy   |  dx (dy)  |
+
|    |        \ /        |                  |  just one false  |
−
|     |           |           |           |            |            |
+
| 10 |        @        |  ( a , b , c )  |  out of a, b, c.  |
−
| f_8  |    x  y    | ((dx)(dy)) |  (dx) dy  |  dx (dy)  |  dx  dy  |
+
|    |                  |                  |                  |
−
|      |            |            |            |            |            |
+
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
|   |                   |                   |                   |
−
|     |           |            |            |            |            |
+
|   |      a  b c      |                   |                   |
−
| f_3 |  (x)      |  dx      |  dx      |  dx      |  dx      |
+
|   |     o  o o      |                  |                   |
−
|      |            |            |            |            |            |
+
|    |      | | |     |                   |                   |
−
| f_12 |    x      |  dx      |  dx      |  dx      |  dx      |
+
|    |      o--o--o     |                  |                  |
−
|      |            |            |            |            |            |
+
|   |      \  /      |                  |                  |
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
|   |       \ /        |                   |   just one true  |
−
|      |           |           |           |           |            |
+
| 11 |        @        |   ((a),(b),(c))   |   among a, b, c.  |
−
| f_6 |   (x, y)  | (dx, dy)  | (dx, dy)  | (dx, dy)  | (dx, dy)  |
+
|   |                   |                   |                   |
−
|     |            |            |            |            |            |
+
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
−
| f_9  |  ((x, y))  |  (dx, dy)  |  (dx, dy)  |  (dx, dy)  |  (dx, dy)  |
+
|   |                  |                  |                  |
−
|      |            |            |            |            |            |
+
|   |                   |                   |   genus a over    |
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
|   |        b c      |                  |  species b, c.   |
−
|     |           |           |           |           |            |
+
|    |         o o      |                   |                   |
−
| f_5 |     (y)   |      dy  |       dy  |      dy  |      dy  |
+
|    |      a  | |     |                   |   partition a    |
−
|     |            |            |            |            |            |
+
|    |     o--o--o      |                  |  among b & c.    |
−
| f_10 |      y   |       dy  |       dy  |       dy  |      dy  |
+
|   |       \   /      |                   |                   |
−
|      |            |            |            |            |            |
+
|   |       \ /        |                   |   whole pie a:    |
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
| 12 |        @        |  ( a ,(b),(c))  |  slices b, c.    |
−
|     |           |           |           |           |           |
+
|   |                   |                   |                   |
−
| f_7 |   (x  y)  | ((dx)(dy)) | (dx) dy  |   dx (dy)  |   dx  dy  |
+
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
−
|     |           |            |            |            |            |
+
</pre>
−
| f_11 |  (x (y))  |  (dx) dy  | ((dx)(dy)) |  dx  dy  |  dx (dy)  |
+
|}
−
|      |            |            |            |            |           |
+
 
−
| f_13 | ((x) y)  |   dx (dy)  |   dx  dy  | ((dx)(dy)) | (dx) dy  |
+
{| align="center" cellpadding="6" style="text-align:center; width:90%"
−
|     |           |           |           |           |           |
+
|
−
| f_14 | ((x)(y))  |   dx dy  |   dx (dy)  | (dx) dy  | ((dx)(dy)) |
+
<pre>
−
|     |           |           |           |            |            |
+
Table 14. The Entitative Interpretation
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
−
|     |           |           |           |           |           |
+
| En |  Cactus Graph    | Cactus Expression |    Entitative    |
−
| f_15 |   (())    |     ()    |     ()    |    ()    |    ()    |
+
|    |                  |                  |  Interpretation  |
−
|     |           |           |           |            |            |
+
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
|   |                   |                   |                   |
−
</pre>
+
|  1 |        @        |       " "        |     untrue.      |
−
<pre>
+
|   |                   |                   |                   |
−
Table 4.  Ef Expanded Over Differential Features {dx, dy}
+
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
|    |                  |                  |                  |
−
|      |           |           |           |           |            |
+
|    |        o         |                  |                  |
−
|     |     f      |   T_11 f  |   T_10 f  |  T_01 f  |  T_00 f   |
+
|   |         |         |                   |                   |
−
|     |           |           |           |           |           |
+
|  2 |        @        |       ( )       |      true.       |
−
|     |           | Ef| dx dy  | Ef| dx(dy) | Ef| (dx)dy | Ef|(dx)(dy)|
+
|    |                   |                   |                   |
−
|     |           |           |           |            |            |
+
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
|   |                  |                  |                  |
−
|     |           |           |           |           |           |
+
|   |         a        |                   |                   |
−
| f_0 |     ()    |    ()    |     ()    |    ()    |    ()    |
+
|  3 |         @        |         a        |         a.        |
−
|     |           |           |           |            |            |
+
|   |                   |                   |                   |
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
−
|     |           |           |           |           |           |
+
|    |                  |                   |                   |
−
| f_1  |   (x)(y)  |   x  y   |   x (y)  |   (x) y    |   (x)(y)  |
+
|   |         a        |                   |                   |
−
|     |           |           |           |            |            |
+
|   |         o        |                   |                   |
−
| f_2  |  (x) y   |   x (y)  |   x  y    |   (x)(y)  |  (x) y    |
+
|   |         |         |                   |                   |
−
|     |           |           |           |           |            |
+
|  4 |         @        |       (a)       |       not a.      |
−
| f_4 |    x (y)   |  (x) y   |   (x)(y)  |   x  y    |    x (y)  |
+
|   |                   |                   |                   |
−
|     |           |            |            |            |            |
+
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
−
| f_8  |    x  y    |  (x)(y)  |  (x) y    |    x (y)  |    x  y    |
+
|   |                  |                  |                  |
−
|      |            |            |            |            |            |
+
|   |       a b c      |                   |                   |
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
| 5 |         @        |       a b c      |   a or b or c.  |
−
|     |           |           |           |           |           |
+
|   |                   |                   |                   |
−
| f_3  |   (x)      |   x      |    x      |   (x)     |  (x)     |
+
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
−
|     |           |           |           |           |           |
+
|    |                  |                  |                  |
−
| f_12 |   x      |  (x)     |  (x)      |   x      |    x      |
+
|    |      a b c      |                  |                  |
−
|     |           |           |            |            |            |
+
|    |      o o o       |                  |                  |
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
|    |        \|/        |                  |                  |
−
|     |           |           |           |           |           |
+
|    |        o         |                  |                  |
−
| f_6 |   (x, y)  |   (x, y)  | ((x, y))  | ((x, y))  |   (x, y)  |
+
|    |        |        |                  |                  |
−
|     |           |           |           |           |           |
+
|  6 |        @        |    ((a)(b)(c))    |  a and b and c.  |
−
| f_9  | ((x, y))  | ((x, y))  |  (x, y)   |   (x, y)  |  ((x, y))  |
+
|    |                  |                  |                  |
−
|     |           |           |           |            |            |
+
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
|   |                   |                   |                   |
−
|     |           |           |            |           |           |
+
|   |                   |                   |   a implies b.   |
−
| f_5  |      (y)   |       y   |      (y)  |       y    |     (y)   |
+
|   |                   |                   |                   |
−
|      |           |           |            |            |            |
+
|   |         o a      |                   |    if a then b.  |
−
| f_10 |      y    |      (y)   |       y   |     (y)   |       y   |
+
|   |         |         |                   |                   |
−
|     |           |           |           |           |           |
+
| 7 |         @ b      |     (a) b        |    not a, or b.  |
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
|   |                   |                   |                   |
−
|     |           |            |            |            |            |
+
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
−
| f_7 |   (x  y)  |  ((x)(y))  |  ((x) y)  |  (x (y))  |  (x  y)  |
+
|    |                  |                  |                  |
−
|      |            |            |           |           |           |
+
|    |      a  b      |                  |                  |
−
| f_11 |   (x (y))  |  ((x) y)  |  ((x)(y))  |  (x  y)  |  (x (y)) |
+
|    |      o---o       |                  | a if & only if b. |
−
|     |            |            |            |            |            |
+
|   |       \ /        |                   |                   |
−
| f_13 |  ((x) y)  |  (x (y))  |  (x  y)  |  ((x)(y))  |  ((x) y)  |
+
|  8 |         @        |    ( a , b )    | a equates with b. |
−
|     |           |           |           |            |            |
+
|   |                   |                   |                   |
−
| f_14 | ((x)(y))  |   (x  y)  |   (x (y))  | ((x) y)  |  ((x)(y))  |
+
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
−
|      |            |            |            |            |            |
+
|   |                   |                   |                   |
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
|   |      a  b      |                   |                   |
−
|     |           |           |           |           |           |
+
|    |       o---o      |                   |                   |
−
| f_15 |   (())    |   (())    |   (())    |   (())    |   (())    |
+
|   |       \ /        |                   |                   |
−
|      |           |           |           |           |           |
+
|    |         o        |                   | a exclusive-or b. |
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
|   |         |         |                   |                   |
−
|                   |           |           |           |           |
+
|  9 |        @        |    (( a , b ))    | a not equal to b. |
−
| Fixed Point Total |     4    |      4    |      4    |    16    |
+
|    |                   |                   |                   |
−
|                  |            |            |            |            |
+
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
−
o-------------------o------------o------------o------------o------------o
+
|   |                   |                   |                   |
−
</pre>
+
|   |     a  b  c      |                   |                   |
 +
|    |      o--o--o     |                   |                   |
 +
|    |      \  /      |                  |                  |
 +
|   |       \ /        |                   | not just one true |
 +
| 10 |         @        |  ( a , b , c )   | out of a, b, c.   |
 +
|    |                   |                   |                   |
 +
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
 +
|   |                   |                   |                   |
 +
|   |     a  b c      |                   |                   |
 +
|   |     o--o--o      |                   |                   |
 +
|   |       \  /      |                   |                   |
 +
|   |       \ /        |                  |                  |
 +
|    |        o        |                  |                  |
 +
|    |        |        |                   |  just one true   |
 +
| 11 |        @        |  (( a , b , c )) |  among a, b, c. |
 +
|   |                   |                   |                   |
 +
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
 +
|   |                  |                  |                  |
 +
|   |     a           |                   |                   |
 +
|   |      o            |                  |   genus a over    |
 +
|    |      | b  c      |                  |   species b, c.   |
 +
|   |      o--o--o     |                   |                   |
 +
|   |      \  /      |                  |   partition a    |
 +
|    |       \ /        |                  |   among b & c.    |
 +
|    |        o        |                  |                  |
 +
|   |        |        |                   |   whole pie a:    |
 +
| 12 |         @        | (((a), b , c ))  |  slices b, c.    |
 +
|    |                  |                  |                  |
 +
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
 +
</pre>
 +
|}
 +
 
 +
{| align="center" cellpadding="6" style="text-align:center; width:90%"
 +
|
 +
<pre>
 +
Table 15. Existential & Entitative Interpretations of Cactus Structures
 +
o-----------------o-----------------o-----------------o-----------------o
 +
| Cactus Graph  | Cactus String  | Existential    |   Entitative    |
 +
|                 |                | Interpretation  | Interpretation |
 +
o-----------------o-----------------o-----------------o-----------------o
 +
|                |                |                |                 |
 +
|       @        |       " "      |     true      |     false      |
 +
|                 |                 |                 |                 |
 +
o-----------------o-----------------o-----------------o-----------------o
 +
|                 |                 |                 |                 |
 +
|       o        |                 |                 |                 |
 +
|        |        |                |                |                 |
 +
|       @        |       ( )       |     false      |      true      |
 +
|                 |                 |                 |                 |
 +
o-----------------o-----------------o-----------------o-----------------o
 +
|                 |                |                |                |
 +
|  C_1 ... C_k  |                |                |                |
 +
|       @        |   C_1 ... C_k  | C_1 & ... & C_k | C_1 v ... v C_k |
 +
|                 |                |                 |                |
 +
o-----------------o-----------------o-----------------o-----------------o
 +
|                |                |                |                |
 +
|  C_1 C_2  C_k  |                |  Just one      |  Not just one  |
 +
|  o---o-...-o  |                |                |                |
 +
|    \      /    |                |  of the C_j,    |  of the C_j,    |
 +
|    \    /    |                |                |                |
 +
|      \  /     |                |  j = 1 to k,    |  j = 1 to k,    |
 +
|      \ /      |                |                |                |
 +
|        @        | (C_1, ..., C_k) |  is not true.  |  is true.      |
 +
|                |                |                |                |
 +
o-----------------o-----------------o-----------------o-----------------o
 +
</pre>
 +
|}
 +
 
 +
===Wiki TeX Tables===
 +
 
 +
<br>
 +
 
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="6" cellspacing="0" style="text-align:center; width:90%"
 +
|+ <math>\text{Table A.}~~\text{Existential Interpretation}</math>
 +
|- style="background:#f0f0ff"
 +
| <math>\text{Cactus Graph}\!</math>
 +
| <math>\text{Cactus Expression}\!</math>
 +
| <math>\text{Interpretation}\!</math>
 +
|-
 +
| height="100px" | [[Image:Cactus Node Big Fat.jpg|20px]]
 +
| <math>{}^{\backprime\backprime}\texttt{~}{}^{\prime\prime}</math>
 +
| <math>\operatorname{true}.</math>
 +
|-
 +
| height="100px" | [[Image:Cactus Spike Big Fat.jpg|20px]]
 +
| <math>\texttt{(~)}</math>
 +
| <math>\operatorname{false}.</math>
 +
|-
 +
| height="100px" | [[Image:Cactus A Big.jpg|20px]]
 +
| <math>a\!</math>
 +
| <math>a.\!</math>
 +
|-
 +
| height="120px" | [[Image:Cactus (A) Big.jpg|20px]]
 +
| <math>\texttt{(} a \texttt{)}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\tilde{a}
 +
\\[2pt]
 +
a^\prime
 +
\\[2pt]
 +
\lnot a
 +
\\[2pt]
 +
\operatorname{not}~ a.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="100px" | [[Image:Cactus ABC Big.jpg|50px]]
 +
| <math>a~b~c</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
a \land b \land c
 +
\\[6pt]
 +
a ~\operatorname{and}~ b ~\operatorname{and}~ c.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="160px" | [[Image:Cactus ((A)(B)(C)) Big.jpg|65px]]
 +
| <math>\texttt{((} a \texttt{)(} b \texttt{)(} c \texttt{))}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
a \lor b \lor c
 +
\\[6pt]
 +
a ~\operatorname{or}~ b ~\operatorname{or}~ c.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="120px" | [[Image:Cactus (A(B)) Big.jpg|60px]]
 +
| <math>\texttt{(} a \texttt{(} b \texttt{))}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
a \Rightarrow b
 +
\\[2pt]
 +
a ~\operatorname{implies}~ b.
 +
\\[2pt]
 +
\operatorname{if}~ a ~\operatorname{then}~ b.
 +
\\[2pt]
 +
\operatorname{not}~ a ~\operatorname{without}~ b.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="120px" | [[Image:Cactus (A,B) Big.jpg|65px]]
 +
| <math>\texttt{(} a, b \texttt{)}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
a + b
 +
\\[2pt]
 +
a \neq b
 +
\\[2pt]
 +
a ~\operatorname{exclusive-or}~ b.
 +
\\[2pt]
 +
a ~\operatorname{not~equal~to}~ b.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="160px" | [[Image:Cactus ((A,B)) Big.jpg|65px]]
 +
| <math>\texttt{((} a, b \texttt{))}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
a = b
 +
\\[2pt]
 +
a \iff b
 +
\\[2pt]
 +
a ~\operatorname{equals}~ b.
 +
\\[2pt]
 +
a ~\operatorname{if~and~only~if}~ b.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="120px" | [[Image:Cactus (A,B,C) Big.jpg|65px]]
 +
| <math>\texttt{(} a, b, c \texttt{)}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\operatorname{just~one~of}
 +
\\
 +
a, b, c
 +
\\
 +
\operatorname{is~false}.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="160px" | [[Image:Cactus ((A),(B),(C)) Big.jpg|65px]]
 +
| <math>\texttt{((} a \texttt{)}, \texttt{(} b \texttt{)}, \texttt{(} c \texttt{))}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\operatorname{just~one~of}
 +
\\
 +
a, b, c
 +
\\
 +
\operatorname{is~true}.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="160px" | [[Image:Cactus (A,(B),(C)) Big.jpg|65px]]
 +
| <math>\texttt{(} a, \texttt{(} b \texttt{)}, \texttt{(} c \texttt{))}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\operatorname{genus}~ a ~\operatorname{of~species}~ b, c.
 +
\\[6pt]
 +
\operatorname{partition}~ a ~\operatorname{into}~ b, c.
 +
\\[6pt]
 +
\operatorname{pie}~ a ~\operatorname{of~slices}~ b, c.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|}
 +
 
 +
<br>
 +
 
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="6" cellspacing="0" style="text-align:center; width:90%"
 +
|+ <math>\text{Table B.}~~\text{Entitative Interpretation}</math>
 +
|- style="background:#f0f0ff"
 +
| <math>\text{Cactus Graph}\!</math>
 +
| <math>\text{Cactus Expression}\!</math>
 +
| <math>\text{Interpretation}\!</math>
 +
|-
 +
| height="100px" | [[Image:Cactus Node Big Fat.jpg|20px]]
 +
| <math>{}^{\backprime\backprime}\texttt{~}{}^{\prime\prime}</math>
 +
| <math>\operatorname{false}.</math>
 +
|-
 +
| height="100px" | [[Image:Cactus Spike Big Fat.jpg|20px]]
 +
| <math>\texttt{(~)}</math>
 +
| <math>\operatorname{true}.</math>
 +
|-
 +
| height="100px" | [[Image:Cactus A Big.jpg|20px]]
 +
| <math>a\!</math>
 +
| <math>a.\!</math>
 +
|-
 +
| height="120px" | [[Image:Cactus (A) Big.jpg|20px]]
 +
| <math>\texttt{(} a \texttt{)}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\tilde{a}
 +
\\[2pt]
 +
a^\prime
 +
\\[2pt]
 +
\lnot a
 +
\\[2pt]
 +
\operatorname{not}~ a.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="100px" | [[Image:Cactus ABC Big.jpg|50px]]
 +
| <math>a~b~c</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
a \lor b \lor c
 +
\\[6pt]
 +
a ~\operatorname{or}~ b ~\operatorname{or}~ c.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="160px" | [[Image:Cactus ((A)(B)(C)) Big.jpg|65px]]
 +
| <math>\texttt{((} a \texttt{)(} b \texttt{)(} c \texttt{))}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
a \land b \land c
 +
\\[6pt]
 +
a ~\operatorname{and}~ b ~\operatorname{and}~ c.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="120px" | [[Image:Cactus (A)B Big.jpg|35px]]
 +
| <math>\texttt{(} a \texttt{)} b</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
a \Rightarrow b
 +
\\[2pt]
 +
a ~\operatorname{implies}~ b.
 +
\\[2pt]
 +
\operatorname{if}~ a ~\operatorname{then}~ b.
 +
\\[2pt]
 +
\operatorname{not}~ a, ~\operatorname{or}~ b.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="120px" | [[Image:Cactus (A,B) Big.jpg|65px]]
 +
| <math>\texttt{(} a, b \texttt{)}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
a = b
 +
\\[2pt]
 +
a \iff b
 +
\\[2pt]
 +
a ~\operatorname{equals}~ b.
 +
\\[2pt]
 +
a ~\operatorname{if~and~only~if}~ b.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="160px" | [[Image:Cactus ((A,B)) Big.jpg|65px]]
 +
| <math>\texttt{((} a, b \texttt{))}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
a + b
 +
\\[2pt]
 +
a \neq b
 +
\\[2pt]
 +
a ~\operatorname{exclusive-or}~ b.
 +
\\[2pt]
 +
a ~\operatorname{not~equal~to}~ b.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="120px" | [[Image:Cactus (A,B,C) Big.jpg|65px]]
 +
| <math>\texttt{(} a, b, c \texttt{)}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\operatorname{not~just~one~of}
 +
\\
 +
a, b, c
 +
\\
 +
\operatorname{is~true}.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="160px" | [[Image:Cactus ((A,B,C)) Big.jpg|65px]]
 +
| <math>\texttt{((} a, b, c \texttt{))}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\operatorname{just~one~of}
 +
\\
 +
a, b, c
 +
\\
 +
\operatorname{is~true}.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="200px" | [[Image:Cactus (((A),B,C)) Big.jpg|65px]]
 +
| <math>\texttt{(((} a \texttt{)}, b, c \texttt{))}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\operatorname{genus}~ a ~\operatorname{of~species}~ b, c.
 +
\\[6pt]
 +
\operatorname{partition}~ a ~\operatorname{into}~ b, c.
 +
\\[6pt]
 +
\operatorname{pie}~ a ~\operatorname{of~slices}~ b, c.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|}
 +
 
 +
<br>
 +
 
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="6" cellspacing="0" style="text-align:center; width:90%"
 +
|+ <math>\text{Table C.}~~\text{Dualing Interpretations}</math>
 +
|- style="background:#f0f0ff"
 +
| <math>\text{Graph}\!</math>
 +
| <math>\text{String}\!</math>
 +
| <math>\text{Existential}\!</math>
 +
| <math>\text{Entitative}\!</math>
 +
|-
 +
| height="100px" | [[Image:Cactus Node Big Fat.jpg|20px]]
 +
| <math>{}^{\backprime\backprime}\texttt{~}{}^{\prime\prime}</math>
 +
| <math>\operatorname{true}.</math>
 +
| <math>\operatorname{false}.</math>
 +
|-
 +
| height="100px" | [[Image:Cactus Spike Big Fat.jpg|20px]]
 +
| <math>\texttt{(~)}</math>
 +
| <math>\operatorname{false}.</math>
 +
| <math>\operatorname{true}.</math>
 +
|-
 +
| height="100px" | [[Image:Cactus A Big.jpg|20px]]
 +
| <math>a\!</math>
 +
| <math>a.\!</math>
 +
| <math>a.\!</math>
 +
|-
 +
| height="120px" | [[Image:Cactus (A) Big.jpg|20px]]
 +
| <math>\texttt{(} a \texttt{)}</math>
 +
| <math>\lnot a</math>
 +
| <math>\lnot a</math>
 +
|-
 +
| height="100px" | [[Image:Cactus ABC Big.jpg|50px]]
 +
| <math>a~b~c</math>
 +
| <math>a \land b \land c</math>
 +
| <math>a \lor  b \lor  c</math>
 +
|-
 +
| height="160px" | [[Image:Cactus ((A)(B)(C)) Big.jpg|65px]]
 +
| <math>\texttt{((} a \texttt{)(} b \texttt{)(} c \texttt{))}</math>
 +
| <math>a \lor  b \lor  c</math>
 +
| <math>a \land b \land c</math>
 +
|-
 +
| height="120px" | [[Image:Cactus (A(B)) Big.jpg|60px]]
 +
| <math>\texttt{(} a \texttt{(} b \texttt{))}</math>
 +
| <math>a \Rightarrow b</math>
 +
| &nbsp;
 +
|-
 +
| height="120px" | [[Image:Cactus (A)B Big.jpg|35px]]
 +
| <math>\texttt{(} a \texttt{)} b</math>
 +
| &nbsp;
 +
| <math>a \Rightarrow b</math>
 +
|-
 +
| height="120px" | [[Image:Cactus (A,B) Big.jpg|65px]]
 +
| <math>\texttt{(} a, b \texttt{)}</math>
 +
| <math>a \neq b</math>
 +
| <math>a  =  b\!</math>
 +
|-
 +
| height="160px" | [[Image:Cactus ((A,B)) Big.jpg|65px]]
 +
| <math>\texttt{((} a, b \texttt{))}</math>
 +
| <math>a  =  b\!</math>
 +
| <math>a \neq b\!</math>
 +
|-
 +
| height="120px" | [[Image:Cactus (A,B,C) Big.jpg|65px]]
 +
| <math>\texttt{(} a, b, c \texttt{)}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\operatorname{just~one}
 +
\\
 +
\operatorname{of}~ a, b, c
 +
\\
 +
\operatorname{is~false}.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\operatorname{not~just~one}
 +
\\
 +
\operatorname{of}~ a, b, c
 +
\\
 +
\operatorname{is~true}.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="160px" | [[Image:Cactus ((A),(B),(C)) Big.jpg|65px]]
 +
| <math>\texttt{((} a \texttt{)}, \texttt{(} b \texttt{)}, \texttt{(} c \texttt{))}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\operatorname{just~one}
 +
\\
 +
\operatorname{of}~ a, b, c
 +
\\
 +
\operatorname{is~true}.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\operatorname{not~just~one}
 +
\\
 +
\operatorname{of}~ a, b, c
 +
\\
 +
\operatorname{is~false}.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="160px" | [[Image:Cactus ((A,B,C)) Big.jpg|65px]]
 +
| <math>\texttt{((} a, b, c \texttt{))}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\operatorname{not~just~one}
 +
\\
 +
\operatorname{of}~ a, b, c
 +
\\
 +
\operatorname{is~false}.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\operatorname{just~one}
 +
\\
 +
\operatorname{of}~ a, b, c
 +
\\
 +
\operatorname{is~true}.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="200px" | [[Image:Cactus (((A),(B),(C))) Big.jpg|65px]]
 +
| <math>\texttt{(((} a \texttt{)}, \texttt{(} b \texttt{)}, \texttt{(} c \texttt{)))}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\operatorname{not~just~one}
 +
\\
 +
\operatorname{of}~ a, b, c
 +
\\
 +
\operatorname{is~true}.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\operatorname{just~one}
 +
\\
 +
\operatorname{of}~ a, b, c
 +
\\
 +
\operatorname{is~false}.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="160px" | [[Image:Cactus (A,(B),(C)) Big.jpg|65px]]
 +
| <math>\texttt{(} a, \texttt{(} b \texttt{)}, \texttt{(} c \texttt{))}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\operatorname{partition}~ a
 +
\\
 +
\operatorname{into}~ b, c.
 +
\end{matrix}</math>
 +
| &nbsp;
 +
|-
 +
| height="200px" | [[Image:Cactus (((A),B,C)) Big.jpg|65px]]
 +
| <math>\texttt{(((} a \texttt{)}, b, c \texttt{))}</math>
 +
| &nbsp;
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\operatorname{partition}~ a
 +
\\
 +
\operatorname{into}~ b, c.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|}
 +
 
 +
<br>
 +
 
 +
==Differential Logic==
 +
 
 +
===Ascii Tables===
 +
 
 
<pre>
 
<pre>
−
Table 5.  Df Expanded Over Differential Features {dx, dy}
+
Table A1.  Propositional Forms On Two Variables
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
o---------o---------o---------o----------o------------------o----------o
−
|     |           |           |           |           |           |
+
| L_1    | L_2    | L_3    | L_4      | L_5              | L_6      |
−
|     |    f      | Df| dx dy  | Df| dx(dy) | Df| (dx)dy | Df|(dx)(dy)|
+
|         |         |         |         |                 |         |
−
|     |           |           |           |           |           |
+
| Decimal | Binary  | Vector  | Cactus  | English          | Ordinary |
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
o---------o---------o---------o----------o------------------o----------o
−
|     |           |           |           |           |            |
+
|         |       x : 1 1 0 0 |         |                 |         |
−
| f_0  |     ()    |    ()    |    ()    |    ()    |    ()    |
+
|         |       y : 1 0 1 0 |         |                 |         |
−
|      |            |           |           |           |            |
+
o---------o---------o---------o----------o------------------o----------o
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
|         |         |         |         |                 |         |
−
|     |           |           |           |           |           |
+
| f_0    | f_0000 | 0 0 0 0 |   ()   | false            |    0     |
−
| f_1 |   (x)(y)  | ((x, y))  |   (y)    |    (x)    |    ()     |
+
|         |         |         |         |                 |         |
−
|     |           |           |           |           |           |
+
| f_1    | f_0001 | 0 0 0 1 |  (x)(y) | neither x nor y | ~x & ~y  |
−
| f_2 |   (x) y    |  (x, y)   |     y     |   (x)    |    ()    |
+
|         |         |         |         |                 |         |
−
|     |           |           |           |           |           |
+
| f_2    | f_0010 | 0 0 1 0 | (x) y  | y and not x      | ~x &  y  |
−
| f_4 |   x (y)  |   (x, y)   |   (y)    |    x      |     ()    |
+
|         |         |         |         |                 |         |
−
|     |           |           |           |           |           |
+
| f_3    | f_0011 | 0 0 1 1 |  (x)    | not x           | ~x      |
−
| f_8 |   x  y    |  ((x, y)) |     y      |     x     |     ()    |
+
|         |         |         |         |                 |         |
−
|     |           |           |           |           |           |
+
| f_4    | f_0100  | 0 1 0 0 |  x (y) | x and not y      | x & ~y  |
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
|         |         |         |         |                 |         |
−
|     |           |           |            |            |            |
+
| f_5    | f_0101  | 0 1 0 1 |    (y) | not y            |      ~y  |
−
| f_3  |  (x)      |    (())    |   (())    |     ()    |    ()    |
+
|         |         |         |         |                 |         |
−
|     |           |           |           |           |           |
+
| f_6     | f_0110 | 0 1 1 0 |  (x, y) | x not equal to y | x +  y  |
−
| f_12 |   x      |   (())    |    (())    |    ()     |     ()    |
+
|         |         |         |         |                 |         |
−
|      |            |            |            |            |            |
+
| f_7    | f_0111 | 0 1 1 1 |  (x y)  | not both x and y | ~x v ~y  |
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
|        |        |        |         |                 |         |
−
|     |           |           |           |           |           |
+
| f_8    | f_1000  | 1 0 0 0 |   x  y  | x and y          | x &  y  |
−
| f_6  |   (x, y)   |     ()    |   (())    |    (())    |    ()    |
+
|         |         |         |         |                 |         |
−
|     |           |           |           |           |           |
+
| f_9    | f_1001 | 1 0 0 1 | ((x, y)) | x equal to y     | x =  y  |
−
| f_9 |  ((x, y)) |     ()    |   (())    |   (())    |     ()    |
+
|         |         |         |         |                 |         |
−
|     |           |           |           |           |           |
+
| f_10    | f_1010  | 1 0 1 0 |      y  | y                |       y  |
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
|         |         |         |         |                 |         |
−
|     |           |           |           |           |           |
+
| f_11    | f_1011 | 1 0 1 1 |  (x (y)) | not x without y | x => y  |
−
| f_5 |     (y)  |   (())   |     ()     |   (())    |    ()    |
+
|         |         |         |         |                 |         |
−
|     |           |           |           |           |           |
+
| f_12    | f_1100 | 1 1 0 0 |  x     | x                | x       |
−
| f_10 |      y   |   (())    |    ()    |   (())    |    ()    |
+
|         |         |         |         |                 |         |
−
|      |           |           |            |            |            |
+
| f_13   | f_1101 | 1 1 0 1 | ((x) y) | not y without x | x <= y |
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
|         |         |         |         |                 |         |
−
|     |           |           |           |           |           |
+
| f_14   | f_1110 | 1 1 1 0 | ((x)(y)) | x or y          |  x v  y  |
−
| f_7 |   (x  y)  |  ((x, y)) |     y     |     x     |    ()    |
+
|         |         |         |         |                 |         |
−
|     |           |           |           |           |           |
+
| f_15    | f_1111  | 1 1 1 1 |   (())   | true            |   1     |
−
| f_11 |   (x (y)) |  (x, y)  |   (y)    |     x     |    ()    |
+
|         |         |         |         |                 |         |
−
|     |           |           |           |           |           |
+
o---------o---------o---------o----------o------------------o----------o
−
| f_13 |  ((x) y)   |   (x, y)  |     y     |    (x)    |    ()    |
 
−
|     |           |           |           |           |           |
 
−
| f_14 |  ((x)(y)) |  ((x, y)) |    (y)    |    (x)    |    ()    |
 
−
|     |           |           |           |           |           |
 
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
 
−
|     |           |           |           |            |            |
 
−
| f_15 |    (())   |     ()    |     ()    |    ()    |    ()     |
 
−
|     |           |           |           |           |           |
 
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
 
 
</pre>
 
</pre>
  
−
===Wiki Tables===
+
<pre>
−
 
+
Table A2.  Propositional Forms On Two Variables
−
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
+
o---------o---------o---------o----------o------------------o----------o
−
|+ '''Table 1.  Propositional Forms on Two Variables'''
+
| L_1    | L_2    | L_3    | L_4      | L_5              | L_6      |
−
|- style="background:paleturquoise"
+
|         |        |        |          |                  |          |
−
! style="width:15%" | L<sub>1</sub>
+
| Decimal | Binary  | Vector  | Cactus  | English          | Ordinary |
−
! style="width:15%" | L<sub>2</sub>
+
o---------o---------o---------o----------o------------------o----------o
−
! style="width:15%" | L<sub>3</sub>
+
|         |       x : 1 1 0 0 |         |                 |         |
−
! style="width:15%" | L<sub>4</sub>
+
|         |       y : 1 0 1 0 |         |                  |         |
−
! style="width:15%" | L<sub>5</sub>
+
o---------o---------o---------o----------o------------------o----------o
−
! style="width:15%" | L<sub>6</sub>
+
|         |        |        |          |                  |          |
−
|- style="background:paleturquoise"
+
| f_0    | f_0000  | 0 0 0 0 |   ()   | false           |   0    |
−
| &nbsp;
+
|         |        |        |          |                  |          |
−
| align="right" | x :
+
o---------o---------o---------o----------o------------------o----------o
−
| 1 1 0 0  
+
|         |        |        |          |                  |         |
−
| &nbsp;
+
| f_1    | f_0001  | 0 0 0 1 | (x)(y) | neither x nor y | ~x & ~y |
−
| &nbsp;
+
|         |        |        |          |                  |         |
−
| &nbsp;
+
| f_2    | f_0010  | 0 0 1 0 | (x) y   | y and not x     | ~x & y |
−
|- style="background:paleturquoise"
+
|         |        |        |          |                  |         |
−
| &nbsp;
+
| f_4    | f_0100  | 0 1 0 0 |   x (y) | x and not y      | x & ~y  |
−
| align="right" | y :
+
|        |        |         |         |                 |         |
−
| 1 0 1 0
+
| f_8    | f_1000  | 1 0 0 0 |   x y   | x and y         | x & y |
−
| &nbsp;
+
|         |        |        |          |                  |          |
−
| &nbsp;
+
o---------o---------o---------o----------o------------------o----------o
−
| &nbsp;
+
|         |        |        |          |                  |          |
−
|-
+
| f_3    | f_0011  | 0 0 1 1 | (x)     | not x            | ~x      |
−
| f<sub>0</sub> || f<sub>0000</sub> || 0 0 0 0 || (&nbsp;) || false || 0
+
|        |        |        |          |                  |          |
−
|-
+
| f_12    | f_1100  | 1 1 0 0 |   x      | x                |  x      |
−
| f<sub>1</sub> || f<sub>0001</sub> || 0 0 0 1 || (x)(y) || neither x nor y || &not;x &and; &not;y
+
|         |        |        |          |                  |          |
−
|-
+
o---------o---------o---------o----------o------------------o----------o
−
| f<sub>2</sub> || f<sub>0010</sub> || 0 0 1 0 || (x) y || y and not x || &not;x &and; y
+
|         |        |        |          |                  |          |
−
|-
+
| f_6    | f_0110  | 0 1 1 0 | (x, y) | x not equal to y | x +  y |
−
| f<sub>3</sub> || f<sub>0011</sub> || 0 0 1 1 || (x) || not x || &not;x
+
|         |        |        |          |                  |         |
−
|-
+
| f_9    | f_1001  | 1 0 0 1 | ((x, y)) | x equal to y     | x =  y |
−
| f<sub>4</sub> || f<sub>0100</sub> || 0 1 0 0 || x (y) || x and not y || x &and; &not;y
+
|         |         |         |         |                 |         |
−
|-
+
o---------o---------o---------o----------o------------------o----------o
−
| f<sub>5</sub> || f<sub>0101</sub> || 0 1 0 1 || (y) || not y || &not;y
+
|         |         |         |         |                 |         |
−
|-
+
| f_5    | f_0101  | 0 1 0 1 |     (y) | not y            |     ~y |
−
| f<sub>6</sub> || f<sub>0110</sub> || 0 1 1 0 || (x, y) || x not equal to y || x &ne; y
+
|         |        |        |          |                 |         |
−
|-
+
| f_10    | f_1010  | 1 0 1 0 |     y  | y               |       y  |
−
| f<sub>7</sub> || f<sub>0111</sub> || 0 1 1 1 || (x&nbsp;y) || not both x and y || &not;x &or; &not;y
+
|        |        |        |          |                  |         |
−
|-
+
o---------o---------o---------o----------o------------------o----------o
−
| f<sub>8</sub> || f<sub>1000</sub> || 1 0 0 0 || x&nbsp;y || x and y || x &and; y
+
|         |        |        |          |                  |          |
−
|-
+
| f_7    | f_0111  | 0 1 1 1 | (x y) | not both x and y | ~x v ~y |
−
| f<sub>9</sub> || f<sub>1001</sub> || 1 0 0 1 || ((x, y)) || x equal to y || x = y
+
|         |        |        |          |                  |         |
−
|-
+
| f_11    | f_1011  | 1 0 1 1 | (x (y)) | not x without y  | x => y  |
−
| f<sub>10</sub> || f<sub>1010</sub> || 1 0 1 0 || y || y || y
+
|        |        |         |         |                 |         |
−
|-
+
| f_13    | f_1101  | 1 1 0 1 | ((x) y) | not y without x | x <= y |
−
| f<sub>11</sub> || f<sub>1011</sub> || 1 0 1 1 || (x (y)) || not x without y || x &rarr; y
+
|         |        |        |          |                  |         |
−
|-
+
| f_14    | f_1110  | 1 1 1 0 | ((x)(y)) | x or y           | x v  y |
−
| f<sub>12</sub> || f<sub>1100</sub> || 1 1 0 0 || x || x || x
+
|         |        |        |          |                  |          |
−
|-
+
o---------o---------o---------o----------o------------------o----------o
−
| f<sub>13</sub> || f<sub>1101</sub> || 1 1 0 1 || ((x) y) || not y without x || x &larr; y
+
|         |        |        |          |                  |          |
−
|-
+
| f_15    | f_1111  | 1 1 1 1 |   (())   | true             |   1    |
−
| f<sub>14</sub> || f<sub>1110</sub> || 1 1 1 0 || ((x)(y)) || x or y  || x &or; y
+
|         |        |        |          |                  |          |
−
|-
+
o---------o---------o---------o----------o------------------o----------o
−
| f<sub>15</sub> || f<sub>1111</sub> || 1 1 1 1 || ((&nbsp;)) || true || 1
+
</pre>
−
|}
 
−
<br>
 
−
 
 
−
==Differential Logic and Dynamic Systems==
 
−
 
 
−
===Table 1.  Syntax & Semantics of a Calculus for Propositional Logic===
 
  
 
<pre>
 
<pre>
−
Table 1.  Syntax & Semantics of a Calculus for Propositional Logic
+
Table A3.  Ef Expanded Over Differential Features {dx, dy}
−
o-------------------o-------------------o-------------------o
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
|    Expression    |  Interpretation  |  Other Notations  |
+
|      |            |            |            |            |            |
−
o-------------------o-------------------o-------------------o
+
|      |    f      |  T_11 f  |  T_10 f  |  T_01 f  |  T_00 f  |
−
| " "              | True.            | 1                |
+
|     |           |           |            |            |            |
−
o-------------------o-------------------o-------------------o
+
|      |            | Ef| dx dy  | Ef| dx(dy) | Ef| (dx)dy | Ef|(dx)(dy)|
−
|  ()              | False.            |  0                |
+
|      |            |            |            |            |            |
−
o-------------------o-------------------o-------------------o
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
| A                | A.                |  A                |
+
|     |            |            |            |            |            |
−
o-------------------o-------------------o-------------------o
+
| f_0 |     ()    |    ()    |    ()    |    ()    |    ()    |
−
|  (A)              | Not A.            |  A'              |
+
|      |            |            |            |            |            |
−
|                  |                  |  ~A              |
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
o-------------------o-------------------o-------------------o
+
|     |            |            |            |            |           |
−
| A B C           | A and B and C.    |  A & B & C        |
+
| f_1 |   (x)(y)  |    x  y    |    x (y)  |  (x) y    |  (x)(y)  |
−
o-------------------o-------------------o-------------------o
+
|      |            |            |           |            |            |
−
|  ((A)(B)(C))      | A or B or C.      |  A v B v C        |
+
| f_2 |  (x) y    |    x (y)   |    x  y    |  (x)(y)   |  (x) y    |
−
o-------------------o-------------------o-------------------o
+
|     |           |            |            |            |            |
−
|  (A (B))         | A implies B.      |  A => B          |
+
| f_4 |   x (y)  |  (x) y    |  (x)(y)  |    x  y    |    x (y)  |
−
|                   | If A then B.      |                   |
+
|      |            |            |            |           |            |
−
o-------------------o-------------------o-------------------o
+
| f_8  |    x y    |  (x)(y)   |  (x) y    |   x (y)  |   x y    |
−
| (A, B)          | A not equal to B. | A =/= B          |
+
|     |           |            |            |            |           |
−
|                   | A exclusive-or B. |  A  +  B          |
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
o-------------------o-------------------o-------------------o
+
|     |            |           |           |           |           |
−
|  ((A, B))        | A is equal to B.  |  A  =  B          |
+
| f_3 |   (x)      |    x      |    x      |  (x)      |  (x)      |
−
|                  | A if & only if B. |  A <=> B          |
+
|      |            |            |            |            |            |
−
o-------------------o-------------------o-------------------o
+
| f_12 |    x      |  (x)      |  (x)      |    x      |    x      |
−
| (A, B, C)        | Just one of      | A'B C  v        |
+
|      |            |            |            |            |            |
−
|                   | A, B, C          |  A B'C v        |
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
|                  | is false.        |  A B C'          |
+
|      |           |           |           |            |            |
−
o-------------------o-------------------o-------------------o
+
| f_6  |   (x, y)  |  (x, y)  |  ((x, y)) |  ((x, y))  |  (x, y)  |
−
| ((A),(B),(C))   | Just one of      | A B'C' v        |
+
|     |            |            |            |            |            |
−
|                   | A, B, C          | A'B C' v        |
+
| f_9  |  ((x, y))  |  ((x, y))  |  (x, y)  |  (x, y)  |  ((x, y))  |
−
|                   | is true.          |  A'B'C           |
+
|     |           |           |           |           |            |
−
|                  |                  |                  |
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
|                  | Partition all    |                  |
+
|      |           |           |           |           |            |
−
|                  | into A, B, C.    |                  |
+
| f_5 |      (y)  |      y    |      (y)   |       y    |     (y)  |
−
o-------------------o-------------------o-------------------o
+
|     |           |           |           |           |           |
−
| ((A, B), C)     | Oddly many of    | A + B + C        |
+
| f_10 |       y    |     (y)  |       y    |     (y)  |      y    |
−
|  (A, (B, C))      | A, B, C          |                   |
+
|      |            |            |            |           |            |
−
|                   | are true.        | A B C  v        |
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
|                   |                   |  A B'C' v        |
+
|      |           |           |           |           |           |
−
|                   |                   | A'B C' v        |
+
| f_7  |   (x y)  |  ((x)(y))  | ((x) y)  |   (x (y)) |   (x  y)  |
−
|                   |                   | A'B'C           |
+
|      |            |            |            |            |            |
−
o-------------------o-------------------o-------------------o
+
| f_11 |  (x (y))  |  ((x) y)  |  ((x)(y))  |  (x  y)  |  (x (y))  |
−
| (Q, (A),(B),(C)) | Partition  Q     | Q'A'B'C' v      |
+
|     |           |           |           |           |           |
−
|                   | into A, B, C.    | Q A B'C' v      |
+
| f_13 | ((x) y)   |   (x (y))  |   (x  y)  | ((x)(y))  | ((x) y)  |
−
|                   |                  |  Q A'B C' v      |
+
|     |           |           |           |           |           |
−
|                  | Genus Q comprises |  Q A'B'C          |
+
| f_14 | ((x)(y)) |  (x  y)   |   (x (y))  | ((x) y)  | ((x)(y)) |
−
|                   | species A, B, C. |                   |
+
|     |           |           |           |           |           |
−
o-------------------o-------------------o-------------------o
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
</pre>
+
|     |            |            |            |            |            |
−
 
+
| f_15 |    (())    |   (())    |    (())   |    (())    |    (())    |
−
<font face="courier new">
+
|      |            |            |            |            |            |
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:left; width:96%"
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
|+ '''Table 1.  Syntax and Semantics of a Calculus for Propositional Logic'''
+
|                  |            |            |            |            |
−
|- style="background:paleturquoise"
+
| Fixed Point Total |      4    |      4    |      4    |    16    |
−
! Expression
+
|                  |            |            |            |            |
−
! Interpretation
+
o-------------------o------------o------------o------------o------------o
−
! Other Notations
+
</pre>
−
|-
 
−
| "&nbsp;"
 
−
| True.
 
−
| 1
 
−
|-
 
−
| (&nbsp;)
 
−
| False.
 
−
| 0
 
−
|-
 
−
| A
 
−
| A.
 
−
| A
 
−
|-
 
−
| (A)
 
−
| Not A.
 
−
| &nbsp;A’ <br> ~A <br> &not;A
 
−
|-
 
−
| A B C
 
−
| A and B and C.
 
−
| A &and; B &and; C
 
−
|-
 
−
| ((A)(B)(C))
 
−
| A or B or C.
 
−
| A &or; B &or; C
 
−
|-
 
−
| (A (B))
 
−
| A implies B. <br> If A then B.
 
−
| A &rArr; B
 
−
|-
 
−
| (A, B)
 
−
| A not equal to B. <br> A exclusive-or B.
 
−
| A &ne; B          <br> A + B
 
−
|-
 
−
| ((A, B))
 
−
| A is equal to B. <br> A if & only if B.
 
−
| A = B            <br> A &hArr; B
 
−
|-
 
−
| (A, B, C)
 
−
| Just one of <br> A, B, C <br> is false.
 
−
|
 
−
A’B C &or;<br>
 
−
A B’C &or;<br>
 
−
A B C’
 
−
|-
 
−
| ((A),(B),(C))
 
−
| Just one of <br> A, B, C <br> is true. <br><br>
 
−
Partition all <br> into A, B, C.
 
−
|
 
−
A B’C’ &or;<br>
 
−
A’B C’ &or;<br>
 
−
A’B’C
 
−
|-
 
−
| ((A, B), C)  <br> &nbsp;  <br> (A, (B, C))
 
−
| Oddly many of <br> A, B, C <br> are true.
 
−
|
 
−
A + B + C<br>&nbsp;<br>
 
−
A B C  &nbsp;&or;<br>
 
−
A B’C’      &or;<br>
 
−
A’B C’      &or;<br>
 
−
A’B’C
 
−
|-
 
−
| (Q, (A),(B),(C))
 
−
| Partition  Q   <br> into A, B, C.<br>
 
−
Genus Q comprises <br> species A, B, C.
 
−
|
 
−
Q’A’B’C’ &or;<br>
 
−
Q A B’C’ &or;<br>
 
−
Q A’B C’ &or;<br>
 
−
Q A’B’C
 
−
|}
 
−
</font><br>
 
−
 
 
−
===Table 2.  Fundamental Notations for Propositional Calculus===
 
  
 
<pre>
 
<pre>
−
Table 2.  Fundamental Notations for Propositional Calculus
+
Table A4.  Df Expanded Over Differential Features {dx, dy}
−
o---------o-------------------o-------------------o-------------------o
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
| Symbol  | Notation          | Description      | Type              |
+
|     |            |            |           |           |           |
−
o---------o-------------------o-------------------o-------------------o
+
|      |    f      | Df| dx dy  | Df| dx(dy) | Df| (dx)dy | Df|(dx)(dy)|
−
| !A!    | {a_1, ..., a_n}  | Alphabet          | [n]  = #n#      |
+
|      |            |            |            |            |            |
−
o---------o-------------------o-------------------o-------------------o
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
|  A_i    | {(a_i), a_i}      | Dimension i      |  B                |
+
|     |            |            |            |            |           |
−
o---------o-------------------o-------------------o-------------------o
+
| f_0 |     ()    |    ()    |    ()    |    ()    |    ()    |
−
| A     | <|!A!|>          | Set of cells,    | B^n              |
+
|      |            |            |            |            |            |
−
|         | <|a_i, ..., a_n|> | coordinate tuples,|                   |
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
|         | {<a_i, ..., a_n>} | interpretations,  |                   |
+
|      |           |            |            |            |            |
−
|         | A_1 x ... x A_n   | points, or vectors|                   |
+
| f_1  |  (x)(y)  |  ((x, y))  |    (y)    |    (x)    |    ()    |
−
|        | Prod_i A_i        | in the universe  |                   |
+
|      |            |           |           |           |           |
−
o---------o-------------------o-------------------o-------------------o
+
| f_2  |   (x) y    |   (x, y)  |     y      |   (x)    |     ()    |
−
|  A*    | (hom : A -> B)    | Linear functions  | (B^n)*  =  B^n    |
+
|     |           |            |            |           |           |
−
o---------o-------------------o-------------------o-------------------o
+
| f_4  |   x (y)   |   (x, y)  |   (y)    |     x      |    ()    |
−
|  A^     | (A -> B)         | Boolean functions | B^n -> B        |
+
|      |            |            |            |           |           |
−
o---------o-------------------o-------------------o-------------------o
+
| f_8  |    x  y    |  ((x, y))  |    y      |    x      |    ()    |
−
| A%    | [!A!]            | Universe of Disc. | (B^n, (B^n -> B)) |
+
|      |            |            |            |            |            |
−
|         | (A, A^)           | based on features | (B^n +-> B)       |
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
|        | (A +-> B)         | {a_1, ..., a_n}  | [B^n]            |
+
|      |            |            |            |            |            |
−
|        | (A, (A -> B))    |                   |                   |
+
| f_3  |  (x)      |    (())    |    (())    |    ()    |     ()     |
−
|         | [a_1, ..., a_n]  |                   |                   |
+
|     |            |            |            |            |            |
−
o---------o-------------------o-------------------o-------------------o
+
| f_12 |    x      |    (())    |    (())    |    ()    |    ()    |
−
</pre>
+
|      |            |            |            |            |            |
−
 
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
<font face="courier new">
+
|     |            |            |           |           |           |
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:96%"
+
| f_6  |   (x, y)   |     ()     |   (())    |   (())    |    ()    |
−
|+ '''Table 2.  Fundamental Notations for Propositional Calculus'''
+
|     |            |            |            |            |            |
−
|- style="background:paleturquoise"
+
| f_9  | ((x, y))  |     ()    |   (())    |   (())    |    ()    |
−
! Symbol
+
|      |            |            |            |            |            |
−
! Notation
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
! Description
+
|     |            |           |           |           |           |
−
! Type
+
| f_5  |     (y)  |   (())    |    ()    |   (())    |     ()     |
−
|-
+
|     |           |           |           |           |           |
−
| <font face="lucida calligraphy">A<font>
+
| f_10 |       y    |   (())    |     ()    |    (())    |     ()     |
−
| {''a''<sub>1</sub>, &hellip;, ''a''<sub>''n''</sub>}
+
|     |           |           |           |           |           |
−
| Alphabet
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
| [''n''] = '''n'''
+
|      |            |            |            |            |            |
−
|-
+
| f_7  |  (x  y)  |  ((x, y))  |     y     |     x      |     ()     |
−
| ''A''<sub>''i''</sub>
+
|     |            |            |            |            |            |
−
| {(''a''<sub>''i''</sub>), ''a''<sub>''i''</sub>}
+
| f_11 |  (x (y))  |  (x, y)  |    (y)    |    x      |    ()    |
−
| Dimension ''i''
+
|      |            |            |            |            |            |
−
| '''B'''
+
| f_13 |  ((x) y)  |  (x, y)  |    y      |    (x)    |    ()    |
−
|-
+
|      |           |            |            |            |           |
−
| ''A''
+
| f_14 |  ((x)(y))  |  ((x, y))  |    (y)    |    (x)    |    ()    |
−
|
+
|      |            |            |            |            |            |
−
〈<font face="lucida calligraphy">A</font>〉<br>
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
〈''a''<sub>1</sub>, &hellip;, ''a''<sub>''n''</sub>〉<br>
+
|      |            |            |            |            |            |
−
{‹''a''<sub>1</sub>, &hellip;, ''a''<sub>''n''</sub>›}<br>
+
| f_15 |    (())    |    ()    |    ()    |    ()    |    ()    |
−
''A''<sub>1</sub> &times; &hellip; &times; ''A''<sub>''n''</sub><br>
+
|     |           |           |           |           |           |
−
&prod;<sub>''i''</sub> ''A''<sub>''i''</sub>
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
|
 
−
Set of cells,<br>
 
−
coordinate tuples,<br>
 
−
points, or vectors<br>
 
−
in the universe<br>
 
−
of discourse
 
−
| '''B'''<sup>''n''</sup>
 
−
|-
 
−
| ''A''*
 
−
| (hom : ''A'' &rarr; '''B''')
 
−
| Linear functions
 
−
| ('''B'''<sup>''n''</sup>)* = '''B'''<sup>''n''</sup>
 
−
|-
 
−
| ''A''^
 
−
| (''A'' &rarr; '''B''')
 
−
| Boolean functions
 
−
| '''B'''<sup>''n''</sup> &rarr; '''B'''
 
−
|-
 
−
| ''A''<sup>&bull;</sup>
 
−
|
 
−
[<font face="lucida calligraphy">A</font>]<br>
 
−
(''A'', ''A''^)<br>
 
−
(''A'' +&rarr; '''B''')<br>
 
−
(''A'', (''A'' &rarr; '''B'''))<br>
 
−
[''a''<sub>1</sub>, &hellip;, ''a''<sub>''n''</sub>]
 
−
|
 
−
Universe of discourse<br>
 
−
based on the features<br>
 
−
{''a''<sub>1</sub>, &hellip;, ''a''<sub>''n''</sub>}
 
−
|
 
−
('''B'''<sup>''n''</sup>, ('''B'''<sup>''n''</sup> &rarr; '''B'''))<br>
 
−
('''B'''<sup>''n''</sup> +&rarr; '''B''')<br>
 
−
['''B'''<sup>''n''</sup>]
 
−
|}</font><br>
 
−
 
 
−
===Table 3.  Analogy of Real and Boolean Types===
 
−
 
 
−
<pre>
 
−
Table 3.  Analogy of Real and Boolean Types
 
−
o-------------------------o-------------------------o-------------------------o
 
−
|     Real Domain R     |           <->          |   Boolean Domain B     |
 
−
o-------------------------o-------------------------o-------------------------o
 
−
|           R^n          |       Basic Space      |           B^n          |
 
−
o-------------------------o-------------------------o-------------------------o
 
−
|        R^n -> R        |    Function Space      |        B^n -> B        |
 
−
o-------------------------o-------------------------o-------------------------o
 
−
|    (R^n -> R) -> R     |     Tangent Vector     |     (B^n -> B) -> B    |
 
−
o-------------------------o-------------------------o-------------------------o
 
−
| R^n -> ((R^n -> R) -> R)|      Vector Field      | B^n -> ((B^n -> B) -> B)|
 
−
o-------------------------o-------------------------o-------------------------o
 
−
| (R^n x (R^n -> R)) -> R |          ditto          | (B^n x (B^n -> B)) -> B |
 
−
o-------------------------o-------------------------o-------------------------o
 
−
| ((R^n -> R) x R^n) -> R |          ditto          | ((B^n -> B) x B^n) -> B |
 
−
o-------------------------o-------------------------o-------------------------o
 
−
| (R^n -> R) -> (R^n -> R)|      Derivation        | (B^n -> B) -> (B^n -> B)|
 
−
o-------------------------o-------------------------o-------------------------o
 
−
|        R^n -> R^m      |  Basic Transformation  |        B^n -> B^m      |
 
−
o-------------------------o-------------------------o-------------------------o
 
−
| (R^n -> R) -> (R^m -> R)| Function Transformation | (B^n -> B) -> (B^m -> B)|
 
−
o-------------------------o-------------------------o-------------------------o
 
−
|          ...          |          ...          |          ...          |
 
−
o-------------------------o-------------------------o-------------------------o
 
−
</pre>
 
−
 
 
−
<font face="courier new">
 
−
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
 
−
|+ '''Table 3.  Analogy of Real and Boolean Types'''
 
−
|- style="background:paleturquoise"
 
−
! Real Domain '''R'''
 
−
! &larr;&rarr;
 
−
! Boolean Domain '''B'''
 
−
|-
 
−
| '''R'''<sup>''n''</sup>
 
−
| Basic Space
 
−
| '''B'''<sup>''n''</sup>
 
−
|-
 
−
| '''R'''<sup>''n''</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;'''R'''
 
−
| Function Space
 
−
| '''B'''<sup>''n''</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;'''B'''
 
−
|-
 
−
| ('''R'''<sup>''n''</sup>&rarr;'''R''')&nbsp;&rarr;&nbsp;'''R'''
 
−
| Tangent Vector
 
−
| ('''B'''<sup>''n''</sup>&rarr;'''B''')&nbsp;&rarr;&nbsp;'''B'''
 
−
|-
 
−
| '''R'''<sup>''n''</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;(('''R'''<sup>''n''</sup>&rarr;'''R''')&rarr;'''R''')
 
−
| Vector Field
 
−
| '''B'''<sup>''n''</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;(('''B'''<sup>''n''</sup>&rarr;'''B''')&rarr;'''B''')
 
−
|-
 
−
| ('''R'''<sup>''n''</sup>&nbsp;&times;&nbsp;('''R'''<sup>''n''</sup>&rarr; '''R'''))&nbsp;&rarr;&nbsp;'''R'''
 
−
| ditto
 
−
| ('''B'''<sup>''n''</sup>&nbsp;&times;&nbsp;('''B'''<sup>''n''</sup>&rarr; '''B'''))&nbsp;&rarr;&nbsp;'''B'''
 
−
|-
 
−
| (('''R'''<sup>''n''</sup>&rarr;'''R''')&nbsp;&times;&nbsp;'''R'''<sup>''n''</sup>)&nbsp;&rarr;&nbsp;'''R'''
 
−
| ditto
 
−
| (('''B'''<sup>''n''</sup>&rarr;'''B''')&nbsp;&times;&nbsp;'''B'''<sup>''n''</sup>)&nbsp;&rarr;&nbsp;'''B'''
 
−
|-
 
−
| ('''R'''<sup>''n''</sup>&rarr;'''R''')&nbsp;&rarr;&nbsp;('''R'''<sup>''n''</sup>&rarr;'''R''')
 
−
| Derivation
 
−
| ('''B'''<sup>''n''</sup>&rarr;'''B''')&nbsp;&rarr;&nbsp;('''B'''<sup>''n''</sup>&rarr;'''B''')
 
−
|-
 
−
| '''R'''<sup>''n''</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;'''R'''<sup>''m''</sup>
 
−
| Basic Transformation
 
−
| '''B'''<sup>''n''</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;'''B'''<sup>''m''</sup>
 
−
|-
 
−
| ('''R'''<sup>''n''</sup>&rarr;'''R''')&nbsp;&rarr;&nbsp;('''R'''<sup>''m''</sup>&rarr;'''R''')
 
−
| Function Transformation
 
−
| ('''B'''<sup>''n''</sup>&rarr;'''B''')&nbsp;&rarr;&nbsp;('''B'''<sup>''m''</sup>&rarr;'''B''')
 
−
|-
 
−
| ...
 
−
| ...
 
−
| ...
 
−
|}
 
−
</font><br>
 
−
 
 
−
===Table 4.  An Equivalence Based on the Propositions as Types Analogy===
 
−
 
 
−
<pre>
 
−
Table 4.  An Equivalence Based on the Propositions as Types Analogy
 
−
o-------------------------o------------------------o--------------------------o
 
−
|        Pattern        |      Construction      |        Instance          |
 
−
o-------------------------o------------------------o--------------------------o
 
−
|      X -> (Y -> Z)      |      Vector Field      | K^n -> ((K^n -> K) -> K) |
 
−
o-------------------------o------------------------o--------------------------o
 
−
|    (X x Y)  -> Z      |                        | (K^n x (K^n -> K)) -> K  |
 
−
o-------------------------o------------------------o--------------------------o
 
−
|     (Y x X)  -> Z      |                       | ((K^n -> K) x K^n) -> K  |
 
−
o-------------------------o------------------------o--------------------------o
 
−
|      Y -> (X -> Z)      |      Derivation      | (K^n -> K) -> (K^n -> K) |
 
−
o-------------------------o------------------------o--------------------------o
 
 
</pre>
 
</pre>
−
 
−
<font face="courier new">
 
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:center; width:96%"
 
−
|+ '''Table 4.  An Equivalence Based on the Propositions as Types Analogy
 
−
'''
 
−
|- style="background:paleturquoise"
 
−
! Pattern
 
−
! Construction
 
−
! Instance
 
−
|-
 
−
| ''X''&nbsp;&rarr;&nbsp;(''Y''&nbsp;&rarr;&nbsp;''Z'')
 
−
| Vector Field
 
−
| '''K'''<sup>''n''</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;(('''K'''<sup>''n''</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;'''K''')&nbsp;&rarr;&nbsp;'''K''')
 
−
|-
 
−
|(''X''&nbsp;&times;&nbsp;''Y'')&nbsp;&rarr;&nbsp;''Z''
 
−
| &nbsp;
 
−
| ('''K'''<sup>''n''</sup>&nbsp;&times;&nbsp;('''K'''<sup>''n''</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;'''K'''))&nbsp;&rarr;&nbsp;'''K'''
 
−
|-
 
−
| (''Y''&nbsp;&times;&nbsp;''X'')&nbsp;&rarr;&nbsp;''Z''
 
−
| &nbsp;
 
−
| (('''K'''<sup>''n''</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;'''K''')&nbsp;&times;&nbsp;'''K'''<sup>''n''</sup>)&nbsp;&rarr;&nbsp;'''K'''
 
−
|-
 
−
| ''Y''&nbsp;&rarr;&nbsp;(''X''&nbsp;&rarr;&nbsp;''Z'')
 
−
| Derivation
 
−
| ('''K'''<sup>''n''</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;'''K''')&nbsp;&rarr;&nbsp;('''K'''<sup>''n''</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;'''K''')
 
−
|}
 
−
</font><br>
 
−
 
−
===Table 5.  A Bridge Over Troubled Waters===
 
  
 
<pre>
 
<pre>
−
Table 5.  A Bridge Over Troubled Waters
+
Table A5.  Ef Expanded Over Ordinary Features {x, y}
−
o-------------------------o-------------------------o-------------------------o
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
|      Linear Space      |     Liminal Space      |     Logical Space      |
+
|      |           |            |            |            |           |
−
o-------------------------o-------------------------o-------------------------o
+
|      |    f      |  Ef | xy  | Ef | x(y)  | Ef | (x)y  | Ef | (x)(y)|
−
|                         |                         |                         |
+
|      |            |            |            |            |            |
−
| !X!                    | !`X`!                  | !A!                    |
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
|                         |                         |                         |
+
|     |           |           |           |           |           |
−
| {x_1, ..., x_n}        | {`x`_1, ..., `x`_n}     | {a_1, ..., a_n}        |
+
| f_0  |     ()    |     ()    |     ()    |     ()    |     ()     |
−
|                         |                         |                         |
+
|     |           |           |           |           |           |
−
| cardinality n          | cardinality n          | cardinality n          |
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
o-------------------------o-------------------------o-------------------------o
+
|     |           |           |           |           |           |
−
|                         |                         |                         |
+
| f_1  |   (x)(y)   |   dx  dy  |   dx (dy)  | (dx) dy  | (dx)(dy)  |
−
| X_i                    | `X`_i                  | A_i                    |
+
|     |            |            |            |           |           |
−
|                         |                         |                        |
+
| f_2  |  (x) y    |  dx (dy)  |  dx  dy  |  (dx)(dy)  |  (dx) dy  |
−
| <|x_i|>                | {(`x`_i), `x`_i}        | {(a_i), a_i}            |
+
|      |            |            |            |            |            |
−
|                         |                         |                         |
+
| f_4  |    x (y)  |  (dx) dy  |  (dx)(dy)  |  dx  dy  |   dx (dy)  |
−
| isomorphic to K        | isomorphic to B        | isomorphic to B        |
+
|     |           |           |           |           |           |
−
o-------------------------o-------------------------o-------------------------o
+
| f_8  |   x  y    | (dx)(dy)  | (dx) dy  |   dx (dy)  |   dx  dy  |
−
|                         |                         |                        |
+
|     |           |           |           |           |           |
−
| X                      | `X`                    | A                      |
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
|                         |                         |                        |
+
|     |           |           |           |           |           |
−
| <|!X!|>                | <|!`X`!|>              | <|!A!|>                |
+
| f_3  |   (x)      |   dx      |   dx      | (dx)      | (dx)      |
−
|                         |                         |                         |
+
|     |            |           |           |           |           |
−
| <|x_1, ..., x_n|>      | <|`x`_1, ..., `x`_n|>  | <|a_1, ..., a_n|>      |
+
| f_12 |   x       | (dx)      |  (dx)      |  dx       |   dx       |
−
|                        |                        |                        |
+
|      |            |            |            |            |            |
−
| {<x_1, ..., x_n>}      | {<`x`_1, ..., `x`_n>}  | {<a_1, ..., a_n>}      |
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
|                         |                         |                         |
+
|     |           |           |           |           |           |
−
| X_1 x ... x X_n        | `X`_1 x ... x `X`_n    | A_1 x ... x A_n        |
+
| f_6  |   (x, y)  | (dx, dy) | ((dx, dy)) | ((dx, dy)) | (dx, dy)  |
−
|                         |                         |                        |
+
|     |           |           |           |           |           |
−
| Prod_i X_i              | Prod_i `X`_i           | Prod_i A_i              |
+
| f_9  |  ((x, y))  | ((dx, dy)) |  (dx, dy)  |  (dx, dy)  | ((dx, dy)) |
−
|                         |                         |                         |
+
|      |            |            |            |            |            |
−
| isomorphic to K^n       | isomorphic to B^n       | isomorphic to B^n       |
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
o-------------------------o-------------------------o-------------------------o
+
|     |           |           |           |           |           |
−
|                         |                         |                         |
+
| f_5  |      (y)   |       dy  |      (dy) |       dy  |      (dy) |
−
| X*                      | `X`*                    | A*                      |
+
|     |            |           |           |            |            |
−
|                         |                         |                        |
+
| f_10 |      y    |      (dy) |       dy  |      (dy) |       dy  |
−
| (hom : X -> K)         | (hom : `X` -> B)       | (hom : A -> B)         |
+
|      |            |            |            |            |            |
−
|                         |                         |                         |
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
| isomorphic to K^n      | isomorphic to B^n      | isomorphic to B^n      |
+
|     |           |           |           |           |           |
−
o-------------------------o-------------------------o-------------------------o
+
| f_7  |   (x  y)  | ((dx)(dy)) | ((dx) dy)  | (dx (dy)) | (dx  dy)  |
−
|                        |                        |                        |
+
|     |           |           |           |           |           |
−
| X^                      | `X`^                    | A^                      |
+
| f_11 |   (x (y))  | ((dx) dy)  | ((dx)(dy)) | (dx  dy) | (dx (dy)) |
−
|                         |                         |                        |
+
|     |           |           |           |           |           |
−
| (X -> K)               | (`X` -> B)             | (A -> B)               |
+
| f_13 | ((x) y)   | (dx (dy)) |  (dx  dy)  | ((dx)(dy)) | ((dx) dy) |
−
|                         |                         |                         |
+
|     |           |           |           |           |           |
−
| isomorphic to (K^n -> K)| isomorphic to (B^n -> B)| isomorphic to (B^n -> B)|
+
| f_14 | ((x)(y))  | (dx  dy)  | (dx (dy)) | ((dx) dy) | ((dx)(dy)) |
−
o-------------------------o-------------------------o-------------------------o
+
|     |            |            |           |           |            |
−
|                         |                         |                         |
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
| X%                      | `X`%                    | A%                      |
+
|     |            |            |            |           |           |
−
|                         |                         |                         |
+
| f_15 |    (())    |    (())    |    (())    |    (())    |    (())    |
−
| [!X!]                  | [!`X`!]                | [!A!]                  |
+
|      |            |            |            |            |            |
−
|                         |                         |                         |
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
| [x_1, ..., x_n]        | [`x`_1, ..., `x`_n]    | [a_1, ..., a_n]        |
+
</pre>
−
|                         |                         |                        |
 
−
| (X, X^)                 | (`X`, `X`^)             | (A, A^)                 |
 
−
|                         |                         |                         |
 
−
| (X +-> K)              | (`X` +-> B)            | (A +-> B)              |
 
−
|                         |                        |                        |
 
−
| (X, (X -> K))           | (`X`, (`X` -> B))       | (A, (A -> B))           |
 
−
|                         |                         |                         |
 
−
| isomorphic to:          | isomorphic to:          | isomorphic to:          |
 
−
|                         |                         |                        |
 
−
| (K^n, (K^n -> K))       | (B^n, (B^n -> B))       | (B^n, (B^n -> K))       |
 
−
|                         |                         |                         |
 
−
| (K^n +-> K)            | (B^n +-> B)            | (B^n +-> B)            |
 
−
|                        |                        |                        |
 
−
| [K^n]                  | [B^n]                  | [B^n]                  |
 
−
o-------------------------o-------------------------o-------------------------o
 
−
</pre>
 
−
 
 
−
<font face="courier new">
 
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:96%"
 
−
|+ '''Table 5.  A Bridge Over Troubled Waters'''
 
−
|- style="background:paleturquoise"
 
−
! Linear Space
 
−
! Liminal Space
 
−
! Logical Space
 
−
|-
 
−
|
 
−
<font face="lucida calligraphy">X</font><br>
 
−
{''x''<sub>1</sub>, &hellip;, ''x''<sub>''n''</sub>}<br>
 
−
cardinality ''n''
 
−
|
 
−
<font face="lucida calligraphy"><u>X</u></font><br>
 
−
{<u>''x''</u><sub>1</sub>, &hellip;, <u>''x''</u><sub>''n''</sub>}<br>
 
−
cardinality ''n''
 
−
|
 
−
<font face="lucida calligraphy">A</font><br>
 
−
{''a''<sub>1</sub>, &hellip;, ''a''<sub>''n''</sub>}<br>
 
−
cardinality ''n''
 
−
|-
 
−
|
 
−
''X''<sub>''i''</sub><br>
 
−
〈''x''<sub>''i''</sub>〉<br>
 
−
isomorphic to '''K'''
 
−
|
 
−
<u>''X''</u><sub>''i''</sub><br>
 
−
{(<u>''x''</u><sub>''i''</sub>), <u>''x''</u><sub>''i''</sub>}<br>
 
−
isomorphic to '''B'''
 
−
|
 
−
''A''<sub>''i''</sub><br>
 
−
{(''a''<sub>''i''</sub>), ''a''<sub>''i''</sub>}<br>
 
−
isomorphic to '''B'''
 
−
|-
 
−
|
 
−
''X''<br>
 
−
〈<font face="lucida calligraphy">X</font>〉<br>
 
−
〈''x''<sub>1</sub>, &hellip;, ''x''<sub>''n''</sub>〉<br>
 
−
{‹''x''<sub>1</sub>, &hellip;, ''x''<sub>''n''</sub>›}<br>
 
−
''X''<sub>1</sub> &times; &hellip; &times; ''X''<sub>''n''</sub><br>
 
−
&prod;<sub>''i''</sub> ''X''<sub>''i''</sub><br>
 
−
isomorphic to '''K'''<sup>''n''</sup>
 
−
|
 
−
<u>''X''</u><br>
 
−
〈<font face="lucida calligraphy"><u>X</u></font>〉<br>
 
−
〈<u>''x''</u><sub>1</sub>, &hellip;, <u>''x''</u><sub>''n''</sub>〉<br>
 
−
{‹<u>''x''</u><sub>1</sub>, &hellip;, <u>''x''</u><sub>''n''</sub>›}<br>
 
−
<u>''X''</u><sub>1</sub> &times; &hellip; &times; <u>''X''</u><sub>''n''</sub><br>
 
−
&prod;<sub>''i''</sub> <u>''X''</u><sub>''i''</sub><br>
 
−
isomorphic to '''B'''<sup>''n''</sup>
 
−
|
 
−
''A''<br>
 
−
〈<font face="lucida calligraphy">A</font>〉<br>
 
−
〈''a''<sub>1</sub>, &hellip;, ''a''<sub>''n''</sub>〉<br>
 
−
{‹''a''<sub>1</sub>, &hellip;, ''a''<sub>''n''</sub>›}<br>
 
−
''A''<sub>1</sub> &times; &hellip; &times; ''A''<sub>''n''</sub><br>
 
−
&prod;<sub>''i''</sub> ''A''<sub>''i''</sub><br>
 
−
isomorphic to '''B'''<sup>''n''</sup>
 
−
|-
 
−
|
 
−
''X''*<br>
 
−
(hom : ''X'' &rarr; '''K''')<br>
 
−
isomorphic to '''K'''<sup>''n''</sup>
 
−
|
 
−
<u>''X''</u>*<br>
 
−
(hom : <u>''X''</u> &rarr; '''B''')<br>
 
−
isomorphic to '''B'''<sup>''n''</sup>
 
−
|
 
−
''A''*<br>
 
−
(hom : ''A'' &rarr; '''B''')<br>
 
−
isomorphic to '''B'''<sup>''n''</sup>
 
−
|-
 
−
|
 
−
''X''^<br>
 
−
(''X'' &rarr; '''K''')<br>
 
−
isomorphic to:<br>
 
−
('''K'''<sup>''n''</sup> &rarr; '''K''')
 
−
|
 
−
<u>''X''</u>^<br>
 
−
(<u>''X''</u> &rarr; '''B''')<br>
 
−
isomorphic to:<br>
 
−
('''B'''<sup>''n''</sup> &rarr; '''B''')
 
−
|
 
−
''A''^<br>
 
−
(''A'' &rarr; '''B''')<br>
 
−
isomorphic to:<br>
 
−
('''B'''<sup>''n''</sup> &rarr; '''B''')
 
−
|-
 
−
|
 
−
''X''<sup>&bull;</sup><br>
 
−
[<font face="lucida calligraphy">X</font>]<br>
 
−
[''x''<sub>1</sub>, &hellip;, ''x''<sub>''n''</sub>]<br>
 
−
(''X'', ''X''^)<br>
 
−
(''X'' +&rarr; '''K''')<br>
 
−
(''X'', (''X'' &rarr; '''K'''))<br>
 
−
isomorphic to:<br>
 
−
('''K'''<sup>''n''</sup>, ('''K'''<sup>''n''</sup> &rarr; '''K'''))<br>
 
−
('''K'''<sup>''n''</sup> +&rarr; '''K''')<br>
 
−
['''K'''<sup>''n''</sup>]
 
−
|
 
−
<u>''X''</u><sup>&bull;</sup><br>
 
−
[<font face="lucida calligraphy"><u>X</u></font>]<br>
 
−
[<u>''x''</u><sub>1</sub>, &hellip;, <u>''x''</u><sub>''n''</sub>]<br>
 
−
(<u>''X''</u>, <u>''X''</u>^)<br>
 
−
(<u>''X''</u> +&rarr; '''B''')<br>
 
−
(<u>''X''</u>, (<u>''X''</u> &rarr; '''B'''))<br>
 
−
isomorphic to:<br>
 
−
('''B'''<sup>''n''</sup>, ('''B'''<sup>''n''</sup> &rarr; '''B'''))<br>
 
−
('''B'''<sup>''n''</sup> +&rarr; '''B''')<br>
 
−
['''B'''<sup>''n''</sup>]
 
−
|
 
−
''A''<sup>&bull;</sup><br>
 
−
[<font face="lucida calligraphy">A</font>]<br>
 
−
[''a''<sub>1</sub>, &hellip;, ''a''<sub>''n''</sub>]<br>
 
−
(''A'', ''A''^)<br>
 
−
(''A'' +&rarr; '''B''')<br>
 
−
(''A'', (''A'' &rarr; '''B'''))<br>
 
−
isomorphic to:<br>
 
−
('''B'''<sup>''n''</sup>, ('''B'''<sup>''n''</sup> &rarr; '''B'''))<br>
 
−
('''B'''<sup>''n''</sup> +&rarr; '''B''')<br>
 
−
['''B'''<sup>''n''</sup>]
 
−
|}
 
−
</font><br>
 
−
 
 
−
===Table 6.  Propositional Forms on One Variable===
 
  
 
<pre>
 
<pre>
−
Table 6.  Propositional Forms on One Variable
+
Table A6.  Df Expanded Over Ordinary Features {x, y}
−
o---------o---------o---------o----------o------------------o----------o
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
| L_1     | L_2     | L_3     | L_4     | L_5              | L_6     |
+
|      |            |            |            |            |            |
−
|         |         |         |         |                 |         |
+
|      |    f      |  Df | xy  | Df | x(y)  | Df | (x)y  | Df | (x)(y)|
−
| Decimal | Binary | Vector | Cactus   | English          | Ordinary |
+
|      |            |            |            |            |            |
−
o---------o---------o---------o----------o------------------o----------o
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
|         |      x :   1 0   |         |                 |         |
+
|     |            |            |            |            |            |
−
o---------o---------o---------o----------o------------------o----------o
+
| f_0  |    ()     |     ()     |     ()     |     ()    |    ()    |
−
|         |         |         |         |                 |         |
+
|     |           |            |            |            |            |
−
| f_0    | f_00   |  0 0   |  ( )   | false           |   0    |
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
|         |         |         |         |                 |         |
+
|      |            |            |            |            |            |
−
| f_1    |  f_01   |  0 1   |  (x)   | not x            |  ~x    |
+
| f_1  |   (x)(y)  |   dx  dy  |   dx (dy)  |  (dx) dy  | ((dx)(dy)) |
−
|         |         |         |         |                 |         |
+
|      |            |            |            |            |            |
−
| f_2    |  f_10   |  1 0   |   x    | x                |    x    |
+
| f_2  |  (x) y    |  dx (dy)  |  dx  dy  | ((dx)(dy)) |  (dx) dy  |
−
|         |         |         |         |                 |         |
+
|      |            |            |            |            |            |
−
| f_3    |  f_11   |  1 1   | (( ))   | true            |    1     |
+
| f_4  |    x (y)  |  (dx) dy  | ((dx)(dy)) |  dx  dy  |  dx (dy)  |
−
|         |         |         |         |                 |         |
+
|      |            |            |           |           |            |
−
o---------o---------o---------o----------o------------------o----------o
+
| f_8  |   x y    | ((dx)(dy)) |  (dx) dy  |  dx (dy)  |  dx  dy  |
 +
|      |            |            |            |           |           |
 +
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
 +
|     |            |            |            |            |            |
 +
| f_3  |  (x)      |  dx      |   dx       |  dx      |  dx      |
 +
|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_12 |    x       |  dx      |  dx      |   dx      |   dx      |
 +
|     |            |           |            |            |            |
 +
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
 +
|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_6  |  (x, y)  |  (dx, dy)  |  (dx, dy)  |  (dx, dy)  |  (dx, dy)  |
 +
|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_9  |  ((x, y))  |  (dx, dy)  |  (dx, dy)  |  (dx, dy)  |  (dx, dy)  |
 +
|      |            |            |            |            |            |
 +
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
 +
|     |           |           |           |           |           |
 +
| f_5  |      (y)  |       dy   |       dy   |      dy   |       dy   |
 +
|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_10 |      y   |       dy  |      dy  |      dy  |      dy  |
 +
|      |            |           |           |            |            |
 +
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
 +
|     |           |           |           |           |           |
 +
| f_7  |   (x y)   | ((dx)(dy)) |  (dx) dy   |   dx (dy)  |  dx  dy  |
 +
|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_11 |  (x (y))  |  (dx) dy  | ((dx)(dy)) |   dx  dy  |  dx (dy)  |
 +
|     |           |           |           |           |           |
 +
| f_13 |  ((x) y)   |  dx (dy)  |  dx  dy   | ((dx)(dy)) | (dx) dy  |
 +
|     |           |           |           |           |           |
 +
| f_14 |  ((x)(y))  |   dx dy   |  dx (dy)  |  (dx) dy   | ((dx)(dy)) |
 +
|      |            |            |            |            |            |
 +
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
 +
|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_15 |    (())    |    ()    |    ()    |    ()    |    ()     |
 +
|     |           |           |           |           |           |
 +
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
 
</pre>
 
</pre>
  
−
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
+
<pre>
−
|+ '''Table 6. Propositional Forms on One Variable'''
+
o----------o----------o----------o----------o----------o
−
|- style="background:paleturquoise"
+
|          %          |          |          |          |
−
! style="width:16%" | L<sub>1</sub><br>Decimal
+
|    ·    %  T_00  |  T_01  |  T_10  |  T_11  |
−
! style="width:16%" | L<sub>2</sub><br>Binary
+
|          %          |          |          |          |
−
! style="width:16%" | L<sub>3</sub><br>Vector
+
o==========o==========o==========o==========o==========o
−
! style="width:16%" | L<sub>4</sub><br>Cactus
+
|          %          |          |          |          |
−
! style="width:16%" | L<sub>5</sub><br>English
+
|  T_00  %  T_00  |  T_01  |  T_10  |  T_11  |
−
! style="width:16%" | L<sub>6</sub><br>Ordinary
+
|          %          |          |          |          |
−
|- style="background:paleturquoise"
+
o----------o----------o----------o----------o----------o
 +
|          %          |          |          |          |
 +
|  T_01  %  T_01  |  T_00  |  T_11  |  T_10  |
 +
|          %          |          |          |          |
 +
o----------o----------o----------o----------o----------o
 +
|          %          |          |          |          |
 +
|  T_10  %  T_10  |  T_11  |  T_00  |  T_01  |
 +
|          %          |          |          |          |
 +
o----------o----------o----------o----------o----------o
 +
|          %          |          |          |          |
 +
|  T_11  %  T_11  |  T_10  |  T_01  |  T_00  |
 +
|          %          |          |          |          |
 +
o----------o----------o----------o----------o----------o
 +
</pre>
 +
 
 +
<pre>
 +
o---------o---------o---------o---------o---------o
 +
|        %        |        |        |        |
 +
|    ·    %    e    |    f    |    g    |    h    |
 +
|        %        |        |        |        |
 +
o=========o=========o=========o=========o=========o
 +
|        %        |        |        |        |
 +
|    e    %    e    |    f    |    g    |    h    |
 +
|        %        |        |        |        |
 +
o---------o---------o---------o---------o---------o
 +
|        %        |        |        |        |
 +
|    f    %    f    |    e    |    h    |    g    |
 +
|        %        |        |        |        |
 +
o---------o---------o---------o---------o---------o
 +
|        %        |        |        |        |
 +
|    g    %    g    |    h    |    e    |    f    |
 +
|        %        |        |        |        |
 +
o---------o---------o---------o---------o---------o
 +
|        %        |        |        |        |
 +
|    h    %    h    |    g    |    f    |    e    |
 +
|        %        |        |        |        |
 +
o---------o---------o---------o---------o---------o
 +
</pre>
 +
 
 +
<pre>
 +
Permutation Substitutions in Sym {A, B, C}
 +
o---------o---------o---------o---------o---------o---------o
 +
|        |        |        |        |        |        |
 +
|    e    |    f    |    g    |    h    |    i    |    j    |
 +
|        |        |        |        |        |        |
 +
o=========o=========o=========o=========o=========o=========o
 +
|        |        |        |        |        |        |
 +
|  A B C  |  A B C  |  A B C  |  A B C  |  A B C  |  A B C  |
 +
|        |        |        |        |        |        |
 +
|  | | |  |  | | |  |  | | |  |  | | |  |  | | |  |  | | |  |
 +
|  v v v  |  v v v  |  v v v  |  v v v  |  v v v  |  v v v  |
 +
|        |        |        |        |        |        |
 +
|  A B C  |  C A B  |  B C A  |  A C B  |  C B A  |  B A C  |
 +
|        |        |        |        |        |        |
 +
o---------o---------o---------o---------o---------o---------o
 +
</pre>
 +
 
 +
<pre>
 +
Matrix Representations of Permutations in Sym(3)
 +
o---------o---------o---------o---------o---------o---------o
 +
|        |        |        |        |        |        |
 +
|    e    |    f    |    g    |    h    |    i    |    j    |
 +
|        |        |        |        |        |        |
 +
o=========o=========o=========o=========o=========o=========o
 +
|        |        |        |        |        |        |
 +
|  1 0 0  |  0 0 1  |  0 1 0  |  1 0 0  |  0 0 1  |  0 1 0  |
 +
|  0 1 0  |  1 0 0  |  0 0 1  |  0 0 1  |  0 1 0  |  1 0 0  |
 +
|  0 0 1  |  0 1 0  |  1 0 0  |  0 1 0  |  1 0 0  |  0 0 1  |
 +
|        |        |        |        |        |        |
 +
o---------o---------o---------o---------o---------o---------o
 +
</pre>
 +
 
 +
<pre>
 +
Symmetric Group S_3
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|                                                |
 +
|                        ^                        |
 +
|                    e / \ e                    |
 +
|                      /  \                      |
 +
|                    /  e  \                    |
 +
|                  f / \  / \ f                  |
 +
|                  /  \ /  \                  |
 +
|                  /  f  \  f  \                  |
 +
|              g / \  / \  / \ g              |
 +
|                /  \ /  \ /  \                |
 +
|              /  g  \  g  \  g  \              |
 +
|            h / \  / \  / \  / \ h            |
 +
|            /  \ /  \ /  \ /  \            |
 +
|            /  h  \  e  \  e  \  h  \            |
 +
|        i / \  / \  / \  / \  / \ i        |
 +
|          /  \ /  \ /  \ /  \ /  \          |
 +
|        /  i  \  i  \  f  \  j  \  i  \        |
 +
|      j / \  / \  / \  / \  / \  / \ j      |
 +
|      /  \ /  \ /  \ /  \ /  \ /  \      |
 +
|      (  j  \  j  \  j  \  i  \  h  \  j  )      |
 +
|      \  / \  / \  / \  / \  / \  /      |
 +
|        \ /  \ /  \ /  \ /  \ /  \ /        |
 +
|        \  h  \  h  \  e  \  j  \  i  /        |
 +
|          \  / \  / \  / \  / \  /          |
 +
|          \ /  \ /  \ /  \ /  \ /          |
 +
|            \  i  \  g  \  f  \  h  /            |
 +
|            \  / \  / \  / \  /            |
 +
|              \ /  \ /  \ /  \ /              |
 +
|              \  f  \  e  \  g  /              |
 +
|                \  / \  / \  /                |
 +
|                \ /  \ /  \ /                |
 +
|                  \  g  \  f  /                  |
 +
|                  \  / \  /                  |
 +
|                    \ /  \ /                    |
 +
|                    \  e  /                    |
 +
|                      \  /                      |
 +
|                      \ /                      |
 +
|                        v                        |
 +
|                                                |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
</pre>
 +
 
 +
===Wiki Tables : New Versions===
 +
 
 +
====Propositional Forms on Two Variables====
 +
 
 +
<br>
 +
 
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:#f8f8ff; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
 +
|+ '''Table A1.&nbsp; Propositional Forms on Two Variables'''
 +
|- style="background:#f0f0ff"
 +
! width="15%" | L<sub>1</sub>
 +
! width="15%" | L<sub>2</sub>
 +
! width="15%" | L<sub>3</sub>
 +
! width="15%" | L<sub>4</sub>
 +
! width="25%" | L<sub>5</sub>
 +
! width="15%" | L<sub>6</sub>
 +
|- style="background:#f0f0ff"
 
| &nbsp;
 
| &nbsp;
 
| align="right" | x :
 
| align="right" | x :
−
| 1 0  
+
| 1 1 0 0
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
|- style="background:#f0f0ff"
 +
| &nbsp;
 +
| align="right" | y :
 +
| 1 0 1 0
 
| &nbsp;
 
| &nbsp;
 
| &nbsp;
 
| &nbsp;
Line 918: Line 1,236:
 
|-
 
|-
 
| f<sub>0</sub>
 
| f<sub>0</sub>
−
| f<sub>00</sub>
+
| f<sub>0000</sub>
−
| 0 0
+
| 0 0 0 0
−
| ( )
+
| (&nbsp;)
 
| false
 
| false
 
| 0
 
| 0
 
|-
 
|-
 
| f<sub>1</sub>
 
| f<sub>1</sub>
−
| f<sub>01</sub>
+
| f<sub>0001</sub>
−
| 0 1
+
| 0 0 0 1
 +
| (x)(y)
 +
| neither x nor y
 +
| &not;x &and; &not;y
 +
|-
 +
| f<sub>2</sub>
 +
| f<sub>0010</sub>
 +
| 0 0 1 0
 +
| (x) y
 +
| y and not x
 +
| &not;x &and; y
 +
|-
 +
| f<sub>3</sub>
 +
| f<sub>0011</sub>
 +
| 0 0 1 1
 
| (x)
 
| (x)
 
| not x
 
| not x
−
| ~x
+
| &not;x
 +
|-
 +
| f<sub>4</sub>
 +
| f<sub>0100</sub>
 +
| 0 1 0 0
 +
| x (y)
 +
| x and not y
 +
| x &and; &not;y
 +
|-
 +
| f<sub>5</sub>
 +
| f<sub>0101</sub>
 +
| 0 1 0 1
 +
| (y)
 +
| not y
 +
| &not;y
 +
|-
 +
| f<sub>6</sub>
 +
| f<sub>0110</sub>
 +
| 0 1 1 0
 +
| (x, y)
 +
| x not equal to y
 +
| x &ne; y
 +
|-
 +
| f<sub>7</sub>
 +
| f<sub>0111</sub>
 +
| 0 1 1 1
 +
| (x&nbsp;y)
 +
| not both x and y
 +
| &not;x &or; &not;y
 +
|-
 +
| f<sub>8</sub>
 +
| f<sub>1000</sub>
 +
| 1 0 0 0
 +
| x&nbsp;y
 +
| x and y
 +
| x &and; y
 +
|-
 +
| f<sub>9</sub>
 +
| f<sub>1001</sub>
 +
| 1 0 0 1
 +
| ((x, y))
 +
| x equal to y
 +
| x = y
 
|-
 
|-
−
| f<sub>2</sub>
 
 
| f<sub>10</sub>
 
| f<sub>10</sub>
−
| 1 0
+
| f<sub>1010</sub>
 +
| 1 0 1 0
 +
| y
 +
| y
 +
| y
 +
|-
 +
| f<sub>11</sub>
 +
| f<sub>1011</sub>
 +
| 1 0 1 1
 +
| (x (y))
 +
| not x without y
 +
| x &rArr; y
 +
|-
 +
| f<sub>12</sub>
 +
| f<sub>1100</sub>
 +
| 1 1 0 0
 
| x
 
| x
 
| x
 
| x
 
| x
 
| x
 
|-
 
|-
−
| f<sub>3</sub>
+
| f<sub>13</sub>
−
| f<sub>11</sub>
+
| f<sub>1101</sub>
−
| 1 1
+
| 1 1 0 1
−
| (( ))
+
| ((x) y)
−
| true
+
| not y without x
−
| 1
+
| x &lArr; y
 +
|-
 +
| f<sub>14</sub>
 +
| f<sub>1110</sub>
 +
| 1 1 1 0
 +
| ((x)(y))
 +
| x or y
 +
| x &or; y
 +
|-
 +
| f<sub>15</sub>
 +
| f<sub>1111</sub>
 +
| 1 1 1 1
 +
| ((&nbsp;))
 +
| true || 1
 
|}
 
|}
 +
 
<br>
 
<br>
  
−
===Table 7.  Propositional Forms on Two Variables===
+
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:#f8f8ff; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
−
 
+
|+ '''Table A2.&nbsp; Propositional Forms on Two Variables'''
−
<pre>
+
|- style="background:#f0f0ff"
−
Table 7.  Propositional Forms on Two Variables
+
! width="15%" | L<sub>1</sub>
−
o---------o---------o---------o----------o------------------o----------o
+
! width="15%" | L<sub>2</sub>
−
| L_1    | L_2    | L_3    | L_4      | L_5              | L_6      |
+
! width="15%" | L<sub>3</sub>
−
|        |        |        |          |                  |          |
+
! width="15%" | L<sub>4</sub>
−
| Decimal | Binary  | Vector  | Cactus  | English          | Ordinary |
+
! width="25%" | L<sub>5</sub>
−
o---------o---------o---------o----------o------------------o----------o
+
! width="15%" | L<sub>6</sub>
−
|        |      x : 1 1 0 0 |          |                  |          |
+
|- style="background:#f0f0ff"
−
|        |      y : 1 0 1 0 |          |                  |          |
+
| &nbsp;
−
o---------o---------o---------o----------o------------------o----------o
+
| align="right" | x :
−
|        |        |        |          |                  |          |
+
| 1 1 0 0  
−
| f_0    | f_0000  | 0 0 0 0 |    ()    | false            |    0    |
+
| &nbsp;
−
|        |        |        |          |                  |          |
+
| &nbsp;
−
| f_1    | f_0001  | 0 0 0 1 |  (x)(y)  | neither x nor y  | ~x & ~y  |
+
| &nbsp;
−
|        |        |        |          |                  |          |
+
|- style="background:#f0f0ff"
−
| f_2    | f_0010  | 0 0 1 0 |  (x) y  | y and not x      | ~x &  y  |
+
| &nbsp;
−
|        |        |        |          |                  |          |
+
| align="right" | y :
−
| f_3    | f_0011  | 0 0 1 1 |  (x)    | not x            | ~x      |
+
| 1 0 1 0
−
|        |        |        |          |                  |          |
 
−
| f_4    | f_0100  | 0 1 0 0 |  x (y)  | x and not y      |  x & ~y  |
 
−
|        |        |        |          |                  |          |
 
−
| f_5    | f_0101  | 0 1 0 1 |    (y)  | not y            |      ~y  |
 
−
|        |        |        |          |                  |          |
 
−
| f_6    | f_0110  | 0 1 1 0 |  (x, y)  | x not equal to y |  x +  y  |
 
−
|        |        |        |          |                  |          |
 
−
| f_7    | f_0111  | 0 1 1 1 |  (x  y)  | not both x and y | ~x v ~y  |
 
−
|        |        |        |          |                  |          |
 
−
| f_8    | f_1000  | 1 0 0 0 |  x  y  | x and y          |  x &  y  |
 
−
|        |        |        |          |                  |          |
 
−
| f_9    | f_1001  | 1 0 0 1 | ((x, y)) | x equal to y    |  x =  y  |
 
−
|        |        |        |          |                  |          |
 
−
| f_10    | f_1010  | 1 0 1 0 |      y  | y                |      y  |
 
−
|        |        |        |          |                  |          |
 
−
| f_11    | f_1011  | 1 0 1 1 |  (x (y)) | not x without y  |  x => y  |
 
−
|        |        |        |          |                  |          |
 
−
| f_12    | f_1100  | 1 1 0 0 |  x      | x                |  x      |
 
−
|        |        |        |          |                  |          |
 
−
| f_13    | f_1101  | 1 1 0 1 | ((x) y)  | not y without x  |  x <= y  |
 
−
|        |        |        |          |                  |          |
 
−
| f_14    | f_1110  | 1 1 1 0 | ((x)(y)) | x or y          |  x v  y  |
 
−
|        |        |        |          |                  |          |
 
−
| f_15    | f_1111  | 1 1 1 1 |  (())  | true            |    1    |
 
−
|        |        |        |          |                  |          |
 
−
o---------o---------o---------o----------o------------------o----------o
 
−
</pre>
 
−
 
 
−
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
 
−
|+ '''Table 7. Propositional Forms on Two Variables'''
 
−
|- style="background:paleturquoise"
 
−
! style="width:16%" | L<sub>1</sub><br>Decimal
 
−
! style="width:16%" | L<sub>2</sub><br>Binary
 
−
! style="width:16%" | L<sub>3</sub><br>Vector
 
−
! style="width:16%" | L<sub>4</sub><br>Cactus
 
−
! style="width:16%" | L<sub>5</sub><br>English
 
−
! style="width:16%" | L<sub>6</sub><br>Ordinary
 
−
|- style="background:paleturquoise"
 
−
| &nbsp;
 
−
| align="right" | x :
 
−
| 1 1 0 0  
 
−
| &nbsp;
 
−
| &nbsp;
 
−
| &nbsp;
 
−
|- style="background:paleturquoise"
 
−
| &nbsp;
 
−
| align="right" | y :
 
−
| 1 0 1 0
 
 
| &nbsp;
 
| &nbsp;
 
| &nbsp;
 
| &nbsp;
 
| &nbsp;
 
| &nbsp;
 
|-
 
|-
−
| f<sub>0</sub> || f<sub>0000</sub> || 0 0 0 0 || (&nbsp;) || false || 0
+
| f<sub>0</sub>
 +
| f<sub>0000</sub>
 +
| 0 0 0 0
 +
| (&nbsp;)
 +
| false
 +
| 0
 +
|-
 +
|
 +
{| align="center"
 +
|
 +
<p>f<sub>1</sub></p>
 +
<p>f<sub>2</sub></p>
 +
<p>f<sub>4</sub></p>
 +
<p>f<sub>8</sub></p>
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center"
 +
|
 +
<p>f<sub>0001</sub></p>
 +
<p>f<sub>0010</sub></p>
 +
<p>f<sub>0100</sub></p>
 +
<p>f<sub>1000</sub></p>
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center"
 +
|
 +
<p>0 0 0 1</p>
 +
<p>0 0 1 0</p>
 +
<p>0 1 0 0</p>
 +
<p>1 0 0 0</p>
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center"
 +
|
 +
<p>(x)(y)</p>
 +
<p>(x) y </p>
 +
<p> x (y)</p>
 +
<p> x  y </p>
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center"
 +
|
 +
<p>neither x nor y</p>
 +
<p>not x but y</p>
 +
<p>x but not y</p>
 +
<p>x and y</p>
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center"
 +
|
 +
<p>&not;x &and; &not;y</p>
 +
<p>&not;x &and; y</p>
 +
<p>x &and; &not;y</p>
 +
<p>x &and; y</p>
 +
|}
 
|-
 
|-
−
| f<sub>1</sub> || f<sub>0001</sub> || 0 0 0 1 || (x)(y) || neither x nor y || &not;x &and; &not;y
+
|
 +
{| align="center"
 +
|
 +
<p>f<sub>3</sub></p>
 +
<p>f<sub>12</sub></p>
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center"
 +
|
 +
<p>f<sub>0011</sub></p>
 +
<p>f<sub>1100</sub></p>
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center"
 +
|
 +
<p>0 0 1 1</p>
 +
<p>1 1 0 0</p>
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center"
 +
|
 +
<p>(x)</p>
 +
<p> x </p>
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center"
 +
|
 +
<p>not x</p>
 +
<p>x</p>
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center"
 +
|
 +
<p>&not;x</p>
 +
<p>x</p>
 +
|}
 
|-
 
|-
−
| f<sub>2</sub> || f<sub>0010</sub> || 0 0 1 0 || (x) y || y and not x || &not;x &and; y
+
|
−
|-
+
{| align="center"
−
| f<sub>3</sub> || f<sub>0011</sub> || 0 0 1 1 || (x) || not x || &not;x
+
|
−
|-
+
<p>f<sub>6</sub></p>
−
| f<sub>4</sub> || f<sub>0100</sub> || 0 1 0 0 || x (y) || x and not y || x &and; &not;y
+
<p>f<sub>9</sub></p>
−
|-
 
−
| f<sub>5</sub> || f<sub>0101</sub> || 0 1 0 1 || (y) || not y || &not;y
 
−
|-
 
−
| f<sub>6</sub> || f<sub>0110</sub> || 0 1 1 0 || (x, y) || x not equal to y || x &ne; y
 
−
|-
 
−
| f<sub>7</sub> || f<sub>0111</sub> || 0 1 1 1 || (x&nbsp;y) || not both x and y || &not;x &or; &not;y
 
−
|-
 
−
| f<sub>8</sub> || f<sub>1000</sub> || 1 0 0 0 || x&nbsp;y || x and y || x &and; y
 
−
|-
 
−
| f<sub>9</sub> || f<sub>1001</sub> || 1 0 0 1 || ((x, y)) || x equal to y || x = y
 
−
|-
 
−
| f<sub>10</sub> || f<sub>1010</sub> || 1 0 1 0 || y || y || y
 
−
|-
 
−
| f<sub>11</sub> || f<sub>1011</sub> || 1 0 1 1 || (x (y)) || not x without y || x &rarr; y
 
−
|-
 
−
| f<sub>12</sub> || f<sub>1100</sub> || 1 1 0 0 || x || x || x
 
−
|-
 
−
| f<sub>13</sub> || f<sub>1101</sub> || 1 1 0 1 || ((x) y) || not y without x || x &larr; y
 
−
|-
 
−
| f<sub>14</sub> || f<sub>1110</sub> || 1 1 1 0 || ((x)(y)) || x or y  || x &or; y
 
−
|-
 
−
| f<sub>15</sub> || f<sub>1111</sub> || 1 1 1 1 || ((&nbsp;)) || true || 1
 
 
|}
 
|}
−
<br>
 
−
 
−
===Table 8.  Notation for the Differential Extension of Propositional Calculus===
 
−
 
−
<pre>
 
−
Table 8.  Notation for the Differential Extension of Propositional Calculus
 
−
o---------o-------------------o-------------------o-------------------o
 
−
| Symbol  | Notation          | Description      | Type              |
 
−
o---------o-------------------o-------------------o-------------------o
 
−
| d!A!    | {da_1, ..., da_n} | Alphabet of      | [n]  =  #n#      |
 
−
|        |                  | differential      |                  |
 
−
|        |                  | features          |                  |
 
−
o---------o-------------------o-------------------o-------------------o
 
−
| dA_i    | {(da_i), da_i}    | Differential      |  D                |
 
−
|        |                  | dimension i      |                  |
 
−
o---------o-------------------o-------------------o-------------------o
 
−
| dA      | <|d!A!|>          | Tangent space    |  D^n              |
 
−
|        | <|da_i,...,da_n|> | at a point:      |                  |
 
−
|        | {<da_i,...,da_n>} | Set of changes,  |                  |
 
−
|        | dA_1 x ... x dA_n | motions, steps,  |                  |
 
−
|        | Prod_i dA_i      | tangent vectors  |                  |
 
−
|        |                  | at a point        |                  |
 
−
o---------o-------------------o-------------------o-------------------o
 
−
| dA*    | (hom : dA -> B)  | Linear functions  | (D^n)*  ~=~  D^n  |
 
−
|        |                  | on dA            |                  |
 
−
o---------o-------------------o-------------------o-------------------o
 
−
| dA^    | (dA -> B)        | Boolean functions |  D^n -> B        |
 
−
|        |                  | on dA            |                  |
 
−
o---------o-------------------o-------------------o-------------------o
 
−
| dA%    | [d!A!]            | Tangent universe  | (D^n, (D^n -> B)) |
 
−
|        | (dA, dA^)        | at a point of A%, | (D^n +-> B)      |
 
−
|        | (dA +-> B)        | based on the      | [D^n]            |
 
−
|        | (dA, (dA -> B))  | tangent features  |                  |
 
−
|        | [da_1, ..., da_n] | {da_1, ..., da_n} |                  |
 
−
o---------o-------------------o-------------------o-------------------o
 
−
</pre>
 
−
 
−
<font face="courier new">
 
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:96%"
 
−
|+ '''Table 8.  Notation for the Differential Extension of Propositional Calculus'''
 
−
|- style="background:paleturquoise"
 
−
! Symbol
 
−
! Notation
 
−
! Description
 
−
! Type
 
−
|-
 
−
| d<font face="lucida calligraphy">A<font>
 
−
| {d''a''<sub>1</sub>, &hellip;, d''a''<sub>''n''</sub>}
 
 
|
 
|
−
Alphabet of<br>
+
{| align="center"
−
differential<br>
+
|
−
features
+
<p>f<sub>0110</sub></p>
−
| [''n''] = '''n'''
+
<p>f<sub>1001</sub></p>
−
|-
+
|}
−
| d''A''<sub>''i''</sub>
 
−
| {(d''a''<sub>''i''</sub>), d''a''<sub>''i''</sub>}
 
 
|
 
|
−
Differential<br>
+
{| align="center"
−
dimension ''i''
 
−
| '''D'''
 
−
|-
 
−
| d''A''
 
 
|
 
|
−
〈d<font face="lucida calligraphy">A</font>〉<br>
+
<p>0 1 1 0</p>
−
〈d''a''<sub>1</sub>, &hellip;, d''a''<sub>''n''</sub>〉<br>
+
<p>1 0 0 1</p>
−
{‹d''a''<sub>1</sub>, &hellip;, d''a''<sub>''n''</sub>›}<br>
+
|}
−
d''A''<sub>1</sub> &times; &hellip; &times; d''A''<sub>''n''</sub><br>
 
−
&prod;<sub>''i''</sub> d''A''<sub>''i''</sub>
 
 
|
 
|
−
Tangent space<br>
+
{| align="center"
−
at a point:<br>
 
−
Set of changes,<br>
 
−
motions, steps,<br>
 
−
tangent vectors<br>
 
−
at a point
 
−
| '''D'''<sup>''n''</sup>
 
−
|-
 
−
| d''A''*
 
−
| (hom : d''A'' &rarr; '''B''')
 
 
|
 
|
−
Linear functions<br>
+
<p> (x, y) </p>
−
on d''A''
+
<p>((x, y))</p>
−
| ('''D'''<sup>''n''</sup>)* = '''D'''<sup>''n''</sup>
+
|}
−
|-
 
−
| d''A''^
 
−
| (d''A'' &rarr; '''B''')
 
 
|
 
|
−
Boolean functions<br>
+
{| align="center"
−
on d''A''
 
−
| '''D'''<sup>''n''</sup> &rarr; '''B'''
 
−
|-
 
−
| d''A''<sup>&bull;</sup>
 
 
|
 
|
−
[d<font face="lucida calligraphy">A</font>]<br>
+
<p>x not equal to y</p>
−
(d''A'', d''A''^)<br>
+
<p>x equal to y</p>
−
(d''A'' +&rarr; '''B''')<br>
+
|}
−
(d''A'', (d''A'' &rarr; '''B'''))<br>
 
−
[d''a''<sub>1</sub>, &hellip;, d''a''<sub>''n''</sub>]
 
 
|
 
|
−
Tangent universe<br>
+
{| align="center"
−
at a point of ''A''<sup>&bull;</sup>,<br>
 
−
based on the<br>
 
−
tangent features<br>
 
−
{d''a''<sub>1</sub>, &hellip;, d''a''<sub>''n''</sub>}
 
 
|
 
|
−
('''D'''<sup>''n''</sup>, ('''D'''<sup>''n''</sup> &rarr; '''B'''))<br>
+
<p>x &ne; y</p>
−
('''D'''<sup>''n''</sup> +&rarr; '''B''')<br>
+
<p>x = y</p>
−
['''D'''<sup>''n''</sup>]
 
 
|}
 
|}
−
</font><br>
+
|-
−
 
+
|
−
===Table 9.  Higher Order Differential Features===
+
{| align="center"
−
 
+
|
−
<pre>
+
<p>f<sub>5</sub></p>
−
Table 9.  Higher Order Differential Features
+
<p>f<sub>10</sub></p>
−
o----------------------------------------o----------------------------------------o
+
|}
−
|                                        |                                        |
+
|
−
| !A!  = d^0.!A! = {a_1, ..., a_n}      | E^0.!A!  = d^0.!A!                    |
+
{| align="center"
−
|                                        |                                        |
+
|
−
| d!A!  = d^1.!A! = {da_1, ..., da_n}    | E^1.!A!  = d^0.!A! |_| d^1.!A!        |
+
<p>f<sub>0101</sub></p>
−
|                                        |                                        |
+
<p>f<sub>1010</sub></p>
−
|        d^k.!A! = {d^k.a_1,...,d^k.a_n}| E^k.!A!  = d^0.!A! |_| ... |_| d^k.!A! |
+
|}
−
|                                        |                                        |
+
|
−
| d*!A! = {d^0.!A!, ..., d^k.!A!, ...}  | E^oo.!A! = |_| d*!A!                      |
+
{| align="center"
−
|                                        |                                        |
+
|
−
o----------------------------------------o----------------------------------------o
+
<p>0 1 0 1</p>
−
</pre>
+
<p>1 0 1 0</p>
−
 
+
|}
−
<font face="courier new">
+
|
−
{| align="center" border="1" cellpadding="10" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:96%"
+
{| align="center"
−
|+ '''Table 9.  Higher Order Differential Features'''
+
|
−
| width=50% |
+
<p>(y)</p>
−
<font face="lucida calligraphy">A</font> = d<sup>0</sup><font face="lucida calligraphy">A</font> = {''a''<sub>1</sub>, &hellip;, ''a''<sub>''n''</sub>}<br><br>
+
<p> y </p>
−
d<font face="lucida calligraphy">A</font> = d<sup>1</sup><font face="lucida calligraphy">A</font> = {d''a''<sub>1</sub>, &hellip;, d''a''<sub>''n''</sub>}<br><br>
+
|}
−
d<sup>''k''</sup><font face="lucida calligraphy">A</font> = {d<sup>''k''</sup>''a''<sub>''1''</sub>, &hellip;, d<sup>''k''</sup>''a''<sub>''n''</sub>}<br><br>
+
|
−
d<sup>*</sup><font face="lucida calligraphy">A</font> = {d<sup>0</sup><font face="lucida calligraphy">A</font>, &hellip;, d<sup>''k''</sup><font face="lucida calligraphy">A</font>, &hellip;}
+
{| align="center"
−
| width=50% |
+
|
−
E<sup>0</sup><font face="lucida calligraphy">A</font> = d<sup>0</sup><font face="lucida calligraphy">A</font><br><br>
+
<p>not y</p>
−
E<sup>1</sup><font face="lucida calligraphy">A</font> = d<sup>0</sup><font face="lucida calligraphy">A</font> &cup; d<sup>1</sup><font face="lucida calligraphy">A</font><br><br>
+
<p>y</p>
−
E<sup>''k''</sup><font face="lucida calligraphy">A</font> = d<sup>0</sup><font face="lucida calligraphy">A</font> &cup; &hellip; &cup; d<sup>''k''</sup><font face="lucida calligraphy">A</font><br><br>
 
−
E<sup>&infin;</sup><font face="lucida calligraphy">A</font> = &cup; d<sup>*</sup><font face="lucida calligraphy">A</font>
 
 
|}
 
|}
−
</font><br>
+
|
−
 
+
{| align="center"
−
<font face="courier new">
+
|
−
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:96%"
+
<p>&not;y</p>
−
|+ '''Table 9.  Higher Order Differential Features'''
+
<p>y</p>
−
| width=50% |
 
−
{| cellpadding="4" style="background:lightcyan"
 
−
| <font face="lucida calligraphy">A</font>
 
−
| =
 
−
| d<sup>0</sup><font face="lucida calligraphy">A</font>
 
−
| =
 
−
| {''a''<sub>1</sub>,
 
−
| &hellip;,
 
−
| ''a''<sub>''n''</sub>}
 
−
|-
 
−
| d<font face="lucida calligraphy">A</font>
 
−
| =
 
−
| d<sup>1</sup><font face="lucida calligraphy">A</font>
 
−
| =
 
−
| {d''a''<sub>1</sub>,
 
−
| &hellip;,
 
−
| d''a''<sub>''n''</sub>}
 
−
|-
 
−
| &nbsp;
 
−
| &nbsp;
 
−
| d<sup>''k''</sup><font face="lucida calligraphy">A</font>
 
−
| =
 
−
| {d<sup>''k''</sup>''a''<sub>''1''</sub>,
 
−
| &hellip;,
 
−
| d<sup>''k''</sup>''a''<sub>''n''</sub>}
 
−
|-
 
−
| d<sup>*</sup><font face="lucida calligraphy">A</font>
 
−
| =
 
−
| {d<sup>0</sup><font face="lucida calligraphy">A</font>,
 
−
| &hellip;,
 
−
| d<sup>''k''</sup><font face="lucida calligraphy">A</font>,
 
−
| &hellip;}
 
 
|}
 
|}
−
| width=50% |
 
−
{| cellpadding="4" style="background:lightcyan"
 
−
| E<sup>0</sup><font face="lucida calligraphy">A</font>
 
−
| =
 
−
| d<sup>0</sup><font face="lucida calligraphy">A</font>
 
 
|-
 
|-
−
| E<sup>1</sup><font face="lucida calligraphy">A</font>
+
|
−
| =
+
{| align="center"
−
| d<sup>0</sup><font face="lucida calligraphy">A</font> &cup; d<sup>1</sup><font face="lucida calligraphy">A</font>
+
|
−
|-
+
<p>f<sub>7</sub></p>
−
| E<sup>''k''</sup><font face="lucida calligraphy">A</font>
+
<p>f<sub>11</sub></p>
−
| =
+
<p>f<sub>13</sub></p>
−
| d<sup>0</sup><font face="lucida calligraphy">A</font> &cup; &hellip; &cup; d<sup>''k''</sup><font face="lucida calligraphy">A</font>
+
<p>f<sub>14</sub></p>
−
|-
 
−
| E<sup>&infin;</sup><font face="lucida calligraphy">A</font>
 
−
| =
 
−
| &cup; d<sup>*</sup><font face="lucida calligraphy">A</font>
 
 
|}
 
|}
 +
|
 +
{| align="center"
 +
|
 +
<p>f<sub>0111</sub></p>
 +
<p>f<sub>1011</sub></p>
 +
<p>f<sub>1101</sub></p>
 +
<p>f<sub>1110</sub></p>
 
|}
 
|}
−
</font><br>
+
|
 +
{| align="center"
 +
|
 +
<p>0 1 1 1</p>
 +
<p>1 0 1 1</p>
 +
<p>1 1 0 1</p>
 +
<p>1 1 1 0</p>
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center"
 +
|
 +
<p>(x y)</p>
 +
<p>(x (y))</p>
 +
<p>((x) y)</p>
 +
<p>((x)(y))</p>
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center"
 +
|
 +
<p>not both x and y</p>
 +
<p>not x without y</p>
 +
<p>not y without x</p>
 +
<p>x or y</p>
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center"
 +
|
 +
<p>&not;x &or; &not;y</p>
 +
<p>x &rArr; y</p>
 +
<p>x &lArr; y</p>
 +
<p>x &or; y</p>
 +
|}
 +
|-
 +
| f<sub>15</sub>
 +
| f<sub>1111</sub>
 +
| 1 1 1 1
 +
| ((&nbsp;))
 +
| true
 +
| 1
 +
|}
 +
 
 +
<br>
  
−
===Table 10.  A Realm of Intentional Features===
+
====Differential Propositions====
  
−
<pre>
+
<br>
−
Table 10.  A Realm of Intentional Features
 
−
o---------------------------------------o----------------------------------------o
 
−
|                                      |                                        |
 
−
| p^0.!A!  =  !A!  =  {a_1, ..., a_n}  | Q^0.!A!  =  !A!                        |
 
−
|                                      |                                        |
 
−
| p^1.!A!  =  !A!' =  {a_1', ..., a_n'} | Q^1.!A!  =  !A! |_| !A!'              |
 
−
|                                      |                                        |
 
−
| p^2.!A!  =  !A!" =  {a_1", ..., a_n"} | Q^2.!A!  =  !A! |_| !A!' |_| !A!"      |
 
−
|                                      |                                        |
 
−
| ...        ...    ...              | ...        ...                        |
 
−
|                                      |                                        |
 
−
| p^k.!A!  =  {p^k.a_1, ..., p^k.a_n}  | Q^k.!A!  =  !A! |_| ... |_| p^k.!A!    |
 
−
|                                      |                                        |
 
−
o---------------------------------------o----------------------------------------o
 
−
</pre>
 
  
−
<font face="courier new">
+
{| align="center" border="1" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:#f8f8ff; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
−
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:96%"
+
|+ '''Table 14.&nbsp; Differential Propositions'''
−
|+ '''Table 10. A Realm of Intentional Features'''
+
|- style="background:#f0f0ff"
−
| width=50% |
+
| &nbsp;
−
{| cellpadding="4" style="background:lightcyan"
+
| align="right" | A :
−
| p<sup>0</sup><font face="lucida calligraphy">A</font>
+
| 1 1 0 0
−
| =
+
| &nbsp;
−
| <font face="lucida calligraphy">A</font>
 
−
| =
 
−
| {''a''<sub>1</sub>&nbsp;,
 
−
| &hellip;,
 
−
| ''a''<sub>''n''</sub>&nbsp;}
 
−
|-
 
−
| p<sup>1</sup><font face="lucida calligraphy">A</font>
 
−
| =
 
−
| <font face="lucida calligraphy">A</font>&prime;
 
−
| =
 
−
| {''a''<sub>1</sub>&prime;,
 
−
| &hellip;,
 
−
| ''a''<sub>''n''</sub>&prime;}
 
−
|-
 
−
| p<sup>2</sup><font face="lucida calligraphy">A</font>
 
−
| =
 
−
| <font face="lucida calligraphy">A</font>&Prime;
 
−
| =
 
−
| {''a''<sub>1</sub>&Prime;,
 
−
| &hellip;,
 
−
| ''a''<sub>''n''</sub>&Prime;}
 
−
|-
 
−
| ...
 
 
| &nbsp;
 
| &nbsp;
 
| &nbsp;
 
| &nbsp;
 +
|- style="background:#f0f0ff"
 
| &nbsp;
 
| &nbsp;
−
| ...
+
| align="right" | dA :
−
|-
+
| 1 0 1 0
−
| p<sup>''k''</sup><font face="lucida calligraphy">A</font>
 
−
| =
 
 
| &nbsp;
 
| &nbsp;
 
| &nbsp;
 
| &nbsp;
−
| {p<sup>''k''</sup>''a''<sub>1</sub>,
 
−
| &hellip;,
 
−
| p<sup>''k''</sup>''a''<sub>''n''</sub>}
 
−
|}
 
−
| width=50% |
 
−
{| cellpadding="4" style="background:lightcyan"
 
−
| Q<sup>0</sup><font face="lucida calligraphy">A</font>
 
−
| =
 
−
| <font face="lucida calligraphy">A</font>
 
−
|-
 
−
| Q<sup>1</sup><font face="lucida calligraphy">A</font>
 
−
| =
 
−
| <font face="lucida calligraphy">A</font> &cup; <font face="lucida calligraphy">A</font>&prime;
 
−
|-
 
−
| Q<sup>2</sup><font face="lucida calligraphy">A</font>
 
−
| =
 
−
| <font face="lucida calligraphy">A</font> &cup; <font face="lucida calligraphy">A</font>&prime; &cup; <font face="lucida calligraphy">A</font>&Prime;
 
−
|-
 
−
| ...
 
 
| &nbsp;
 
| &nbsp;
−
| ...
 
 
|-
 
|-
−
| Q<sup>''k''</sup><font face="lucida calligraphy">A</font>
+
| f<sub>0</sub>
−
| =
+
| g<sub>0</sub>
−
| <font face="lucida calligraphy">A</font> &cup; <font face="lucida calligraphy">A</font>&prime; &cup; &hellip; &cup; p<sup>''k''</sup><font face="lucida calligraphy">A</font>
+
| 0 0 0 0
 +
| (&nbsp;)
 +
| False
 +
| 0
 +
|-
 +
|
 +
{|
 +
|
 +
&nbsp;<br>
 +
&nbsp;<br>
 +
&nbsp;<br>
 +
&nbsp;
 
|}
 
|}
 +
|
 +
{|
 +
|
 +
g<sub>1</sub><br>
 +
g<sub>2</sub><br>
 +
g<sub>4</sub><br>
 +
g<sub>8</sub>
 
|}
 
|}
−
</font><br>
 
−
 
−
===Formula Display 1===
 
−
 
−
<pre>
 
−
o-------------------------------------------------o
 
−
|                                                |
 
−
|      From  (A) & (dA)  infer  (A)  next.        |
 
−
|                                                |
 
−
|      From  (A) &  dA  infer  A  next.        |
 
−
|                                                |
 
−
|      From  A  & (dA)  infer  A  next.        |
 
−
|                                                |
 
−
|      From  A  &  dA  infer  (A)  next.        |
 
−
|                                                |
 
−
o-------------------------------------------------o
 
−
</pre>
 
−
 
−
<br><font face="courier new">
 
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:center; width:96%"
 
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:center; width:96%"
+
{|
−
| &nbsp; || From || (''A'') || and || (d''A'') || infer || (''A'') || next. || &nbsp;
+
|
−
|-
+
0 0 0 1<br>
−
| &nbsp; || From || (''A'') || and ||  d''A''  || infer ||  ''A''  || next. || &nbsp;
+
0 0 1 0<br>
−
|-
+
0 1 0 0<br>
−
| &nbsp; || From ||  ''A''  || and || (d''A'') || infer ||  ''A''  || next. || &nbsp;
+
1 0 0 0
−
|-
 
−
| &nbsp; || From ||  ''A''  || and ||  d''A''  || infer || (''A'') || next. || &nbsp;
 
 
|}
 
|}
 +
|
 +
{|
 +
|
 +
(A)(dA)<br>
 +
(A) dA <br>
 +
A (dA)<br>
 +
A dA
 
|}
 
|}
−
</font><br>
 
−
 
−
===Table 11.  A Pair of Commodious Trajectories===
 
−
 
−
<pre>
 
−
Table 11.  A Pair of Commodious Trajectories
 
−
o---------o-------------------o-------------------o
 
−
| Time    | Trajectory 1      | Trajectory 2      |
 
−
o---------o-------------------o-------------------o
 
−
|        |                  |                  |
 
−
| 0      |  A  dA  (d^2.A)  | (A) (dA)  d^2.A  |
 
−
|        |                  |                  |
 
−
| 1      | (A)  dA  d^2.A  | (A)  dA  d^2.A  |
 
−
|        |                  |                  |
 
−
| 2      |  A  (dA) (d^2.A)  |  A  (dA) (d^2.A)  |
 
−
|        |                  |                  |
 
−
| 3      |  A  (dA) (d^2.A)  |  A  (dA) (d^2.A)  |
 
−
|        |                  |                  |
 
−
| 4      |  "    "    "      |  "    "    "      |
 
−
|        |                  |                  |
 
−
o---------o-------------------o-------------------o
 
−
</pre>
 
−
 
−
<font face="courier new">
 
−
{| align="center" border="1" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:center; width:96%"
 
−
|+ '''Table 11.  A Pair of Commodious Trajectories'''
 
−
|- style="background:paleturquoise"
 
−
! Time
 
−
! Trajectory 1
 
−
! Trajectory 2
 
−
|-
 
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:center"
+
{|
−
| 0
+
|
−
|-
+
Neither A nor dA<br>
−
| 1
+
Not A but dA<br>
−
|-
+
A but not dA<br>
−
| 2
+
A and dA
−
|-
 
−
| 3
 
−
|-
 
−
| 4
 
 
|}
 
|}
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:center"
+
{|
−
| ''A''  ||  d''A''  || (d<sup>2</sup>''A'')
+
|
 +
&not;A &and; &not;dA<br>
 +
&not;A &and; dA<br>
 +
A &and; &not;dA<br>
 +
A &and; dA
 +
|}
 
|-
 
|-
−
| (''A'') || d''A''  ||  d<sup>2</sup>''A''
+
|
−
|-
+
{|
−
|  ''A''  || (d''A'') || (d<sup>2</sup>''A'')
+
|
−
|-
+
f<sub>1</sub><br>
−
|  ''A''  || (d''A'') || (d<sup>2</sup>''A'')
+
f<sub>2</sub>
−
|-
 
−
| " || " || "
 
 
|}
 
|}
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:center"
+
{|
−
| (''A'') || (d''A'') ||  d<sup>2</sup>''A''
+
|
−
|-
+
g<sub>3</sub><br>
−
| (''A'') ||  d''A''  ||  d<sup>2</sup>''A''
+
g<sub>12</sub>
−
|-
 
−
|  ''A''  || (d''A'') || (d<sup>2</sup>''A'')
 
−
|-
 
−
|  ''A''  || (d''A'') || (d<sup>2</sup>''A'')
 
−
|-
 
−
| " || " || "
 
 
|}
 
|}
 +
|
 +
{|
 +
|
 +
0 0 1 1<br>
 +
1 1 0 0
 +
|}
 +
|
 +
{|
 +
|
 +
(A)<br>
 +
A
 +
|}
 +
|
 +
{|
 +
|
 +
Not A<br>
 +
A
 +
|}
 +
|
 +
{|
 +
|
 +
&not;A<br>
 +
A
 +
|}
 +
|-
 +
|
 +
{|
 +
|
 +
&nbsp;<br>
 +
&nbsp;
 +
|}
 +
|
 +
{|
 +
|
 +
g<sub>6</sub><br>
 +
g<sub>9</sub>
 +
|}
 +
|
 +
{|
 +
|
 +
0 1 1 0<br>
 +
1 0 0 1
 +
|}
 +
|
 +
{|
 +
|
 +
(A, dA)<br>
 +
((A, dA))
 +
|}
 +
|
 +
{|
 +
|
 +
A not equal to dA<br>
 +
A equal to dA
 +
|}
 +
|
 +
{|
 +
|
 +
A &ne; dA<br>
 +
A = dA
 
|}
 
|}
−
</font><br>
 
−
 
−
===Figure 12.  The Anchor===
 
−
 
−
<pre>
 
−
o-------------------------------------------------o
 
−
| E^2.X                                          |
 
−
|                                                |
 
−
|                o-------------o                |
 
−
|                /              \                |
 
−
|              /        A        \              |
 
−
|              /                  \              |
 
−
|            /        ->-        \            |
 
−
|            o        /  \        o            |
 
−
|            |        \  /        |            |
 
−
|            |          -o-          |            |
 
−
|            |          ^          |            |
 
−
|        o---o---------o | o---------o---o        |
 
−
|      /    \        \|/        /    \      |
 
−
|      /      \    o    |        /      \      |
 
−
|    /        \  |  /|\      /        \    |
 
−
|    /          \  |  / | \    /          \    |
 
−
|  o            o-|-o--|--o---o            o  |
 
−
|  |              | |  |  |                |  |
 
−
|  |              ---->o<----o              |  |
 
−
|  |                |    |                |  |
 
−
|  o      dA        o    o      d^2.A      o  |
 
−
|    \                \  /                /    |
 
−
|    \                \ /                /    |
 
−
|      \                o                /      |
 
−
|      \              / \              /      |
 
−
|        o-------------o  o-------------o        |
 
−
|                                                |
 
−
|                                                |
 
−
o-------------------------------------------------o
 
−
Figure 12.  The Anchor
 
−
</pre>
 
−
 
−
===Figure 13.  The Tiller===
 
−
 
−
<pre>
 
−
o-------------------------------------------------o
 
−
|                                                |
 
−
|                                  ->-          |
 
−
|                                  /  \          |
 
−
|                                  \  /          |
 
−
|                o-------------o  -o-          |
 
−
|                /              \  ^            |
 
−
|              /      dA        \/        A    |
 
−
|              /                  /\              |
 
−
|            /                  /  \            |
 
−
|            o    o            /    o            |
 
−
|            |    \          /    |            |
 
−
|            |      \        /      |            |
 
−
o------------|-------\-------/-------|------------o
 
−
|            |        \    /        |            |
 
−
|            |        \  /        |            |
 
−
|            o          v /          o            |
 
−
|            \          o          /            |
 
−
|              \        ^        /              |
 
−
|              \        |        /        d^2.A  |
 
−
|                \      |      /                |
 
−
|                o------|------o                |
 
−
|                        |                        |
 
−
|                        |                        |
 
−
|                        o                        |
 
−
|                                                |
 
−
o-------------------------------------------------o
 
−
Figure 13.  The Tiller
 
−
</pre>
 
−
 
−
===Table 14.  Differential Propositions===
 
−
 
−
<pre>
 
−
Table 14.  Differential Propositions
 
−
o-------o--------o---------o-----------o-------------------o----------o
 
−
|      |      A : 1 1 0 0 |          |                  |          |
 
−
|      |    dA : 1 0 1 0 |          |                  |          |
 
−
o-------o--------o---------o-----------o-------------------o----------o
 
−
|      |        |        |          |                  |          |
 
−
| f_0  | g_0    | 0 0 0 0 |    ()    | False            |    0    |
 
−
|      |        |        |          |                  |          |
 
−
o-------o--------o---------o-----------o-------------------o----------o
 
−
|      |        |        |          |                  |          |
 
−
|      | g_1    | 0 0 0 1 |  (A)(dA)  | Neither A nor dA  | ~A & ~dA |
 
−
|      |        |        |          |                  |          |
 
−
|      | g_2    | 0 0 1 0 |  (A) dA  | Not A but dA      | ~A &  dA |
 
−
|      |        |        |          |                  |          |
 
−
|      | g_4    | 0 1 0 0 |  A (dA)  | A but not dA      |  A & ~dA |
 
−
|      |        |        |          |                  |          |
 
−
|      | g_8    | 1 0 0 0 |  A  dA  | A and dA          |  A &  dA |
 
−
|      |        |        |          |                  |          |
 
−
o-------o--------o---------o-----------o-------------------o----------o
 
−
|      |        |        |          |                  |          |
 
−
| f_1  | g_3    | 0 0 1 1 |  (A)      | Not A            | ~A      |
 
−
|      |        |        |          |                  |          |
 
−
| f_2  | g_12  | 1 1 0 0 |  A      | A                |  A      |
 
−
|      |        |        |          |                  |          |
 
−
o-------o--------o---------o-----------o-------------------o----------o
 
−
|      |        |        |          |                  |          |
 
−
|      | g_6    | 0 1 1 0 |  (A, dA)  | A not equal to dA |  A + dA  |
 
−
|      |        |        |          |                  |          |
 
−
|      | g_9    | 1 0 0 1 | ((A, dA)) | A equal to dA    |  A = dA  |
 
−
|      |        |        |          |                  |          |
 
−
o-------o--------o---------o-----------o-------------------o----------o
 
−
|      |        |        |          |                  |          |
 
−
|      | g_5    | 0 1 0 1 |    (dA)  | Not dA            |      ~dA |
 
−
|      |        |        |          |                  |          |
 
−
|      | g_10  | 1 0 1 0 |      dA  | dA                |      dA |
 
−
|      |        |        |          |                  |          |
 
−
o-------o--------o---------o-----------o-------------------o----------o
 
−
|      |        |        |          |                  |          |
 
−
|      | g_7    | 0 1 1 1 |  (A  dA)  | Not both A and dA | ~A v ~dA |
 
−
|      |        |        |          |                  |          |
 
−
|      | g_11  | 1 0 1 1 |  (A (dA)) | Not A without dA  |  A => dA |
 
−
|      |        |        |          |                  |          |
 
−
|      | g_13  | 1 1 0 1 | ((A) dA)  | Not dA without A  |  A <= dA |
 
−
|      |        |        |          |                  |          |
 
−
|      | g_14  | 1 1 1 0 | ((A)(dA)) | A or dA          |  A v  dA |
 
−
|      |        |        |          |                  |          |
 
−
o-------o--------o---------o-----------o-------------------o----------o
 
−
|      |        |        |          |                  |          |
 
−
| f_3  | g_15  | 1 1 1 1 |  (())    | True              |    1    |
 
−
|      |        |        |          |                  |          |
 
−
o-------o--------o---------o-----------o-------------------o----------o
 
−
</pre>
 
−
 
−
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
 
−
|+ '''Table 14.  Differential Propositions'''
 
−
|- style="background:paleturquoise"
 
−
| &nbsp;
 
−
| align="right" | A :
 
−
| 1 1 0 0
 
−
| &nbsp;
 
−
| &nbsp;
 
−
| &nbsp;
 
−
|- style="background:paleturquoise"
 
−
| &nbsp;
 
−
| align="right" | dA :
 
−
| 1 0 1 0
 
−
| &nbsp;
 
−
| &nbsp;
 
−
| &nbsp;
 
 
|-
 
|-
−
| f<sub>0</sub>
+
|
−
| g<sub>0</sub>
+
{|
−
| 0 0 0 0
+
|
−
| (&nbsp;)
+
&nbsp;<br>
−
| False
+
&nbsp;
−
| 0
+
|}
−
|-
+
|
−
| &nbsp;
+
{|
−
| g<sub>1</sub>
+
|
−
| 0 0 0 1
+
g<sub>5</sub><br>
−
| (A)(dA)
+
g<sub>10</sub>
−
| Neither A nor dA
+
|}
−
| &not;A &and; &not;dA
+
|
 +
{|
 +
|
 +
0 1 0 1<br>
 +
1 0 1 0
 +
|}
 +
|
 +
{|
 +
|
 +
(dA)<br>
 +
dA
 +
|}
 +
|
 +
{|
 +
|
 +
Not dA<br>
 +
dA
 +
|}
 +
|
 +
{|
 +
|
 +
&not;dA<br>
 +
dA
 +
|}
 
|-
 
|-
−
| &nbsp;
+
|
−
| g<sub>2</sub>
+
{|
−
| 0 0 1 0
+
|
−
| (A) dA
+
&nbsp;<br>
−
| Not A but dA
+
&nbsp;<br>
−
| &not;A &and; dA
+
&nbsp;<br>
−
|-
+
&nbsp;
−
| &nbsp;
+
|}
−
| g<sub>4</sub>
+
|
−
| 0 1 0 0
+
{|
−
| A (dA)
+
|
−
| A but not dA
+
g<sub>7</sub><br>
−
| A &and; &not;dA
+
g<sub>11</sub><br>
−
|-
+
g<sub>13</sub><br>
−
| &nbsp;
+
g<sub>14</sub>
−
| g<sub>8</sub>
+
|}
−
| 1 0 0 0
+
|
−
| A dA
+
{|
−
| A and dA
+
|
−
| A &and; dA
+
0 1 1 1<br>
−
|-
+
1 0 1 1<br>
−
| f<sub>1</sub>
+
1 1 0 1<br>
−
| g<sub>3</sub>
+
1 1 1 0
−
| 0 0 1 1
+
|}
−
| (A)
+
|
−
| Not A
+
{|
−
| &not;A
+
|
−
|-
+
(A dA)<br>
−
| f<sub>2</sub>
+
(A (dA))<br>
−
| g<sub>12</sub>
+
((A) dA)<br>
−
| 1 1 0 0
+
((A)(dA))
−
| A
+
|}
−
| A
+
|
−
| A
+
{|
 +
|
 +
Not both A and dA<br>
 +
Not A without dA<br>
 +
Not dA without A<br>
 +
A or dA
 +
|}
 +
|
 +
{|
 +
|
 +
&not;A &or; &not;dA<br>
 +
A &rArr; dA<br>
 +
A &lArr; dA<br>
 +
A &or; dA
 +
|}
 
|-
 
|-
−
| &nbsp;
+
| f<sub>3</sub>
−
| g<sub>6</sub>
+
| g<sub>15</sub>
−
| 0 1 1 0
 
−
| (A, dA)
 
−
| A not equal to dA
 
−
| A &ne; dA
 
−
|-
 
−
| &nbsp;
 
−
| g<sub>9</sub>
 
−
| 1 0 0 1
 
−
| ((A, dA))
 
−
| A equal to dA
 
−
| A = dA
 
−
|-
 
−
| &nbsp;
 
−
| g<sub>5</sub>
 
−
| 0 1 0 1
 
−
| (dA)
 
−
| Not dA
 
−
| &not;dA
 
−
|-
 
−
| &nbsp;
 
−
| g<sub>10</sub>
 
−
| 1 0 1 0
 
−
| dA
 
−
| dA
 
−
| dA
 
−
|-
 
−
| &nbsp;
 
−
| g<sub>7</sub>
 
−
| 0 1 1 1
 
−
| (A dA)
 
−
| Not both A and dA
 
−
| &not;A &or; &not;dA
 
−
|-
 
−
| &nbsp;
 
−
| g<sub>11</sub>
 
−
| 1 0 1 1
 
−
| (A (dA))
 
−
| Not A without dA
 
−
| A &rarr; dA
 
−
|-
 
−
| &nbsp;
 
−
| g<sub>13</sub>
 
−
| 1 1 0 1
 
−
| ((A) dA)
 
−
| Not dA without A
 
−
| A &larr; dA
 
−
|-
 
−
| &nbsp;
 
−
| g<sub>14</sub>
 
−
| 1 1 1 0
 
−
| ((A)(dA))
 
−
| A or dA
 
−
| A &or; dA
 
−
|-
 
−
| f<sub>3</sub>
 
−
| g<sub>15</sub>
 
 
| 1 1 1 1
 
| 1 1 1 1
 
| ((&nbsp;))
 
| ((&nbsp;))
Line 1,692: Line 1,843:
 
| 1
 
| 1
 
|}
 
|}
 +
 +
<br>
 +
 +
===Wiki Tables : Old Versions===
 +
 +
====Propositional Forms on Two Variables====
 +
 
<br>
 
<br>
  
−
{| align="center" border="1" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
+
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
−
|+ '''Table 14.  Differential Propositions'''
+
|+ '''Table 1.  Propositional Forms on Two Variables'''
 +
|- style="background:paleturquoise"
 +
! width="15%" | L<sub>1</sub>
 +
! width="15%" | L<sub>2</sub>
 +
! width="15%" | L<sub>3</sub>
 +
! width="15%" | L<sub>4</sub>
 +
! width="25%" | L<sub>5</sub>
 +
! width="15%" | L<sub>6</sub>
 
|- style="background:paleturquoise"
 
|- style="background:paleturquoise"
 
| &nbsp;
 
| &nbsp;
−
| align="right" | A :
+
| align="right" | x :
 
| 1 1 0 0  
 
| 1 1 0 0  
 
| &nbsp;
 
| &nbsp;
Line 1,705: Line 1,870:
 
|- style="background:paleturquoise"
 
|- style="background:paleturquoise"
 
| &nbsp;
 
| &nbsp;
−
| align="right" | dA :
+
| align="right" | y :
 
| 1 0 1 0
 
| 1 0 1 0
 
| &nbsp;
 
| &nbsp;
Line 1,711: Line 1,876:
 
| &nbsp;
 
| &nbsp;
 
|-
 
|-
−
| f<sub>0</sub>
+
| f<sub>0</sub> || f<sub>0000</sub> || 0 0 0 0 || (&nbsp;) || false || 0
−
| g<sub>0</sub>
+
|-
−
| 0 0 0 0
+
| f<sub>1</sub> || f<sub>0001</sub> || 0 0 0 1 || (x)(y) || neither x nor y || &not;x &and; &not;y
−
| (&nbsp;)
+
|-
−
| False
+
| f<sub>2</sub> || f<sub>0010</sub> || 0 0 1 0 || (x) y || y and not x || &not;x &and; y
−
| 0
+
|-
 +
| f<sub>3</sub> || f<sub>0011</sub> || 0 0 1 1 || (x) || not x || &not;x
 +
|-
 +
| f<sub>4</sub> || f<sub>0100</sub> || 0 1 0 0 || x (y) || x and not y || x &and; &not;y
 
|-
 
|-
−
|
+
| f<sub>5</sub> || f<sub>0101</sub> || 0 1 0 1 || (y) || not y || &not;y
−
{| style="background:lightcyan"
+
|-
−
|
+
| f<sub>6</sub> || f<sub>0110</sub> || 0 1 1 0 || (x, y) || x not equal to y || x &ne; y
−
&nbsp;<br>
+
|-
−
&nbsp;<br>
+
| f<sub>7</sub> || f<sub>0111</sub> || 0 1 1 1 || (x&nbsp;y) || not both x and y || &not;x &or; &not;y
−
&nbsp;<br>
+
|-
−
&nbsp;
+
| f<sub>8</sub> || f<sub>1000</sub> || 1 0 0 0 || x&nbsp;y || x and y || x &and; y
−
|}
+
|-
−
|
+
| f<sub>9</sub> || f<sub>1001</sub> || 1 0 0 1 || ((x, y)) || x equal to y || x = y
−
{| style="background:lightcyan"
+
|-
−
|
+
| f<sub>10</sub> || f<sub>1010</sub> || 1 0 1 0 || y || y || y
−
g<sub>1</sub><br>
+
|-
−
g<sub>2</sub><br>
+
| f<sub>11</sub> || f<sub>1011</sub> || 1 0 1 1 || (x (y)) || not x without y || x &rarr; y
−
g<sub>4</sub><br>
+
|-
−
g<sub>8</sub>
+
| f<sub>12</sub> || f<sub>1100</sub> || 1 1 0 0 || x || x || x
−
|}
+
|-
−
|
+
| f<sub>13</sub> || f<sub>1101</sub> || 1 1 0 1 || ((x) y) || not y without x || x &larr; y
−
{| style="background:lightcyan"
+
|-
−
|
+
| f<sub>14</sub> || f<sub>1110</sub> || 1 1 1 0 || ((x)(y)) || x or y  || x &or; y
−
0 0 0 1<br>
+
|-
−
0 0 1 0<br>
+
| f<sub>15</sub> || f<sub>1111</sub> || 1 1 1 1 || ((&nbsp;)) || true || 1
−
0 1 0 0<br>
 
−
1 0 0 0
 
−
|}
 
−
|
 
−
{| style="background:lightcyan"
 
−
|
 
−
(A)(dA)<br>
 
−
(A) dA <br>
 
−
A (dA)<br>
 
−
A dA
 
−
|}
 
−
|
 
−
{| style="background:lightcyan"
 
−
|
 
−
Neither A nor dA<br>
 
−
Not A but dA<br>
 
−
A but not dA<br>
 
−
A and dA
 
 
|}
 
|}
 +
 +
<br>
 +
 +
====Differential Propositions====
 +
 +
<br>
 +
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="6" cellspacing="0" style="font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
 +
|+ '''Table 14.  Differential Propositions'''
 +
|- style="background:ghostwhite"
 +
| &nbsp;
 +
| align="right" | A :
 +
| 1 1 0 0
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
|- style="background:ghostwhite"
 +
| &nbsp;
 +
| align="right" | dA :
 +
| 1 0 1 0
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
|-
 +
| f<sub>0</sub>
 +
| g<sub>0</sub>
 +
| 0 0 0 0
 +
| (&nbsp;)
 +
| False
 +
| 0
 +
|-
 
|
 
|
−
{| style="background:lightcyan"
+
{|
 
|
 
|
−
&not;A &and; &not;dA<br>
+
&nbsp;<br>
−
&not;A &and; dA<br>
+
&nbsp;<br>
−
A &and; &not;dA<br>
+
&nbsp;<br>
−
A &and; dA
+
&nbsp;
 
|}
 
|}
−
|-
 
 
|
 
|
−
{| style="background:lightcyan"
+
{|
 
|
 
|
−
f<sub>1</sub><br>
+
g<sub>1</sub><br>
−
f<sub>2</sub>
+
g<sub>2</sub><br>
 +
g<sub>4</sub><br>
 +
g<sub>8</sub>
 
|}
 
|}
 
|
 
|
−
{| style="background:lightcyan"
+
{|
 
|
 
|
−
g<sub>3</sub><br>
+
0 0 0 1<br>
−
g<sub>12</sub>
+
0 0 1 0<br>
 +
0 1 0 0<br>
 +
1 0 0 0
 
|}
 
|}
 
|
 
|
−
{| style="background:lightcyan"
+
{|
 +
|
 +
(A)(dA)<br>
 +
(A) dA <br>
 +
A (dA)<br>
 +
A dA
 +
|}
 +
|
 +
{|
 +
|
 +
Neither A nor dA<br>
 +
Not A but dA<br>
 +
A but not dA<br>
 +
A and dA
 +
|}
 +
|
 +
{|
 +
|
 +
&not;A &and; &not;dA<br>
 +
&not;A &and; dA<br>
 +
A &and; &not;dA<br>
 +
A &and; dA
 +
|}
 +
|-
 +
|
 +
{|
 +
|
 +
f<sub>1</sub><br>
 +
f<sub>2</sub>
 +
|}
 +
|
 +
{|
 +
|
 +
g<sub>3</sub><br>
 +
g<sub>12</sub>
 +
|}
 +
|
 +
{|
 
|
 
|
 
0 0 1 1<br>
 
0 0 1 1<br>
Line 1,786: Line 2,007:
 
|}
 
|}
 
|
 
|
−
{| style="background:lightcyan"
+
{|
 
|
 
|
 
(A)<br>
 
(A)<br>
Line 1,792: Line 2,013:
 
|}
 
|}
 
|
 
|
−
{| style="background:lightcyan"
+
{|
 
|
 
|
 
Not A<br>
 
Not A<br>
Line 1,798: Line 2,019:
 
|}
 
|}
 
|
 
|
−
{| style="background:lightcyan"
+
{|
 
|
 
|
 
&not;A<br>
 
&not;A<br>
Line 1,805: Line 2,026:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
{| style="background:lightcyan"
+
{|
 
|
 
|
 
&nbsp;<br>
 
&nbsp;<br>
Line 1,811: Line 2,032:
 
|}
 
|}
 
|
 
|
−
{| style="background:lightcyan"
+
{|
 
|
 
|
 
g<sub>6</sub><br>
 
g<sub>6</sub><br>
Line 1,817: Line 2,038:
 
|}
 
|}
 
|
 
|
−
{| style="background:lightcyan"
+
{|
 
|
 
|
 
0 1 1 0<br>
 
0 1 1 0<br>
Line 1,823: Line 2,044:
 
|}
 
|}
 
|
 
|
−
{| style="background:lightcyan"
+
{|
 
|
 
|
 
(A, dA)<br>
 
(A, dA)<br>
Line 1,829: Line 2,050:
 
|}
 
|}
 
|
 
|
−
{| style="background:lightcyan"
+
{|
 
|
 
|
 
A not equal to dA<br>
 
A not equal to dA<br>
Line 1,835: Line 2,056:
 
|}
 
|}
 
|
 
|
−
{| style="background:lightcyan"
+
{|
 
|
 
|
 
A &ne; dA<br>
 
A &ne; dA<br>
Line 1,842: Line 2,063:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
{| style="background:lightcyan"
+
{|
 
|
 
|
 
&nbsp;<br>
 
&nbsp;<br>
Line 1,848: Line 2,069:
 
|}
 
|}
 
|
 
|
−
{| style="background:lightcyan"
+
{|
 
|
 
|
 
g<sub>5</sub><br>
 
g<sub>5</sub><br>
Line 1,854: Line 2,075:
 
|}
 
|}
 
|
 
|
−
{| style="background:lightcyan"
+
{|
 
|
 
|
 
0 1 0 1<br>
 
0 1 0 1<br>
Line 1,860: Line 2,081:
 
|}
 
|}
 
|
 
|
−
{| style="background:lightcyan"
+
{|
 
|
 
|
 
(dA)<br>
 
(dA)<br>
Line 1,866: Line 2,087:
 
|}
 
|}
 
|
 
|
−
{| style="background:lightcyan"
+
{|
 
|
 
|
 
Not dA<br>
 
Not dA<br>
Line 1,872: Line 2,093:
 
|}
 
|}
 
|
 
|
−
{| style="background:lightcyan"
+
{|
 
|
 
|
 
&not;dA<br>
 
&not;dA<br>
Line 1,879: Line 2,100:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
{| style="background:lightcyan"
+
{|
 
|
 
|
 
&nbsp;<br>
 
&nbsp;<br>
Line 1,887: Line 2,108:
 
|}
 
|}
 
|
 
|
−
{| style="background:lightcyan"
+
{|
 
|
 
|
 
g<sub>7</sub><br>
 
g<sub>7</sub><br>
Line 1,895: Line 2,116:
 
|}
 
|}
 
|
 
|
−
{| style="background:lightcyan"
+
{|
 
|
 
|
 
0 1 1 1<br>
 
0 1 1 1<br>
Line 1,903: Line 2,124:
 
|}
 
|}
 
|
 
|
−
{| style="background:lightcyan"
+
{|
 
|
 
|
 
(A dA)<br>
 
(A dA)<br>
Line 1,911: Line 2,132:
 
|}
 
|}
 
|
 
|
−
{| style="background:lightcyan"
+
{|
 
|
 
|
 
Not both A and dA<br>
 
Not both A and dA<br>
Line 1,919: Line 2,140:
 
|}
 
|}
 
|
 
|
−
{| style="background:lightcyan"
+
{|
 
|
 
|
 
&not;A &or; &not;dA<br>
 
&not;A &or; &not;dA<br>
Line 1,934: Line 2,155:
 
| 1
 
| 1
 
|}
 
|}
 +
 
<br>
 
<br>
  
−
===Table 15.  Tacit Extension of [''A''] to [''A'', d''A'']===
+
===Wiki TeX Tables : PQ===
  
−
<pre>
+
<br>
−
Table 15.  Tacit Extension of [A] to [A, dA]
 
−
o---------------------------------------------------------------------o
 
−
|                                                                    |
 
−
|    0    =      0  . ((dA), dA)        =              0              |
 
−
|                                                                    |
 
−
|  (A)  =    (A) . ((dA), dA)        =      (A)(dA) + (A) dA      |
 
−
|                                                                    |
 
−
|    A    =      A  . ((dA), dA)        =      A (dA) +  A  dA      |
 
−
|                                                                    |
 
−
|    1    =      1  . ((dA), dA)        =              1              |
 
−
|                                                                    |
 
−
o---------------------------------------------------------------------o
 
−
</pre>
 
  
−
<font face="courier new">
+
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="text-align:center; width:90%"
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:center; width:96%"
+
|+ <math>\text{Table A1.}~~\text{Propositional Forms on Two Variables}</math>
−
|+ '''Table 15.  Tacit Extension of [''A''] to [''A'', d''A'']'''
+
|- style="background:#f0f0ff"
−
|
+
| width="15%" |
−
{| align="center" border="0" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:center; width:96%"
+
<p><math>\mathcal{L}_1</math></p>
 +
<p><math>\text{Decimal}</math></p>
 +
| width="15%" |
 +
<p><math>\mathcal{L}_2</math></p>
 +
<p><math>\text{Binary}</math></p>
 +
| width="15%" |
 +
<p><math>\mathcal{L}_3</math></p>
 +
<p><math>\text{Vector}</math></p>
 +
| width="15%" |
 +
<p><math>\mathcal{L}_4</math></p>
 +
<p><math>\text{Cactus}</math></p>
 +
| width="25%" |
 +
<p><math>\mathcal{L}_5</math></p>
 +
<p><math>\text{English}</math></p>
 +
| width="15%" |
 +
<p><math>\mathcal{L}_6</math></p>
 +
<p><math>\text{Ordinary}</math></p>
 +
|- style="background:#f0f0ff"
 
| &nbsp;
 
| &nbsp;
−
| 0
+
| align="right" | <math>p\colon\!</math>
−
| =
+
| <math>1~1~0~0\!</math>
−
| 0
 
−
| &middot;
 
−
| ((d''A''),&nbsp;d''A'')
 
−
| =
 
−
| 0
 
 
| &nbsp;
 
| &nbsp;
−
|-
 
 
| &nbsp;
 
| &nbsp;
−
| (''A'')
 
−
| =
 
−
| (''A'')
 
−
| &middot;
 
−
| ((d''A''),&nbsp;d''A'')
 
−
| =
 
−
| (''A'')(d''A'') + (''A'') d''A''&nbsp;
 
 
| &nbsp;
 
| &nbsp;
−
|-
+
|- style="background:#f0f0ff"
 
| &nbsp;
 
| &nbsp;
−
| ''A''
+
| align="right" | <math>q\colon\!</math>
−
| =
+
| <math>1~0~1~0\!</math>
−
| ''A''
 
−
| &middot;
 
−
| ((d''A''),&nbsp;d''A'')
 
−
| =
 
−
| &nbsp;''A'' (d''A'') +  &nbsp;''A''&nbsp;&nbsp;d''A''&nbsp;
 
 
| &nbsp;
 
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
|-
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
f_0
 +
\\[4pt]
 +
f_1
 +
\\[4pt]
 +
f_2
 +
\\[4pt]
 +
f_3
 +
\\[4pt]
 +
f_4
 +
\\[4pt]
 +
f_5
 +
\\[4pt]
 +
f_6
 +
\\[4pt]
 +
f_7
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
f_{0000}
 +
\\[4pt]
 +
f_{0001}
 +
\\[4pt]
 +
f_{0010}
 +
\\[4pt]
 +
f_{0011}
 +
\\[4pt]
 +
f_{0100}
 +
\\[4pt]
 +
f_{0101}
 +
\\[4pt]
 +
f_{0110}
 +
\\[4pt]
 +
f_{0111}
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
0~0~0~0
 +
\\[4pt]
 +
0~0~0~1
 +
\\[4pt]
 +
0~0~1~0
 +
\\[4pt]
 +
0~0~1~1
 +
\\[4pt]
 +
0~1~0~0
 +
\\[4pt]
 +
0~1~0~1
 +
\\[4pt]
 +
0~1~1~0
 +
\\[4pt]
 +
0~1~1~1
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(~)
 +
\\[4pt]
 +
(p)(q)
 +
\\[4pt]
 +
(p)~q~
 +
\\[4pt]
 +
(p)~~~
 +
\\[4pt]
 +
~p~(q)
 +
\\[4pt]
 +
~~~(q)
 +
\\[4pt]
 +
(p,~q)
 +
\\[4pt]
 +
(p~~q)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\text{false}
 +
\\[4pt]
 +
\text{neither}~ p ~\text{nor}~ q
 +
\\[4pt]
 +
q ~\text{without}~ p
 +
\\[4pt]
 +
\text{not}~ p
 +
\\[4pt]
 +
p ~\text{without}~ q
 +
\\[4pt]
 +
\text{not}~ q
 +
\\[4pt]
 +
p ~\text{not equal to}~ q
 +
\\[4pt]
 +
\text{not both}~ p ~\text{and}~ q
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
0
 +
\\[4pt]
 +
\lnot p \land \lnot q
 +
\\[4pt]
 +
\lnot p \land q
 +
\\[4pt]
 +
\lnot p
 +
\\[4pt]
 +
p \land \lnot q
 +
\\[4pt]
 +
\lnot q
 +
\\[4pt]
 +
p \ne q
 +
\\[4pt]
 +
\lnot p \lor \lnot q
 +
\end{matrix}</math>
 
|-
 
|-
−
| &nbsp;
+
|
−
| 1
+
<math>\begin{matrix}
−
| =
+
f_8
−
| 1
+
\\[4pt]
−
| &middot;
+
f_9
−
| ((d''A''),&nbsp;d''A'')
+
\\[4pt]
−
| =
+
f_{10}
−
| 1
+
\\[4pt]
−
|}
+
f_{11}
 +
\\[4pt]
 +
f_{12}
 +
\\[4pt]
 +
f_{13}
 +
\\[4pt]
 +
f_{14}
 +
\\[4pt]
 +
f_{15}
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
f_{1000}
 +
\\[4pt]
 +
f_{1001}
 +
\\[4pt]
 +
f_{1010}
 +
\\[4pt]
 +
f_{1011}
 +
\\[4pt]
 +
f_{1100}
 +
\\[4pt]
 +
f_{1101}
 +
\\[4pt]
 +
f_{1110}
 +
\\[4pt]
 +
f_{1111}
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
1~0~0~0
 +
\\[4pt]
 +
1~0~0~1
 +
\\[4pt]
 +
1~0~1~0
 +
\\[4pt]
 +
1~0~1~1
 +
\\[4pt]
 +
1~1~0~0
 +
\\[4pt]
 +
1~1~0~1
 +
\\[4pt]
 +
1~1~1~0
 +
\\[4pt]
 +
1~1~1~1
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
~~p~~q~~
 +
\\[4pt]
 +
((p,~q))
 +
\\[4pt]
 +
~~~~~q~~
 +
\\[4pt]
 +
~(p~(q))
 +
\\[4pt]
 +
~~p~~~~~
 +
\\[4pt]
 +
((p)~q)~
 +
\\[4pt]
 +
((p)(q))
 +
\\[4pt]
 +
((~))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
p ~\text{and}~ q
 +
\\[4pt]
 +
p ~\text{equal to}~ q
 +
\\[4pt]
 +
q
 +
\\[4pt]
 +
\text{not}~ p ~\text{without}~ q
 +
\\[4pt]
 +
p
 +
\\[4pt]
 +
\text{not}~ q ~\text{without}~ p
 +
\\[4pt]
 +
p ~\text{or}~ q
 +
\\[4pt]
 +
\text{true}
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
p \land q
 +
\\[4pt]
 +
p = q
 +
\\[4pt]
 +
q
 +
\\[4pt]
 +
p \Rightarrow q
 +
\\[4pt]
 +
p
 +
\\[4pt]
 +
p \Leftarrow q
 +
\\[4pt]
 +
p \lor q
 +
\\[4pt]
 +
1
 +
\end{matrix}</math>
 
|}
 
|}
−
</font><br>
 
  
−
===Figure 16-a.  A Couple of Fourth Gear Orbits:  1===
+
<br>
  
−
<pre>
+
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="text-align:center; width:90%"
−
o-------------------------------------------------o
+
|+ <math>\text{Table A2.}~~\text{Propositional Forms on Two Variables}</math>
−
|                                                 |
+
|- style="background:#f0f0ff"
−
|                        o                        |
+
| width="15%" |
−
|                      / \                      |
+
<p><math>\mathcal{L}_1</math></p>
−
|                      /  \                      |
+
<p><math>\text{Decimal}</math></p>
−
|                    /    \                    |
+
| width="15%" |
−
|                    /      \                    |
+
<p><math>\mathcal{L}_2</math></p>
−
|                  o        o                  |
+
<p><math>\text{Binary}</math></p>
−
|                  / \      / \                  |
+
| width="15%" |
−
|                /  \    /  \                |
+
<p><math>\mathcal{L}_3</math></p>
−
|                /    \  /    \                |
+
<p><math>\text{Vector}</math></p>
−
|              /      \ /      \              |
+
| width="15%" |
−
|              o        o        o              |
+
<p><math>\mathcal{L}_4</math></p>
−
|            / \      / \      / \            |
+
<p><math>\text{Cactus}</math></p>
−
|            /  \    /  \    /  \            |
+
| width="25%" |
−
|          /    \  /    \  /    \          |
+
<p><math>\mathcal{L}_5</math></p>
−
|          /      \ /      \ /      \          |
+
<p><math>\text{English}</math></p>
−
|        o    5    o    7    o        o        |
+
| width="15%" |
−
|        / \  ^|  / \  ^|  / \      / \        |
+
<p><math>\mathcal{L}_6</math></p>
−
|      /  \/ |  /  \/ |  /  \    /  \      |
+
<p><math>\text{Ordinary}</math></p>
−
|      /    /\ | /    /\ | /    \  /    \      |
+
|- style="background:#f0f0ff"
−
|    /    /  \|/    /  \|/      \ /      \    |
+
| &nbsp;
−
|    o    4<---|----/----|----3    o        o    |
+
| align="right" | <math>p\colon\!</math>
−
|    |\      /|\  /    /|\  ^    / \      /|    |
+
| <math>1~1~0~0\!</math>
−
|    | \    / | \/    / | \/    /  \    / |    |
+
| &nbsp;
−
|   |  \  /  | /\  /  | /\  /    \  /  |    |
+
| &nbsp;
−
|    |  \ /  v/  \ /  |/  \ /      \ /  |    |
+
| &nbsp;
−
|    |    o    6    o    |    o        o    |    |
+
|- style="background:#f0f0ff"
−
|    |    |\      / \  /|  / \      /|    |    |
+
| &nbsp;
−
|    |    | \    /  \/ |  /  \    / |    |    |
+
| align="right" | <math>q\colon\!</math>
−
|    |    |  \  /    /\ | /    \  /  |    |    |
+
| <math>1~0~1~0\!</math>
−
|    | d^0.A  \ /    /  \|/      \ /  d^1.A |    |
+
| &nbsp;
−
|    o----+----o    2<---|----1    o----+----o    |
+
| &nbsp;
−
|        |    \       /|\  ^    /    |        |
+
| &nbsp;
−
|        |      \    / | \/    /      |        |
 
−
|        |      \  /  | /\  /      |        |
 
−
|        | d^2.A  \ /   v/  \ /  d^3.A |        |
 
−
|         o---------o    0    o---------o        |
 
−
|                   \      /                    |
 
−
|                    \     /                     |
 
−
|                      \   /                     |
 
−
|                      \ /                       |
 
−
|                       o                        |
 
−
|                                                |
 
−
o-------------------------------------------------o
 
−
Figure 16-a.  A Couple of Fourth Gear Orbits:  1
 
−
</pre>
 
−
 
 
−
===Figure 16-b.  A Couple of Fourth Gear Orbits:  2===
 
−
 
 
−
<pre>
 
−
o-------------------------------------------------o
 
−
|                                                |
 
−
|                        o                        |
 
−
|                      / \                       |
 
−
|                      /   \                      |
 
−
|                    /     \                    |
 
−
|                    /      \                   |
 
−
|                  o    0    o                  |
 
−
|                  / \      / \                  |
 
−
|                 /  \    /  \                |
 
−
|                /    \   /     \                |
 
−
|              /       \ /      \              |
 
−
|              o    5    o    2    o              |
 
−
|            / \       / \      / \            |
 
−
|           /  \    /  \    /  \            |
 
−
|          /    \   /     \  /     \          |
 
−
|          /      \ /       \ /       \          |
 
−
|         o        o        o    6    o        |
 
−
|        / \       / \      / \      / \        |
 
−
|      /  \     /   \    /   \    /  \      |
 
−
|     /    \  /    \  /    \  /    \      |
 
−
|    /      \ /       \ /       \ /      \    |
 
−
|    o        o    7    o        o    4    o    |
 
−
|    |\       / \      / \      / \      /|    |
 
−
|   | \    /  \    /  \    /  \    / |    |
 
−
|   |  \  /    \  /    \  /    \  /  |    |
 
−
|   |   \ /      \ /       \ /      \ /  |    |
 
−
|   |    o        o    3    o    1   o    |    |
 
−
|    |    |\      / \      / \      /|    |    |
 
−
|    |    | \    /  \    /  \    / |    |    |
 
−
|    |    |  \  /    \  /    \  /  |    |    |
 
−
|    | d^0.A  \ /      \ /      \ /  d^1.A |    |
 
−
|    o----+----o        o        o----+----o    |
 
−
|        |    \      / \      /    |        |
 
−
|        |      \    /  \    /      |        |
 
−
|        |      \  /    \  /      |        |
 
−
|        | d^2.A  \ /      \ /  d^3.A |        |
 
−
|        o---------o        o---------o        |
 
−
|                    \      /                    |
 
−
|                    \    /                    |
 
−
|                      \  /                      |
 
−
|                      \ /                      |
 
−
|                        o                        |
 
−
|                                                |
 
−
o-------------------------------------------------o
 
−
Figure 16-b.  A Couple of Fourth Gear Orbits:  2
 
−
</pre>
 
−
 
 
−
===Formula Display 2===
 
−
 
 
−
<pre>
 
−
o-------------------------------------------------------------------------------o
 
−
|                                                                               |
 
−
| r(q)    =  Sum_k d_k . 2^(-k)          =  Sum_k d^k.A(q) . 2^(-k)          |
 
−
|                                                                               |
 
−
| =                                                                            |
 
−
|                                                                              |
 
−
|  s(q)/t  =  (Sum_k d_k . 2^(m-k)) / 2^m  =  (Sum_k d^k.A(q) . 2^(m-k)) / 2^m  |
 
−
|                                                                              |
 
−
o-------------------------------------------------------------------------------o
 
−
</pre>
 
−
 
 
−
<br><font face="courier new">
 
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:center; width:96%"
 
−
|
 
−
{| align="center" border="0" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:center; width:96%"
 
−
| ''r''(''q'')
 
−
| =
 
−
| &sum;<sub>''k''</sub> ''d''<sub>''k''</sub> &middot; 2<sup>-''k''</sup>
 
−
| =
 
−
| &sum;<sub>''k''</sub> d<sup>''k''</sup>''A''(''q'') &middot; 2<sup>-''k''</sup>
 
 
|-
 
|-
−
| =
+
| <math>f_0\!</math>
 +
| <math>f_{0000}\!</math>
 +
| <math>0~0~0~0</math>
 +
| <math>(~)</math>
 +
| <math>\text{false}\!</math>
 +
| <math>0\!</math>
 
|-
 
|-
−
| ''s''(''q'')/''t''
 
−
| =
 
−
| (&sum;<sub>''k''</sub> ''d''<sub>''k''</sub> &middot; 2<sup>(''m''-''k'')</sup>) / 2<sup>''m''</sup>
 
−
| =
 
−
| (&sum;<sub>''k''</sub> d<sup>''k''</sup>''A''(''q'') &middot; 2<sup>(''m''-''k'')</sup>) / 2<sup>''m''</sup>
 
−
|}
 
−
|}
 
−
</font><br>
 
−
 
−
<br><font face="courier new">
 
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:center; width:96%"
 
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:center; width:96%"
+
<math>\begin{matrix}
−
| <math>r(q)\!</math>
+
f_1
−
| <math>=</math>
+
\\[4pt]
−
| <math>\sum_k d_k \cdot 2^{-k}</math>
+
f_2
−
| <math>=</math>
+
\\[4pt]
−
| <math>\sum_k \mbox{d}^k A(q) \cdot 2^{-k}</math>
+
f_4
 +
\\[4pt]
 +
f_8
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
f_{0001}
 +
\\[4pt]
 +
f_{0010}
 +
\\[4pt]
 +
f_{0100}
 +
\\[4pt]
 +
f_{1000}
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
0~0~0~1
 +
\\[4pt]
 +
0~0~1~0
 +
\\[4pt]
 +
0~1~0~0
 +
\\[4pt]
 +
1~0~0~0
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(p)(q)
 +
\\[4pt]
 +
(p)~q~
 +
\\[4pt]
 +
~p~(q)
 +
\\[4pt]
 +
~p~~q~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\text{neither}~ p ~\text{nor}~ q
 +
\\[4pt]
 +
q ~\text{without}~ p
 +
\\[4pt]
 +
p ~\text{without}~ q
 +
\\[4pt]
 +
p ~\text{and}~ q
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\lnot p \land \lnot q
 +
\\[4pt]
 +
\lnot p \land q
 +
\\[4pt]
 +
p \land \lnot q
 +
\\[4pt]
 +
p \land q
 +
\end{matrix}</math>
 
|-
 
|-
−
| <math>=</math>
+
|
−
|-
+
<math>\begin{matrix}
−
| <math>\frac{s(q)}{t}</math>
+
f_3
−
| <math>=</math>
+
\\[4pt]
−
| <math>\frac{\sum_k d_k \cdot 2^{(m-k)}}{2^m}</math>
+
f_{12}
−
| <math>=</math>
+
\end{matrix}</math>
−
| <math>\frac{\sum_k \mbox{d}^k A(q) \cdot 2^{(m-k)}}{2^m}</math>
+
|
−
|}
+
<math>\begin{matrix}
−
|}
+
f_{0011}
−
</font><br>
+
\\[4pt]
−
 
+
f_{1100}
−
===Table 17-a.  A Couple of Orbits in Fourth Gear:  Orbit 1===
+
\end{matrix}</math>
−
 
+
|
−
<pre>
+
<math>\begin{matrix}
−
Table 17-a.  A Couple of Orbits in Fourth Gear:  Orbit 1
+
0~0~1~1
−
o---------o---------o---------o---------o---------o---------o---------o
+
\\[4pt]
−
| Time    | State  |    A    |  dA    |        |        |        |
+
1~1~0~0
−
|  p_i    |  q_j    |  d^0.A  |  d^1.A  |  d^2.A  |  d^3.A  |  d^4.A  |
+
\end{matrix}</math>
−
o---------o---------o---------o---------o---------o---------o---------o
+
|
−
|        |        |                                                |
+
<math>\begin{matrix}
−
|  p_0    |  q_01  |    0.        0        0        0         1   |
+
(p)
−
|        |        |                                                |
+
\\[4pt]
−
|  p_1    |  q_03  |    0.        0        0        1         1    |
+
~p~
−
|        |        |                                                |
+
\end{matrix}</math>
−
|  p_2    |  q_05  |    0.        0        1        0        1    |
+
|
−
|        |        |                                                |
+
<math>\begin{matrix}
−
|  p_3    |  q_15  |    0.        1        1        1        1    |
+
\text{not}~ p
−
|        |        |                                                |
+
\\[4pt]
−
|  p_4    |  q_17  |    1.        0        0        0        1   |
+
p
−
|        |        |                                                |
+
\end{matrix}</math>
−
|  p_5    |  q_19  |    1.        0         0         1        1    |
+
|
−
|        |        |                                                |
+
<math>\begin{matrix}
−
|  p_6    |  q_21  |    1.        0        1        0        1    |
+
\lnot p
−
|        |        |                                                |
+
\\[4pt]
−
|  p_7    |  q_31  |    1.        1        1        1        1    |
+
p
−
|        |        |                                                |
+
\end{matrix}</math>
−
o---------o---------o---------o---------o---------o---------o---------o
 
−
</pre>
 
−
 
 
−
{| align="center" border="1" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
 
−
|+ '''Table 17-a.  A Couple of Orbits in Fourth Gear:  Orbit 1'''
 
−
|- style="background:paleturquoise"
 
−
| Time
 
−
| State
 
−
| ''A''
 
−
| d''A''
 
−
| &nbsp;
 
−
| &nbsp;
 
−
| &nbsp;
 
−
|- style="background:paleturquoise"
 
−
| ''p''<sub>''i''</sub>
 
−
| ''q''<sub>''j''</sub>
 
−
| d<sup>0</sup>''A''
 
−
| d<sup>1</sup>''A''
 
−
| d<sup>2</sup>''A''
 
−
| d<sup>3</sup>''A''
 
−
| d<sup>4</sup>''A''
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center"
+
<math>\begin{matrix}
−
| ''p''<sub>0</sub>
+
f_6
 +
\\[4pt]
 +
f_9
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
f_{0110}
 +
\\[4pt]
 +
f_{1001}
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
0~1~1~0
 +
\\[4pt]
 +
1~0~0~1
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
~(p,~q)~
 +
\\[4pt]
 +
((p,~q))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
p ~\text{not equal to}~ q
 +
\\[4pt]
 +
p ~\text{equal to}~ q
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
p \ne q
 +
\\[4pt]
 +
p = q
 +
\end{matrix}</math>
 
|-
 
|-
−
| ''p''<sub>1</sub>
 
−
|-
 
−
| ''p''<sub>2</sub>
 
−
|-
 
−
| ''p''<sub>3</sub>
 
−
|-
 
−
| ''p''<sub>4</sub>
 
−
|-
 
−
| ''p''<sub>5</sub>
 
−
|-
 
−
| ''p''<sub>6</sub>
 
−
|-
 
−
| ''p''<sub>7</sub>
 
−
|}
 
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center"
+
<math>\begin{matrix}
−
| ''q''<sub>01</sub>
+
f_5
−
|-
+
\\[4pt]
−
| ''q''<sub>03</sub>
+
f_{10}
−
|-
+
\end{matrix}</math>
−
| ''q''<sub>05</sub>
+
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
f_{0101}
 +
\\[4pt]
 +
f_{1010}
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
0~1~0~1
 +
\\[4pt]
 +
1~0~1~0
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(q)
 +
\\[4pt]
 +
~q~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\text{not}~ q
 +
\\[4pt]
 +
q
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\lnot q
 +
\\[4pt]
 +
q
 +
\end{matrix}</math>
 
|-
 
|-
−
| ''q''<sub>15</sub>
+
|
−
|-
+
<math>\begin{matrix}
−
| ''q''<sub>17</sub>
+
f_7
−
|-
+
\\[4pt]
−
| ''q''<sub>19</sub>
+
f_{11}
−
|-
+
\\[4pt]
−
| ''q''<sub>21</sub>
+
f_{13}
 +
\\[4pt]
 +
f_{14}
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
f_{0111}
 +
\\[4pt]
 +
f_{1011}
 +
\\[4pt]
 +
f_{1101}
 +
\\[4pt]
 +
f_{1110}
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
0~1~1~1
 +
\\[4pt]
 +
1~0~1~1
 +
\\[4pt]
 +
1~1~0~1
 +
\\[4pt]
 +
1~1~1~0
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
~(p~~q)~
 +
\\[4pt]
 +
~(p~(q))
 +
\\[4pt]
 +
((p)~q)~
 +
\\[4pt]
 +
((p)(q))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\text{not both}~ p ~\text{and}~ q
 +
\\[4pt]
 +
\text{not}~ p ~\text{without}~ q
 +
\\[4pt]
 +
\text{not}~ q ~\text{without}~ p
 +
\\[4pt]
 +
p ~\text{or}~ q
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\lnot p \lor \lnot q
 +
\\[4pt]
 +
p \Rightarrow q
 +
\\[4pt]
 +
p \Leftarrow q
 +
\\[4pt]
 +
p \lor q
 +
\end{matrix}</math>
 
|-
 
|-
−
| ''q''<sub>31</sub>
+
| <math>f_{15}\!</math>
−
|}
+
| <math>f_{1111}\!</math>
−
| colspan="5" |
+
| <math>1~1~1~1</math>
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
+
| <math>((~))</math>
−
| 0. || 0 || 0 || 0 || 1
+
| <math>\text{true}\!</math>
−
|-
+
| <math>1\!</math>
−
| 0. || 0 || 0 || 1 || 1
 
−
|-
 
−
| 0. || 0 || 1 || 0 || 1
 
−
|-
 
−
| 0. || 1 || 1 || 1 || 1
 
−
|-
 
−
| 1. || 0 || 0 || 0 || 1
 
−
|-
 
−
| 1. || 0 || 0 || 1 || 1
 
−
|-
 
−
| 1. || 0 || 1 || 0 || 1
 
−
|-
 
−
| 1. || 1 || 1 || 1 || 1
 
−
|}
 
 
|}
 
|}
 +
 
<br>
 
<br>
  
−
===Table 17-b.  A Couple of Orbits in Fourth Gear:  Orbit 2===
+
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="text-align:center; width:90%"
−
 
+
|+ <math>\text{Table A3.}~~\operatorname{E}f ~\text{Expanded Over Differential Features}~ \{ \operatorname{d}p, \operatorname{d}q \}</math>
−
<pre>
+
|- style="background:#f0f0ff"
−
Table 17-b.  A Couple of Orbits in Fourth Gear:  Orbit 2
+
| width="10%" | &nbsp;
−
o---------o---------o---------o---------o---------o---------o---------o
+
| width="18%" | <math>f\!</math>
−
| Time    | State  |    A    |  dA    |        |        |        |
+
| width="18%" |
−
|  p_i    |  q_j    |  d^0.A  |  d^1.A  |  d^2.A  |  d^3.A  |  d^4.A  |
+
<p><math>\operatorname{T}_{11} f</math></p>
−
o---------o---------o---------o---------o---------o---------o---------o
+
<p><math>\operatorname{E}f|_{\operatorname{d}p~\operatorname{d}q}</math></p>
−
|        |        |                                                |
+
| width="18%" |
−
|  p_0    |  q_25  |    1.        1        0        0        1    |
+
<p><math>\operatorname{T}_{10} f</math></p>
−
|        |        |                                                |
+
<p><math>\operatorname{E}f|_{\operatorname{d}p(\operatorname{d}q)}</math></p>
−
|  p_1    |  q_11  |    0.        1        0        1        1    |
+
| width="18%" |
−
|        |        |                                                |
+
<p><math>\operatorname{T}_{01} f</math></p>
−
|  p_2    |  q_29  |    1.        1        1        0        1    |
+
<p><math>\operatorname{E}f|_{(\operatorname{d}p)\operatorname{d}q}</math></p>
−
|        |        |                                                |
+
| width="18%" |
−
|  p_3    |  q_07  |    0.        0        1        1        1    |
+
<p><math>\operatorname{T}_{00} f</math></p>
−
|        |        |                                                |
+
<p><math>\operatorname{E}f|_{(\operatorname{d}p)(\operatorname{d}q)}</math></p>
−
|  p_4    |  q_09  |    0.        1        0        0        1    |
+
|-
−
|        |        |                                                |
+
| <math>f_0\!</math>
−
|  p_5    |  q_27  |    1.        1        0        1        1    |
+
| <math>(~)</math>
−
|        |        |                                                |
+
| <math>(~)</math>
−
|  p_6    |  q_13  |    0.        1        1        0        1    |
+
| <math>(~)</math>
−
|        |        |                                                |
+
| <math>(~)</math>
−
|  p_7    |  q_23  |    1.        0        1        1        1    |
+
| <math>(~)</math>
−
|        |        |                                                |
 
−
o---------o---------o---------o---------o---------o---------o---------o
 
−
</pre>
 
−
 
 
−
{| align="center" border="1" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
 
−
|+ '''Table 17-b. A Couple of Orbits in Fourth Gear:  Orbit 2'''
 
−
|- style="background:paleturquoise"
 
−
| Time
 
−
| State
 
−
| ''A''
 
−
| d''A''
 
−
| &nbsp;
 
−
| &nbsp;
 
−
| &nbsp;
 
−
|- style="background:paleturquoise"
 
−
| ''p''<sub>''i''</sub>
 
−
| ''q''<sub>''j''</sub>
 
−
| d<sup>0</sup>''A''
 
−
| d<sup>1</sup>''A''
 
−
| d<sup>2</sup>''A''
 
−
| d<sup>3</sup>''A''
 
−
| d<sup>4</sup>''A''
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center"
+
<math>\begin{matrix}
−
| ''p''<sub>0</sub>
+
f_1
−
|-
+
\\[4pt]
−
| ''p''<sub>1</sub>
+
f_2
−
|-
+
\\[4pt]
−
| ''p''<sub>2</sub>
+
f_4
−
|-
+
\\[4pt]
−
| ''p''<sub>3</sub>
+
f_8
−
|-
+
\end{matrix}</math>
−
| ''p''<sub>4</sub>
 
−
|-
 
−
| ''p''<sub>5</sub>
 
−
|-
 
−
| ''p''<sub>6</sub>
 
−
|-
 
−
| ''p''<sub>7</sub>
 
−
|}
 
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center"
+
<math>\begin{matrix}
−
| ''q''<sub>25</sub>
+
(p)(q)
−
|-
+
\\[4pt]
−
| ''q''<sub>11</sub>
+
(p)~q~
 +
\\[4pt]
 +
~p~(q)
 +
\\[4pt]
 +
~p~~q~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
~p~~q~
 +
\\[4pt]
 +
~p~(q)
 +
\\[4pt]
 +
(p)~q~
 +
\\[4pt]
 +
(p)(q)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
~p~(q)
 +
\\[4pt]
 +
~p~~q~
 +
\\[4pt]
 +
(p)(q)
 +
\\[4pt]
 +
(p)~q~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(p)~q~
 +
\\[4pt]
 +
(p)(q)
 +
\\[4pt]
 +
~p~~q~
 +
\\[4pt]
 +
~p~(q)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(p)(q)
 +
\\[4pt]
 +
(p)~q~
 +
\\[4pt]
 +
~p~(q)
 +
\\[4pt]
 +
~p~~q~
 +
\end{matrix}</math>
 
|-
 
|-
−
| ''q''<sub>29</sub>
+
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
f_3
 +
\\[4pt]
 +
f_{12}
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(p)
 +
\\[4pt]
 +
~p~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
~p~
 +
\\[4pt]
 +
(p)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
~p~
 +
\\[4pt]
 +
(p)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(p)
 +
\\[4pt]
 +
~p~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(p)
 +
\\[4pt]
 +
~p~
 +
\end{matrix}</math>
 
|-
 
|-
−
| ''q''<sub>07</sub>
+
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
f_6
 +
\\[4pt]
 +
f_9
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
~(p,~q)~
 +
\\[4pt]
 +
((p,~q))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
~(p,~q)~
 +
\\[4pt]
 +
((p,~q))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
((p,~q))
 +
\\[4pt]
 +
~(p,~q)~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
((p,~q))
 +
\\[4pt]
 +
~(p,~q)~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
~(p,~q)~
 +
\\[4pt]
 +
((p,~q))
 +
\end{matrix}</math>
 
|-
 
|-
−
| ''q''<sub>09</sub>
+
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
f_5
 +
\\[4pt]
 +
f_{10}
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(q)
 +
\\[4pt]
 +
~q~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
~q~
 +
\\[4pt]
 +
(q)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(q)
 +
\\[4pt]
 +
~q~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
~q~
 +
\\[4pt]
 +
(q)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(q)
 +
\\[4pt]
 +
~q~
 +
\end{matrix}</math>
 
|-
 
|-
−
| ''q''<sub>27</sub>
+
|
−
|-
+
<math>\begin{matrix}
−
| ''q''<sub>13</sub>
+
f_7
 +
\\[4pt]
 +
f_{11}
 +
\\[4pt]
 +
f_{13}
 +
\\[4pt]
 +
f_{14}
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(~p~~q~)
 +
\\[4pt]
 +
(~p~(q))
 +
\\[4pt]
 +
((p)~q~)
 +
\\[4pt]
 +
((p)(q))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
((p)(q))
 +
\\[4pt]
 +
((p)~q~)
 +
\\[4pt]
 +
(~p~(q))
 +
\\[4pt]
 +
(~p~~q~)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
((p)~q~)
 +
\\[4pt]
 +
((p)(q))
 +
\\[4pt]
 +
(~p~~q~)
 +
\\[4pt]
 +
(~p~(q))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(~p~(q))
 +
\\[4pt]
 +
(~p~~q~)
 +
\\[4pt]
 +
((p)(q))
 +
\\[4pt]
 +
((p)~q~)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(~p~~q~)
 +
\\[4pt]
 +
(~p~(q))
 +
\\[4pt]
 +
((p)~q~)
 +
\\[4pt]
 +
((p)(q))
 +
\end{matrix}</math>
 
|-
 
|-
−
| ''q''<sub>23</sub>
+
| <math>f_{15}\!</math>
 +
| <math>((~))</math>
 +
| <math>((~))</math>
 +
| <math>((~))</math>
 +
| <math>((~))</math>
 +
| <math>((~))</math>
 +
|- style="background:#f0f0ff"
 +
| colspan="2" | <math>\text{Fixed Point Total}\!</math>
 +
| <math>4\!</math>
 +
| <math>4\!</math>
 +
| <math>4\!</math>
 +
| <math>16\!</math>
 
|}
 
|}
−
| colspan="5" |
+
 
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
+
<br>
−
| 1. || 1 || 0 || 0 || 1
+
 
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="text-align:center; width:90%"
 +
|+ <math>\text{Table A4.}~~\operatorname{D}f ~\text{Expanded Over Differential Features}~ \{ \operatorname{d}p, \operatorname{d}q \}</math>
 +
|- style="background:#f0f0ff"
 +
| width="10%" | &nbsp;
 +
| width="18%" | <math>f\!</math>
 +
| width="18%" |
 +
<math>\operatorname{D}f|_{\operatorname{d}p~\operatorname{d}q}</math>
 +
| width="18%" |
 +
<math>\operatorname{D}f|_{\operatorname{d}p(\operatorname{d}q)}</math>
 +
| width="18%" |
 +
<math>\operatorname{D}f|_{(\operatorname{d}p)\operatorname{d}q}</math>
 +
| width="18%" |
 +
<math>\operatorname{D}f|_{(\operatorname{d}p)(\operatorname{d}q)}</math>
 
|-
 
|-
−
| 0. || 1 || 0 || 1 || 1
+
| <math>f_0\!</math>
 +
| <math>(~)</math>
 +
| <math>(~)</math>
 +
| <math>(~)</math>
 +
| <math>(~)</math>
 +
| <math>(~)</math>
 
|-
 
|-
−
| 1. || 1 || 1 || 0 || 1
+
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
f_1
 +
\\[4pt]
 +
f_2
 +
\\[4pt]
 +
f_4
 +
\\[4pt]
 +
f_8
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(p)(q)
 +
\\[4pt]
 +
(p)~q~
 +
\\[4pt]
 +
~p~(q)
 +
\\[4pt]
 +
~p~~q~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
((p,~q))
 +
\\[4pt]
 +
~(p,~q)~
 +
\\[4pt]
 +
~(p,~q)~
 +
\\[4pt]
 +
((p,~q))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(q)
 +
\\[4pt]
 +
~q~
 +
\\[4pt]
 +
(q)
 +
\\[4pt]
 +
~q~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(p)
 +
\\[4pt]
 +
(p)
 +
\\[4pt]
 +
~p~
 +
\\[4pt]
 +
~p~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(~)
 +
\\[4pt]
 +
(~)
 +
\\[4pt]
 +
(~)
 +
\\[4pt]
 +
(~)
 +
\end{matrix}</math>
 
|-
 
|-
−
| 0. || 0 || 1 || 1 || 1
+
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
f_3
 +
\\[4pt]
 +
f_{12}
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(p)
 +
\\[4pt]
 +
~p~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
((~))
 +
\\[4pt]
 +
((~))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
((~))
 +
\\[4pt]
 +
((~))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(~)
 +
\\[4pt]
 +
(~)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(~)
 +
\\[4pt]
 +
(~)
 +
\end{matrix}</math>
 
|-
 
|-
−
| 0. || 1 || 0 || 0 || 1
+
|
−
|-
+
<math>\begin{matrix}
−
| 1. || 1 || 0 || 1 || 1
+
f_6
−
|-
+
\\[4pt]
−
| 0. || 1 || 1 || 0 || 1
+
f_9
−
|-
+
\end{matrix}</math>
−
| 1. || 0 || 1 || 1 || 1
+
|
−
|}
+
<math>\begin{matrix}
−
|}
+
~(p,~q)~
 +
\\[4pt]
 +
((p,~q))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(~)
 +
\\[4pt]
 +
(~)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
((~))
 +
\\[4pt]
 +
((~))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
((~))
 +
\\[4pt]
 +
((~))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(~)
 +
\\[4pt]
 +
(~)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
f_5
 +
\\[4pt]
 +
f_{10}
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(q)
 +
\\[4pt]
 +
~q~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
((~))
 +
\\[4pt]
 +
((~))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(~)
 +
\\[4pt]
 +
(~)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
((~))
 +
\\[4pt]
 +
((~))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(~)
 +
\\[4pt]
 +
(~)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
f_7
 +
\\[4pt]
 +
f_{11}
 +
\\[4pt]
 +
f_{13}
 +
\\[4pt]
 +
f_{14}
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
~(p~~q)~
 +
\\[4pt]
 +
~(p~(q))
 +
\\[4pt]
 +
((p)~q)~
 +
\\[4pt]
 +
((p)(q))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
((p,~q))
 +
\\[4pt]
 +
~(p,~q)~
 +
\\[4pt]
 +
~(p,~q)~
 +
\\[4pt]
 +
((p,~q))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
~q~
 +
\\[4pt]
 +
(q)
 +
\\[4pt]
 +
~q~
 +
\\[4pt]
 +
(q)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
~p~
 +
\\[4pt]
 +
~p~
 +
\\[4pt]
 +
(p)
 +
\\[4pt]
 +
(p)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(~)
 +
\\[4pt]
 +
(~)
 +
\\[4pt]
 +
(~)
 +
\\[4pt]
 +
(~)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| <math>f_{15}\!</math>
 +
| <math>((~))</math>
 +
| <math>(~)</math>
 +
| <math>(~)</math>
 +
| <math>(~)</math>
 +
| <math>(~)</math>
 +
|}
 +
 
 
<br>
 
<br>
  
−
===Figure 18-a.  Extension from 1 to 2 Dimensions:  Areal===
+
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="text-align:center; width:90%"
−
 
+
|+ <math>\text{Table A5.}~~\operatorname{E}f ~\text{Expanded Over Ordinary Features}~ \{ p, q \}</math>
−
<pre>
+
|- style="background:#f0f0ff"
−
o-----------------------------------------------------------o
+
| width="10%" | &nbsp;
−
|                                                           |
+
| width="18%" | <math>f\!</math>
−
|              o                            o              |
+
| width="18%" | <math>\operatorname{E}f|_{xy}</math>
−
|             / \                          / \            |
+
| width="18%" | <math>\operatorname{E}f|_{p(q)}</math>
−
|            /  \                         /  \            |
+
| width="18%" | <math>\operatorname{E}f|_{(p)q}</math>
−
|          /     \                      /    \          |
+
| width="18%" | <math>\operatorname{E}f|_{(p)(q)}</math>
−
|         /      \                     /       \          |
+
|-
−
|         /        o                  o  1 1  o        |
+
| <math>f_0\!</math>
−
|       /        / \                / \      / \        |
+
| <math>(~)</math>
−
|       /        /  \               /   \    /  \      |
+
| <math>(~)</math>
−
|     /   1    /    \            /    \  /    \      |
+
| <math>(~)</math>
−
|     /        /      \    !e!    /       \ /      \    |
+
| <math>(~)</math>
−
|   o        /         o  ----> o  1 0  o  0 1  o    |
+
| <math>(~)</math>
−
|   |\      /         /          |\      / \      /|   |
+
|-
−
|    | \     /    0    /          | \     /  \     / |    |
+
|
−
|    |  \   /        /            |  \   /    \   /  |    |
+
<math>\begin{matrix}
−
|    |x_1\ /         /            |x_1\ /      \ /x_2|    |
+
f_1
−
|    o----o        /              o----o  0 0  o----o    |
+
\\[4pt]
−
|          \       /                    \       /          |
+
f_2
−
|          \     /                      \     /          |
+
\\[4pt]
−
|            \   /                        \   /            |
+
f_4
−
|            \ /                           \ /            |
+
\\[4pt]
−
|              o                            o              |
+
f_8
−
|                                                          |
+
\end{matrix}</math>
−
o-----------------------------------------------------------o
+
|
−
Figure 18-a.  Extension from 1 to 2 Dimensions:  Areal
+
<math>\begin{matrix}
−
</pre>
+
(p)(q)
−
 
+
\\[4pt]
−
===Figure 18-b.  Extension from 1 to 2 Dimensions:  Bundle===
+
(p)~q~
−
 
+
\\[4pt]
−
<pre>
+
~p~(q)
−
o-----------------------------o        o-------------------o
+
\\[4pt]
−
|                            |        |                  |
+
~p~~q~
−
|                            |        |    o-------o    |
+
\end{matrix}</math>
−
|        o---------o        |        |    /        \   |
+
|
−
|        /          \       |        |  o          o  |
+
<math>\begin{matrix}
−
|      /     o------------------------|  |    dx    |  |
+
~\operatorname{d}p~~\operatorname{d}q~
−
|      /              \     |        |  o          o  |
+
\\[4pt]
−
|    /                \     |        |    \         /    |
+
~\operatorname{d}p~(\operatorname{d}q)
−
|    o                  o    |        |    o-------o    |
+
\\[4pt]
−
|    |                  |    |        |                  |
+
(\operatorname{d}p)~\operatorname{d}q~
−
|    |                  |    |        o-------------------o
+
\\[4pt]
−
|    |        x        |    |
+
(\operatorname{d}p)(\operatorname{d}q)
−
|    |                  |    |        o-------------------o
+
\end{matrix}</math>
−
|    |                  |    |        |                  |
+
|
−
|    o                  o    |        |    o-------o    |
+
<math>\begin{matrix}
−
|    \                 /    |        |    /        \   |
+
~\operatorname{d}p~(\operatorname{d}q)
−
|      \               /      |        |  o          o  |
+
\\[4pt]
−
|      \             /    o------------|  |    dx    |  |
+
~\operatorname{d}p~~\operatorname{d}q~
−
|        \           /       |        |  o          o  |
+
\\[4pt]
−
|         o---------o        |        |    \        /    |
+
(\operatorname{d}p)(\operatorname{d}q)
−
|                            |        |    o-------o    |
+
\\[4pt]
−
|                            |        |                  |
+
(\operatorname{d}p)~\operatorname{d}q~
−
o-----------------------------o        o-------------------o
+
\end{matrix}</math>
−
Figure 18-b.  Extension from 1 to 2 Dimensions:  Bundle
+
|
−
</pre>
+
<math>\begin{matrix}
−
 
+
(\operatorname{d}p)~\operatorname{d}q~
−
===Figure 18-c.  Extension from 1 to 2 Dimensions:  Compact===
+
\\[4pt]
−
 
+
(\operatorname{d}p)(\operatorname{d}q)
−
<pre>
+
\\[4pt]
−
o-----------------------------------------------------------o
+
~\operatorname{d}p~~\operatorname{d}q~
−
|                                                          |
+
\\[4pt]
−
|                                                          |
+
~\operatorname{d}p~(\operatorname{d}q)
−
|              o-----------------o                        |
+
\end{matrix}</math>
−
|              /        o        \                       |
+
|
−
|            /    (dx) / \         \ dx                    |
+
<math>\begin{matrix}
−
|            /         v  o--------------------->o        |
+
(\operatorname{d}p)(\operatorname{d}q)
−
|          /          \ /          \                     |
+
\\[4pt]
−
|          /            o            \                   |
+
(\operatorname{d}p)~\operatorname{d}q~
−
|        o                            o                  |
+
\\[4pt]
−
|        |                            |                  |
+
~\operatorname{d}p~(\operatorname{d}q)
−
|        |                            |                  |
+
\\[4pt]
−
|        |              x              |        (x)        |
+
~\operatorname{d}p~~\operatorname{d}q~
−
|        |                            |                  |
+
\end{matrix}</math>
−
|        |                            |                  |
+
|-
−
|        o                            o                  |
+
|
−
|          \                           /          o        |
+
<math>\begin{matrix}
−
|          \                        /         / \        |
+
f_3
−
|            \          o<---------------------o  v      |
+
\\[4pt]
−
|            \                    / dx        \ / (dx)  |
+
f_{12}
−
|              \                  /              o        |
+
\end{matrix}</math>
−
|              o-----------------o                        |
+
|
−
|                                                          |
+
<math>\begin{matrix}
−
|                                                          |
+
(p)
−
o-----------------------------------------------------------o
+
\\[4pt]
−
Figure 18-c.  Extension from 1 to 2 Dimensions:  Compact
+
~p~
−
</pre>
+
\end{matrix}</math>
−
 
+
|
−
===Figure 18-d.  Extension from 1 to 2 Dimensions:  Digraph===
+
<math>\begin{matrix}
−
 
+
~\operatorname{d}p~
−
<pre>
+
\\[4pt]
−
o-----------------------------------------------------------o
+
(\operatorname{d}p)
−
|                                                          |
+
\end{matrix}</math>
−
|                                                          |
+
|
−
|                            dx                            |
+
<math>\begin{matrix}
−
|          .--.  .---------->----------.  .--.          |
+
~\operatorname{d}p~
−
|          |  \ /                      \ /  |          |
+
\\[4pt]
−
|    (dx)  ^    @  x                (x)  @    v  (dx)    |
+
(\operatorname{d}p)
−
|          |  / \                      / \  |          |
+
\end{matrix}</math>
−
|          *--*  *----------<----------*  *--*          |
+
|
−
|                            dx                            |
+
<math>\begin{matrix}
−
|                                                          |
+
(\operatorname{d}p)
−
|                                                          |
+
\\[4pt]
−
o-----------------------------------------------------------o
+
~\operatorname{d}p~
−
Figure 18-d.  Extension from 1 to 2 Dimensions:  Digraph
+
\end{matrix}</math>
−
</pre>
+
|
−
 
+
<math>\begin{matrix}
−
===Figure 19-a.  Extension from 2 to 4 Dimensions:  Areal===
+
(\operatorname{d}p)
−
 
+
\\[4pt]
−
<pre>
+
~\operatorname{d}p~
−
o-------------------------------------------------------------------------------o
+
\end{matrix}</math>
−
|                                                                              |
+
|-
−
|                  o                                      o                  |
+
|
−
|                  / \                                    / \                  |
+
<math>\begin{matrix}
−
|                /  \                                  /  \                |
+
f_6
−
|                /    \                                /    \                |
+
\\[4pt]
−
|              /      \                              o 1100  o              |
+
f_9
−
|              /        \                            / \    / \              |
+
\end{matrix}</math>
−
|            /          \                          /  \  /  \            |
+
|
−
|            /            \          !e!          /    \ /    \            |
+
<math>\begin{matrix}
−
|          o      1 1      o        ---->        o 1101  o 1110  o          |
+
~(p,~q)~
−
|          / \            / \                    / \    / \    / \          |
+
\\[4pt]
−
|        /  \          /  \                  /  \  /  \  /  \        |
+
((p,~q))
−
|        /    \        /    \                /    \ /    \ /    \        |
+
\end{matrix}</math>
−
|      /      \      /      \              o 1001  o 1111  o 0110  o      |
+
|
−
|      /        \    /        \            / \    / \    / \    / \      |
+
<math>\begin{matrix}
−
|    /          \  /          \          /  \  /  \  /  \  /  \    |
+
~(\operatorname{d}p,~\operatorname{d}q)~
−
|    /            \ /            \        /    \ /    \ /    \ /    \    |
+
\\[4pt]
−
|  o      1 0      o      0 1      o      o 1000  o 1011  o 0111  o 0100  o  |
+
((\operatorname{d}p,~\operatorname{d}q))
−
|  |\            / \            /|      |\    / \    / \    / \    /|  |
+
\end{matrix}</math>
−
|  | \          /  \          / |      | \  /  \  /  \  /  \  / |  |
+
|
−
|  |  \        /    \        /  |      |  \ /    \ /    \ /    \ /  |  |
+
<math>\begin{matrix}
−
|  |  \      /      \      /  |      |  o 1010  o 0011  o 0101  o  |  |
+
((\operatorname{d}p,~\operatorname{d}q))
−
|  |    \    /        \    /    |      |  |\    / \    / \    /|  |  |
+
\\[4pt]
−
|  |    \  /          \  /    |      |  | \  /  \  /  \  / |  |  |
+
~(\operatorname{d}p,~\operatorname{d}q)~
−
|  | x_1  \ /            \ /  x_2 |      |x_1|  \ /    \ /    \ /  |x_2|  |
+
\end{matrix}</math>
−
|  o-------o      0 0      o-------o      o---+---o 0010  o 0001  o---+---o  |
 
−
|            \            /                    |    \    / \    /    |      |
 
−
|            \          /                    |    \  /  \  /    |      |
 
−
|              \        /                      | x_3  \ /    \ /  x_4 |      |
 
−
|              \      /                      o-------o 0000  o-------o      |
 
−
|                \    /                                \    /                |
 
−
|                \  /                                  \  /                |
 
−
|                  \ /                                    \ /                  |
 
−
|                  o                                      o                  |
 
−
|                                                                              |
 
−
o-------------------------------------------------------------------------------o
 
−
Figure 19-a.  Extension from 2 to 4 Dimensions:  Areal
 
−
</pre>
 
−
 
 
−
===Figure 19-b.  Extension from 2 to 4 Dimensions:  Bundle===
 
−
 
 
−
<pre>
 
−
                                                  o-----------------------------o
 
−
                                                  |      o-----o  o-----o      |
 
−
                                                  |    /      \ /      \    |
 
−
                                                  |    /        o        \    |
 
−
                                                  |  /        / \        \  |
 
−
                                                  |  o        o  o        o  |
 
−
                                                  @  |  du    |  |    dv  |  |
 
−
                                                /|  o        o  o        o  |
 
−
                                                / |  \        \ /        /  |
 
−
                                              /  |    \        o        /    |
 
−
                                              /  |    \      / \      /    |
 
−
                                            /    |      o-----o  o-----o      |
 
−
                                            /    o-----------------------------o
 
−
                                          /
 
−
o-----------------------------------------/---o  o-----------------------------o
 
−
|                                        /    |  |      o-----o  o-----o      |
 
−
|                                      @    |  |    /      \ /      \    |
 
−
|          o---------o  o---------o          |  |    /        o        \    |
 
−
|        /          \ /          \        |  |  /        / \        \  |
 
−
|        /            o            \        |  |  o        o  o        o  |
 
−
|      /            / \    @-------\-----------@  |  du    |  |    dv  |  |
 
−
|      /            / @ \            \      |  |  o        o  o        o  |
 
−
|    /            /  \ \            \    |  |  \        \ /        /  |
 
−
|    /            /    \ \            \    |  |    \        o        /    |
 
−
|  o            o      \ o            o  |  |    \      / \      /    |
 
−
|  |            |        \|            |  |  |      o-----o  o-----o      |
 
−
|  |            |        |            |  |  o-----------------------------o
 
−
|  |      u      |        |\    v      |  |
 
−
|  |            |        | \          |  |  o-----------------------------o
 
−
|  |            |        |  \          |  |  |      o-----o  o-----o      |
 
−
|  o            o        o  \        o  |  |    /      \ /      \    |
 
−
|    \            \      /    \      /    |  |    /        o        \    |
 
−
|    \            \    /      \    /    |  |  /        / \        \  |
 
−
|      \            \  /        \  /      |  |  o        o  o        o  |
 
−
|      \      @-----\-/-----------\-------------@  |  du    |  |    dv  |  |
 
−
|        \            o            /        |  |  o        o  o        o  |
 
−
|        \          / \          / \      |  |  \        \ /        /  |
 
−
|          o---------o  o---------o  \      |  |    \        o        /    |
 
−
|                                      \    |  |    \      / \      /    |
 
−
|                                        \    |  |      o-----o  o-----o      |
 
−
o-----------------------------------------\---o  o-----------------------------o
 
−
                                          \
 
−
                                            \    o-----------------------------o
 
−
                                            \    |      o-----o  o-----o      |
 
−
                                              \  |    /      \ /      \    |
 
−
                                              \  |    /        o        \    |
 
−
                                                \ |  /        / \        \  |
 
−
                                                \|  o        o  o        o  |
 
−
                                                  @  |  du    |  |    dv  |  |
 
−
                                                  |  o        o  o        o  |
 
−
                                                  |  \        \ /        /  |
 
−
                                                  |    \        o        /    |
 
−
                                                  |    \      / \      /    |
 
−
                                                  |      o-----o  o-----o      |
 
−
                                                  o-----------------------------o
 
−
Figure 19-b.  Extension from 2 to 4 Dimensions:  Bundle
 
−
</pre>
 
−
 
 
−
===Figure 19-c.  Extension from 2 to 4 Dimensions:  Compact===
 
−
 
 
−
<pre>
 
−
o---------------------------------------------------------------------o
 
−
|                                                                    |
 
−
|                                                                    |
 
−
|            o-------------------o  o-------------------o            |
 
−
|          /                    \ /                    \          |
 
−
|          /                      o                      \          |
 
−
|        /                      / \                      \        |
 
−
|        /                      /  \                      \        |
 
−
|      /                      /    \                      \      |
 
−
|      /                      /      \                      \      |
 
−
|    /                      /        \                      \    |
 
−
|    o                      o (du).(dv) o                      o    |
 
−
|    |                      |  -->--  |                      |    |
 
−
|    |                      |  \  /  |                      |    |
 
−
|    |              dv .(du) |    \ /    | du .(dv)              |    |
 
−
|    |      u      <---------------@--------------->      v      |    |
 
−
|    |                      |    |    |                      |    |
 
−
|    |                      |    |    |                      |    |
 
−
|    |                      |    |    |                      |    |
 
−
|    o                      o    |    o                      o    |
 
−
|    \                      \    |    /                      /    |
 
−
|      \                      \  |  /                      /      |
 
−
|      \                      \  |  /                      /      |
 
−
|        \                      \ | /                      /        |
 
−
|        \                      \|/                      /        |
 
−
|          \                      |                      /          |
 
−
|          \                    /|\                    /          |
 
−
|            o-------------------o | o-------------------o            |
 
−
|                                  |                                  |
 
−
|                              du . dv                              |
 
−
|                                  |                                  |
 
−
|                                  V                                  |
 
−
|                                                                    |
 
−
o---------------------------------------------------------------------o
 
−
Figure 19-c.  Extension from 2 to 4 Dimensions:  Compact
 
−
</pre>
 
−
 
 
−
===Figure 19-d.  Extension from 2 to 4 Dimensions:  Digraph===
 
−
 
 
−
<pre>
 
−
o-----------------------------------------------------------o
 
−
|                                                          |
 
−
|                          .->-.                          |
 
−
|                          |  |                          |
 
−
|                          *  *                          |
 
−
|                            \ /                            |
 
−
|                      .-->--@--<--.                      |
 
−
|                      /    / \    \                      |
 
−
|                    /    /  \    \                    |
 
−
|                    /    .    .    \                    |
 
−
|                  /      |    |      \                  |
 
−
|                  /      |    |      \                  |
 
−
|                /        |    |        \                |
 
−
|                .        |    |        .                |
 
−
|                |        |    |        |                |
 
−
|                v        |    |        v                |
 
−
|          .--. | .---------->----------. | .--.          |
 
−
|          |  \|/        |    |        \|/  |          |
 
−
|          ^    @        ^    v        @    v          |
 
−
|          |  /|\        |    |        /|\  |          |
 
−
|          *--* | *----------<----------* | *--*          |
 
−
|                ^        |    |        ^                |
 
−
|                |        |    |        |                |
 
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|                *        |    |        *                |
 
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|                \        |    |        /                |
 
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|                  \      |    |      /                  |
 
−
|                  \      |    |      /                  |
 
−
|                    \    .    .    /                    |
 
−
|                    \    \  /    /                    |
 
−
|                      \    \ /    /                      |
 
−
|                      *-->--@--<--*                      |
 
−
|                            / \                            |
 
−
|                          .  .                          |
 
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|                          |  |                          |
 
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|                          *-<-*                          |
 
−
|                                                          |
 
−
o-----------------------------------------------------------o
 
−
Figure 19-d.  Extension from 2 to 4 Dimensions:  Digraph
 
−
</pre>
 
−
 
 
−
===Figure 20-i.  Thematization of Conjunction (Stage 1)===
 
−
 
 
−
<pre>
 
−
o-------------------------------o    o-------------------------------o
 
−
|                              |    |                              |
 
−
|      o-----o  o-----o      |    |      o-----o  o-----o      |
 
−
|      /      \ /      \      |    |      /      \ /      \      |
 
−
|    /        o        \    |    |    /        o        \    |
 
−
|    /        /`\        \    |    |    /        /`\        \    |
 
−
|  o        o```o        o  |    |  o        o```o        o  |
 
−
|  |    u    |```|    v    |  |    |  |    u    |```|    v    |  |
 
−
|  o        o```o        o  |    |  o        o```o        o  |
 
−
|    \        \`/        /    |    |    \        \`/        /    |
 
−
|    \        o        /    |    |    \        o        /    |
 
−
|      \      / \      /      |    |      \      / \      /      |
 
−
|      o-----o  o-----o      |    |      o-----o  o-----o      |
 
−
|                              |    |                              |
 
−
o-------------------------------o    o-------------------------------o
 
−
                                      \                            /
 
−
                                        \                        /
 
−
                                          \                    /
 
−
              u v                          \        J        /
 
−
                                              \            /
 
−
                                                \        /
 
−
                                                  \    /
 
−
                                                    \ /
 
−
                                                      o
 
−
Figure 20-i.  Thematization of Conjunction (Stage 1)
 
−
</pre>
 
−
 
 
−
===Figure 20-ii.  Thematization of Conjunction (Stage 2)===
 
−
 
 
−
<pre>
 
−
o-------------------------------o    o-------------------------------o
 
−
|                              |    |                              |
 
−
|      o-----o  o-----o      |    |      o-----o  o-----o      |
 
−
|      /      \ /      \      |    |      /      \ /      \      |
 
−
|    /        o        \    |    |    /        o        \    |
 
−
|    /        /`\        \    |    |    /        /`\        \    |
 
−
|  o        o```o        o  |    |  o        o```o        o  |
 
−
|  |    u    |```|    v    |  |    |  |    u    |```|    v    |  |
 
−
|  o        o```o        o  |    |  o        o```o        o  |
 
−
|    \        \`/        /    |    |    \        \`/        /    |
 
−
|    \        o        /    |    |    \        o        /    |
 
−
|      \      / \      /      |    |      \      / \      /      |
 
−
|      o-----o  o-----o      |    |      o-----o  o-----o      |
 
−
|                              |    |                              |
 
−
o-------------------------------o    o-------------------------------o
 
−
\                            /      \                            /
 
−
  \                        /          \                        /
 
−
    \                    /              \          J          /
 
−
      \                /                  \                /
 
−
        \            /                      \            /
 
−
o----------\---------/----------o    o----------\---------/----------o
 
−
|            \    /            |    |            \    /            |
 
−
|              \ /              |    |              \ /              |
 
−
|        o-----@-----o        |    |        o-----@-----o        |
 
−
|        /`````````````\        |    |        /`````````````\        |
 
−
|      /```````````````\      |    |      /```````````````\      |
 
−
|      /`````````````````\      |    |      /`````````````````\      |
 
−
|    o```````````````````o    |    |    o```````````````````o    |
 
−
|    |```````````````````|    |    |    |```````````````````|    |
 
−
|    |```````` J ````````|    |    |    |```````` x ````````|    |
 
−
|    |```````````````````|    |    |    |```````````````````|    |
 
−
|    o```````````````````o    |    |    o```````````````````o    |
 
−
|      \`````````````````/      |    |      \`````````````````/      |
 
−
|      \```````````````/      |    |      \```````````````/      |
 
−
|        \`````````````/        |    |        \`````````````/        |
 
−
|        o-----------o        |    |        o-----------o        |
 
−
|                              |    |                              |
 
−
|                              |    |                              |
 
−
o-------------------------------o    o-------------------------------o
 
−
            J = u v                            x = J<u, v>
 
−
 
 
−
Figure 20-ii.  Thematization of Conjunction (Stage 2)
 
−
</pre>
 
−
 
 
−
===Figure 20-iii.  Thematization of Conjunction (Stage 3)===
 
−
 
 
−
<pre>
 
−
o-------------------------------o    o-------------------------------o
 
−
|                              |    |```````````````````````````````|
 
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|                              |    |````````````o-----o````````````|
 
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|                              |    |```````````/      \```````````|
 
−
|                              |    |``````````/        \``````````|
 
−
|                              |    |`````````/          \`````````|
 
−
|                              |    |````````/            \````````|
 
−
|              J              |    |```````o      x      o```````|
 
−
|                              |    |```````|              |```````|
 
−
|                              |    |```````|              |```````|
 
−
|                              |    |```````|              |```````|
 
−
|      o-----o  o-----o      |    |```````o-----o  o-----o```````|
 
−
|      /      \ /      \      |    |``````/`\    \ /    /`\``````|
 
−
|    /        o        \    |    |`````/```\    o    /```\`````|
 
−
|    /        /`\        \    |    |````/`````\  /`\  /`````\````|
 
−
|  /        /```\        \  |    |```/```````\ /```\ /```````\```|
 
−
|  o        o`````o        o  |    |``o`````````o-----o`````````o``|
 
−
|  |    u    |`````|    v    |  |    |``|`````````|    |`````````|``|
 
−
o--o---------o-----o---------o--o    |``|``` u ```|    |``` v ```|``|
 
−
|``|`````````|    |`````````|``|    |``|`````````|    |`````````|``|
 
−
|``o`````````o    o`````````o``|    |``o`````````o    o`````````o``|
 
−
|```\`````````\  /`````````/```|    |```\`````````\  /`````````/```|
 
−
|````\`````````\ /`````````/````|    |````\`````````\ /`````````/````|
 
−
|`````\`````````o`````````/`````|    |`````\`````````o`````````/`````|
 
−
|``````\```````/`\```````/``````|    |``````\```````/`\```````/``````|
 
−
|```````o-----o```o-----o```````|    |```````o-----o```o-----o```````|
 
−
|```````````````````````````````|    |```````````````````````````````|
 
−
o-------------------------------o    o-------------------------------o
 
−
                                      \                            /
 
−
                                        \                        /
 
−
          J  =  u v                      \                    /
 
−
                                            \      !j!      /
 
−
                                              \            /
 
−
        !j!  =  (( x , u v ))                  \        /
 
−
                                                  \    /
 
−
                                                    \ /
 
−
                                                      @
 
−
Figure 20-iii.  Thematization of Conjunction (Stage 3)
 
−
</pre>
 
−
 
 
−
===Figure 21.  Thematization of Disjunction and Equality===
 
−
 
 
−
<pre>
 
−
                f                                    g
 
−
o-------------------------------o    o-------------------------------o
 
−
|                              |    |```````````````````````````````|
 
−
|      o-----o  o-----o      |    |```````o-----o```o-----o```````|
 
−
|      /```````\ /```````\      |    |``````/      \`/      \``````|
 
−
|    /`````````o`````````\    |    |`````/        o        \`````|
 
−
|    /`````````/`\`````````\    |    |````/        /`\        \````|
 
−
|  /`````````/```\`````````\  |    |```/        /```\        \```|
 
−
|  o`````````o`````o```````` o  |    |``o        o`````o        o``|
 
−
|  |`````````|`````|`````````|  |    |``|        |`````|        |``|
 
−
|  |``` u ```|`````|``` v ```|  |    |``|    u    |`````|    v    |``|
 
−
|  |`````````|`````|`````````|  |    |``|        |`````|        |``|
 
−
|  o`````````o`````o`````````o  |    |``o        o`````o        o``|
 
−
|  \`````````\```/`````````/  |    |```\        \```/        /```|
 
−
|    \`````````\`/`````````/    |    |````\        \`/        /````|
 
−
|    \`````````o`````````/    |    |`````\        o        /`````|
 
−
|      \```````/ \```````/      |    |``````\      /`\      /``````|
 
−
|      o-----o  o-----o      |    |```````o-----o```o-----o```````|
 
−
|                              |    |```````````````````````````````|
 
−
o-------------------------------o    o-------------------------------o
 
−
            ((u)(v))                              ((u , v))
 
−
 
 
−
                |                                    |
 
−
                |                                    |
 
−
              theta                                theta
 
−
                |                                    |
 
−
                |                                    |
 
−
                v                                    v
 
−
 
 
−
              !f!                                  !g!
 
−
o-------------------------------o    o-------------------------------o
 
−
|```````````````````````````````|    |                              |
 
−
|````````````o-----o````````````|    |            o-----o            |
 
−
|```````````/      \```````````|    |          /```````\          |
 
−
|``````````/        \``````````|    |          /`````````\          |
 
−
|`````````/          \`````````|    |        /```````````\        |
 
−
|````````/            \````````|    |        /`````````````\        |
 
−
|```````o      f      o```````|    |      o`````` g ``````o      |
 
−
|```````|              |```````|    |      |```````````````|      |
 
−
|```````|              |```````|    |      |```````````````|      |
 
−
|```````|              |```````|    |      |```````````````|      |
 
−
|```````o-----o  o-----o```````|    |      o-----o```o-----o      |
 
−
|``````/ \`````\ /`````/ \``````|    |      /`\    \`/    /`\      |
 
−
|`````/  \`````o`````/  \`````|    |    /```\    o    /```\    |
 
−
|````/    \```/`\```/    \````|    |    /`````\  /`\  /`````\    |
 
−
|```/      \`/```\`/      \```|    |  /```````\ /```\ /```````\  |
 
−
|``o        o-----o        o``|    |  o`````````o-----o`````````o  |
 
−
|``|        |    |        |``|    |  |`````````|    |`````````|  |
 
−
|``|    u    |    |    v    |``|    |  |``` u ```|    |``` v ```|  |
 
−
|``|        |    |        |``|    |  |`````````|    |`````````|  |
 
−
|``o        o    o        o``|    |  o`````````o    o`````````o  |
 
−
|```\        \  /        /```|    |  \`````````\  /`````````/  |
 
−
|````\        \ /        /````|    |    \`````````\ /`````````/    |
 
−
|`````\        o        /`````|    |    \`````````o`````````/    |
 
−
|``````\      /`\      /``````|    |      \```````/ \```````/      |
 
−
|```````o-----o```o-----o```````|    |      o-----o  o-----o      |
 
−
|```````````````````````````````|    |                              |
 
−
o-------------------------------o    o-------------------------------o
 
−
        ((f , ((u)(v)) ))                    ((g , ((u , v)) ))
 
−
 
 
−
Figure 21.  Thematization of Disjunction and Equality
 
−
</pre>
 
−
 
 
−
===Table 22.  Disjunction ''f'' and Equality ''g''===
 
−
 
 
−
<pre>
 
−
Table 22.  Disjunction f and Equality g
 
−
o-------------------o-------------------o
 
−
|    u        v    |    f        g    |
 
−
o-------------------o-------------------o
 
−
|                  |                  |
 
−
|    0        0    |    0        1    |
 
−
|                  |                  |
 
−
|    0        1    |    1        0    |
 
−
|                  |                  |
 
−
|    1        0    |    1        0    |
 
−
|                  |                  |
 
−
|    1        1    |    1        1    |
 
−
|                  |                  |
 
−
o-------------------o-------------------o
 
−
</pre>
 
−
 
 
−
<font face="courier new">
 
−
{| align="center" border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
 
−
|+ '''Table 22.  Disjunction ''f'' and Equality ''g'' '''
 
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:paleturquoise; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
+
<math>\begin{matrix}
−
| ''u'' || ''v''
+
((\operatorname{d}p,~\operatorname{d}q))
−
|}
+
\\[4pt]
 +
~(\operatorname{d}p,~\operatorname{d}q)~
 +
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:paleturquoise; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
+
<math>\begin{matrix}
−
| ''f'' || ''g''
+
~(\operatorname{d}p,~\operatorname{d}q)~
−
|}
+
\\[4pt]
 +
((\operatorname{d}p,~\operatorname{d}q))
 +
\end{matrix}</math>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
+
<math>\begin{matrix}
−
| 0 || 0
+
f_5
−
|-
+
\\[4pt]
−
| 0 || 1
+
f_{10}
−
|-
+
\end{matrix}</math>
−
| 1 || 0
+
|
−
|-
+
<math>\begin{matrix}
−
| 1 || 1
+
(q)
−
|}
+
\\[4pt]
 +
~q~
 +
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
+
<math>\begin{matrix}
−
| 0 || 1
+
~\operatorname{d}q~
−
|-
+
\\[4pt]
−
| 1 || 0
+
(\operatorname{d}q)
−
|-
+
\end{matrix}</math>
−
| 1 || 0
 
−
|-
 
−
| 1 || 1
 
−
|}
 
−
|}
 
−
</font><br>
 
−
 
 
−
===Tables 23-i and 23-ii.  Thematics of Disjunction and Equality (1)===
 
−
 
 
−
<pre>
 
−
Tables 23-i and 23-ii.  Thematics of Disjunction and Equality (1)
 
−
o-----------------o-----------o        o-----------------o-----------o
 
−
|  u    v    f  |  x    !f! |        |  u    v    g  |  y    !g! |
 
−
o-----------------o-----------o        o-----------------o-----------o
 
−
|                |          |        |                |          |
 
−
|  0    0    --> |  0    1  |        |  0    0    --> |  1    1  |
 
−
|                |          |        |                |          |
 
−
|  0    1    --> |  1    1  |        |  0    1    --> |  0    1  |
 
−
|                |          |        |                |          |
 
−
|  1    0    --> |  1    1  |        |  1    0    --> |  0    1  |
 
−
|                |          |        |                |          |
 
−
|  1    1    --> |  1    1  |        |  1    1    --> |  1    1  |
 
−
|                |          |        |                |          |
 
−
o-----------------o-----------o        o-----------------o-----------o
 
−
|                |          |        |                |          |
 
−
|  0    0        |  1    0  |        |  0    0        |  0    0  |
 
−
|                |          |        |                |          |
 
−
|  0    1        |  0    0  |        |  0    1        |  1    0  |
 
−
|                |          |        |                |          |
 
−
|  1    0        |  0    0  |        |  1    0        |  1    0  |
 
−
|                |          |        |                |          |
 
−
|  1    1        |  0    0  |        |  1    1        |  0    0  |
 
−
|                |          |        |                |          |
 
−
o-----------------o-----------o        o-----------------o-----------o
 
−
</pre>
 
−
 
 
−
{| align="center" style="width:96%"
 
−
|+ '''Tables 23-i and 23-ii.  Thematics of Disjunction and Equality (1)'''
 
 
|
 
|
−
{| align="center" border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
+
<math>\begin{matrix}
−
|+ '''Table 23-i.  Disjunction ''f'' '''
+
(\operatorname{d}q)
 +
\\[4pt]
 +
~\operatorname{d}q~
 +
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:paleturquoise; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
+
<math>\begin{matrix}
−
| ''u'' || ''v'' || ''f''
+
~\operatorname{d}q~
−
|}
+
\\[4pt]
 +
(\operatorname{d}q)
 +
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:paleturquoise; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
+
<math>\begin{matrix}
−
| ''x'' || &phi;
+
(\operatorname{d}q)
−
|}
+
\\[4pt]
 +
~\operatorname{d}q~
 +
\end{matrix}</math>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
+
<math>\begin{matrix}
−
| 0 || 0 || &rarr;
+
f_7
−
|-
+
\\[4pt]
−
| 0 || 1 || &rarr;
+
f_{11}
−
|-
+
\\[4pt]
−
| 1 || 0 || &rarr;
+
f_{13}
−
|-
+
\\[4pt]
−
| 1 || 1 || &rarr;
+
f_{14}
−
|}
+
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(~p~~q~)
 +
\\[4pt]
 +
(~p~(q))
 +
\\[4pt]
 +
((p)~q~)
 +
\\[4pt]
 +
((p)(q))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
((\operatorname{d}p)(\operatorname{d}q))
 +
\\[4pt]
 +
((\operatorname{d}p)~\operatorname{d}q~)
 +
\\[4pt]
 +
(~\operatorname{d}p~(\operatorname{d}q))
 +
\\[4pt]
 +
(~\operatorname{d}p~~\operatorname{d}q~)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
((\operatorname{d}p)~\operatorname{d}q~)
 +
\\[4pt]
 +
((\operatorname{d}p)(\operatorname{d}q))
 +
\\[4pt]
 +
(~\operatorname{d}p~~\operatorname{d}q~)
 +
\\[4pt]
 +
(~\operatorname{d}p~(\operatorname{d}q))
 +
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
+
<math>\begin{matrix}
−
| 0 || 1
+
(~\operatorname{d}p~(\operatorname{d}q))
−
|-
+
\\[4pt]
−
| 1 || 1
+
(~\operatorname{d}p~~\operatorname{d}q~)
−
|-
+
\\[4pt]
−
| 1 || 1
+
((\operatorname{d}p)(\operatorname{d}q))
−
|-
+
\\[4pt]
−
| 1 || 1
+
((\operatorname{d}p)~\operatorname{d}q~)
−
|}
+
\end{matrix}</math>
−
|-
 
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
+
<math>\begin{matrix}
−
| 0 || 0 || &nbsp;&nbsp;
+
(~\operatorname{d}p~~\operatorname{d}q~)
−
|-
+
\\[4pt]
−
| 0 || 1 || &nbsp;&nbsp;
+
(~\operatorname{d}p~(\operatorname{d}q))
−
|-
+
\\[4pt]
−
| 1 || 0 || &nbsp;&nbsp;
+
((\operatorname{d}p)~\operatorname{d}q~)
 +
\\[4pt]
 +
((\operatorname{d}p)(\operatorname{d}q))
 +
\end{matrix}</math>
 
|-
 
|-
−
| 1 || 1 || &nbsp;&nbsp;
+
| <math>f_{15}\!</math>
 +
| <math>((~))</math>
 +
| <math>((~))</math>
 +
| <math>((~))</math>
 +
| <math>((~))</math>
 +
| <math>((~))</math>
 
|}
 
|}
−
|
+
 
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
+
<br>
−
| 1 || 0
+
 
−
|-
+
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="text-align:center; width:90%"
−
| 0 || 0
+
|+ <math>\text{Table A6.}~~\operatorname{D}f ~\text{Expanded Over Ordinary Features}~ \{ p, q \}</math>
 +
|- style="background:#f0f0ff"
 +
| width="10%" | &nbsp;
 +
| width="18%" | <math>f\!</math>
 +
| width="18%" | <math>\operatorname{D}f|_{xy}</math>
 +
| width="18%" | <math>\operatorname{D}f|_{p(q)}</math>
 +
| width="18%" | <math>\operatorname{D}f|_{(p)q}</math>
 +
| width="18%" | <math>\operatorname{D}f|_{(p)(q)}</math>
 
|-
 
|-
−
| 0 || 0
+
| <math>f_0\!</math>
 +
| <math>(~)</math>
 +
| <math>(~)</math>
 +
| <math>(~)</math>
 +
| <math>(~)</math>
 +
| <math>(~)</math>
 
|-
 
|-
−
| 0 || 0
 
−
|}
 
−
|}
 
 
|
 
|
−
{| align="center" border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
+
<math>\begin{matrix}
−
|+ '''Table 23-ii.  Equality ''g'' '''
+
f_1
 +
\\[4pt]
 +
f_2
 +
\\[4pt]
 +
f_4
 +
\\[4pt]
 +
f_8
 +
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:paleturquoise; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
+
<math>\begin{matrix}
−
| ''u'' || ''v'' || ''g''
+
(p)(q)
−
|}
+
\\[4pt]
 +
(p)~q~
 +
\\[4pt]
 +
~p~(q)
 +
\\[4pt]
 +
~p~~q~
 +
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:paleturquoise; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
+
<math>\begin{matrix}
−
| ''y'' || &gamma;
+
~~\operatorname{d}p~~\operatorname{d}q~~
−
|}
+
\\[4pt]
−
|-
+
~~\operatorname{d}p~(\operatorname{d}q)~
 +
\\[4pt]
 +
~(\operatorname{d}p)~\operatorname{d}q~~
 +
\\[4pt]
 +
((\operatorname{d}p)(\operatorname{d}q))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
~~\operatorname{d}p~(\operatorname{d}q)~
 +
\\[4pt]
 +
~~\operatorname{d}p~~\operatorname{d}q~~
 +
\\[4pt]
 +
((\operatorname{d}p)(\operatorname{d}q))
 +
\\[4pt]
 +
~(\operatorname{d}p)~\operatorname{d}q~~
 +
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
+
<math>\begin{matrix}
−
| 0 || 0 || &rarr;
+
~(\operatorname{d}p)~\operatorname{d}q~~
−
|-
+
\\[4pt]
−
| 0 || 1 || &rarr;
+
((\operatorname{d}p)(\operatorname{d}q))
−
|-
+
\\[4pt]
−
| 1 || 0 || &rarr;
+
~~\operatorname{d}p~~\operatorname{d}q~~
−
|-
+
\\[4pt]
−
| 1 || 1 || &rarr;
+
~~\operatorname{d}p~(\operatorname{d}q)~
−
|}
+
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
+
<math>\begin{matrix}
−
| 1 || 1
+
((\operatorname{d}p)(\operatorname{d}q))
−
|-
+
\\[4pt]
−
| 0 || 1
+
~(\operatorname{d}p)~\operatorname{d}q~~
−
|-
+
\\[4pt]
−
| 0 || 1
+
~~\operatorname{d}p~(\operatorname{d}q)~
−
|-
+
\\[4pt]
−
| 1 || 1
+
~~\operatorname{d}p~~\operatorname{d}q~~
−
|}
+
\end{matrix}</math>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
+
<math>\begin{matrix}
−
| 0 || 0 || &nbsp;&nbsp;
+
f_3
−
|-
+
\\[4pt]
−
| 0 || 1 || &nbsp;&nbsp;
+
f_{12}
−
|-
+
\end{matrix}</math>
−
| 1 || 0 || &nbsp;&nbsp;
 
−
|-
 
−
| 1 || 1 || &nbsp;&nbsp;
 
−
|}
 
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
+
<math>\begin{matrix}
−
| 0 || 0
+
(p)
−
|-
+
\\[4pt]
−
| 1 || 0
+
~p~
−
|-
+
\end{matrix}</math>
−
| 1 || 0
 
−
|-
 
−
| 0 || 0
 
−
|}
 
−
|}
 
−
|}
 
−
<br>
 
−
 
 
−
===Tables 24-i and 24-ii.  Thematics of Disjunction and Equality (2)===
 
−
 
 
−
<pre>
 
−
Tables 24-i and 24-ii.  Thematics of Disjunction and Equality (2)
 
−
o-----------------------o-----o        o-----------------------o-----o
 
−
|  u    v    f    x  | !f! |        |  u    v    g    y  | !g! |
 
−
o-----------------------o-----o        o-----------------------o-----o
 
−
|                      |    |        |                      |    |
 
−
|  0    0    -->    0  |  1  |        |  0    0          0  |  0  |
 
−
|                      |    |        |                      |    |
 
−
|  0    0          1  |  0  |        |  0    0    -->    1  |  1  |
 
−
|                      |    |        |                      |    |
 
−
|  0    1          0  |  0  |        |  0    1    -->    0  |  1  |
 
−
|                      |    |        |                      |    |
 
−
|  0    1    -->    1  |  1  |        |  0    1          1  |  0  |
 
−
|                      |    |        |                      |    |
 
−
o-----------------------o-----o        o-----------------------o-----o
 
−
|                      |    |        |                      |    |
 
−
|  1    0          0  |  0  |        |  1    0    -->    0  |  1  |
 
−
|                      |    |        |                      |    |
 
−
|  1    0    -->    1  |  1  |        |  1    0          1  |  0  |
 
−
|                      |    |        |                      |    |
 
−
|  1    1          0  |  0  |        |  1    1          0  |  0  |
 
−
|                      |    |        |                      |    |
 
−
|  1    1    -->    1  |  1  |        |  1    1    -->    1  |  1  |
 
−
|                      |    |        |                      |    |
 
−
o-----------------------o-----o        o-----------------------o-----o
 
−
</pre>
 
−
 
 
−
{| align="center" style="width:96%"
 
−
|+ '''Tables 24-i and 24-ii.  Thematics of Disjunction and Equality (2)'''
 
 
|
 
|
−
{| align="center" border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
+
<math>\begin{matrix}
−
|+ '''Table 24-i.  Disjunction ''f'' '''
+
\operatorname{d}p
 +
\\[4pt]
 +
\operatorname{d}p
 +
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:paleturquoise; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
+
<math>\begin{matrix}
−
| ''u'' || ''v'' || ''f'' || ''x''
+
\operatorname{d}p
−
|}
+
\\[4pt]
 +
\operatorname{d}p
 +
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:paleturquoise; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
+
<math>\begin{matrix}
−
| &phi;
+
\operatorname{d}p
−
|}
+
\\[4pt]
−
|-
+
\operatorname{d}p
 +
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
+
<math>\begin{matrix}
−
| 0 || 0 || &rarr;      || 0
+
\operatorname{d}p
−
|-
+
\\[4pt]
−
| 0 || 0 || &nbsp;&nbsp; || 1
+
\operatorname{d}p
−
|-
+
\end{matrix}</math>
−
| 0 || 1 || &nbsp;&nbsp; || 0
 
 
|-
 
|-
−
| 0 || 1 || &rarr;      || 1
 
−
|}
 
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
+
<math>\begin{matrix}
−
| 1
+
f_6
−
|-
+
\\[4pt]
−
| 0
+
f_9
−
|-
+
\end{matrix}</math>
−
| 0
+
|
−
|-
+
<math>\begin{matrix}
−
| 1
+
~(p,~q)~
−
|}
+
\\[4pt]
 +
((p,~q))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(\operatorname{d}p,~\operatorname{d}q)
 +
\\[4pt]
 +
(\operatorname{d}p,~\operatorname{d}q)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(\operatorname{d}p,~\operatorname{d}q)
 +
\\[4pt]
 +
(\operatorname{d}p,~\operatorname{d}q)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(\operatorname{d}p,~\operatorname{d}q)
 +
\\[4pt]
 +
(\operatorname{d}p,~\operatorname{d}q)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(\operatorname{d}p,~\operatorname{d}q)
 +
\\[4pt]
 +
(\operatorname{d}p,~\operatorname{d}q)
 +
\end{matrix}</math>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
+
<math>\begin{matrix}
−
| 1 || 0 || &nbsp;&nbsp; || 0
+
f_5
−
|-
+
\\[4pt]
−
| 1 || 0 || &rarr;      || 1
+
f_{10}
−
|-
+
\end{matrix}</math>
−
| 1 || 1 || &nbsp;&nbsp; || 0
 
−
|-
 
−
| 1 || 1 || &rarr;      || 1
 
−
|}
 
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
+
<math>\begin{matrix}
−
| 0
+
(q)
−
|-
+
\\[4pt]
−
| 1
+
~q~
−
|-
+
\end{matrix}</math>
−
| 0
 
−
|-
 
−
| 1
 
−
|}
 
−
|}
 
 
|
 
|
−
{| align="center" border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
+
<math>\begin{matrix}
−
|+ '''Table 24-ii.  Equality ''g'' '''
+
\operatorname{d}q
 +
\\[4pt]
 +
\operatorname{d}q
 +
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:paleturquoise; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
+
<math>\begin{matrix}
−
| ''u'' || ''v'' || ''g'' || ''y''
+
\operatorname{d}q
−
|}
+
\\[4pt]
 +
\operatorname{d}q
 +
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:paleturquoise; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
+
<math>\begin{matrix}
−
| &gamma;
+
\operatorname{d}q
−
|}
+
\\[4pt]
−
|-
+
\operatorname{d}q
 +
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
+
<math>\begin{matrix}
−
| 0 || 0 || &nbsp;&nbsp; || 0
+
\operatorname{d}q
−
|-
+
\\[4pt]
−
| 0 || 0 || &rarr;      || 1
+
\operatorname{d}q
−
|-
+
\end{matrix}</math>
−
| 0 || 1 || &rarr;      || 0
 
 
|-
 
|-
−
| 0 || 1 || &nbsp;&nbsp; || 1
 
−
|}
 
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
+
<math>\begin{matrix}
−
| 0
+
f_7
−
|-
+
\\[4pt]
−
| 1
+
f_{11}
−
|-
+
\\[4pt]
−
| 1
+
f_{13}
−
|-
+
\\[4pt]
−
| 0
+
f_{14}
−
|}
+
\end{matrix}</math>
−
|-
+
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(~p~~q~)
 +
\\[4pt]
 +
(~p~(q))
 +
\\[4pt]
 +
((p)~q~)
 +
\\[4pt]
 +
((p)(q))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
((\operatorname{d}p)(\operatorname{d}q))
 +
\\[4pt]
 +
~(\operatorname{d}p)~\operatorname{d}q~~
 +
\\[4pt]
 +
~~\operatorname{d}p~(\operatorname{d}q)~
 +
\\[4pt]
 +
~~\operatorname{d}p~~\operatorname{d}q~~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
~(\operatorname{d}p)~\operatorname{d}q~~
 +
\\[4pt]
 +
((\operatorname{d}p)(\operatorname{d}q))
 +
\\[4pt]
 +
~~\operatorname{d}p~~\operatorname{d}q~~
 +
\\[4pt]
 +
~~\operatorname{d}p~(\operatorname{d}q)~
 +
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
+
<math>\begin{matrix}
−
| 1 || 0 || &rarr;      || 0
+
~~\operatorname{d}p~(\operatorname{d}q)~
−
|-
+
\\[4pt]
−
| 1 || 0 || &nbsp;&nbsp; || 1
+
~~\operatorname{d}p~~\operatorname{d}q~~
−
|-
+
\\[4pt]
−
| 1 || 1 || &nbsp;&nbsp; || 0
+
((\operatorname{d}p)(\operatorname{d}q))
−
|-
+
\\[4pt]
−
| 1 || 1 || &rarr;      || 1
+
~(\operatorname{d}p)~\operatorname{d}q~~
−
|}
+
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
+
<math>\begin{matrix}
−
| 1
+
~~\operatorname{d}p~~\operatorname{d}q~~
−
|-
+
\\[4pt]
−
| 0
+
~~\operatorname{d}p~(\operatorname{d}q)~
−
|-
+
\\[4pt]
−
| 0
+
~(\operatorname{d}p)~\operatorname{d}q~~
 +
\\[4pt]
 +
((\operatorname{d}p)(\operatorname{d}q))
 +
\end{matrix}</math>
 
|-
 
|-
−
| 1
+
| <math>f_{15}\!</math>
−
|}
+
| <math>((~))</math>
−
|}
+
| <math>((~))</math>
 +
| <math>((~))</math>
 +
| <math>((~))</math>
 +
| <math>((~))</math>
 
|}
 
|}
 +
 
<br>
 
<br>
  
−
===Tables 25-i and 25-ii.  Thematics of Disjunction and Equality (3)===
+
===Wiki TeX Tables : XY===
  
−
<pre>
+
<br>
−
Tables 25-i and 25-ii.  Thematics of Disjunction and Equality (3)
 
−
o-----------------------o-----o        o-----------------------o-----o
 
−
|  u    v    f    x  | !f! |        |  u    v    g    y  | !g! |
 
−
o-----------------------o-----o        o-----------------------o-----o
 
−
|                      |    |        |                      |    |
 
−
|  0    0    -->    0  |  1  |        |  0    0          0  |  0  |
 
−
|                      |    |        |                      |    |
 
−
|  0    1          0  |  0  |        |  0    1    -->    0  |  1  |
 
−
|                      |    |        |                      |    |
 
−
|  1    0          0  |  0  |        |  1    0    -->    0  |  1  |
 
−
|                      |    |        |                      |    |
 
−
|  1    1          0  |  0  |        |  1    1          0  |  0  |
 
−
|                      |    |        |                      |    |
 
−
o-----------------------o-----o        o-----------------------o-----o
 
−
|                      |    |        |                      |    |
 
−
|  0    0          1  |  0  |        |  0    0    -->    1  |  1  |
 
−
|                      |    |        |                      |    |
 
−
|  0    1    -->    1  |  1  |        |  0    1          1  |  0  |
 
−
|                      |    |        |                      |    |
 
−
|  1    0    -->    1  |  1  |        |  1    0          1  |  0  |
 
−
|                      |    |        |                      |    |
 
−
|  1    1    -->    1  |  1  |        |  1    1    -->    1  |  1  |
 
−
|                      |    |        |                      |    |
 
−
o-----------------------o-----o        o-----------------------o-----o
 
−
</pre>
 
  
−
{| align="center" style="width:96%"
+
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="text-align:center; width:90%"
−
|+ '''Tables 25-i and 25-ii.  Thematics of Disjunction and Equality (3)'''
+
|+ <math>\text{Table A1.}~~\text{Propositional Forms on Two Variables}</math>
−
|
+
|- style="background:#f0f0ff"
−
{| align="center" border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
+
| width="15%" |
−
|+ '''Table 25-i.  Disjunction ''f'' '''
+
<p><math>\mathcal{L}_1</math></p>
−
|
+
<p><math>\text{Decimal}</math></p>
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:paleturquoise; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
+
| width="15%" |
−
| ''u'' || ''v'' || ''f'' || ''x''
+
<p><math>\mathcal{L}_2</math></p>
−
|}
+
<p><math>\text{Binary}</math></p>
−
|
+
| width="15%" |
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:paleturquoise; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
+
<p><math>\mathcal{L}_3</math></p>
−
| &phi;
+
<p><math>\text{Vector}</math></p>
−
|}
+
| width="15%" |
 +
<p><math>\mathcal{L}_4</math></p>
 +
<p><math>\text{Cactus}</math></p>
 +
| width="25%" |
 +
<p><math>\mathcal{L}_5</math></p>
 +
<p><math>\text{English}</math></p>
 +
| width="15%" |
 +
<p><math>\mathcal{L}_6</math></p>
 +
<p><math>\text{Ordinary}</math></p>
 +
|- style="background:#f0f0ff"
 +
| &nbsp;
 +
| align="right" | <math>x\colon\!</math>
 +
| <math>1~1~0~0\!</math>
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
|- style="background:#f0f0ff"
 +
| &nbsp;
 +
| align="right" | <math>y\colon\!</math>
 +
| <math>1~0~1~0\!</math>
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 
|-
 
|-
−
|
+
| <math>f_{0}\!</math>
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
+
| <math>f_{0000}\!</math>
−
| 0 || 0 || &rarr;      || 0
+
| <math>0~0~0~0\!</math>
 +
| <math>(~)\!</math>
 +
| <math>\text{false}\!</math>
 +
| <math>0\!</math>
 
|-
 
|-
−
| 0 || 1 || &nbsp;&nbsp; || 0
+
| <math>f_{1}\!</math>
 +
| <math>f_{0001}\!</math>
 +
| <math>0~0~0~1\!</math>
 +
| <math>(x)(y)\!</math>
 +
| <math>\text{neither}~ x ~\text{nor}~ y\!</math>
 +
| <math>\lnot x \land \lnot y\!</math>
 
|-
 
|-
−
| 1 || 0 || &nbsp;&nbsp; || 0
+
| <math>f_{2}\!</math>
 +
| <math>f_{0010}\!</math>
 +
| <math>0~0~1~0\!</math>
 +
| <math>(x)~y\!</math>
 +
| <math>y ~\text{without}~ x\!</math>
 +
| <math>\lnot x \land y\!</math>
 
|-
 
|-
−
| 1 || 1 || &nbsp;&nbsp; || 0
+
| <math>f_{3}\!</math>
−
|}
+
| <math>f_{0011}\!</math>
−
|
+
| <math>0~0~1~1\!</math>
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
+
| <math>(x)\!</math>
−
| 1
+
| <math>\text{not}~ x\!</math>
 +
| <math>\lnot x\!</math>
 
|-
 
|-
−
| 0
+
| <math>f_{4}\!</math>
 +
| <math>f_{0100}\!</math>
 +
| <math>0~1~0~0\!</math>
 +
| <math>x~(y)\!</math>
 +
| <math>x ~\text{without}~ y\!</math>
 +
| <math>x \land \lnot y\!</math>
 
|-
 
|-
−
| 0
+
| <math>f_{5}\!</math>
 +
| <math>f_{0101}\!</math>
 +
| <math>0~1~0~1\!</math>
 +
| <math>(y)\!</math>
 +
| <math>\text{not}~ y\!</math>
 +
| <math>\lnot y\!</math>
 +
|-
 +
| <math>f_{6}\!</math>
 +
| <math>f_{0110}\!</math>
 +
| <math>0~1~1~0\!</math>
 +
| <math>(x,~y)\!</math>
 +
| <math>x ~\text{not equal to}~ y\!</math>
 +
| <math>x \ne y\!</math>
 +
|-
 +
| <math>f_{7}\!</math>
 +
| <math>f_{0111}\!</math>
 +
| <math>0~1~1~1\!</math>
 +
| <math>(x~y)\!</math>
 +
| <math>\text{not both}~ x ~\text{and}~ y\!</math>
 +
| <math>\lnot x \lor \lnot y\!</math>
 
|-
 
|-
−
| 0
+
| <math>f_{8}\!</math>
−
|}
+
| <math>f_{1000}\!</math>
 +
| <math>1~0~0~0\!</math>
 +
| <math>x~y\!</math>
 +
| <math>x ~\text{and}~ y\!</math>
 +
| <math>x \land y\!</math>
 
|-
 
|-
−
|
+
| <math>f_{9}\!</math>
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
+
| <math>f_{1001}\!</math>
−
| 0 || 0 || &nbsp;&nbsp; || 1
+
| <math>1~0~0~1\!</math>
 +
| <math>((x,~y))\!</math>
 +
| <math>x ~\text{equal to}~ y\!</math>
 +
| <math>x = y\!</math>
 
|-
 
|-
−
| 0 || 1 || &rarr;      || 1
+
| <math>f_{10}\!</math>
 +
| <math>f_{1010}\!</math>
 +
| <math>1~0~1~0\!</math>
 +
| <math>y\!</math>
 +
| <math>y\!</math>
 +
| <math>y\!</math>
 
|-
 
|-
−
| 1 || 0 || &rarr;      || 1
+
| <math>f_{11}\!</math>
 +
| <math>f_{1011}\!</math>
 +
| <math>1~0~1~1\!</math>
 +
| <math>(x~(y))\!</math>
 +
| <math>\text{not}~ x ~\text{without}~ y\!</math>
 +
| <math>x \Rightarrow y\!</math>
 
|-
 
|-
−
| 1 || 1 || &rarr;      || 1
+
| <math>f_{12}\!</math>
−
|}
+
| <math>f_{1100}\!</math>
−
|
+
| <math>1~1~0~0\!</math>
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
+
| <math>x\!</math>
−
| 0
+
| <math>x\!</math>
 +
| <math>x\!</math>
 
|-
 
|-
−
| 1
+
| <math>f_{13}\!</math>
 +
| <math>f_{1101}\!</math>
 +
| <math>1~1~0~1\!</math>
 +
| <math>((x)~y)\!</math>
 +
| <math>\text{not}~ y ~\text{without}~ x\!</math>
 +
| <math>x \Leftarrow y\!</math>
 
|-
 
|-
−
| 1
+
| <math>f_{14}\!</math>
 +
| <math>f_{1110}\!</math>
 +
| <math>1~1~1~0\!</math>
 +
| <math>((x)(y))\!</math>
 +
| <math>x ~\text{or}~ y\!</math>
 +
| <math>x \lor y\!</math>
 
|-
 
|-
−
| 1
+
| <math>f_{15}\!</math>
−
|}
+
| <math>f_{1111}\!</math>
 +
| <math>1~1~1~1\!</math>
 +
| <math>((~))\!</math>
 +
| <math>\text{true}\!</math>
 +
| <math>1\!</math>
 
|}
 
|}
 +
 +
<br>
 +
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="text-align:center; width:90%"
 +
|+ <math>\text{Table A1.}~~\text{Propositional Forms on Two Variables}</math>
 +
|- style="background:#f0f0ff"
 +
| width="15%" |
 +
<p><math>\mathcal{L}_1</math></p>
 +
<p><math>\text{Decimal}</math></p>
 +
| width="15%" |
 +
<p><math>\mathcal{L}_2</math></p>
 +
<p><math>\text{Binary}</math></p>
 +
| width="15%" |
 +
<p><math>\mathcal{L}_3</math></p>
 +
<p><math>\text{Vector}</math></p>
 +
| width="15%" |
 +
<p><math>\mathcal{L}_4</math></p>
 +
<p><math>\text{Cactus}</math></p>
 +
| width="25%" |
 +
<p><math>\mathcal{L}_5</math></p>
 +
<p><math>\text{English}</math></p>
 +
| width="15%" |
 +
<p><math>\mathcal{L}_6</math></p>
 +
<p><math>\text{Ordinary}</math></p>
 +
|- style="background:#f0f0ff"
 +
| &nbsp;
 +
| align="right" | <math>x\colon\!</math>
 +
| <math>1~1~0~0\!</math>
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
|- style="background:#f0f0ff"
 +
| &nbsp;
 +
| align="right" | <math>y\colon\!</math>
 +
| <math>1~0~1~0\!</math>
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
|-
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
f_0
 +
\\[4pt]
 +
f_1
 +
\\[4pt]
 +
f_2
 +
\\[4pt]
 +
f_3
 +
\\[4pt]
 +
f_4
 +
\\[4pt]
 +
f_5
 +
\\[4pt]
 +
f_6
 +
\\[4pt]
 +
f_7
 +
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
−
{| align="center" border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
+
<math>\begin{matrix}
−
|+ '''Table 25-ii.  Equality ''g'' '''
+
f_{0000}
 +
\\[4pt]
 +
f_{0001}
 +
\\[4pt]
 +
f_{0010}
 +
\\[4pt]
 +
f_{0011}
 +
\\[4pt]
 +
f_{0100}
 +
\\[4pt]
 +
f_{0101}
 +
\\[4pt]
 +
f_{0110}
 +
\\[4pt]
 +
f_{0111}
 +
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:paleturquoise; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
+
<math>\begin{matrix}
−
| ''u'' || ''v'' || ''g'' || ''y''
+
0~0~0~0
−
|}
+
\\[4pt]
 +
0~0~0~1
 +
\\[4pt]
 +
0~0~1~0
 +
\\[4pt]
 +
0~0~1~1
 +
\\[4pt]
 +
0~1~0~0
 +
\\[4pt]
 +
0~1~0~1
 +
\\[4pt]
 +
0~1~1~0
 +
\\[4pt]
 +
0~1~1~1
 +
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:paleturquoise; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
+
<math>\begin{matrix}
−
| &gamma;
+
(~)
−
|}
+
\\[4pt]
−
|-
+
(x)(y)
 +
\\[4pt]
 +
(x)~y~
 +
\\[4pt]
 +
(x)~~~
 +
\\[4pt]
 +
~x~(y)
 +
\\[4pt]
 +
~~~(y)
 +
\\[4pt]
 +
(x,~y)
 +
\\[4pt]
 +
(x~~y)
 +
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
+
<math>\begin{matrix}
−
| 0 || 0 || &nbsp;&nbsp; || 0
+
\text{false}
−
|-
+
\\[4pt]
−
| 0 || 1 || &rarr;      || 0
+
\text{neither}~ x ~\text{nor}~ y
−
|-
+
\\[4pt]
−
| 1 || 0 || &rarr;      || 0
+
y ~\text{without}~ x
−
|-
+
\\[4pt]
−
| 1 || 1 || &nbsp;&nbsp; || 0
+
\text{not}~ x
−
|}
+
\\[4pt]
 +
x ~\text{without}~ y
 +
\\[4pt]
 +
\text{not}~ y
 +
\\[4pt]
 +
x ~\text{not equal to}~ y
 +
\\[4pt]
 +
\text{not both}~ x ~\text{and}~ y
 +
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
+
<math>\begin{matrix}
−
| 0
+
0
−
|-
+
\\[4pt]
−
| 1
+
\lnot x \land \lnot y
−
|-
+
\\[4pt]
−
| 1
+
\lnot x \land y
−
|-
+
\\[4pt]
−
| 0
+
\lnot x
−
|}
+
\\[4pt]
 +
x \land \lnot y
 +
\\[4pt]
 +
\lnot y
 +
\\[4pt]
 +
x \ne y
 +
\\[4pt]
 +
\lnot x \lor \lnot y
 +
\end{matrix}</math>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
+
<math>\begin{matrix}
−
| 0 || 0 || &rarr;      || 1
+
f_8
−
|-
+
\\[4pt]
−
| 0 || 1 || &nbsp;&nbsp; || 1
+
f_9
−
|-
+
\\[4pt]
−
| 1 || 0 || &nbsp;&nbsp; || 1
+
f_{10}
−
|-
+
\\[4pt]
−
| 1 || 1 || &rarr;      || 1
+
f_{11}
−
|}
+
\\[4pt]
 +
f_{12}
 +
\\[4pt]
 +
f_{13}
 +
\\[4pt]
 +
f_{14}
 +
\\[4pt]
 +
f_{15}
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
f_{1000}
 +
\\[4pt]
 +
f_{1001}
 +
\\[4pt]
 +
f_{1010}
 +
\\[4pt]
 +
f_{1011}
 +
\\[4pt]
 +
f_{1100}
 +
\\[4pt]
 +
f_{1101}
 +
\\[4pt]
 +
f_{1110}
 +
\\[4pt]
 +
f_{1111}
 +
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
+
<math>\begin{matrix}
−
| 1
+
1~0~0~0
−
|-
+
\\[4pt]
−
| 0
+
1~0~0~1
−
|-
+
\\[4pt]
−
| 0
+
1~0~1~0
−
|-
+
\\[4pt]
−
| 1
+
1~0~1~1
−
|}
+
\\[4pt]
−
|}
+
1~1~0~0
−
|}
+
\\[4pt]
−
<br>
+
1~1~0~1
−
 
+
\\[4pt]
−
===Tables 26-i and 26-ii.  Tacit Extension and Thematization===
+
1~1~1~0
−
 
+
\\[4pt]
−
<pre>
+
1~1~1~1
−
Tables 26-i and 26-ii.  Tacit Extension and Thematization
+
\end{matrix}</math>
−
o-----------------o-----------o        o-----------------o-----------o
 
−
|  u    v    x  | !e!f  !f! |        |  u    v    y  | !e!g  !g! |
 
−
o-----------------o-----------o        o-----------------o-----------o
 
−
|                |          |        |                |          |
 
−
|  0    0    0  |  0    1 |        |  0    0     0 |  1    0 |
 
−
|                |          |        |                |          |
 
−
|  0    0    1 |  0     0 |        |  0    0    1  |  1    1 |
 
−
|                |          |        |                |          |
 
−
|  0    1    0  |  1     0  |        |  0     1     0 |  0    1  |
 
−
|                |          |        |                |          |
 
−
|  0    1    1  |  1    1 |        |  0     1     1 |  0    0  |
 
−
|                |          |        |                |          |
 
−
o-----------------o-----------o        o-----------------o-----------o
 
−
|                |          |        |                |          |
 
−
|  1    0    0  |  1     0  |        |  1     0     0 |  0    1  |
 
−
|                |          |        |                |          |
 
−
|  1    0    1  |  1    1 |        |  1     0     1 |  0    0  |
 
−
|                |          |        |                |          |
 
−
|  1    1    0  |  1    0  |        |  1     1     0  |  1     0 |
 
−
|                |          |        |                |          |
 
−
|  1    1     1 |  1     1 |        |  1    1    1  |  1    1  |
 
−
|                |          |        |                |          |
 
−
o-----------------o-----------o        o-----------------o-----------o
 
−
</pre>
 
−
 
 
−
{| align="center" style="width:96%"
 
−
|+ '''Tables 26-i and 26-ii.  Tacit Extension and Thematization'''
 
 
|
 
|
−
{| align="center" border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
+
<math>\begin{matrix}
−
|+ '''Table 26-i.  Disjunction ''f'' '''
+
~~x~~y~~
 +
\\[4pt]
 +
((x,~y))
 +
\\[4pt]
 +
~~~~~y~~
 +
\\[4pt]
 +
~(x~(y))
 +
\\[4pt]
 +
~~x~~~~~
 +
\\[4pt]
 +
((x)~y)~
 +
\\[4pt]
 +
((x)(y))
 +
\\[4pt]
 +
((~))
 +
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:paleturquoise; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
+
<math>\begin{matrix}
−
| ''u'' || ''v'' || ''x''
+
x ~\text{and}~ y
−
|}
+
\\[4pt]
 +
x ~\text{equal to}~ y
 +
\\[4pt]
 +
y
 +
\\[4pt]
 +
\text{not}~ x ~\text{without}~ y
 +
\\[4pt]
 +
x
 +
\\[4pt]
 +
\text{not}~ y ~\text{without}~ x
 +
\\[4pt]
 +
x ~\text{or}~ y
 +
\\[4pt]
 +
\text{true}
 +
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:paleturquoise; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
+
<math>\begin{matrix}
−
| &epsilon;''f'' || &theta;''f''
+
x \land y
 +
\\[4pt]
 +
x = y
 +
\\[4pt]
 +
y
 +
\\[4pt]
 +
x \Rightarrow y
 +
\\[4pt]
 +
x
 +
\\[4pt]
 +
x \Leftarrow y
 +
\\[4pt]
 +
x \lor y
 +
\\[4pt]
 +
1
 +
\end{matrix}</math>
 
|}
 
|}
 +
 +
<br>
 +
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="text-align:center; width:90%"
 +
|+ <math>\text{Table A2.}~~\text{Propositional Forms on Two Variables}</math>
 +
|- style="background:#f0f0ff"
 +
| width="15%" |
 +
<p><math>\mathcal{L}_1</math></p>
 +
<p><math>\text{Decimal}</math></p>
 +
| width="15%" |
 +
<p><math>\mathcal{L}_2</math></p>
 +
<p><math>\text{Binary}</math></p>
 +
| width="15%" |
 +
<p><math>\mathcal{L}_3</math></p>
 +
<p><math>\text{Vector}</math></p>
 +
| width="15%" |
 +
<p><math>\mathcal{L}_4</math></p>
 +
<p><math>\text{Cactus}</math></p>
 +
| width="25%" |
 +
<p><math>\mathcal{L}_5</math></p>
 +
<p><math>\text{English}</math></p>
 +
| width="15%" |
 +
<p><math>\mathcal{L}_6</math></p>
 +
<p><math>\text{Ordinary}</math></p>
 +
|- style="background:#f0f0ff"
 +
| &nbsp;
 +
| align="right" | <math>x\colon\!</math>
 +
| <math>1~1~0~0\!</math>
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
|- style="background:#f0f0ff"
 +
| &nbsp;
 +
| align="right" | <math>y\colon\!</math>
 +
| <math>1~0~1~0\!</math>
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 
|-
 
|-
 +
| <math>f_0\!</math>
 +
| <math>f_{0000}\!</math>
 +
| <math>0~0~0~0</math>
 +
| <math>(~)</math>
 +
| <math>\text{false}\!</math>
 +
| <math>0\!</math>
 +
|-
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
f_1
 +
\\[4pt]
 +
f_2
 +
\\[4pt]
 +
f_4
 +
\\[4pt]
 +
f_8
 +
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
+
<math>\begin{matrix}
−
| 0 || 0 || 0
+
f_{0001}
−
|-
+
\\[4pt]
−
| 0 || 0 || 1
+
f_{0010}
−
|-
+
\\[4pt]
−
| 0 || 1 || 0
+
f_{0100}
−
|-
+
\\[4pt]
−
| 0 || 1 || 1
+
f_{1000}
−
|}
+
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
+
<math>\begin{matrix}
−
| 0 || 1
+
0~0~0~1
−
|-
+
\\[4pt]
−
| 0 || 0
+
0~0~1~0
−
|-
+
\\[4pt]
−
| 1 || 0
+
0~1~0~0
−
|-
+
\\[4pt]
−
| 1 || 1
+
1~0~0~0
−
|}
+
\end{matrix}</math>
−
|-
+
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(x)(y)
 +
\\[4pt]
 +
(x)~y~
 +
\\[4pt]
 +
~x~(y)
 +
\\[4pt]
 +
~x~~y~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\text{neither}~ x ~\text{nor}~ y
 +
\\[4pt]
 +
y ~\text{without}~ x
 +
\\[4pt]
 +
x ~\text{without}~ y
 +
\\[4pt]
 +
x ~\text{and}~ y
 +
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
+
<math>\begin{matrix}
−
| 1 || 0 || 0
+
\lnot x \land \lnot y
−
|-
+
\\[4pt]
−
| 1 || 0 || 1
+
\lnot x \land y
 +
\\[4pt]
 +
x \land \lnot y
 +
\\[4pt]
 +
x \land y
 +
\end{matrix}</math>
 
|-
 
|-
−
| 1 || 1 || 0
 
−
|-
 
−
| 1 || 1 || 1
 
−
|}
 
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
+
<math>\begin{matrix}
−
| 1 || 0
+
f_3
−
|-
+
\\[4pt]
−
| 1 || 1
+
f_{12}
−
|-
+
\end{matrix}</math>
−
| 1 || 0
 
−
|-
 
−
| 1 || 1
 
−
|}
 
−
|}
 
 
|
 
|
−
{| align="center" border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
+
<math>\begin{matrix}
−
|+ '''Table 26-ii.  Equality ''g'' '''
+
f_{0011}
 +
\\[4pt]
 +
f_{1100}
 +
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:paleturquoise; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
+
<math>\begin{matrix}
−
| ''u'' || ''v'' || ''y''
+
0~0~1~1
−
|}
+
\\[4pt]
 +
1~1~0~0
 +
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:paleturquoise; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
+
<math>\begin{matrix}
−
| &epsilon;''g'' || &theta;''g''
+
(x)
−
|}
+
\\[4pt]
−
|-
+
~x~
 +
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
+
<math>\begin{matrix}
−
| 0 || 0 || 0
+
\text{not}~ x
−
|-
+
\\[4pt]
−
| 0 || 0 || 1
+
x
−
|-
+
\end{matrix}</math>
−
| 0 || 1 || 0
 
−
|-
 
−
| 0 || 1 || 1
 
−
|}
 
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
+
<math>\begin{matrix}
−
| 1 || 0
+
\lnot x
−
|-
+
\\[4pt]
−
| 1 || 1
+
x
−
|-
+
\end{matrix}</math>
−
| 0 || 1
 
−
|-
 
−
| 0 || 0
 
−
|}
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
+
<math>\begin{matrix}
−
| 1 || 0 || 0
+
f_6
−
|-
+
\\[4pt]
−
| 1 || 0 || 1
+
f_9
−
|-
+
\end{matrix}</math>
−
| 1 || 1 || 0
 
−
|-
 
−
| 1 || 1 || 1
 
−
|}
 
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
+
<math>\begin{matrix}
−
| 0 || 1
+
f_{0110}
−
|-
+
\\[4pt]
−
| 0 || 0
+
f_{1001}
−
|-
+
\end{matrix}</math>
−
| 1 || 0
+
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
0~1~1~0
 +
\\[4pt]
 +
1~0~0~1
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
~(x,~y)~
 +
\\[4pt]
 +
((x,~y))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
x ~\text{not equal to}~ y
 +
\\[4pt]
 +
x ~\text{equal to}~ y
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
x \ne y
 +
\\[4pt]
 +
x = y
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
f_5
 +
\\[4pt]
 +
f_{10}
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
f_{0101}
 +
\\[4pt]
 +
f_{1010}
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
0~1~0~1
 +
\\[4pt]
 +
1~0~1~0
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(y)
 +
\\[4pt]
 +
~y~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\text{not}~ y
 +
\\[4pt]
 +
y
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\lnot y
 +
\\[4pt]
 +
y
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
f_7
 +
\\[4pt]
 +
f_{11}
 +
\\[4pt]
 +
f_{13}
 +
\\[4pt]
 +
f_{14}
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
f_{0111}
 +
\\[4pt]
 +
f_{1011}
 +
\\[4pt]
 +
f_{1101}
 +
\\[4pt]
 +
f_{1110}
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
0~1~1~1
 +
\\[4pt]
 +
1~0~1~1
 +
\\[4pt]
 +
1~1~0~1
 +
\\[4pt]
 +
1~1~1~0
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
~(x~~y)~
 +
\\[4pt]
 +
~(x~(y))
 +
\\[4pt]
 +
((x)~y)~
 +
\\[4pt]
 +
((x)(y))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\text{not both}~ x ~\text{and}~ y
 +
\\[4pt]
 +
\text{not}~ x ~\text{without}~ y
 +
\\[4pt]
 +
\text{not}~ y ~\text{without}~ x
 +
\\[4pt]
 +
x ~\text{or}~ y
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\lnot x \lor \lnot y
 +
\\[4pt]
 +
x \Rightarrow y
 +
\\[4pt]
 +
x \Leftarrow y
 +
\\[4pt]
 +
x \lor y
 +
\end{matrix}</math>
 
|-
 
|-
−
| 1 || 1
+
| <math>f_{15}\!</math>
−
|}
+
| <math>f_{1111}\!</math>
−
|}
+
| <math>1~1~1~1</math>
 +
| <math>((~))</math>
 +
| <math>\text{true}\!</math>
 +
| <math>1\!</math>
 
|}
 
|}
 +
 
<br>
 
<br>
  
−
===Table 27.  Thematization of Bivariate Propositions===
+
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="text-align:center; width:90%"
−
 
+
|+ <math>\text{Table A3.}~~\operatorname{E}f ~\text{Expanded Over Differential Features}~ \{ \operatorname{d}x, \operatorname{d}y \}</math>
−
<pre>
+
|- style="background:#f0f0ff"
−
Table 27.  Thematization of Bivariate Propositions
+
| width="10%" | &nbsp;
−
o---------o---------o----------o--------------------o--------------------o
+
| width="18%" | <math>f\!</math>
−
|      u : 1 1 0 0 |    f    |    theta (f)      |    theta (f)      |
+
| width="18%" |  
−
|      v : 1 0 1 0 |          |                    |                    |
+
<p><math>\operatorname{T}_{11} f</math></p>
−
o---------o---------o----------o--------------------o--------------------o
+
<p><math>\operatorname{E}f|_{\operatorname{d}x~\operatorname{d}y}</math></p>
−
|        |        |          |                    |                    |
+
| width="18%" |
−
| f_0    | 0 0 0 0 |    ()    | (( f ,    ()    )) | f              + 1 |
+
<p><math>\operatorname{T}_{10} f</math></p>
−
|        |        |          |                    |                    |
+
<p><math>\operatorname{E}f|_{\operatorname{d}x(\operatorname{d}y)}</math></p>
−
| f_1    | 0 0 0 1 |  (u)(v)  | (( f ,  (u)(v)  )) | f + u + v + uv    |
+
| width="18%" |
−
|        |        |          |                    |                    |
+
<p><math>\operatorname{T}_{01} f</math></p>
−
| f_2    | 0 0 1 0 |  (u) v  | (( f , (u) v  )) | f    + v + uv + 1 |
+
<p><math>\operatorname{E}f|_{(\operatorname{d}x)\operatorname{d}y}</math></p>
−
|        |        |          |                    |                    |
+
| width="18%" |
−
| f_3    | 0 0 1 1 |  (u)    | (( f ,  (u)    )) | f + u              |
+
<p><math>\operatorname{T}_{00} f</math></p>
−
|        |        |          |                    |                    |
+
<p><math>\operatorname{E}f|_{(\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y)}</math></p>
−
| f_4    | 0 1 0 0 |  u (v)  | (( f ,  u (v)  )) | f + u    + uv + 1 |
+
|-
−
|        |        |          |                    |                    |
+
| <math>f_0\!</math>
−
| f_5    | 0 1 0 1 |    (v)  | (( f ,    (v)  )) | f    + v          |
+
| <math>(~)</math>
−
|        |        |          |                    |                    |
+
| <math>(~)</math>
−
| f_6    | 0 1 1 0 |  (u, v)  | (( f ,  (u, v)  )) | f + u + v      + 1 |
+
| <math>(~)</math>
−
|        |        |          |                    |                    |
+
| <math>(~)</math>
−
| f_7    | 0 1 1 1 |  (u  v)  | (( f ,  (u  v)  )) | f        + uv    |
+
| <math>(~)</math>
−
|        |        |          |                    |                    |
+
|-
−
o---------o---------o----------o--------------------o--------------------o
+
|
−
|         |        |          |                    |                    |
+
<math>\begin{matrix}
−
| f_8    | 1 0 0 0 |  u  v  | (( f ,  u  v  )) | f        + uv + 1 |
+
f_1
−
|         |        |          |                    |                    |
+
\\[4pt]
−
| f_9    | 1 0 0 1 | ((u, v)) | (( f , ((u, v)) )) | f + u + v          |
+
f_2
−
|        |        |          |                    |                    |
+
\\[4pt]
−
| f_10    | 1 0 1 0 |      v  | (( f ,      v  )) | f    + v      + 1 |
+
f_4
−
|        |        |          |                    |                    |
+
\\[4pt]
−
| f_11    | 1 0 1 1 |  (u (v)) | (( f ,  (u (v)) )) | f + u    + uv    |
+
f_8
−
|        |        |          |                    |                    |
+
\end{matrix}</math>
−
| f_12    | 1 1 0 0 |  u      | (( f ,  u      )) | f + u          + 1 |
+
|
−
|        |        |          |                    |                    |
+
<math>\begin{matrix}
−
| f_13    | 1 1 0 1 | ((u) v)  | (( f , ((u) v)  )) | f    + v + uv    |
+
(x)(y)
−
|        |        |          |                    |                    |
+
\\[4pt]
−
| f_14    | 1 1 1 0 | ((u)(v)) | (( f , ((u)(v)) )) | f + u + v + uv + 1 |
+
(x)~y~
−
|        |        |          |                    |                    |
+
\\[4pt]
−
| f_15    | 1 1 1 1 |  (())  | (( f ,  (())  )) | f                  |
+
~x~(y)
−
|        |        |          |                    |                    |
+
\\[4pt]
−
o---------o---------o----------o--------------------o--------------------o
+
~x~~y~
−
</pre>
+
\end{matrix}</math>
−
 
+
|
−
===Table 28.  Propositions on Two Variables===
+
<math>\begin{matrix}
−
 
+
~x~~y~
−
<pre>
+
\\[4pt]
−
Table 28.  Propositions on Two Variables
+
~x~(y)
−
o-------o-----o----------------------------------------------------------------o
+
\\[4pt]
−
| u  v |    | f  f  f   f  f  f  f  f  f  f  f  f  f  f  f  f  |
+
(x)~y~
−
|      |    | 00  01  02  03  04  05  06  07  08  09  10  11  12  13  14  15 |
+
\\[4pt]
−
o-------o-----o----------------------------------------------------------------o
+
(x)(y)
−
|      |    |                                                                |
+
\end{matrix}</math>
−
| 0  0 |    | 0  1  0  1  0  1  0  1  0  1  0  1  0  1  0  1  |
+
|
−
|      |    |                                                                |
+
<math>\begin{matrix}
−
| 0  1 |    | 0  0  1  1  0  0  1  1  0  0  1  1  0  0  1  1  |
+
~x~(y)
−
|      |    |                                                                |
+
\\[4pt]
−
| 1  0 |    | 0  0  0  0  1  1  1  1  0  0  0  0  1  1  1  1  |
+
~x~~y~
−
|      |    |                                                                |
+
\\[4pt]
−
| 1  1 |    | 0  0  0  0  0  0  0  0  1  1  1  1  1  1  1  1  |
+
(x)(y)
−
|      |    |                                                                |
+
\\[4pt]
−
o-------o-----o----------------------------------------------------------------o
+
(x)~y~
−
</pre>
+
\end{matrix}</math>
−
 
+
|
−
===Table 29.  Thematic Extensions of Bivariate Propositions===
+
<math>\begin{matrix}
−
 
+
(x)~y~
−
<pre>
+
\\[4pt]
−
Table 29.  Thematic Extensions of Bivariate Propositions
+
(x)(y)
−
o-------o-----o----------------------------------------------------------------o
+
\\[4pt]
−
| u  v | f^¢ |!f! !f! !f! !f! !f! !f! !f! !f! !f! !f! !f! !f! !f! !f! !f! !f! |
+
~x~~y~
−
|      |    | 00  01  02  03  04  05  06  07  08  09  10  11  12  13  14  15 |
+
\\[4pt]
−
o-------o-----o----------------------------------------------------------------o
+
~x~(y)
−
|      |    |                                                                |
+
\end{matrix}</math>
−
| 0  0  |  0  | 1  0  1  0  1  0  1  0  1  0  1  0  1  0  1  0  |
 
−
|      |    |                                                                |
 
−
| 0  0  |  1  | 0  1  0  1  0  1  0  1  0  1  0  1  0  1  0  1  |
 
−
|      |    |                                                                |
 
−
| 0  1  |  0  | 1  1  0  0  1  1  0  0  1  1  0  0  1  1  0  0  |
 
−
|      |    |                                                                |
 
−
| 0  1  |  1  | 0  0  1  1  0  0  1  1  0  0  1  1  0  0  1  1  |
 
−
|      |    |                                                                |
 
−
| 1  0  |  0  | 1  1  1  1  0  0  0  0  1  1  1  1  0  0  0  0  |
 
−
|      |    |                                                                |
 
−
| 1  0  |  1  | 0  0  0  0  1  1  1  1  0  0  0  0  1  1  1  1  |
 
−
|      |    |                                                                |
 
−
| 1  1  |  0  | 1  1  1  1  1  1  1  1  0  0  0  0  0  0  0  0  |
 
−
|      |    |                                                                |
 
−
| 1  1  |  1  | 0  0  0  0  0  0  0  0  1  1  1  1  1  1  1  1  |
 
−
|      |    |                                                                |
 
−
o-------o-----o----------------------------------------------------------------o
 
−
</pre>
 
−
 
 
−
===Figure 30.  Generic Frame of a Logical Transformation===
 
−
 
 
−
<pre>
 
−
            o-------------------------------------------------------o
 
−
            | U                                                    |
 
−
            |                                                      |
 
−
            |            o-----------o  o-----------o            |
 
−
            |            /            \ /            \            |
 
−
            |          /              o              \           |
 
−
            |          /              / \               \          |
 
−
            |        /               /   \              \        |
 
−
            |       o              o    o              o        |
 
−
            |        |              |    |              |        |
 
−
            |        |      u      |    |      v      |        |
 
−
            |        |              |    |              |        |
 
−
            |        o              o    o              o        |
 
−
            |        \               \  /               /         |
 
−
            |          \               \ /              /          |
 
−
            |          \               o              /          |
 
−
            |            \             / \            /           |
 
−
            |             o-----------o  o-----------o            |
 
−
            |                                                      |
 
−
            |                                                      |
 
−
            o---------------------------o---------------------------o
 
−
            / \                         / \                        / \
 
−
          /  \                       /  \                       /  \
 
−
          /     \                    /     \                    /    \
 
−
        /      \                  /      \                  /      \
 
−
        /        \                 /         \                /         \
 
−
      /          \               /          \               /          \
 
−
      /             \            /             \            /            \
 
−
    /              \          /              \          /              \
 
−
    /                \        /                \        /                \
 
−
  /                  \      /                  \      /                  \
 
−
  /                    \    /                    \    /                    \
 
−
/                      \  /                      \  /                      \
 
−
o-------------------------o o-------------------------o o-------------------------o
 
−
| U                      | | U                      | | U                      |
 
−
|      o---o  o---o      | |      o---o  o---o      | |      o---o  o---o      |
 
−
|     /    \ /     \    | |    /    \ /    \    | |    /    \ /    \    |
 
−
|   /       o      \    | |    /      o      \    | |    /      o      \    |
 
−
|   /       / \      \  | |  /      / \      \  | |  /      / \      \  |
 
−
| o      o  o      o  | |  o      o  o      o  | |  o      o  o      o  |
 
−
|  |  u  |  |  v  |  | |  |  u  |  |  v  |  | |  |  u  |  |  v  |  |
 
−
|  o      o  o      o  | |  o      o  o      o  | |  o      o  o      o  |
 
−
|  \      \ /       /  | |  \      \ /      /  | |  \      \ /      /  |
 
−
|   \      o      /   | |    \      o      /    | |    \      o      /    |
 
−
|     \    / \    /    | |    \    / \    /    | |    \    / \    /    |
 
−
|     o---o  o---o      | |      o---o  o---o      | |      o---o  o---o      |
 
−
|                        | |                        | |                        |
 
−
o-------------------------o o-------------------------o o-------------------------o
 
−
\                       |  \                      /  |                        /
 
−
  \                      |  \                    /  |                      /
 
−
  \                     |    \                   /    |                      /
 
−
    \                    |    \                /    |                    /
 
−
    \       g            |      \       f      /      |            h      /
 
−
      \                  |      \            /      |                  /
 
−
      \                 |        \           /        |                  /
 
−
        \                |        \        /        |                /
 
−
        \               |          \      /          |                /
 
−
          \    o----------|-----------\-----/-----------|----------o    /
 
−
          \  | X        |            \  /            |          |   /
 
−
            \ |          |            \ /            |          |  /
 
−
            \ |          |        o-----o-----o        |          | /
 
−
              \|          |      /            \       |          |/
 
−
              \          |      /              \      |          /
 
−
              |\         |    /                \     |        /|
 
−
              | \        |    /                  \    |        / |
 
−
              |  \       |  /                    \   |      /  |
 
−
              |  \      |  o          x           o  |      /  |
 
−
              |    \     |  |                      |  |    /   |
 
−
              |    \    |  |                      |  |    /    |
 
−
              |      \   |  |                      |  |  /      |
 
−
              |      \  |  |                      |  |  /      |
 
−
              |        \ |  |                      |  | /        |
 
−
              |        \|  |                      |  |/        |
 
−
              |          o--o--------o    o--------o--o          |
 
−
              |        /    \        \   /        /    \         |
 
−
              |        /      \        \ /        /      \        |
 
−
              |      /        \       o        /        \       |
 
−
              |      /          \      / \      /          \      |
 
−
              |    /            \   /   \    /            \    |
 
−
              |    o              o--o-----o--o              o    |
 
−
              |    |                |    |                |    |
 
−
              |    |                |    |                |    |
 
−
              |    |                |    |                |    |
 
−
              |    |        y       |    |        z        |    |
 
−
              |    |                |    |                |    |
 
−
              |    |                |    |                |    |
 
−
              |    o                o    o                o    |
 
−
              |    \                 \   /                /    |
 
−
              |      \                 \ /                /      |
 
−
              |      \                o                /      |
 
−
              |        \               / \               /        |
 
−
              |        \             /   \            /        |
 
−
              |          o-----------o    o-----------o          |
 
−
              |                                                  |
 
−
              |                                                  |
 
−
              o---------------------------------------------------o
 
−
                \                                                 /
 
−
                  \                                            /
 
−
                    \                                         /
 
−
                      \                                     /
 
−
                        \                                /
 
−
                          \            p , q            /
 
−
                            \                         /
 
−
                              \                     /
 
−
                                \                /
 
−
                                  \             /
 
−
                                    \         /
 
−
                                      \    /
 
−
                                        \ /
 
−
                                        o
 
−
 
 
−
Figure 30.  Generic Frame of a Logical Transformation
 
−
</pre>
 
−
 
 
−
===Formula Display 3===
 
−
 
 
−
<pre>
 
−
o-------------------------------------------------o
 
−
|                                                |
 
−
|        x             =          f<u, v>      |
 
−
|                                                |
 
−
|        y             =          g<u, v>      |
 
−
|                                                |
 
−
|        z              =          h<u, v>      |
 
−
|                                                |
 
−
o-------------------------------------------------o
 
−
</pre>
 
−
 
 
−
<br><font face="courier new">
 
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:left; width:96%"
 
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:left; width:100%"
+
<math>\begin{matrix}
−
| width="20%" | &nbsp;
+
(x)(y)
−
| width="20%" | ''x''
+
\\[4pt]
−
| width="20%" | =
+
(x)~y~
−
| width="20%" | ''f''‹''u'', ''v''›
+
\\[4pt]
−
| width="20%" | &nbsp;
+
~x~(y)
 +
\\[4pt]
 +
~x~~y~
 +
\end{matrix}</math>
 
|-
 
|-
−
| &nbsp; || ''y'' || = || ''g''‹''u'', ''v''› || &nbsp;
+
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
f_3
 +
\\[4pt]
 +
f_{12}
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(x)
 +
\\[4pt]
 +
~x~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
~x~
 +
\\[4pt]
 +
(x)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
~x~
 +
\\[4pt]
 +
(x)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(x)
 +
\\[4pt]
 +
~x~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(x)
 +
\\[4pt]
 +
~x~
 +
\end{matrix}</math>
 
|-
 
|-
−
| &nbsp; || ''z'' || = || ''h''‹''u'', ''v''› || &nbsp;
 
−
|}
 
−
|}
 
−
</font><br>
 
−
 
−
===Figure 31.  Operator Diagram (1)===
 
−
 
−
<pre>
 
−
o---------------------------------------o
 
−
|                                      |
 
−
|                                      |
 
−
|      U%          F          X%      |
 
−
|        o------------------>o        |
 
−
|        |                  |        |
 
−
|        |                  |        |
 
−
|        |                  |        |
 
−
|        |                  |        |
 
−
|    !W! |                  | !W!    |
 
−
|        |                  |        |
 
−
|        |                  |        |
 
−
|        |                  |        |
 
−
|        v                  v        |
 
−
|        o------------------>o        |
 
−
|  !W!U%        !W!F          !W!X%  |
 
−
|                                      |
 
−
|                                      |
 
−
o---------------------------------------o
 
−
Figure 31.  Operator Diagram (1)
 
−
</pre>
 
−
 
−
===Figure 32.  Operator Diagram (2)===
 
−
 
−
<pre>
 
−
o---------------------------------------o
 
−
|                                      |
 
−
|                                      |
 
−
|      U%          !W!          !W!U%  |
 
−
|        o------------------>o        |
 
−
|        |                  |        |
 
−
|        |                  |        |
 
−
|        |                  |        |
 
−
|        |                  |        |
 
−
|      F  |                  | !W!F    |
 
−
|        |                  |        |
 
−
|        |                  |        |
 
−
|        |                  |        |
 
−
|        v                  v        |
 
−
|        o------------------>o        |
 
−
|      X%          !W!          !W!X%  |
 
−
|                                      |
 
−
|                                      |
 
−
o---------------------------------------o
 
−
Figure 32.  Operator Diagram (2)
 
−
</pre>
 
−
 
−
===Figure 33-i.  Analytic Diagram (1)===
 
−
 
−
<pre>
 
−
U%          $E$      $E$U%        $E$U%        $E$U%
 
−
  o------------------>o============o============o
 
−
  |                  |            |            |
 
−
  |                  |            |            |
 
−
  |                  |            |            |
 
−
  |                  |            |            |
 
−
F  |                  | $E$F  =  | $d$^0.F  + | $r$^0.F
 
−
  |                  |            |            |
 
−
  |                  |            |            |
 
−
  |                  |            |            |
 
−
  v                  v            v            v
 
−
  o------------------>o============o============o
 
−
X%          $E$      $E$X%        $E$X%        $E$X%
 
−
 
−
Figure 33-i.  Analytic Diagram (1)
 
−
</pre>
 
−
 
−
===Figure 33-ii.  Analytic Diagram (2)===
 
−
 
−
<pre>
 
−
U%          $E$      $E$U%        $E$U%        $E$U%        $E$U%
 
−
  o------------------>o============o============o============o
 
−
  |                  |            |            |            |
 
−
  |                  |            |            |            |
 
−
  |                  |            |            |            |
 
−
  |                  |            |            |            |
 
−
F  |                  | $E$F  =  | $d$^0.F  + | $d$^1.F  + | $r$^1.F
 
−
  |                  |            |            |            |
 
−
  |                  |            |            |            |
 
−
  |                  |            |            |            |
 
−
  v                  v            v            v            v
 
−
  o------------------>o============o============o============o
 
−
X%          $E$      $E$X%        $E$X%        $E$X%        $E$X%
 
−
 
−
Figure 33-ii.  Analytic Diagram (2)
 
−
</pre>
 
−
 
−
===Formula Display 4===
 
−
 
−
<pre>
 
−
o--------------------------------------------------------------------------------------o
 
−
|                                                                                      |
 
−
|  x_1  =  !e!F_1 <u_1, ..., u_n, du_1, ..., du_n>  =  F_1 <u_1, ..., u_n>            |
 
−
|                                                                                      |
 
−
|  ...                                                                                |
 
−
|                                                                                      |
 
−
|  x_k  =  !e!F_k <u_1, ..., u_n, du_1, ..., du_n>  =  F_k <u_1, ..., u_n>            |
 
−
|                                                                                      |
 
−
|                                                                                      |
 
−
| dx_1  =  EF_1 <u_1, ..., u_n, du_1, ..., du_n>  =  F_1 <u_1 + du_1, ..., u_n + du_n> |
 
−
|                                                                                      |
 
−
|  ...                                                                                |
 
−
|                                                                                      |
 
−
| dx_k  =  EF_k <u_1, ..., u_n, du_1, ..., du_n>  =  F_k <u_1 + du_1, ..., u_n + du_n> |
 
−
|                                                                                      |
 
−
o--------------------------------------------------------------------------------------o
 
−
</pre>
 
−
 
−
<br><font face="courier new">
 
−
{| align="center" border="1" cellpadding="12" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:left; width:96%"
 
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:left; width:100%"
+
<math>\begin{matrix}
−
| width="8%" | ''x''<sub>1</sub>
+
f_6
−
| width="4%" | =
+
\\[4pt]
−
| width="44%" | <math>\epsilon</math>''F''<sub>1</sub>‹''u''<sub>1</sub>, &hellip;, ''u''<sub>''n''</sub>, d''u''<sub>1</sub>, &hellip;, d''u''<sub>''n''</sub>›
+
f_9
−
| width="4%" | =
+
\end{matrix}</math>
−
| width="40%" | ''F''<sub>1</sub>‹''u''<sub>1</sub>, &hellip;, ''u''<sub>''n''</sub>›
+
|
−
|-
+
<math>\begin{matrix}
−
| ...
+
~(x,~y)~
−
|-
+
\\[4pt]
−
| width="8%" | ''x''<sub>''k''</sub>
+
((x,~y))
−
| width="4%" | =
+
\end{matrix}</math>
−
| width="44%" | <math>\epsilon</math>''F''<sub>''k''</sub>‹''u''<sub>1</sub>, &hellip;, ''u''<sub>''n''</sub>, d''u''<sub>1</sub>, &hellip;, d''u''<sub>''n''</sub>›
+
|
−
| width="4%" | =
+
<math>\begin{matrix}
−
| width="40%" | ''F''<sub>''k''</sub>‹''u''<sub>1</sub>, &hellip;, ''u''<sub>''n''</sub>›
+
~(x,~y)~
−
|}
+
\\[4pt]
−
|-
+
((x,~y))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
((x,~y))
 +
\\[4pt]
 +
~(x,~y)~
 +
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:left; width:100%"
+
<math>\begin{matrix}
−
| width="8%" | d''x''<sub>1</sub>
+
((x,~y))
−
| width="4%" | =
+
\\[4pt]
−
| width="44%" | E''F''<sub>1</sub>‹''u''<sub>1</sub>, &hellip;, ''u''<sub>''n''</sub>, d''u''<sub>1</sub>, &hellip;, d''u''<sub>''n''</sub>›
+
~(x,~y)~
−
| width="4%" | =
+
\end{matrix}</math>
−
| width="40%" | ''F''<sub>1</sub>‹''u''<sub>1</sub> + d''u''<sub>1</sub>, &hellip;, ''u''<sub>''n''</sub> + d''u''<sub>''n''</sub>›
 
−
|-
 
−
| ...
 
−
|-
 
−
| width="8%" | d''x''<sub>''k''</sub>
 
−
| width="4%" | =
 
−
| width="44%" | E''F''<sub>''k''</sub>‹''u''<sub>1</sub>, &hellip;, ''u''<sub>''n''</sub>, d''u''<sub>1</sub>, &hellip;, d''u''<sub>''n''</sub>›
 
−
| width="4%" | =
 
−
| width="40%" | ''F''<sub>''k''</sub>‹''u''<sub>1</sub> + d''u''<sub>1</sub>, &hellip;, ''u''<sub>''n''</sub> + d''u''<sub>''n''</sub>›
 
−
|}
 
−
|}
 
−
</font><br>
 
−
 
 
−
===Formula Display 5===
 
−
 
 
−
<pre>
 
−
o--------------------------------------------------------------------------------o
 
−
|                                                                                |
 
−
|  x_1  =  !e!F_1 <u_1, ..., u_n,  du_1, ..., du_n>  =  F_1 <u_1, ..., u_n>  |
 
−
|                                                                                |
 
−
|  ...                                                                          |
 
−
|                                                                                |
 
−
|  x_k  =  !e!F_k <u_1, ..., u_n,  du_1, ..., du_n>  =  F_k <u_1, ..., u_n>  |
 
−
|                                                                                |
 
−
|                                                                                |
 
−
| dx_1  =  !e!F_1 <u_1, ..., u_n,  du_1, ..., du_n>  =  F_1 <u_1, ..., u_n>  |
 
−
|                                                                                |
 
−
|  ...                                                                          |
 
−
|                                                                                |
 
−
| dx_k  =  !e!F_k <u_1, ..., u_n,  du_1, ..., du_n>  =  F_k <u_1, ..., u_n>  |
 
−
|                                                                                |
 
−
o--------------------------------------------------------------------------------o
 
−
</pre>
 
−
 
 
−
<br><font face="courier new">
 
−
{| align="center" border="1" cellpadding="12" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:left; width:96%"
 
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:left; width:100%"
+
<math>\begin{matrix}
−
| width="8%" | ''x''<sub>1</sub>
+
~(x,~y)~
−
| width="4%" | =
+
\\[4pt]
−
| width="44%" | <math>\epsilon</math>''F''<sub>1</sub>‹''u''<sub>1</sub>, &hellip;, ''u''<sub>''n''</sub>, d''u''<sub>1</sub>, &hellip;, d''u''<sub>''n''</sub>›
+
((x,~y))
−
| width="4%" | =
+
\end{matrix}</math>
−
| width="40%" | ''F''<sub>1</sub>‹''u''<sub>1</sub>, &hellip;, ''u''<sub>''n''</sub>›
 
−
|-
 
−
| ...
 
−
|-
 
−
| width="8%" | ''x''<sub>''k''</sub>
 
−
| width="4%" | =
 
−
| width="44%" | <math>\epsilon</math>''F''<sub>''k''</sub>‹''u''<sub>1</sub>, &hellip;, ''u''<sub>''n''</sub>, d''u''<sub>1</sub>, &hellip;, d''u''<sub>''n''</sub>›
 
−
| width="4%" | =
 
−
| width="40%" | ''F''<sub>''k''</sub>‹''u''<sub>1</sub>, &hellip;, ''u''<sub>''n''</sub>›
 
−
|}
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:left; width:100%"
+
<math>\begin{matrix}
−
| width="8%" | d''x''<sub>1</sub>
+
f_5
−
| width="4%" | =
+
\\[4pt]
−
| width="44%" | <math>\epsilon</math>''F''<sub>1</sub>‹''u''<sub>1</sub>, &hellip;, ''u''<sub>''n''</sub>, d''u''<sub>1</sub>, &hellip;, d''u''<sub>''n''</sub>›
+
f_{10}
−
| width="4%" | =
+
\end{matrix}</math>
−
| width="40%" | ''F''<sub>1</sub>‹''u''<sub>1</sub>, &hellip;, ''u''<sub>''n''</sub>›
+
|
−
|-
+
<math>\begin{matrix}
−
| ...
+
(y)
−
|-
+
\\[4pt]
−
| width="8%" | d''x''<sub>''k''</sub>
+
~y~
−
| width="4%" | =
+
\end{matrix}</math>
−
| width="44%" | <math>\epsilon</math>''F''<sub>''k''</sub>‹''u''<sub>1</sub>, &hellip;, ''u''<sub>''n''</sub>, d''u''<sub>1</sub>, &hellip;, d''u''<sub>''n''</sub>›
+
|
−
| width="4%" | =
+
<math>\begin{matrix}
−
| width="40%" | ''F''<sub>''k''</sub>‹''u''<sub>1</sub>, &hellip;, ''u''<sub>''n''</sub>›
+
~y~
−
|}
+
\\[4pt]
−
|}
+
(y)
−
</font><br>
+
\end{matrix}</math>
−
 
+
|
−
===Formula Display 6===
+
<math>\begin{matrix}
−
 
+
(y)
−
<pre>
+
\\[4pt]
−
o--------------------------------------------------------------------------------o
+
~y~
−
|                                                                                |
+
\end{matrix}</math>
−
| dx_1  =  !e!F_1 <u_1, ..., u_n,  du_1, ..., du_n>   =  F_1 <u_1, ..., u_n>  |
+
|
−
|                                                                                |
+
<math>\begin{matrix}
−
|  ...                                                                          |
+
~y~
−
|                                                                                |
+
\\[4pt]
−
| dx_k  =  !e!F_k <u_1, ..., u_n,  du_1, ..., du_n>  =  F_k <u_1, ..., u_n>  |
+
(y)
−
|                                                                                |
+
\end{matrix}</math>
−
o--------------------------------------------------------------------------------o
 
−
</pre>
 
−
 
 
−
<br><font face="courier new">
 
−
{| align="center" border="1" cellpadding="12" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:left; width:96%"
 
 
|
 
|
−
{| align="center" border="0" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:left; width:100%"
+
<math>\begin{matrix}
−
| width="8%" | d''x''<sub>1</sub>
+
(y)
−
| width="4%" | =
+
\\[4pt]
−
| width="44%" | <math>\epsilon</math>''F''<sub>1</sub>‹''u''<sub>1</sub>, &hellip;, ''u''<sub>''n''</sub>, d''u''<sub>1</sub>, &hellip;, d''u''<sub>''n''</sub>›
+
~y~
−
| width="4%" | =
+
\end{matrix}</math>
−
| width="40%" | ''F''<sub>1</sub>‹''u''<sub>1</sub>, &hellip;, ''u''<sub>''n''</sub>›
 
 
|-
 
|-
−
| ...
+
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
f_7
 +
\\[4pt]
 +
f_{11}
 +
\\[4pt]
 +
f_{13}
 +
\\[4pt]
 +
f_{14}
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(~x~~y~)
 +
\\[4pt]
 +
(~x~(y))
 +
\\[4pt]
 +
((x)~y~)
 +
\\[4pt]
 +
((x)(y))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
((x)(y))
 +
\\[4pt]
 +
((x)~y~)
 +
\\[4pt]
 +
(~x~(y))
 +
\\[4pt]
 +
(~x~~y~)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
((x)~y~)
 +
\\[4pt]
 +
((x)(y))
 +
\\[4pt]
 +
(~x~~y~)
 +
\\[4pt]
 +
(~x~(y))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(~x~(y))
 +
\\[4pt]
 +
(~x~~y~)
 +
\\[4pt]
 +
((x)(y))
 +
\\[4pt]
 +
((x)~y~)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(~x~~y~)
 +
\\[4pt]
 +
(~x~(y))
 +
\\[4pt]
 +
((x)~y~)
 +
\\[4pt]
 +
((x)(y))
 +
\end{matrix}</math>
 
|-
 
|-
−
| width="8%" | d''x''<sub>''k''</sub>
+
| <math>f_{15}\!</math>
−
| width="4%" | =
+
| <math>((~))</math>
−
| width="44%" | <math>\epsilon</math>''F''<sub>''k''</sub>‹''u''<sub>1</sub>, &hellip;, ''u''<sub>''n''</sub>, d''u''<sub>1</sub>, &hellip;, d''u''<sub>''n''</sub>›
+
| <math>((~))</math>
−
| width="4%" | =
+
| <math>((~))</math>
−
| width="40%" | ''F''<sub>''k''</sub>‹''u''<sub>1</sub>, &hellip;, ''u''<sub>''n''</sub>›
+
| <math>((~))</math>
−
|}
+
| <math>((~))</math>
 +
|- style="background:#f0f0ff"
 +
| colspan="2" | <math>\text{Fixed Point Total}\!</math>
 +
| <math>4\!</math>
 +
| <math>4\!</math>
 +
| <math>4\!</math>
 +
| <math>16\!</math>
 
|}
 
|}
−
</font><br>
 
  
−
===Formula Display 7===
+
<br>
−
 
 
−
<pre>
 
−
o-------------------------------------------------o
 
−
|                                                |
 
−
| $D$  =  $E$ - $e$                            |
 
−
|                                                |
 
−
|      =  $r$^0                                |
 
−
|                                                |
 
−
|      =  $d$^1  +  $r$^1                      |
 
−
|                                                |
 
−
|      =  $d$^1  +  ...  +  $d$^m  +  $r$^m    |
 
−
|                                                |
 
−
|      =  Sum_(i = 1 ... m) $d$^i  +  $r$^m    |
 
−
|                                                |
 
−
o-------------------------------------------------o
 
−
</pre>
 
  
−
<br><font face="courier new">
+
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="text-align:center; width:90%"
−
{| align="center" border="1" cellpadding="12" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:left; width:96%"
+
|+ <math>\text{Table A4.}~~\operatorname{D}f ~\text{Expanded Over Differential Features}~ \{ \operatorname{d}x, \operatorname{d}y \}</math>
−
|
+
|- style="background:#f0f0ff"
−
{| align="center" border="0" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:left; width:100%"
+
| width="10%" | &nbsp;
−
| <font face=georgia>'''D'''</font>
+
| width="18%" | <math>f\!</math>
−
| =
+
| width="18%" |
−
| <font face=georgia>'''E'''</font> &ndash; <font face=georgia>'''e'''</font>
+
<math>\operatorname{D}f|_{\operatorname{d}x~\operatorname{d}y}</math>
 +
| width="18%" |
 +
<math>\operatorname{D}f|_{\operatorname{d}x(\operatorname{d}y)}</math>
 +
| width="18%" |
 +
<math>\operatorname{D}f|_{(\operatorname{d}x)\operatorname{d}y}</math>
 +
| width="18%" |
 +
<math>\operatorname{D}f|_{(\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y)}</math>
 
|-
 
|-
−
| &nbsp;
+
| <math>f_0\!</math>
−
| =
+
| <math>(~)</math>
−
| <font face=georgia>'''r'''</font><sup>0</sup>
+
| <math>(~)</math>
 +
| <math>(~)</math>
 +
| <math>(~)</math>
 +
| <math>(~)</math>
 
|-
 
|-
−
| &nbsp;
+
|
−
| =
+
<math>\begin{matrix}
−
| <font face=georgia>'''d'''</font><sup>1</sup> + <font face=georgia>'''r'''</font><sup>1</sup>
+
f_1
 +
\\[4pt]
 +
f_2
 +
\\[4pt]
 +
f_4
 +
\\[4pt]
 +
f_8
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(x)(y)
 +
\\[4pt]
 +
(x)~y~
 +
\\[4pt]
 +
~x~(y)
 +
\\[4pt]
 +
~x~~y~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
((x,~y))
 +
\\[4pt]
 +
~(x,~y)~
 +
\\[4pt]
 +
~(x,~y)~
 +
\\[4pt]
 +
((x,~y))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(y)
 +
\\[4pt]
 +
~y~
 +
\\[4pt]
 +
(y)
 +
\\[4pt]
 +
~y~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(x)
 +
\\[4pt]
 +
(x)
 +
\\[4pt]
 +
~x~
 +
\\[4pt]
 +
~x~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(~)
 +
\\[4pt]
 +
(~)
 +
\\[4pt]
 +
(~)
 +
\\[4pt]
 +
(~)
 +
\end{matrix}</math>
 
|-
 
|-
−
| &nbsp;
+
|
−
| =
+
<math>\begin{matrix}
−
| <font face=georgia>'''d'''</font><sup>1</sup> + &hellip; + <font face=georgia>'''d'''</font><sup>''m''</sup> + <font face=georgia>'''r'''</font><sup>''m''</sup>
+
f_3
 +
\\[4pt]
 +
f_{12}
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(x)
 +
\\[4pt]
 +
~x~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
((~))
 +
\\[4pt]
 +
((~))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
((~))
 +
\\[4pt]
 +
((~))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(~)
 +
\\[4pt]
 +
(~)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(~)
 +
\\[4pt]
 +
(~)
 +
\end{matrix}</math>
 
|-
 
|-
−
| &nbsp;
+
|
−
| =
+
<math>\begin{matrix}
−
| <font size="+2">&sum;</font><sub>(''i'' = 1 &hellip; ''m'')</sub> <font face=georgia>'''d'''</font><sup>''i''</sup> +  <font face=georgia>'''r'''</font><sup>''m''</sup>
+
f_6
−
|}
+
\\[4pt]
−
|}
+
f_9
−
</font><br>
+
\end{matrix}</math>
−
 
+
|
−
===Figure 34.  Tangent Functor Diagram===
+
<math>\begin{matrix}
−
 
+
~(x,~y)~
−
<pre>
+
\\[4pt]
−
U%          $T$      $T$U%        $T$U%
+
((x,~y))
−
  o------------------>o============o
+
\end{matrix}</math>
−
  |                   |           |
+
|
−
  |                   |           |
+
<math>\begin{matrix}
−
  |                  |            |
+
(~)
−
  |                  |            |
+
\\[4pt]
−
F  |                  | $T$F  =  | <!e!, d> F
+
(~)
−
  |                   |           |
+
\end{matrix}</math>
−
  |                  |            |
+
|
−
  |                   |            |
+
<math>\begin{matrix}
−
  v                  v            v
+
((~))
−
  o------------------>o============o
+
\\[4pt]
−
X%          $T$      $T$X%        $T$X%
+
((~))
−
 
+
\end{matrix}</math>
−
Figure 34.  Tangent Functor Diagram
+
|
−
</pre>
+
<math>\begin{matrix}
 +
((~))
 +
\\[4pt]
 +
((~))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(~)
 +
\\[4pt]
 +
(~)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
f_5
 +
\\[4pt]
 +
f_{10}
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(y)
 +
\\[4pt]
 +
~y~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
((~))
 +
\\[4pt]
 +
((~))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(~)
 +
\\[4pt]
 +
(~)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
((~))
 +
\\[4pt]
 +
((~))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(~)
 +
\\[4pt]
 +
(~)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
f_7
 +
\\[4pt]
 +
f_{11}
 +
\\[4pt]
 +
f_{13}
 +
\\[4pt]
 +
f_{14}
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
~(x~~y)~
 +
\\[4pt]
 +
~(x~(y))
 +
\\[4pt]
 +
((x)~y)~
 +
\\[4pt]
 +
((x)(y))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
((x,~y))
 +
\\[4pt]
 +
~(x,~y)~
 +
\\[4pt]
 +
~(x,~y)~
 +
\\[4pt]
 +
((x,~y))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
~y~
 +
\\[4pt]
 +
(y)
 +
\\[4pt]
 +
~y~
 +
\\[4pt]
 +
(y)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
~x~
 +
\\[4pt]
 +
~x~
 +
\\[4pt]
 +
(x)
 +
\\[4pt]
 +
(x)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(~)
 +
\\[4pt]
 +
(~)
 +
\\[4pt]
 +
(~)
 +
\\[4pt]
 +
(~)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| <math>f_{15}\!</math>
 +
| <math>((~))</math>
 +
| <math>(~)</math>
 +
| <math>(~)</math>
 +
| <math>(~)</math>
 +
| <math>(~)</math>
 +
|}
  
−
===Figure 35.  Conjunction as Transformation===
+
<br>
  
−
<pre>
+
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="text-align:center; width:90%"
−
o---------------------------------------o
+
|+ <math>\text{Table A5.}~~\operatorname{E}f ~\text{Expanded Over Ordinary Features}~ \{ x, y \}</math>
−
|                                       |
+
|- style="background:#f0f0ff"
−
|                                       |
+
| width="10%" | &nbsp;
−
|      o---------o  o---------o      |
+
| width="18%" | <math>f\!</math>
−
|     /          \ /          \      |
+
| width="18%" | <math>\operatorname{E}f|_{xy}</math>
−
|    /            o            \     |
+
| width="18%" | <math>\operatorname{E}f|_{x(y)}</math>
−
|   /            /`\            \   |
+
| width="18%" | <math>\operatorname{E}f|_{(x)y}</math>
−
|  /             /```\            \  |
+
| width="18%" | <math>\operatorname{E}f|_{(x)(y)}</math>
−
| o            o`````o            o  |
+
|-
−
| |            |`````|            |  |
+
| <math>f_0\!</math>
−
| |      u      |`````|      v      |  |
+
| <math>(~)</math>
−
| |            |`````|            |  |
+
| <math>(~)</math>
−
| o            o`````o            o  |
+
| <math>(~)</math>
−
|   \            \```/             /  |
+
| <math>(~)</math>
−
|   \            \`/             /    |
+
| <math>(~)</math>
−
|     \             o            /    |
+
|-
−
|      \           / \           /      |
+
|
−
|      o---------o  o---------o      |
+
<math>\begin{matrix}
−
|                                      |
+
f_1
−
|                                      |
+
\\[4pt]
−
o---------------------------------------o
+
f_2
−
\                                     /
+
\\[4pt]
−
  \                                /
+
f_4
−
    \                             /
+
\\[4pt]
−
      \           J            /
+
f_8
−
        \                     /
+
\end{matrix}</math>
−
          \                 /
+
|
−
            \             /
+
<math>\begin{matrix}
−
o--------------\---------/--------------o
+
(x)(y)
−
|                \     /                |
+
\\[4pt]
−
|                  \ /                  |
+
(x)~y~
−
|            o------@------o            |
+
\\[4pt]
−
|          /```````````````\           |
+
~x~(y)
−
|          /`````````````````\         |
+
\\[4pt]
−
|        /```````````````````\         |
+
~x~~y~
−
|        /`````````````````````\        |
+
\end{matrix}</math>
−
|      o```````````````````````o      |
+
|
−
|      |```````````````````````|      |
+
<math>\begin{matrix}
−
|      |`````````` x ``````````|      |
+
~\operatorname{d}x~~\operatorname{d}y~
−
|      |```````````````````````|      |
+
\\[4pt]
−
|      o```````````````````````o      |
+
~\operatorname{d}x~(\operatorname{d}y)
−
|        \`````````````````````/        |
+
\\[4pt]
−
|        \```````````````````/        |
+
(\operatorname{d}x)~\operatorname{d}y~
−
|          \`````````````````/          |
+
\\[4pt]
−
|          \```````````````/          |
+
(\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y)
−
|            o-------------o            |
+
\end{matrix}</math>
−
|                                      |
+
|
−
|                                      |
+
<math>\begin{matrix}
−
o---------------------------------------o
+
~\operatorname{d}x~(\operatorname{d}y)
−
Figure 35.  Conjunction as Transformation
+
\\[4pt]
−
</pre>
+
~\operatorname{d}x~~\operatorname{d}y~
−
 
+
\\[4pt]
−
===Table 36.  Computation of !e!J===
+
(\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y)
−
 
+
\\[4pt]
−
<pre>
+
(\operatorname{d}x)~\operatorname{d}y~
−
Table 36.  Computation of !e!J
+
\end{matrix}</math>
−
o---------------------------------------------------------------------o
+
|
−
|                                                                    |
+
<math>\begin{matrix}
−
| !e!J  =  J<u, v>                                                   |
+
(\operatorname{d}x)~\operatorname{d}y~
−
|                                                                    |
+
\\[4pt]
−
|      =  u v                                                        |
+
(\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y)
−
|                                                                    |
+
\\[4pt]
−
|      =  u v (du)(dv)  +  u v (du) dv  +  u v du (dv)  +  u v du dv |
+
~\operatorname{d}x~~\operatorname{d}y~
−
|                                                                    |
+
\\[4pt]
−
o---------------------------------------------------------------------o
+
~\operatorname{d}x~(\operatorname{d}y)
−
|                                                                    |
+
\end{matrix}</math>
−
| !e!J  =  u v (du)(dv)  +                                            |
+
|
−
|          u v (du) dv  +                                            |
+
<math>\begin{matrix}
−
|          u v  du (dv)  +                                            |
+
(\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y)
−
|         u v  du  dv                                                |
+
\\[4pt]
−
|                                                                    |
+
(\operatorname{d}x)~\operatorname{d}y~
−
o---------------------------------------------------------------------o
+
\\[4pt]
−
</pre>
+
~\operatorname{d}x~(\operatorname{d}y)
−
 
+
\\[4pt]
−
===Figure 37-a.  Tacit Extension of J (Areal)===
+
~\operatorname{d}x~~\operatorname{d}y~
−
 
+
\end{matrix}</math>
−
<pre>
+
|-
−
o---------------------------------------o
+
|
−
|                                      |
+
<math>\begin{matrix}
−
|                  o                  |
+
f_3
−
|                  /%\                  |
+
\\[4pt]
−
|                /%%%\                 |
+
f_{12}
−
|                /%%%%%\               |
+
\end{matrix}</math>
−
|              o%%%%%%%o              |
+
|
−
|              /%\%%%%%/%\             |
+
<math>\begin{matrix}
−
|            /%%%\%%%/%%%\            |
+
(x)
−
|            /%%%%%\%/%%%%%\           |
+
\\[4pt]
−
|           o%%%%%%%o%%%%%%%o          |
+
~x~
−
|          / \%%%%%/%\%%%%%/ \          |
+
\end{matrix}</math>
−
|        /  \%%%/%%%\%%%/  \         |
+
|
−
|        /    \%/%%%%%\%/    \        |
+
<math>\begin{matrix}
−
|      o      o%%%%%%%o      o      |
+
~\operatorname{d}x~
−
|      / \     / \%%%%%/ \     / \     |
+
\\[4pt]
−
|    /  \   /  \%%%/   \  /  \    |
+
(\operatorname{d}x)
−
|    /    \ /    \%/    \ /    \   |
+
\end{matrix}</math>
−
|  o      o      o      o      o  |
+
|
−
|  |\     / \     / \     / \    /|  |
+
<math>\begin{matrix}
−
|  | \   /  \   /  \   /  \   / |  |
+
~\operatorname{d}x~
−
|  |  \ /    \ /    \ /    \ / |  |
+
\\[4pt]
−
|  |  o      o      o      o  |  |
+
(\operatorname{d}x)
−
|  |  |\     / \     / \     /|  |  |
+
\end{matrix}</math>
−
|  |  | \   /  \   /  \   / |  |  |
+
|
−
|  | u |  \ /    \ /    \ /  | v |  |
+
<math>\begin{matrix}
−
|  o---+---o      o      o---+---o  |
+
(\operatorname{d}x)
−
|      |    \     / \     /    |      |
+
\\[4pt]
−
|      |    \   /  \   /     |      |
+
~\operatorname{d}x~
−
|      | du  \ /    \ /  dv |      |
+
\end{matrix}</math>
−
|      o-------o      o-------o      |
+
|
−
|                \     /                |
+
<math>\begin{matrix}
−
|                \   /                |
+
(\operatorname{d}x)
−
|                  \ /                 |
+
\\[4pt]
−
|                  o                  |
+
~\operatorname{d}x~
−
|                                      |
+
\end{matrix}</math>
−
o---------------------------------------o
+
|-
−
Figure 37-a.  Tacit Extension of J (Areal)
+
|
−
</pre>
+
<math>\begin{matrix}
−
 
+
f_6
−
===Figure 37-b.  Tacit Extension of J (Bundle)===
+
\\[4pt]
−
 
+
f_9
−
<pre>
+
\end{matrix}</math>
−
                                                  o-----------------------------o
+
|
−
                                                  |                            |
+
<math>\begin{matrix}
−
                                                  |      o-----o  o-----o      |
+
~(x,~y)~
−
                                                  |    /      \ /      \     |
+
\\[4pt]
−
                                                  |    /        o        \   |
+
((x,~y))
−
                                                  |  /        / \         \   |
+
\end{matrix}</math>
−
                                                  |  o        o  o        o  |
+
|
−
                                                  @  |  du    |  |    dv  |  |
+
<math>\begin{matrix}
−
                                                /|  o        o  o        o  |
+
~(\operatorname{d}x,~\operatorname{d}y)~
−
                                                / |  \         \ /        /  |
+
\\[4pt]
−
                                              /  |    \         o        /    |
+
((\operatorname{d}x,~\operatorname{d}y))
−
                                              /  |    \       / \       /    |
+
\end{matrix}</math>
−
                                            /   |     o-----o  o-----o      |
+
|
−
                                            /     |                             |
+
<math>\begin{matrix}
−
                                          /      o-----------------------------o
+
((\operatorname{d}x,~\operatorname{d}y))
−
                                          /
+
\\[4pt]
−
o----------------------------------------/----o  o-----------------------------o
+
~(\operatorname{d}x,~\operatorname{d}y)~
−
|                                      /    |  |                            |
+
\end{matrix}</math>
−
|                                      @      |  |      o-----o  o-----o      |
+
|
−
|                                            |  |    /      \ /      \    |
+
<math>\begin{matrix}
−
|          o---------o  o---------o          |  |    /        o        \    |
+
((\operatorname{d}x,~\operatorname{d}y))
−
|        /          \ /          \        |  |  /        / \        \  |
+
\\[4pt]
−
|        /            o            \        |  |  o        o  o        o  |
+
~(\operatorname{d}x,~\operatorname{d}y)~
−
|      /            /`\      @------\-----------@  |  du    |  |    dv  |  |
+
\end{matrix}</math>
−
|      /            /```\            \      |  |  o        o  o        o  |
+
|
−
|    /            /`````\            \    |  |  \        \ /        /  |
+
<math>\begin{matrix}
−
|    /            /```````\            \    |  |    \        o        /    |
+
~(\operatorname{d}x,~\operatorname{d}y)~
−
|  o            o`````````o            o  |  |    \      / \      /    |
+
\\[4pt]
−
|  |            |````@````|            |  |  |      o-----o  o-----o      |
+
((\operatorname{d}x,~\operatorname{d}y))
−
|  |            |`````\```|            |  |  |                            |
+
\end{matrix}</math>
−
|  |            |``````\``|            |  |  o-----------------------------o
+
|-
−
|  |      u      |```````\`|      v      |  |
+
|
−
|  |            |````````\|            |  |  o-----------------------------o
+
<math>\begin{matrix}
−
|  |            |`````````|            |  |  |                            |
+
f_5
−
|  |            |`````````|\            |  |  |      o-----o  o-----o      |
+
\\[4pt]
−
|  o            o`````````o \          o  |  |    /      \ /      \    |
+
f_{10}
−
|    \            \```````/  \        /    |  |    /        o        \    |
+
\end{matrix}</math>
−
|    \            \`````/    \      /    |  |  /        / \        \  |
+
|
−
|      \            \```/      \    /      |  |  o        o  o        o  |
+
<math>\begin{matrix}
−
|      \      @------\-/---------\---------------@  |  du    |  |    dv  |  |
+
(y)
−
|        \            o          \ /        |  |  o        o  o        o  |
+
\\[4pt]
−
|        \          / \          /        |  |  \        \ /        /  |
+
~y~
−
|          o---------o  o---------o \        |  |    \        o        /    |
+
\end{matrix}</math>
−
|                                    \      |  |    \      / \      /    |
+
|
−
|                                      \      |  |      o-----o  o-----o      |
+
<math>\begin{matrix}
−
|                                      \    |  |                            |
+
~\operatorname{d}y~
−
o----------------------------------------\----o  o-----------------------------o
+
\\[4pt]
−
                                          \
+
(\operatorname{d}y)
−
                                          \      o-----------------------------o
+
\end{matrix}</math>
−
                                            \    |`````````````````````````````|
+
|
−
                                            \    |````` o-----o```o-----o``````|
+
<math>\begin{matrix}
−
                                              \  |`````/```````\`/```````\`````|
+
(\operatorname{d}y)
−
                                              \  |````/`````````o`````````\````|
+
\\[4pt]
−
                                                \ |```/`````````/`\`````````\```|
+
~\operatorname{d}y~
−
                                                \|``o`````````o```o`````````o``|
+
\end{matrix}</math>
−
                                                  @``|```du````|```|````dv```|``|
+
|
−
                                                  |``o`````````o```o`````````o``|
+
<math>\begin{matrix}
−
                                                  |```\`````````\`/`````````/```|
+
~\operatorname{d}y~
−
                                                  |````\`````````o`````````/````|
+
\\[4pt]
−
                                                  |`````\```````/`\```````/`````|
+
(\operatorname{d}y)
−
                                                  |``````o-----o```o-----o``````|
+
\end{matrix}</math>
−
                                                  |`````````````````````````````|
+
|
−
                                                  o-----------------------------o
+
<math>\begin{matrix}
−
Figure 37-b.  Tacit Extension of J (Bundle)
+
(\operatorname{d}y)
−
</pre>
+
\\[4pt]
−
 
+
~\operatorname{d}y~
−
===Figure 37-c.  Tacit Extension of J (Compact)===
+
\end{matrix}</math>
−
 
+
|-
−
<pre>
+
|
−
o---------------------------------------------------------------------o
+
<math>\begin{matrix}
−
|                                                                    |
+
f_7
−
|                                                                    |
+
\\[4pt]
−
|            o-------------------o  o-------------------o            |
+
f_{11}
−
|          /                    \ /                    \          |
+
\\[4pt]
−
|          /                      o                      \          |
+
f_{13}
−
|        /                      / \                      \        |
+
\\[4pt]
−
|        /                      /  \                      \        |
+
f_{14}
−
|      /                      /    \                      \      |
+
\end{matrix}</math>
−
|      /                      /      \                      \      |
+
|
−
|    /                      /        \                      \    |
+
<math>\begin{matrix}
−
|    o                      o (du).(dv) o                      o    |
+
(~x~~y~)
−
|    |                      |  -->--  |                      |    |
+
\\[4pt]
−
|    |                      |  \  /  |                      |    |
+
(~x~(y))
−
|    |              dv .(du) |    \ /    | du .(dv)              |    |
+
\\[4pt]
−
|    |      u      <---------------@--------------->      v      |    |
+
((x)~y~)
−
|    |                      |    |    |                      |    |
+
\\[4pt]
−
|    |                      |    |    |                      |    |
+
((x)(y))
−
|    |                      |    |    |                      |    |
+
\end{matrix}</math>
−
|    o                      o    |    o                      o    |
+
|
−
|    \                      \    |    /                      /    |
+
<math>\begin{matrix}
−
|      \                      \  |  /                      /      |
+
((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))
−
|      \                      \  |  /                      /      |
+
\\[4pt]
−
|        \                      \ | /                      /        |
+
((\operatorname{d}x)~\operatorname{d}y~)
−
|        \                      \|/                      /        |
+
\\[4pt]
−
|          \                      |                      /          |
+
(~\operatorname{d}x~(\operatorname{d}y))
−
|          \                    /|\                    /          |
+
\\[4pt]
−
|            o-------------------o | o-------------------o            |
+
(~\operatorname{d}x~~\operatorname{d}y~)
−
|                                  |                                  |
+
\end{matrix}</math>
−
|                              du . dv                              |
+
|
−
|                                  |                                  |
+
<math>\begin{matrix}
−
|                                  V                                  |
+
((\operatorname{d}x)~\operatorname{d}y~)
−
|                                                                    |
+
\\[4pt]
−
o---------------------------------------------------------------------o
+
((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))
−
Figure 37-c.  Tacit Extension of J (Compact)
+
\\[4pt]
−
</pre>
+
(~\operatorname{d}x~~\operatorname{d}y~)
−
 
+
\\[4pt]
−
===Figure 37-d.  Tacit Extension of J (Digraph)===
+
(~\operatorname{d}x~(\operatorname{d}y))
−
 
+
\end{matrix}</math>
−
<pre>
+
|
−
o-----------------------------------------------------------o
+
<math>\begin{matrix}
−
|                                                          |
+
(~\operatorname{d}x~(\operatorname{d}y))
−
|                        (du).(dv)                        |
+
\\[4pt]
−
|                          --->---                          |
+
(~\operatorname{d}x~~\operatorname{d}y~)
−
|                          \    /                          |
+
\\[4pt]
−
|                          \  /                          |
+
((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))
−
|                            \ /                            |
+
\\[4pt]
−
|                          u @ v                          |
+
((\operatorname{d}x)~\operatorname{d}y~)
−
|                            /|\                            |
+
\end{matrix}</math>
−
|                          / | \                          |
+
|
−
|                          /  |  \                          |
+
<math>\begin{matrix}
−
|                        /  |  \                        |
+
(~\operatorname{d}x~~\operatorname{d}y~)
−
|                        /    |    \                        |
+
\\[4pt]
−
|              (du) dv /    |    \ du (dv)              |
+
(~\operatorname{d}x~(\operatorname{d}y))
−
|                      /      |      \                      |
+
\\[4pt]
−
|                    /      |      \                    |
+
((\operatorname{d}x)~\operatorname{d}y~)
−
|                    /        |        \                    |
+
\\[4pt]
−
|                  /        |        \                  |
+
((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))
−
|                  v          |          v                  |
+
\end{matrix}</math>
−
|                @          |          @                |
+
|-
−
|              u (v)        |        (u) v              |
+
| <math>f_{15}\!</math>
−
|                            |                            |
+
| <math>((~))</math>
−
|                            |                            |
+
| <math>((~))</math>
−
|                            |                            |
+
| <math>((~))</math>
−
|                            |                            |
+
| <math>((~))</math>
−
|                          du . dv                          |
+
| <math>((~))</math>
−
|                            |                            |
+
|}
−
|                            |                            |
 
−
|                            |                            |
 
−
|                            |                            |
 
−
|                            v                            |
 
−
|                            @                            |
 
−
|                                                          |
 
−
|                          (u).(v)                          |
 
−
|                                                          |
 
−
o-----------------------------------------------------------o
 
−
Figure 37-d.  Tacit Extension of J (Digraph)
 
−
</pre>
 
−
 
 
−
===Table 38.  Computation of EJ (Method 1)===
 
−
 
 
−
<pre>
 
−
Table 38.  Computation of EJ (Method 1)
 
−
o-------------------------------------------------------------------------------o
 
−
|                                                                              |
 
−
| EJ  =  J<u + du, v + dv>                                                      |
 
−
|                                                                              |
 
−
|    =  (u, du)(v, dv)                                                        |
 
−
|                                                                              |
 
−
|    =  u  v  J<1 + du, 1 + dv>  +                                            |
 
−
|                                                                              |
 
−
|        u (v) J<1 + du, 0 + dv>  +                                            |
 
−
|                                                                              |
 
−
|        (u) v  J<0 + du, 1 + dv>  +                                            |
 
−
|                                                                              |
 
−
|        (u)(v) J<0 + du, 0 + dv>                                              |
 
−
|                                                                              |
 
−
|    =  u  v  J<(du), (dv)>  +                                                |
 
−
|                                                                              |
 
−
|        u (v) J<(du),  dv >  +                                                |
 
−
|                                                                              |
 
−
|        (u) v  J< du , (dv)>  +                                                |
 
−
|                                                                              |
 
−
|        (u)(v) J< du ,  dv >                                                  |
 
−
|                                                                              |
 
−
o-------------------------------------------------------------------------------o
 
−
|                                                                              |
 
−
| EJ  =  u  v (du)(dv)                                                        |
 
−
|                        +  u (v)(du) dv                                      |
 
−
|                                          +  (u) v  du (dv)                  |
 
−
|                                                              +  (u)(v) du  dv |
 
−
|                                                                              |
 
−
o-------------------------------------------------------------------------------o
 
−
</pre>
 
−
 
 
−
===Table 39.  Computation of EJ (Method 2)===
 
−
 
 
−
<pre>
 
−
Table 39.  Computation of EJ (Method 2)
 
−
o-------------------------------------------------------------------------------o
 
−
|                                                                              |
 
−
| EJ  =  <u + du> <v + dv>                                                      |
 
−
|                                                                              |
 
−
|    =      u v        +      u dv      +      v du      +      du dv    |
 
−
|                                                                              |
 
−
| EJ  =  u  v (du)(dv)  +  u (v)(du) dv  +  (u) v  du (dv)  +  (u)(v) du  dv |
 
−
|                                                                              |
 
−
o-------------------------------------------------------------------------------o
 
−
</pre>
 
−
 
 
−
===Figure 40-a.  Enlargement of J (Areal)===
 
−
 
 
−
<pre>
 
−
o---------------------------------------o
 
−
|                                      |
 
−
|                  o                  |
 
−
|                  /%\                  |
 
−
|                /%%%\                |
 
−
|                /%%%%%\                |
 
−
|              o%%%%%%%o              |
 
−
|              / \%%%%%/ \              |
 
−
|            /  \%%%/  \            |
 
−
|            /    \%/    \            |
 
−
|          o      o      o          |
 
−
|          /%\    / \    /%\          |
 
−
|        /%%%\  /  \  /%%%\        |
 
−
|        /%%%%%\ /    \ /%%%%%\        |
 
−
|      o%%%%%%%o      o%%%%%%%o      |
 
−
|      / \%%%%%/ \    / \%%%%%/ \      |
 
−
|    /  \%%%/  \  /  \%%%/  \    |
 
−
|    /    \%/    \ /    \%/    \    |
 
−
|  o      o      o      o      o  |
 
−
|  |\    / \    /%\    / \    /|  |
 
−
|  | \  /  \  /%%%\  /  \  / |  |
 
−
|  |  \ /    \ /%%%%%\ /    \ /  |  |
 
−
|  |  o      o%%%%%%%o      o  |  |
 
−
|  |  |\    / \%%%%%/ \    /|  |  |
 
−
|  |  | \  /  \%%%/  \  / |  |  |
 
−
|  | u |  \ /    \%/    \ /  | v |  |
 
−
|  o---+---o      o      o---+---o  |
 
−
|      |    \    / \    /    |      |
 
−
|      |    \  /  \  /    |      |
 
−
|      | du  \ /    \ /  dv |      |
 
−
|      o-------o      o-------o      |
 
−
|                \    /                |
 
−
|                \  /                |
 
−
|                  \ /                  |
 
−
|                  o                  |
 
−
|                                      |
 
−
o---------------------------------------o
 
−
Figure 40-a.  Enlargement of J (Areal)
 
−
</pre>
 
  
−
===Figure 40-b.  Enlargement of J (Bundle)===
+
<br>
  
−
<pre>
+
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="text-align:center; width:90%"
−
                                                  o-----------------------------o
+
|+ <math>\text{Table A6.}~~\operatorname{D}f ~\text{Expanded Over Ordinary Features}~ \{ x, y \}</math>
−
                                                  |                             |
+
|- style="background:#f0f0ff"
−
                                                  |     o-----o  o-----o      |
+
| width="10%" | &nbsp;
−
                                                  |    /      \ /       \    |
+
| width="18%" | <math>f\!</math>
−
                                                  |   /        o        \   |
+
| width="18%" | <math>\operatorname{D}f|_{xy}</math>
−
                                                  |   /        /%\         \  |
+
| width="18%" | <math>\operatorname{D}f|_{x(y)}</math>
−
                                                  | o        o%%%o        o  |
+
| width="18%" | <math>\operatorname{D}f|_{(x)y}</math>
−
                                                  @  |   du    |%%%|   dv  |  |
+
| width="18%" | <math>\operatorname{D}f|_{(x)(y)}</math>
−
                                                /|  o        o%%%o        o  |
+
|-
−
                                                / |  \        \%/        /  |
+
| <math>f_0\!</math>
−
                                              /  |   \         o        /   |
+
| <math>(~)</math>
−
                                              /  |     \      / \      /     |
+
| <math>(~)</math>
−
                                            /   |     o-----o  o-----o      |
+
| <math>(~)</math>
−
                                            /    |                            |
+
| <math>(~)</math>
−
                                          /      o-----------------------------o
+
| <math>(~)</math>
−
                                          /
+
|-
−
o----------------------------------------/----o  o-----------------------------o
+
|
−
|                                      /    |  |                            |
+
<math>\begin{matrix}
−
|                                      @      |  |      o-----o  o-----o      |
+
f_1
−
|                                            |  |    /%%%%%%%\ /      \     |
+
\\[4pt]
−
|          o---------o  o---------o          |  |    /%%%%%%%%%o        \   |
+
f_2
−
|        /          \ /          \         |  |  /%%%%%%%%%/ \         \   |
+
\\[4pt]
−
|        /            o            \       |  |  o%%%%%%%%%o  o        o  |
+
f_4
−
|      /            /`\     @------\-----------@  |%% du %%%|  |    dv  |  |
+
\\[4pt]
−
|      /            /```\             \     |  |  o%%%%%%%%%o  o        o  |
+
f_8
−
|    /            /`````\             \     |  |  \%%%%%%%%%\ /        /  |
+
\end{matrix}</math>
−
|    /            /```````\             \   |  |    \%%%%%%%%%o        /    |
+
|
−
|  o            o`````````o            o  |  |    \%%%%%%%/ \       /     |
+
<math>\begin{matrix}
−
|  |            |````@````|            |  |  |      o-----o  o-----o      |
+
(x)(y)
−
|  |            |`````\```|            |  |  |                            |
+
\\[4pt]
−
|  |            |``````\``|            |  |  o-----------------------------o
+
(x)~y~
−
|  |      u      |```````\`|      v      |  |
+
\\[4pt]
−
|  |            |````````\|            |  |  o-----------------------------o
+
~x~(y)
−
|  |            |`````````|            |  |  |                            |
+
\\[4pt]
−
|  |            |`````````|\           |  |  |      o-----o  o-----o      |
+
~x~~y~
−
|  o            o`````````o \           o  |   |    /      \ /%%%%%%%\     |
+
\end{matrix}</math>
−
|    \             \```````/  \         /    |  |    /        o%%%%%%%%%\   |
+
|
−
|    \             \`````/    \       /    |  |  /        / \%%%%%%%%%\   |
+
<math>\begin{matrix}
−
|      \             \```/      \     /     |   |  o        o  o%%%%%%%%%o  |
+
~~\operatorname{d}x~~\operatorname{d}y~~
−
|      \     @------\-/---------\---------------@  |  du    |  |%%% dv %%|  |
+
\\[4pt]
−
|        \             o          \ /        |  |  o        o  o%%%%%%%%%o  |
+
~~\operatorname{d}x~(\operatorname{d}y)~
−
|        \           / \           /        |  |  \         \ /%%%%%%%%%/  |
+
\\[4pt]
−
|          o---------o  o---------o \       |  |    \         o%%%%%%%%%/    |
+
~(\operatorname{d}x)~\operatorname{d}y~~
−
|                                    \       |  |    \       / \%%%%%%%/     |
+
\\[4pt]
−
|                                      \     |  |      o-----o  o-----o      |
+
((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))
−
|                                      \     |  |                            |
+
\end{matrix}</math>
−
o----------------------------------------\----o  o-----------------------------o
+
|
−
                                          \
+
<math>\begin{matrix}
−
                                          \     o-----------------------------o
+
~~\operatorname{d}x~(\operatorname{d}y)~
−
                                            \     |%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%|
+
\\[4pt]
−
                                            \   |%%%%%%o-----o%%%o-----o%%%%%%|
+
~~\operatorname{d}x~~\operatorname{d}y~~
−
                                              \   |%%%%%/       \%/      \%%%%%|
+
\\[4pt]
−
                                              \ |%%%%/        o        \%%%%|
+
((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))
−
                                                \ |%%%/        / \         \%%%|
+
\\[4pt]
−
                                                \|%%o        o  o        o%%|
+
~(\operatorname{d}x)~\operatorname{d}y~~
−
                                                  @%%|  du    |  |    dv  |%%|
+
\end{matrix}</math>
−
                                                  |%%o        o  o        o%%|
+
|
−
                                                  |%%%\         \ /        /%%%|
+
<math>\begin{matrix}
−
                                                  |%%%%\         o        /%%%%|
+
~(\operatorname{d}x)~\operatorname{d}y~~
−
                                                  |%%%%%\       /%\       /%%%%%|
+
\\[4pt]
−
                                                  |%%%%%%o-----o%%%o-----o%%%%%%|
+
((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))
−
                                                  |%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%|
+
\\[4pt]
−
                                                  o-----------------------------o
+
~~\operatorname{d}x~~\operatorname{d}y~~
−
Figure 40-b.  Enlargement of J (Bundle)
+
\\[4pt]
−
</pre>
+
~~\operatorname{d}x~(\operatorname{d}y)~
−
 
+
\end{matrix}</math>
−
===Figure 40-c.  Enlargement of J (Compact)===
+
|
−
 
+
<math>\begin{matrix}
−
<pre>
+
((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))
−
o---------------------------------------------------------------------o
+
\\[4pt]
−
|                                                                    |
+
~(\operatorname{d}x)~\operatorname{d}y~~
−
|                                                                    |
+
\\[4pt]
−
|            o-------------------o  o-------------------o            |
+
~~\operatorname{d}x~(\operatorname{d}y)~
−
|          /                    \ /                    \           |
+
\\[4pt]
−
|          /                      o                      \         |
+
~~\operatorname{d}x~~\operatorname{d}y~~
−
|        /                      / \                       \         |
+
\end{matrix}</math>
−
|       /                      /  \                       \        |
+
|-
−
|      /                      /    \                       \       |
+
|
−
|      /                      /      \                       \     |
+
<math>\begin{matrix}
−
|    /                      /        \                       \     |
+
f_3
−
|    o                      o (du).(dv) o                      o    |
+
\\[4pt]
−
|    |                      |  -->--  |                      |    |
+
f_{12}
−
|    |                      |  \   /  |                      |    |
+
\end{matrix}</math>
−
|    |              dv .(du) |    \ /    | du .(dv)             |    |
+
|
−
|    |    u    o---------------->@<----------------o    v    |    |
+
<math>\begin{matrix}
−
|    |                      |    ^    |                      |    |
+
(x)
−
|    |                      |    |    |                      |    |
+
\\[4pt]
−
|    |                      |    |    |                      |    |
+
~x~
−
|    o                      o    |    o                      o    |
+
\end{matrix}</math>
−
|    \                       \   |    /                      /    |
+
|
−
|      \                       \  |  /                      /      |
+
<math>\begin{matrix}
−
|      \                       \ |  /                      /      |
+
\operatorname{d}x
−
|        \                       \ | /                      /        |
+
\\[4pt]
−
|        \                       \|/                      /        |
+
\operatorname{d}x
−
|          \                       |                      /          |
+
\end{matrix}</math>
−
|          \                     /|\                     /          |
+
|
−
|            o-------------------o | o-------------------o            |
+
<math>\begin{matrix}
−
|                                  |                                  |
+
\operatorname{d}x
−
|                              du . dv                              |
+
\\[4pt]
−
|                                  |                                  |
+
\operatorname{d}x
−
|                                  o                                  |
+
\end{matrix}</math>
−
|                                                                    |
+
|
−
o---------------------------------------------------------------------o
+
<math>\begin{matrix}
−
Figure 40-c.  Enlargement of J (Compact)
+
\operatorname{d}x
−
</pre>
+
\\[4pt]
−
 
+
\operatorname{d}x
−
===Figure 40-d.  Enlargement of J (Digraph)===
+
\end{matrix}</math>
−
 
+
|
−
<pre>
+
<math>\begin{matrix}
−
o-----------------------------------------------------------o
+
\operatorname{d}x
−
|                                                          |
+
\\[4pt]
−
|                        (du).(dv)                         |
+
\operatorname{d}x
−
|                         --->---                          |
+
\end{matrix}</math>
−
|                          \    /                         |
+
|-
−
|                           \  /                           |
+
|
−
|                           \ /                            |
+
<math>\begin{matrix}
−
|                          u @ v                          |
+
f_6
−
|                            ^^^                            |
+
\\[4pt]
−
|                          / | \                          |
+
f_9
−
|                          /  |  \                          |
+
\end{matrix}</math>
−
|                        /  |  \                        |
+
|
−
|                        /    |    \                        |
+
<math>\begin{matrix}
−
|              (du) dv /    |    \ du (dv)              |
+
~(x,~y)~
−
|                      /      |      \                      |
+
\\[4pt]
−
|                    /      |      \                    |
+
((x,~y))
−
|                    /        |        \                    |
+
\end{matrix}</math>
−
|                  /        |        \                  |
+
|
−
|                  /          |          \                  |
+
<math>\begin{matrix}
−
|                @          |          @                |
+
(\operatorname{d}x,~\operatorname{d}y)
−
|              u (v)        |        (u) v              |
+
\\[4pt]
−
|                            |                            |
+
(\operatorname{d}x,~\operatorname{d}y)
−
|                            |                            |
+
\end{matrix}</math>
−
|                            |                            |
+
|
−
|                            |                            |
+
<math>\begin{matrix}
−
|                          du . dv                          |
+
(\operatorname{d}x,~\operatorname{d}y)
−
|                            |                            |
+
\\[4pt]
−
|                            |                            |
+
(\operatorname{d}x,~\operatorname{d}y)
−
|                            |                            |
+
\end{matrix}</math>
−
|                            |                            |
+
|
−
|                            |                            |
+
<math>\begin{matrix}
−
|                            @                            |
+
(\operatorname{d}x,~\operatorname{d}y)
−
|                                                          |
+
\\[4pt]
−
|                          (u).(v)                          |
+
(\operatorname{d}x,~\operatorname{d}y)
−
|                                                          |
+
\end{matrix}</math>
−
o-----------------------------------------------------------o
+
|
−
Figure 40-d.  Enlargement of J (Digraph)
+
<math>\begin{matrix}
−
</pre>
+
(\operatorname{d}x,~\operatorname{d}y)
−
 
+
\\[4pt]
−
===Table 41.  Computation of DJ (Method 1)===
+
(\operatorname{d}x,~\operatorname{d}y)
−
 
+
\end{matrix}</math>
−
<pre>
+
|-
−
Table 41.  Computation of DJ (Method 1)
+
|
−
o-------------------------------------------------------------------------------o
+
<math>\begin{matrix}
−
|                                                                              |
+
f_5
−
| DJ  =  EJ                +  !e!J                                            |
+
\\[4pt]
−
|                                                                              |
+
f_{10}
−
|    =  J<u + du, v + dv>  +  J<u, v>                                          |
+
\end{matrix}</math>
−
|                                                                              |
+
|
−
|    =  (u, du)(v, dv)    +  u v                                              |
+
<math>\begin{matrix}
−
|                                                                              |
+
(y)
−
o-------------------------------------------------------------------------------o
+
\\[4pt]
−
|                                                                              |
+
~y~
−
| DJ  =        0                                                                |
+
\end{matrix}</math>
−
|                                                                              |
+
|
−
|    +  u  v (du) dv  +  u (v)(du) dv                                      |
+
<math>\begin{matrix}
−
|                                                                              |
+
\operatorname{d}y
−
|    +  u  v  du (dv)                    +  (u) v  du (dv)                  |
+
\\[4pt]
−
|                                                                              |
+
\operatorname{d}y
−
|    +  u  v  du  dv                                        +  (u)(v) du  dv |
+
\end{matrix}</math>
−
|                                                                              |
+
|
−
o-------------------------------------------------------------------------------o
+
<math>\begin{matrix}
−
|                                                                              |
+
\operatorname{d}y
−
| DJ  =  u v ((du)(dv))  +  u (v)(du) dv  +  (u) v  du (dv)  +  (u)(v) du  dv |
+
\\[4pt]
−
|                                                                              |
+
\operatorname{d}y
−
o-------------------------------------------------------------------------------o
+
\end{matrix}</math>
−
</pre>
+
|
−
 
+
<math>\begin{matrix}
−
===Table 42.  Computation of DJ (Method 2)===
+
\operatorname{d}y
−
 
+
\\[4pt]
−
<pre>
+
\operatorname{d}y
−
Table 42.  Computation of DJ (Method 2)
+
\end{matrix}</math>
−
o-------------------------------------------------------------------------------o
+
|
−
|                                                                              |
+
<math>\begin{matrix}
−
| DJ  =  !e!J            +  EJ                                                  |
+
\operatorname{d}y
−
|                                                                              |
+
\\[4pt]
−
|    =  J<u, v>        +  J<u + du, v + dv>                                  |
+
\operatorname{d}y
−
|                                                                              |
+
\end{matrix}</math>
−
|    =  u v            +  (u, du)(v, dv)                                      |
+
|-
−
|                                                                              |
+
|
−
|    =  0              +  u dv            +  v du            +  du dv        |
+
<math>\begin{matrix}
−
|                                                                              |
+
f_7
−
|    =  0              +  u (du) dv      +  v du (dv)      + ((u, v)) du dv |
+
\\[4pt]
−
|                                                                              |
+
f_{11}
−
o-------------------------------------------------------------------------------o
+
\\[4pt]
−
</pre>
+
f_{13}
−
 
+
\\[4pt]
−
===Table 43.  Computation of DJ (Method 3)===
+
f_{14}
−
 
+
\end{matrix}</math>
−
<pre>
+
|
−
Table 43.  Computation of DJ (Method 3)
+
<math>\begin{matrix}
−
o-------------------------------------------------------------------------------o
+
(~x~~y~)
−
|                                                                              |
+
\\[4pt]
−
|  DJ  =  !e!J          +  EJ                                                |
+
(~x~(y))
−
|                                                                              |
+
\\[4pt]
−
o-------------------------------------------------------------------------------o
+
((x)~y~)
−
|                                                                              |
+
\\[4pt]
−
| !e!J =  u  v (du)(dv)  +  u  v (du) dv  +  u  v  du (dv)  +  u  v  du  dv |
+
((x)(y))
−
|                                                                              |
+
\end{matrix}</math>
−
|  EJ  =  u  v (du)(dv)  +  u (v)(du) dv  +  (u) v  du (dv)  +  (u)(v) du  dv |
+
|
−
|                                                                              |
+
<math>\begin{matrix}
−
o-------------------------------------------------------------------------------o
+
((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))
−
|                                                                              |
+
\\[4pt]
−
|  DJ  =  0 . (du)(dv)  +    u . (du) dv  +    v . du (dv)  + ((u, v)) du dv |
+
~(\operatorname{d}x)~\operatorname{d}y~~
−
|                                                                              |
+
\\[4pt]
−
o-------------------------------------------------------------------------------o
+
~~\operatorname{d}x~(\operatorname{d}y)~
−
</pre>
+
\\[4pt]
−
 
+
~~\operatorname{d}x~~\operatorname{d}y~~
−
===Formula Display 8===
+
\end{matrix}</math>
−
 
+
|
−
<pre>
+
<math>\begin{matrix}
−
o-------------------------------------------------------------------------------o
+
~(\operatorname{d}x)~\operatorname{d}y~~
−
|                                                                              |
+
\\[4pt]
−
| !e!J  =  {Dispositions from  J  to  J }  +  {Dispositions from  J  to (J)}    |
+
((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))
−
|                                                                              |
+
\\[4pt]
−
|  EJ  =  {Dispositions from  J  to  J }  +  {Dispositions from (J) to  J }    |
+
~~\operatorname{d}x~~\operatorname{d}y~~
−
|                                                                              |
+
\\[4pt]
−
|  DJ  =  (!e!J, EJ)                                                          |
+
~~\operatorname{d}x~(\operatorname{d}y)~
−
|                                                                              |
+
\end{matrix}</math>
−
|  DJ  =  {Dispositions from  J  to (J)}  +  {Dispositions from (J) to  J }    |
+
|
−
|                                                                              |
+
<math>\begin{matrix}
−
o-------------------------------------------------------------------------------o
+
~~\operatorname{d}x~(\operatorname{d}y)~
−
</pre>
+
\\[4pt]
−
 
+
~~\operatorname{d}x~~\operatorname{d}y~~
−
===Figure 44-a.  Difference Map of J (Areal)===
+
\\[4pt]
−
 
+
((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))
−
<pre>
+
\\[4pt]
−
o---------------------------------------o
+
~(\operatorname{d}x)~\operatorname{d}y~~
−
|                                      |
+
\end{matrix}</math>
−
|                  o                  |
+
|
−
|                  / \                  |
+
<math>\begin{matrix}
−
|                /  \                |
+
~~\operatorname{d}x~~\operatorname{d}y~~
−
|                /    \                |
+
\\[4pt]
−
|              o      o              |
+
~~\operatorname{d}x~(\operatorname{d}y)~
−
|              /%\    /%\              |
+
\\[4pt]
−
|            /%%%\  /%%%\            |
+
~(\operatorname{d}x)~\operatorname{d}y~~
−
|            /%%%%%\ /%%%%%\            |
+
\\[4pt]
−
|          o%%%%%%%o%%%%%%%o          |
+
((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))
−
|          /%\%%%%%/%\%%%%%/%\          |
+
\end{matrix}</math>
−
|        /%%%\%%%/%%%\%%%/%%%\        |
+
|-
−
|        /%%%%%\%/%%%%%\%/%%%%%\        |
+
| <math>f_{15}\!</math>
−
|      o%%%%%%%o%%%%%%%o%%%%%%%o      |
+
| <math>((~))</math>
−
|      / \%%%%%/ \%%%%%/ \%%%%%/ \      |
+
| <math>((~))</math>
−
|    /  \%%%/  \%%%/  \%%%/  \    |
+
| <math>((~))</math>
−
|    /    \%/    \%/    \%/    \    |
+
| <math>((~))</math>
−
|  o      o      o      o      o  |
+
| <math>((~))</math>
−
|  |\    / \    /%\    / \    /|  |
+
|}
−
|  | \  /  \  /%%%\  /  \  / |  |
 
−
|  |  \ /    \ /%%%%%\ /    \ /  |  |
 
−
|  |  o      o%%%%%%%o      o  |  |
 
−
|  |  |\    / \%%%%%/ \    /|  |  |
 
−
|  |  | \  /  \%%%/  \  / |  |  |
 
−
|  | u |  \ /    \%/    \ /  | v |  |
 
−
|  o---+---o      o      o---+---o  |
 
−
|      |    \    / \    /    |      |
 
−
|      |    \  /  \  /    |      |
 
−
|      | du  \ /    \ /  dv |      |
 
−
|      o-------o      o-------o      |
 
−
|                \    /                |
 
−
|                \  /                |
 
−
|                  \ /                  |
 
−
|                  o                  |
 
−
|                                      |
 
−
o---------------------------------------o
 
−
Figure 44-a.  Difference Map of J (Areal)
 
−
</pre>
 
  
−
===Figure 44-b.  Difference Map of J (Bundle)===
+
<br>
  
−
<pre>
+
===Klein Four-Group V<sub>4</sub>===
−
                                                  o-----------------------------o
 
−
                                                  |                            |
 
−
                                                  |      o-----o  o-----o      |
 
−
                                                  |    /      \ /      \    |
 
−
                                                  |    /        o        \    |
 
−
                                                  |  /        /%\        \  |
 
−
                                                  |  o        o%%%o        o  |
 
−
                                                  @  |  du    |%%%|    dv  |  |
 
−
                                                /|  o        o%%%o        o  |
 
−
                                                / |  \        \%/        /  |
 
−
                                              /  |    \        o        /    |
 
−
                                              /  |    \      / \      /    |
 
−
                                            /    |      o-----o  o-----o      |
 
−
                                            /    |                            |
 
−
                                          /      o-----------------------------o
 
−
                                          /
 
−
o----------------------------------------/----o  o-----------------------------o
 
−
|                                      /    |  |                            |
 
−
|                                      @      |  |      o-----o  o-----o      |
 
−
|                                            |  |    /%%%%%%%\ /      \    |
 
−
|          o---------o  o---------o          |  |    /%%%%%%%%%o        \    |
 
−
|        /          \ /          \        |  |  /%%%%%%%%%/ \        \  |
 
−
|        /            o            \        |  |  o%%%%%%%%%o  o        o  |
 
−
|      /            /`\      @------\-----------@  |%% du %%%|  |    dv  |  |
 
−
|      /            /```\            \      |  |  o%%%%%%%%%o  o        o  |
 
−
|    /            /`````\            \    |  |  \%%%%%%%%%\ /        /  |
 
−
|    /            /```````\            \    |  |    \%%%%%%%%%o        /    |
 
−
|  o            o`````````o            o  |  |    \%%%%%%%/ \      /    |
 
−
|  |            |````@````|            |  |  |      o-----o  o-----o      |
 
−
|  |            |`````\```|            |  |  |                            |
 
−
|  |            |``````\``|            |  |  o-----------------------------o
 
−
|  |      u      |```````\`|      v      |  |
 
−
|  |            |````````\|            |  |  o-----------------------------o
 
−
|  |            |`````````|            |  |  |                            |
 
−
|  |            |`````````|\            |  |  |      o-----o  o-----o      |
 
−
|  o            o`````````o \          o  |  |    /      \ /%%%%%%%\    |
 
−
|    \            \```````/  \        /    |  |    /        o%%%%%%%%%\    |
 
−
|    \            \`````/    \      /    |  |  /        / \%%%%%%%%%\  |
 
−
|      \            \```/      \    /      |  |  o        o  o%%%%%%%%%o  |
 
−
|      \      @------\-/---------\---------------@  |  du    |  |%%% dv %%|  |
 
−
|        \            o          \ /        |  |  o        o  o%%%%%%%%%o  |
 
−
|        \          / \          /        |  |  \        \ /%%%%%%%%%/  |
 
−
|          o---------o  o---------o \        |  |    \        o%%%%%%%%%/    |
 
−
|                                    \      |  |    \      / \%%%%%%%/    |
 
−
|                                      \      |  |      o-----o  o-----o      |
 
−
|                                      \    |  |                            |
 
−
o----------------------------------------\----o  o-----------------------------o
 
−
                                          \
 
−
                                          \      o-----------------------------o
 
−
                                            \    |                            |
 
−
                                            \    |      o-----o  o-----o      |
 
−
                                              \  |    /%%%%%%%\ /%%%%%%%\    |
 
−
                                              \  |    /%%%%%%%%%o%%%%%%%%%\    |
 
−
                                                \ |  /%%%%%%%%%/%\%%%%%%%%%\  |
 
−
                                                \|  o%%%%%%%%%o%%%o%%%%%%%%%o  |
 
−
                                                  @  |%% du %%%|%%%|%%% dv %%|  |
 
−
                                                  |  o%%%%%%%%%o%%%o%%%%%%%%%o  |
 
−
                                                  |  \%%%%%%%%%\%/%%%%%%%%%/  |
 
−
                                                  |    \%%%%%%%%%o%%%%%%%%%/    |
 
−
                                                  |    \%%%%%%%/ \%%%%%%%/    |
 
−
                                                  |      o-----o  o-----o      |
 
−
                                                  |                            |
 
−
                                                  o-----------------------------o
 
−
Figure 44-b.  Difference Map of J (Bundle)
 
−
</pre>
 
  
−
===Figure 44-c.  Difference Map of J (Compact)===
+
<br>
  
−
<pre>
+
{| align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" style="border-left:1px solid black; border-top:1px solid black; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black; text-align:center; width:60%"
−
o---------------------------------------------------------------------o
+
|- style="height:50px"
−
|                                                                     |
+
| width="12%" style="border-bottom:1px solid black; border-right:1px solid black" | <math>\cdot\!</math>
−
|                                                                     |
+
| width="22%" style="border-bottom:1px solid black" |
−
|           o-------------------o  o-------------------o            |
+
<math>\operatorname{T}_{00}</math>
−
|          /                    \ /                     \          |
+
| width="22%" style="border-bottom:1px solid black" |
−
|         /                      o                      \          |
+
<math>\operatorname{T}_{01}</math>
−
|        /                       / \                      \        |
+
| width="22%" style="border-bottom:1px solid black" |
−
|       /                      /  \                      \        |
+
<math>\operatorname{T}_{10}</math>
−
|      /                       /    \                      \      |
+
| width="22%" style="border-bottom:1px solid black" |
−
|     /                      /      \                      \      |
+
<math>\operatorname{T}_{11}</math>
−
|    /                       /        \                      \    |
+
|- style="height:50px"
−
|   o                      o          o                      o    |
+
| style="border-right:1px solid black" | <math>\operatorname{T}_{00}</math>
−
|   |                      |          |                      |    |
+
| <math>\operatorname{T}_{00}</math>
−
|   |                      |          |                      |    |
+
| <math>\operatorname{T}_{01}</math>
−
|   |              dv .(du) |          | du .(dv)              |    |
+
| <math>\operatorname{T}_{10}</math>
−
|   |    u    @<--------------->@<--------------->@    v    |    |
+
| <math>\operatorname{T}_{11}</math>
−
|   |                      |    ^    |                      |    |
+
|- style="height:50px"
−
|   |                      |    |    |                      |    |
+
| style="border-right:1px solid black" | <math>\operatorname{T}_{01}</math>
−
|   |                      |    |    |                      |    |
+
| <math>\operatorname{T}_{01}</math>
−
|   o                      o    |    o                      o    |
+
| <math>\operatorname{T}_{00}</math>
−
|     \                       \    |    /                       /    |
+
| <math>\operatorname{T}_{11}</math>
−
|     \                       \  |  /                       /      |
+
| <math>\operatorname{T}_{10}</math>
−
|       \                       \  |  /                       /      |
+
|- style="height:50px"
−
|       \                       \ | /                       /        |
+
| style="border-right:1px solid black" | <math>\operatorname{T}_{10}</math>
−
|         \                       \|/                       /        |
+
| <math>\operatorname{T}_{10}</math>
−
|         \                       |                      /         |
+
| <math>\operatorname{T}_{11}</math>
−
|           \                     /|\                     /           |
+
| <math>\operatorname{T}_{00}</math>
−
|           o-------------------o | o-------------------o            |
+
| <math>\operatorname{T}_{01}</math>
−
|                                 |                                  |
+
|- style="height:50px"
−
|                               du . dv                              |
+
| style="border-right:1px solid black" | <math>\operatorname{T}_{11}</math>
−
|                                 |                                  |
+
| <math>\operatorname{T}_{11}</math>
−
|                                 v                                  |
+
| <math>\operatorname{T}_{10}</math>
−
|                                  @                                  |
+
| <math>\operatorname{T}_{01}</math>
−
|                                                                    |
+
| <math>\operatorname{T}_{00}</math>
−
o---------------------------------------------------------------------o
+
|}
−
Figure 44-c.  Difference Map of J (Compact)
 
−
</pre>
 
  
−
===Figure 44-d.  Difference Map of J (Digraph)===
+
<br>
  
−
<pre>
+
{| align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" style="border-left:1px solid black; border-top:1px solid black; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black; text-align:center; width:60%"
−
o-----------------------------------------------------------o
+
|- style="height:50px"
−
|                                                           |
+
| width="12%" style="border-bottom:1px solid black; border-right:1px solid black" | <math>\cdot\!</math>
−
|                           u v                            |
+
| width="22%" style="border-bottom:1px solid black" |
−
|                                                           |
+
<math>\operatorname{e}</math>
−
|                            @                            |
+
| width="22%" style="border-bottom:1px solid black" |
−
|                           ^^^                            |
+
<math>\operatorname{f}</math>
−
|                          / | \                          |
+
| width="22%" style="border-bottom:1px solid black" |
−
|                          / | \                          |
+
<math>\operatorname{g}</math>
−
|                        /   |  \                        |
+
| width="22%" style="border-bottom:1px solid black" |
−
|                       /    |   \                       |
+
<math>\operatorname{h}</math>
−
|               (du) dv /     |     \ du (dv)              |
+
|- style="height:50px"
−
|                     /     |     \                     |
+
| style="border-right:1px solid black" | <math>\operatorname{e}</math>
−
|                     /      |       \                     |
+
| <math>\operatorname{e}</math>
−
|                   /       |       \                   |
+
| <math>\operatorname{f}</math>
−
|                   /         |         \                   |
+
| <math>\operatorname{g}</math>
−
|                 v          |          v                  |
+
| <math>\operatorname{h}</math>
−
|                 @          |          @                |
+
|- style="height:50px"
−
|               u (v)        |        (u) v              |
+
| style="border-right:1px solid black" | <math>\operatorname{f}</math>
−
|                             |                            |
+
| <math>\operatorname{f}</math>
−
|                             |                            |
+
| <math>\operatorname{e}</math>
−
|                             |                            |
+
| <math>\operatorname{h}</math>
−
|                             |                            |
+
| <math>\operatorname{g}</math>
−
|                         du | dv                          |
+
|- style="height:50px"
−
|                             |                            |
+
| style="border-right:1px solid black" | <math>\operatorname{g}</math>
−
|                             |                            |
+
| <math>\operatorname{g}</math>
−
|                             |                            |
+
| <math>\operatorname{h}</math>
−
|                             |                            |
+
| <math>\operatorname{e}</math>
−
|                            v                            |
+
| <math>\operatorname{f}</math>
−
|                            @                            |
+
|- style="height:50px"
−
|                                                          |
+
| style="border-right:1px solid black" | <math>\operatorname{h}</math>
−
|                          (u) (v)                          |
+
| <math>\operatorname{h}</math>
−
|                                                          |
+
| <math>\operatorname{g}</math>
−
o-----------------------------------------------------------o
+
| <math>\operatorname{f}</math>
−
Figure 44-d.  Difference Map of J (Digraph)
+
| <math>\operatorname{e}</math>
−
</pre>
+
|}
  
−
===Table 45.  Computation of dJ===
+
<br>
  
−
<pre>
+
===Symmetric Group S<sub>3</sub>===
−
Table 45.  Computation of dJ
 
−
o-------------------------------------------------------------------------------o
 
−
|                                                                              |
 
−
| DJ  = u v ((du)(dv))  +  u (v)(du) dv  +  (u) v  du (dv)  +  (u)(v) du dv  |
 
−
|                                                                              |
 
−
| =>                                                                           |
 
−
|                                                                              |
 
−
| dj  =  u v  (du, dv)  +  u (v) dv      +  (u) v  du      +  (u)(v) . 0    |
 
−
|                                                                              |
 
−
o-------------------------------------------------------------------------------o
 
−
</pre>
 
  
−
===Figure 46-a.  Differential of J (Areal)===
+
<br>
  
−
<pre>
+
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="text-align:center; width:90%"
−
o---------------------------------------o
+
|+ <math>\text{Permutation Substitutions in}~ \operatorname{Sym} \{ \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C} \}</math>
−
|                                       |
+
|- style="background:#f0f0ff"
−
|                   o                  |
+
| width="16%" | <math>\operatorname{e}</math>
−
|                 / \                  |
+
| width="16%" | <math>\operatorname{f}</math>
−
|                /  \                 |
+
| width="16%" | <math>\operatorname{g}</math>
−
|                /     \                |
+
| width="16%" | <math>\operatorname{h}</math>
−
|               o      o              |
+
| width="16%" | <math>\operatorname{i}</math>
−
|             /%\     /%\              |
+
| width="16%" | <math>\operatorname{j}</math>
−
|             /%%%\   /%%%\            |
+
|-
−
|           /%%%%%\ /%%%%%\           |
+
|
−
|          o%%%%%%%o%%%%%%%o          |
+
<math>\begin{matrix}
−
|          /%\%%%%%/ \%%%%%/%\         |
+
\mathrm{A} & \mathrm{B} & \mathrm{C}
−
|        /%%%\%%%/  \%%%/%%%\         |
+
\\[3pt]
−
|        /%%%%%\%/    \%/%%%%%\       |
+
\downarrow & \downarrow & \downarrow
−
|      o%%%%%%%o      o%%%%%%%o      |
+
\\[6pt]
−
|      / \%%%%%/%\     /%\%%%%%/ \     |
+
\mathrm{A} & \mathrm{B} & \mathrm{C}
−
|    /  \%%%/%%%\   /%%%\%%%/   \    |
+
\end{matrix}</math>
−
|    /    \%/%%%%%\ /%%%%%\%/    \   |
+
|
−
|  o      o%%%%%%%o%%%%%%%o      o  |
+
<math>\begin{matrix}
−
|  |\     / \%%%%%/ \%%%%%/ \     /|  |
+
\mathrm{A} & \mathrm{B} & \mathrm{C}
−
|  | \   /  \%%%/  \%%%/  \   / |  |
+
\\[3pt]
−
|  |  \ /    \%/    \%/    \ /  |  |
+
\downarrow & \downarrow & \downarrow
−
|  |  o      o      o      o  |  |
+
\\[6pt]
−
|  |  |\     / \     / \     /|  |  |
+
\mathrm{C} & \mathrm{A} & \mathrm{B}
−
|  |  | \   /  \   /  \   / |   |  |
+
\end{matrix}</math>
−
|  | u |  \ /    \ /    \ /  | v |  |
+
|
−
|  o---+---o      o      o---+---o  |
+
<math>\begin{matrix}
−
|      |    \     / \     /    |      |
+
\mathrm{A} & \mathrm{B} & \mathrm{C}
−
|      |    \   /  \   /    |      |
+
\\[3pt]
−
|      | du  \ /    \ /   dv |      |
+
\downarrow & \downarrow & \downarrow
−
|      o-------o      o-------o      |
+
\\[6pt]
−
|                \     /                |
+
\mathrm{B} & \mathrm{C} & \mathrm{A}
−
|                \   /                |
+
\end{matrix}</math>
−
|                  \ /                  |
+
|
−
|                  o                  |
+
<math>\begin{matrix}
−
|                                      |
+
\mathrm{A} & \mathrm{B} & \mathrm{C}
−
o---------------------------------------o
+
\\[3pt]
−
Figure 46-a.  Differential of J (Areal)
+
\downarrow & \downarrow & \downarrow
−
</pre>
+
\\[6pt]
 +
\mathrm{A} & \mathrm{C} & \mathrm{B}
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\mathrm{A} & \mathrm{B} & \mathrm{C}
 +
\\[3pt]
 +
\downarrow & \downarrow & \downarrow
 +
\\[6pt]
 +
\mathrm{C} & \mathrm{B} & \mathrm{A}
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\mathrm{A} & \mathrm{B} & \mathrm{C}
 +
\\[3pt]
 +
\downarrow & \downarrow & \downarrow
 +
\\[6pt]
 +
\mathrm{B} & \mathrm{A} & \mathrm{C}
 +
\end{matrix}</math>
 +
|}
  
−
===Figure 46-b.  Differential of J (Bundle)===
+
<br>
  
−
<pre>
+
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="text-align:center; width:90%"
−
                                                  o-----------------------------o
+
|+ <math>\text{Matrix Representations of Permutations in}~ \operatorname{Sym}(3)</math>
−
                                                  |                             |
+
|- style="background:#f0f0ff"
−
                                                  |      o-----o  o-----o      |
+
| width="16%" | <math>\operatorname{e}</math>
−
                                                  |     /      \ /      \     |
+
| width="16%" | <math>\operatorname{f}</math>
−
                                                  |    /         o        \    |
+
| width="16%" | <math>\operatorname{g}</math>
−
                                                  |   /        / \        \  |
+
| width="16%" | <math>\operatorname{h}</math>
−
                                                  |  o        o  o        o  |
+
| width="16%" | <math>\operatorname{i}</math>
−
                                                  @  |  du    |  |    dv  |  |
+
| width="16%" | <math>\operatorname{j}</math>
−
                                                /|  o        o  o        o  |
+
|-
−
                                                / |  \        \ /        /  |
+
|
−
                                              /  |    \        o        /    |
+
<math>\begin{matrix}
−
                                              /  |    \      / \      /    |
+
1 & 0 & 0
−
                                            /    |      o-----o  o-----o      |
+
\\
−
                                            /    |                             |
+
0 & 1 & 0
−
                                          /      o-----------------------------o
+
\\
−
                                          /
+
0 & 0 & 1
−
o----------------------------------------/----o  o-----------------------------o
+
\end{matrix}</math>
−
|                                      /    |  |                            |
+
|
−
|                                      @      |  |      o-----o  o-----o      |
+
<math>\begin{matrix}
−
|                                            |  |    /%%%%%%%\ /      \    |
+
0 & 0 & 1
−
|          o---------o  o---------o          |  |    /%%%%%%%%%o        \   |
+
\\
−
|        /           \ /          \        |  |  /%%%%%%%%%/%\        \  |
+
1 & 0 & 0
−
|       /            o            \        |  |  o%%%%%%%%%o%%%o        o  |
+
\\
−
|      /            /`\     @------\-----------@  |%% du %%%|%%%|    dv  |  |
+
0 & 1 & 0
−
|      /             /```\            \      |  |  o%%%%%%%%%o%%%o        o  |
+
\end{matrix}</math>
−
|     /            /`````\            \    |  |  \%%%%%%%%%\%/        /  |
+
|
−
|    /            /```````\             \    |  |    \%%%%%%%%%o        /   |
+
<math>\begin{matrix}
−
|   o            o`````````o            o  |  |    \%%%%%%%/ \      /    |
+
0 & 1 & 0
−
|  |            |````@````|            |  |  |      o-----o  o-----o      |
+
\\
−
|  |            |`````\```|            |  |  |                            |
+
0 & 0 & 1
−
|  |            |``````\``|            |  |  o-----------------------------o
+
\\
−
|  |      u      |```````\`|      v      |  |
+
1 & 0 & 0
−
|  |            |````````\|            |  |  o-----------------------------o
+
\end{matrix}</math>
−
|  |            |`````````|            |  |  |                            |
+
|
−
|  |            |`````````|\            |  |  |      o-----o  o-----o      |
+
<math>\begin{matrix}
−
|  o            o`````````o \          o  |  |    /       \ /%%%%%%%\    |
+
1 & 0 & 0
−
|   \            \```````/  \        /    |  |    /        o%%%%%%%%%\    |
+
\\
−
|    \             \`````/     \      /    |  |  /        /%\%%%%%%%%%\  |
+
0 & 0 & 1
−
|     \            \```/      \    /      |  |  o        o%%%o%%%%%%%%%o  |
+
\\
−
|      \     @------\-/---------\---------------@  |  du    |%%%|%%% dv %%|  |
+
0 & 1 & 0
−
|       \            o          \ /        |  |  o        o%%%o%%%%%%%%%o  |
+
\end{matrix}</math>
−
|        \          / \          /        |  |  \        \%/%%%%%%%%%/  |
+
|
−
|          o---------o  o---------o \        |  |    \        o%%%%%%%%%/    |
+
<math>\begin{matrix}
−
|                                    \      |  |    \      / \%%%%%%%/    |
+
0 & 0 & 1
−
|                                      \     |  |      o-----o  o-----o      |
+
\\
−
|                                      \    |  |                            |
+
0 & 1 & 0
−
o----------------------------------------\----o  o-----------------------------o
+
\\
−
                                          \
+
1 & 0 & 0
−
                                          \      o-----------------------------o
+
\end{matrix}</math>
−
                                            \     |                            |
+
|
−
                                            \   |      o-----o  o-----o      |
+
<math>\begin{matrix}
−
                                              \  |    /%%%%%%%\ /%%%%%%%\    |
+
0 & 1 & 0
−
                                              \ |    /%%%%%%%%%o%%%%%%%%%\    |
+
\\
−
                                                \ |  /%%%%%%%%%/ \%%%%%%%%%\  |
+
1 & 0 & 0
−
                                                \|  o%%%%%%%%%o  o%%%%%%%%%o  |
+
\\
−
                                                  @  |%% du %%%|  |%%% dv %%|  |
+
0 & 0 & 1
−
                                                  |  o%%%%%%%%%o  o%%%%%%%%%o  |
+
\end{matrix}</math>
−
                                                  |  \%%%%%%%%%\ /%%%%%%%%%/  |
+
|}
−
                                                  |    \%%%%%%%%%o%%%%%%%%%/    |
 
−
                                                  |    \%%%%%%%/ \%%%%%%%/    |
 
−
                                                  |      o-----o  o-----o      |
 
−
                                                  |                            |
 
−
                                                  o-----------------------------o
 
−
Figure 46-b.  Differential of J (Bundle)
 
−
</pre>
 
−
 
 
−
===Figure 46-c.  Differential of J (Compact)===
 
−
 
 
−
<pre>
 
−
o---------------------------------------------------------------------o
 
−
|                                                                    |
 
−
|                                                                    |
 
−
|            o-------------------o  o-------------------o            |
 
−
|          /                    \ /                    \           |
 
−
|          /                      o                      \          |
 
−
|        /                      / \                       \         |
 
−
|        /                      /  \                      \        |
 
−
|      /                      /    \                       \      |
 
−
|      /                       /  @  \                      \      |
 
−
|    /                      /  ^ ^  \                      \    |
 
−
|    o                      o  /  \   o                      o    |
 
−
|    |                      |  /    \  |                      |    |
 
−
|    |                      | /      \ |                      |    |
 
−
|    |                      |/        \|                      |    |
 
−
|    |        u        (du)/ dv    du \(dv)        v        |    |
 
−
|    |                      /|          |\                     |    |
 
−
|    |                    / |          | \                     |    |
 
−
|    |                    /  |          |  \                    |    |
 
−
|    o                  /  o          o  \                  o    |
 
−
|    \                 /     \        /    \                /    |
 
−
|      \              v      \ du dv /      v              /      |
 
−
|      \            @<----------------------->@            /      |
 
−
|        \                      \  /                      /        |
 
−
|        \                       \ /                      /        |
 
−
|          \                      o                      /          |
 
−
|          \                     / \                     /          |
 
−
|            o-------------------o  o-------------------o            |
 
−
|                                                                    |
 
−
|                                                                    |
 
−
o---------------------------------------------------------------------o
 
−
Figure 46-c.  Differential of J (Compact)
 
−
</pre>
 
−
 
 
−
===Figure 46-d.  Differential of J (Digraph)===
 
−
 
 
−
<pre>
 
−
o-----------------------------------------------------------o
 
−
|                                                          |
 
−
|                            u v                            |
 
−
|                            @                            |
 
−
|                            ^ ^                            |
 
−
|                          /  \                           |
 
−
|                          /    \                          |
 
−
|                        /      \                         |
 
−
|                        /        \                       |
 
−
|              (du) dv /          \ du (dv)              |
 
−
|                      /            \                     |
 
−
|                    /              \                     |
 
−
|                    /                \                    |
 
−
|                  /                  \                   |
 
−
|                  v                    v                  |
 
−
|          u (v) @<--------------------->@ (u) v          |
 
−
|                          du dv                          |
 
−
|                                                          |
 
−
|                                                          |
 
−
|                                                          |
 
−
|                                                          |
 
−
|                                                          |
 
−
|                                                          |
 
−
|                                                          |
 
−
|                                                          |
 
−
|                                                          |
 
−
|                                                          |
 
−
|                            @                            |
 
−
|                          (u) (v)                          |
 
−
|                                                          |
 
−
o-----------------------------------------------------------o
 
−
Figure 46-d.  Differential of J (Digraph)
 
−
</pre>
 
−
 
 
−
===Table 47.  Computation of rJ===
 
−
 
 
−
<pre>
 
−
Table 47.  Computation of rJ
 
−
o-------------------------------------------------------------------------------o
 
−
|                                                                              |
 
−
| rJ  =        DJ        +        dJ                                            |
 
−
|                                                                              |
 
−
o-------------------------------------------------------------------------------o
 
−
|                                                                              |
 
−
| DJ  =  u v ((du)(dv))  +  u (v)(du) dv  +  (u) v  du (dv)  +  (u)(v) du dv  |
 
−
|                                                                              |
 
−
| dJ  =  u v  (du, dv)  +  u (v) dv      +  (u) v  du      +  (u)(v) . 0    |
 
−
|                                                                              |
 
−
o-------------------------------------------------------------------------------o
 
−
|                                                                              |
 
−
| rJ  =  u v  du  dv    +  u (v) du  dv  +  (u) v  du  dv  +  (u)(v) du dv  |
 
−
|                                                                              |
 
−
o-------------------------------------------------------------------------------o
 
−
</pre>
 
  
−
===Figure 48-a.  Remainder of J (Areal)===
+
<br>
  
 
<pre>
 
<pre>
−
o---------------------------------------o
+
Symmetric Group S_3
−
|                                       |
+
o-------------------------------------------------o
−
|                  o                   |
+
|                                                 |
−
|                  / \                  |
+
|                        ^                        |
−
|                 /  \                 |
+
|                    e / \ e                    |
−
|                /     \                |
+
|                      /  \                      |
−
|              o      o               |
+
|                    /  e  \                    |
−
|             / \     / \             |
+
|                  f / \  / \ f                  |
−
|            /  \  /  \            |
+
|                  /  \ /  \                   |
−
|            /     \ /    \            |
+
|                  / f  \  f  \                  |
−
|           o      o      o          |
+
|               g / \  / \   / \ g              |
−
|          / \     /%\     / \         |
+
|                /   \ /  \ /  \                |
−
|         /  \  /%%%\  /  \         |
+
|              /  g  \  g  \  g  \               |
−
|       /     \ /%%%%%\ /    \       |
+
|           h / \  / \   / \   / \ h            |
−
|      o      o%%%%%%%o      o      |
+
|            /  \ /   \ /  \ /  \            |
−
|      / \     /%\%%%%%/%\     / \      |
+
|            / h  \  e  \ e  \  h  \            |
−
|     /  \  /%%%\%%%/%%%\  /  \     |
+
|         i / \  / \  / \   / \   / \ i        |
−
|   /    \ /%%%%%\%/%%%%%\ /    \   |
+
|         /  \ /   \ /   \ /   \ /  \         |
−
|   o       o%%%%%%%o%%%%%%%o      o   |
+
|         / i  \  i  \  f  \ j  \ i  \         |
−
|   |\     / \%%%%%/%\%%%%%/ \     /|  |
+
|      j / \   / \   / \   / \   / \  / \ j     |
−
|  | \  /  \%%%/%%%\%%%/  \   / |  |
+
|       /  \ /   \ /   \ /   \ /   \ /  \       |
−
|   | \ /    \%/%%%%%\%/    \ / |  |
+
|     (  j  \  j  \ j  \ i  \ h  \ j  )      |
−
|  |   o      o%%%%%%%o      o   |   |
+
|      \   / \   / \   / \   / \   / \   /       |
−
|  |   |\     / \%%%%%/ \     /|   |   |
+
|       \ /   \ /   \ /  \ /   \ /  \ /       |
−
|  |   | \  /  \%%%/  \  / |  |   |
+
|         \  h \ h  \ e  \ j  \ i  /         |
−
|   | u | \ /     \%/     \ / | v |  |
+
|         \  / \   / \   / \   / \   /          |
−
|  o---+---o      o      o---+---o   |
+
|           \ /   \ /   \ /   \ /   \ /           |
−
|       |    \     / \     /   |      |
+
|           \  i  \  g  \  f  \  h  /            |
−
|       |    \  /   \  /     |      |
+
|             \   / \   / \  / \   /            |
−
|       | du  \ /     \ /   dv |      |
+
|              \ /  \ /   \ /  \ /              |
−
|       o-------o      o-------o      |
+
|               \  f  \  e  \  g  /              |
−
|                \     /               |
+
|               \   / \   / \   /               |
−
|                 \  /                 |
+
|                 \ /   \ /   \ /                |
−
|                 \ /                 |
+
|                 \ g  \ f  /                 |
−
|                   o                  |
+
|                   \  / \  /                   |
−
|                                       |
+
|                   \ /   \ /                   |
−
o---------------------------------------o
+
|                     \ e  /                     |
−
Figure 48-a.  Remainder of J (Areal)
+
|                     \  /                     |
 +
|                       \ /                       |
 +
|                       v                        |
 +
|                                                 |
 +
o-------------------------------------------------o
 
</pre>
 
</pre>
  
−
===Figure 48-b.  Remainder of J (Bundle)===
+
<br>
 +
 
 +
===TeX Tables===
  
 
<pre>
 
<pre>
−
                                                  o-----------------------------o
+
\tableofcontents
−
                                                  |                            |
 
−
                                                  |      o-----o  o-----o      |
 
−
                                                  |    /      \ /      \    |
 
−
                                                  |    /        o        \    |
 
−
                                                  |  /        /%\        \  |
 
−
                                                  |  o        o%%%o        o  |
 
−
                                                  @  |  du    |%%%|    dv  |  |
 
−
                                                /|  o        o%%%o        o  |
 
−
                                                / |  \        \%/        /  |
 
−
                                              /  |    \        o        /    |
 
−
                                              /  |    \      / \      /    |
 
−
                                            /    |      o-----o  o-----o      |
 
−
                                            /    |                            |
 
−
                                          /      o-----------------------------o
 
−
                                          /
 
−
o----------------------------------------/----o  o-----------------------------o
 
−
|                                      /    |  |                            |
 
−
|                                      @      |  |      o-----o  o-----o      |
 
−
|                                            |  |    /      \ /      \    |
 
−
|          o---------o  o---------o          |  |    /        o        \    |
 
−
|        /          \ /          \        |  |  /        /%\        \  |
 
−
|        /            o            \        |  |  o        o%%%o        o  |
 
−
|      /            /`\      @------\-----------@  |  du    |%%%|    dv  |  |
 
−
|      /            /```\            \      |  |  o        o%%%o        o  |
 
−
|    /            /`````\            \    |  |  \        \%/        /  |
 
−
|    /            /```````\            \    |  |    \        o        /    |
 
−
|  o            o`````````o            o  |  |    \      / \      /    |
 
−
|  |            |````@````|            |  |  |      o-----o  o-----o      |
 
−
|  |            |`````\```|            |  |  |                            |
 
−
|  |            |``````\``|            |  |  o-----------------------------o
 
−
|  |      u      |```````\`|      v      |  |
 
−
|  |            |````````\|            |  |  o-----------------------------o
 
−
|  |            |`````````|            |  |  |                            |
 
−
|  |            |`````````|\            |  |  |      o-----o  o-----o      |
 
−
|  o            o`````````o \          o  |  |    /      \ /      \    |
 
−
|    \            \```````/  \        /    |  |    /        o        \    |
 
−
|    \            \`````/    \      /    |  |  /        /%\        \  |
 
−
|      \            \```/      \    /      |  |  o        o%%%o        o  |
 
−
|      \      @------\-/---------\---------------@  |  du    |%%%|    dv  |  |
 
−
|        \            o          \ /        |  |  o        o%%%o        o  |
 
−
|        \          / \          /        |  |  \        \%/        /  |
 
−
|          o---------o  o---------o \        |  |    \        o        /    |
 
−
|                                    \      |  |    \      / \      /    |
 
−
|                                      \      |  |      o-----o  o-----o      |
 
−
|                                      \    |  |                            |
 
−
o----------------------------------------\----o  o-----------------------------o
 
−
                                          \
 
−
                                          \      o-----------------------------o
 
−
                                            \    |                            |
 
−
                                            \    |      o-----o  o-----o      |
 
−
                                              \  |    /      \ /      \    |
 
−
                                              \  |    /        o        \    |
 
−
                                                \ |  /        /%\        \  |
 
−
                                                \|  o        o%%%o        o  |
 
−
                                                  @  |  du    |%%%|    dv  |  |
 
−
                                                  |  o        o%%%o        o  |
 
−
                                                  |  \        \%/        /  |
 
−
                                                  |    \        o        /    |
 
−
                                                  |    \      / \      /    |
 
−
                                                  |      o-----o  o-----o      |
 
−
                                                  |                            |
 
−
                                                  o-----------------------------o
 
−
Figure 48-b.  Remainder of J (Bundle)
 
−
</pre>
 
  
−
===Figure 48-c.  Remainder of J (Compact)===
+
\subsection{Table A1.  Propositional Forms on Two Variables}
  
−
<pre>
+
Table A1 lists equivalent expressions for the Boolean functions of two variables in a number of different notational systems.
−
o---------------------------------------------------------------------o
 
−
|                                                                    |
 
−
|                                                                    |
 
−
|            o-------------------o  o-------------------o            |
 
−
|          /                    \ /                    \          |
 
−
|          /                      o                      \          |
 
−
|        /                      / \                      \        |
 
−
|        /                      /  \                      \        |
 
−
|      /                      /    \                      \      |
 
−
|      /                      /      \                      \      |
 
−
|    /                      /        \                      \    |
 
−
|    o                      o          o                      o    |
 
−
|    |                      |          |                      |    |
 
−
|    |                      |          |                      |    |
 
−
|    |                      |  du dv  |                      |    |
 
−
|    |      u      @<------------------------->@      v      |    |
 
−
|    |                      |          |                      |    |
 
−
|    |                      |          |                      |    |
 
−
|    |                      |          |                      |    |
 
−
|    o                      o    @    o                      o    |
 
−
|    \                      \    ^    /                      /    |
 
−
|      \                      \  |  /                      /      |
 
−
|      \                      \  |  /                      /      |
 
−
|        \                      \ | /                      /        |
 
−
|        \                      \|/                      /        |
 
−
|          \                    du | dv                    /          |
 
−
|          \                    /|\                    /          |
 
−
|            o-------------------o | o-------------------o            |
 
−
|                                  |                                  |
 
−
|                                  |                                  |
 
−
|                                  v                                  |
 
−
|                                  @                                  |
 
−
|                                                                    |
 
−
o---------------------------------------------------------------------o
 
−
Figure 48-c. Remainder of J (Compact)
 
−
</pre>
 
  
−
===Figure 48-d. Remainder of J (Digraph)===
+
\begin{quote}\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
 +
\multicolumn{7}{c}{\textbf{Table A1.  Propositional Forms on Two Variables}} \\
 +
\hline
 +
$\mathcal{L}_1$ &
 +
$\mathcal{L}_2$ &&
 +
$\mathcal{L}_3$ &
 +
$\mathcal{L}_4$ &
 +
$\mathcal{L}_5$ &
 +
$\mathcal{L}_6$ \\
 +
\hline
 +
& & $x =$ & 1 1 0 0 & & & \\
 +
& & $y =$ & 1 0 1 0 & & & \\
 +
\hline
 +
$f_{0}$    &
 +
$f_{0000}$  &&
 +
0 0 0 0    &
 +
$(~)$      &
 +
$\operatorname{false}$ &
 +
$0$        \\
 +
$f_{1}$    &
 +
$f_{0001}$  &&
 +
0 0 0 1    &
 +
$(x)(y)$    &
 +
$\operatorname{neither}\ x\ \operatorname{nor}\ y$ &
 +
$\lnot x \land \lnot y$ \\
 +
$f_{2}$    &
 +
$f_{0010}$  &&
 +
0 0 1 0    &
 +
$(x)\ y$    &
 +
$y\ \operatorname{without}\ x$ &
 +
$\lnot x \land y$ \\
 +
$f_{3}$    &
 +
$f_{0011}$  &&
 +
0 0 1 1    &
 +
$(x)$      &
 +
$\operatorname{not}\ x$ &
 +
$\lnot x$  \\
 +
$f_{4}$    &
 +
$f_{0100}$  &&
 +
0 1 0 0    &
 +
$x\ (y)$    &
 +
$x\ \operatorname{without}\ y$ &
 +
$x \land \lnot y$ \\
 +
$f_{5}$    &
 +
$f_{0101}$  &&
 +
0 1 0 1    &
 +
$(y)$      &
 +
$\operatorname{not}\ y$ &
 +
$\lnot y$  \\
 +
$f_{6}$    &
 +
$f_{0110}$  &&
 +
0 1 1 0    &
 +
$(x,\ y)$  &
 +
$x\ \operatorname{not~equal~to}\ y$ &
 +
$x \ne y$  \\
 +
$f_{7}$    &
 +
$f_{0111}$  &&
 +
0 1 1 1    &
 +
$(x\ y)$    &
 +
$\operatorname{not~both}\ x\ \operatorname{and}\ y$ &
 +
$\lnot x \lor \lnot y$ \\
 +
\hline
 +
$f_{8}$    &
 +
$f_{1000}$  &&
 +
1 0 0 0    &
 +
$x\ y$      &
 +
$x\ \operatorname{and}\ y$ &
 +
$x \land y$ \\
 +
$f_{9}$    &
 +
$f_{1001}$  &&
 +
1 0 0 1    &
 +
$((x,\ y))$ &
 +
$x\ \operatorname{equal~to}\ y$ &
 +
$x = y$    \\
 +
$f_{10}$    &
 +
$f_{1010}$  &&
 +
1 0 1 0    &
 +
$y$        &
 +
$y$        &
 +
$y$        \\
 +
$f_{11}$    &
 +
$f_{1011}$  &&
 +
1 0 1 1    &
 +
$(x\ (y))$  &
 +
$\operatorname{not}\ x\ \operatorname{without}\ y$ &
 +
$x \Rightarrow y$ \\
 +
$f_{12}$    &
 +
$f_{1100}$  &&
 +
1 1 0 0    &
 +
$x$        &
 +
$x$        &
 +
$x$        \\
 +
$f_{13}$    &
 +
$f_{1101}$  &&
 +
1 1 0 1    &
 +
$((x)\ y)$  &
 +
$\operatorname{not}\ y\ \operatorname{without}\ x$ &
 +
$x \Leftarrow y$ \\
 +
$f_{14}$    &
 +
$f_{1110}$  &&
 +
1 1 1 0    &
 +
$((x)(y))$  &
 +
$x\ \operatorname{or}\ y$ &
 +
$x \lor y$  \\
 +
$f_{15}$    &
 +
$f_{1111}$ &&
 +
1 1 1 1    &
 +
$((~))$    &
 +
$\operatorname{true}$ &
 +
$1$        \\
 +
\hline
 +
\end{tabular}\end{quote}
  
−
<pre>
+
\subsection{Table A2.  Propositional Forms on Two Variables}
−
o-----------------------------------------------------------o
 
−
|                                                          |
 
−
|                            u v                            |
 
−
|                            @                            |
 
−
|                            ^                            |
 
−
|                            |                            |
 
−
|                            |                            |
 
−
|                            |                            |
 
−
|                            |                            |
 
−
|                            |                            |
 
−
|                            |                            |
 
−
|                            |                            |
 
−
|                            |                            |
 
−
|                            |                            |
 
−
|                          du | dv                          |
 
−
|          u (v) @<----------|---------->@ (u) v          |
 
−
|                          du | dv                          |
 
−
|                            |                            |
 
−
|                            |                            |
 
−
|                            |                            |
 
−
|                            |                            |
 
−
|                            |                            |
 
−
|                            |                            |
 
−
|                            |                            |
 
−
|                            |                            |
 
−
|                            |                            |
 
−
|                            v                            |
 
−
|                            @                            |
 
−
|                          (u) (v)                          |
 
−
|                                                          |
 
−
o-----------------------------------------------------------o
 
−
Figure 48-d.  Remainder of J (Digraph)
 
−
</pre>
 
  
−
===Table 49. Computation Summary for J===
+
Table A2 lists the sixteen Boolean functions of two variables in a different order, grouping them by structural similarity into seven natural classes.
  
−
<pre>
+
\begin{quote}\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
−
Table 49.  Computation Summary for J
+
\multicolumn{7}{c}{\textbf{Table A2.  Propositional Forms on Two Variables}} \\
−
o-------------------------------------------------------------------------------o
+
\hline
−
|                                                                              |
+
$\mathcal{L}_1$ &
−
| !e!J  =  uv .     1       + u(v) .   0   + (u)v .  0    + (u)(v) .   0   |
+
$\mathcal{L}_2$ &&
−
|                                                                              |
+
$\mathcal{L}_3$ &
−
|  EJ  =  uv . (du)(dv)  + u(v) . (du)dv  + (u)v . du(dv)  + (u)(v) . du dv  |
+
$\mathcal{L}_4$ &
−
|                                                                              |
+
$\mathcal{L}_5$ &
−
|   DJ = uv . ((du)(dv))  + u(v) . (du)dv + (u)v . du(dv) + (u)(v) . du dv |
+
$\mathcal{L}_6$ \\
−
|                                                                              |
+
\hline
−
|  dJ  =  uv . (du, dv)  + u(v) .    dv  + (u)v . du      + (u)(v) .  0    |
+
& & $x =$ & 1 1 0 0 & & & \\
−
|                                                                              |
+
& & $y =$ & 1 0 1 0 & & & \\
−
|  rJ =  uv .  du  dv   + u(v) . du dv  + (u)v . du dv  + (u)(v) . du dv  |
+
\hline
−
|                                                                              |
+
$f_{0}$    &
−
o-------------------------------------------------------------------------------o
+
$f_{0000}$ &&
−
</pre>
+
0 0 0 0    &
 +
$(~)$      &
 +
$\operatorname{false}$ &
 +
$0$        \\
 +
\hline
 +
$f_{1}$     &
 +
$f_{0001}$  &&
 +
0 0 0 1     &
 +
$(x)(y)$   &
 +
$\operatorname{neither}\ x\ \operatorname{nor}\ y$ &
 +
$\lnot x \land \lnot y$ \\
 +
$f_{2}$    &
 +
$f_{0010}$  &&
 +
0 0 1 0    &
 +
$(x)\ y$    &
 +
$y\ \operatorname{without}\ x$ &
 +
$\lnot x \land y$ \\
 +
$f_{4}$    &
 +
$f_{0100}$  &&
 +
0 1 0 0    &
 +
$x\ (y)$    &
 +
$x\ \operatorname{without}\ y$ &
 +
$x \land \lnot y$ \\
 +
$f_{8}$    &
 +
$f_{1000}$  &&
 +
1 0 0 0    &
 +
$x\ y$      &
 +
$x\ \operatorname{and}\ y$ &
 +
$x \land y$ \\
 +
\hline
 +
$f_{3}$    &
 +
$f_{0011}$  &&
 +
0 0 1 1    &
 +
$(x)$      &
 +
$\operatorname{not}\ x$ &
 +
$\lnot x$   \\
 +
$f_{12}$    &
 +
$f_{1100}$  &&
 +
1 1 0 0     &
 +
$x$        &
 +
$x$        &
 +
$x$        \\
 +
\hline
 +
$f_{6}$    &
 +
$f_{0110}$ &&
 +
0 1 1 0    &
 +
$(x,\ y)$  &
 +
$x\ \operatorname{not~equal~to}\ y$ &
 +
$x \ne y$   \\
 +
$f_{9}$    &
 +
$f_{1001}$  &&
 +
1 0 0 1    &
 +
$((x,\ y))$ &
 +
$x\ \operatorname{equal~to}\ y$ &
 +
$x = y$    \\
 +
\hline
 +
$f_{5}$    &
 +
$f_{0101}$ &&
 +
0 1 0 1    &
 +
$(y)$      &
 +
$\operatorname{not}\ y$ &
 +
$\lnot y$   \\
 +
$f_{10}$    &
 +
$f_{1010}$ &&
 +
1 0 1 0    &
 +
$y$        &
 +
$y$        &
 +
$y$        \\
 +
\hline
 +
$f_{7}$    &
 +
$f_{0111}$ &&
 +
0 1 1 1    &
 +
$(x\ y)$    &
 +
$\operatorname{not~both}\ x\ \operatorname{and}\ y$ &
 +
$\lnot x \lor \lnot y$ \\
 +
$f_{11}$    &
 +
$f_{1011}$  &&
 +
1 0 1 1    &
 +
$(x\ (y))$ &
 +
$\operatorname{not}\ x\ \operatorname{without}\ y$ &
 +
$x \Rightarrow y$ \\
 +
$f_{13}$    &
 +
$f_{1101}$ &&
 +
1 1 0 1    &
 +
$((x)\ y)$ &
 +
$\operatorname{not}\ y\ \operatorname{without}\ x$ &
 +
$x \Leftarrow y$ \\
 +
$f_{14}$    &
 +
$f_{1110}$ &&
 +
1 1 1 0    &
 +
$((x)(y))$  &
 +
$x\ \operatorname{or}\ y$ &
 +
$x \lor y$ \\
 +
\hline
 +
$f_{15}$   &
 +
$f_{1111}$ &&
 +
1 1 1 1    &
 +
$((~))$    &
 +
$\operatorname{true}$ &
 +
$1$        \\
 +
\hline
 +
\end{tabular}\end{quote}
  
−
===Table 50.  Computation of an Analytic Series in Terms of Coordinates===
+
\subsection{Table A3.  $\operatorname{E}f$ Expanded Over Differential Features $\{ \operatorname{d}x, \operatorname{d}y \}$}
  
−
<pre>
+
\begin{quote}\begin{tabular}{|c|c||c|c|c|c|}
−
Table 50.  Computation of an Analytic Series in Terms of Coordinates
+
\multicolumn{6}{c}{\textbf{Table A3. $\operatorname{E}f$ Expanded Over Differential Features $\{ \operatorname{d}x, \operatorname{d}y \}$}} \\
−
o-----------o-------------o-------------oo-------------o---------o-------------o
+
\hline
−
| u    v  | du    dv  | u'    v'  || !e!J    EJ  |   DJ    |  dJ  d^2.J |
+
& &
−
o-----------o-------------o-------------oo-------------o---------o-------------o
+
$\operatorname{T}_{11}$ &
−
|          |            |            ||            |        |            |
+
$\operatorname{T}_{10}$ &
−
| 0    0  |  0      0   |  0      0  ||  0      0  |   0   | 0      0  |
+
$\operatorname{T}_{01}$ &
−
|          |            |            ||            |        |            |
+
$\operatorname{T}_{00}$ \\
−
|          |  0      1   | 0     1  ||        0  |   0   |  0      0  |
+
& $f$ &
−
|          |            |            ||            |        |            |
+
$\operatorname{E}f|_{\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y}$   &
−
|          |  1      0  | 1      0  ||        0  |   0   |  0      0  |
+
$\operatorname{E}f|_{\operatorname{d}x (\operatorname{d}y)}$ &
−
|          |            |            ||            |        |            |
+
$\operatorname{E}f|_{(\operatorname{d}x) \operatorname{d}y}$ &
−
|          |  1      1  |  1     1  ||        1  |   1   |  0      1  |
+
$\operatorname{E}f|_{(\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y)}$ \\
−
|          |            |            ||            |        |            |
+
\hline
−
o-----------o-------------o-------------oo-------------o---------o-------------o
+
$f_{0}$ & $(~)$      & $(~)$      & $(~)$      & $(~)$      & $(~)$      \\
−
|          |            |            ||            |        |            |
+
\hline
−
| 0    1  |  0      0  |  0      1  ||  0      0  |   0   |  0     0  |
+
$f_{1}$ & $(x)(y)$    & $x\ y$     & $x\ (y)$    & $(x)\ y$   & $(x)(y)$   \\
−
|          |            |            ||            |        |            |
+
$f_{2}$ & $(x)\ y$   & $x\ (y)$   & $x\ y$     & $(x)(y)$   & $(x)\ y$   \\
−
|          | 0     1  |  0      0  ||        0  |   0   |  0     0  |
+
$f_{4}$ & $x\ (y)$    & $(x)\ y$   & $(x)(y)$   & $x\ y$     & $x\ (y)$    \\
−
|          |            |            ||            |        |            |
+
$f_{8}$ & $x\ y$     & $(x)(y)$    & $(x)\ y$   & $x\ (y)$   & $x\ y$     \\
−
|          | 1      0  |  1      1  ||         1  |    1    |  1      0  |
+
\hline
−
|          |            |            ||            |         |            |
+
$f_{3}$ & $(x)$      & $x$        & $x$         & $(x)$      & $(x)$      \\
−
|          |  1      1  |  1      0  ||         0  |    0    |  1      1  |
+
$f_{12}$ & $x$         & $(x)$      & $(x)$      & $x$         & $x$         \\
−
|          |            |            ||            |         |            |
+
\hline
−
o-----------o-------------o-------------oo-------------o---------o-------------o
+
$f_{6}$ & $(x,\ y)$   & $(x,\ y)$   & $((x,\ y))$ & $((x,\ y))$ & $(x,\ y)$   \\
−
|          |            |            ||            |        |            |
+
$f_{9}$ & $((x,\ y))$ & $((x,\ y))$ & $(x,\ y)$   & $(x,\ y)$   & $((x,\ y))$ \\
−
|  1    0  | 0      0   |  1      0   ||  0      0  |    0    |  0      0   |
+
\hline
−
|          |            |            ||            |        |            |
+
$f_{5}$ & $(y)$      & $y$        & $(y)$      & $y$         & $(y)$      \\
−
|          | 0      1   |  1      1  ||        1   |    1    |  1      0  |
+
$f_{10}$ & $y$         & $(y)$      & $y$         & $(y)$      & $y$         \\
−
|          |            |            ||            |        |            |
+
\hline
−
|          | 1      0  |  0      0  ||         0  |    0    |  0      0  |
+
$f_{7}$ & $(x\ y)$    & $((x)(y))$ & $((x)\ y)$ & $(x\ (y))$ & $(x\ y)$   \\
−
|          |            |            ||            |         |            |
+
$f_{11}$ & $(x\ (y))$ & $((x)\ y)$ & $((x)(y))$ & $(x\ y)$   & $(x\ (y))$ \\
−
|          |  1      1  |  0      1  ||         0  |    0    |  1      1  |
+
$f_{13}$ & $((x)\ y)$ & $(x\ (y))$ & $(x\ y)$   & $((x)(y))$  & $((x)\ y)$ \\
−
|          |            |            ||            |         |            |
+
$f_{14}$ & $((x)(y))$  & $(x\ y)$    & $(x\ (y))$ & $((x)\ y)$ & $((x)(y))$ \\
−
o-----------o-------------o-------------oo-------------o---------o-------------o
+
\hline
−
|          |            |            ||            |        |            |
+
$f_{15}$ & $((~))$    & $((~))$    & $((~))$    & $((~))$    & $((~))$    \\
−
| 1    1  | 0      0  | 1      1  || 1      1  |   0    | 0      0  |
+
\hline
−
|          |            |            ||            |        |            |
+
\multicolumn{2}{|c||}{\PMlinkname{Fixed Point}{FixedPoint} Total:} & 4 & 4 & 4 & 16 \\
−
|          | 0      1  | 1      0  ||        0  |   1    | 1      0  |
+
\hline
−
|          |            |            ||            |        |            |
+
\end{tabular}\end{quote}
−
|          | 1      0  | 0      1  ||        0  |   1    | 1      0  |
 
−
|          |            |            ||            |        |            |
 
−
|          | 1      1  | 0      0  ||        0  |    1    | 0      1  |
 
−
|           |            |            ||            |        |             |
 
−
o-----------o-------------o-------------oo-------------o---------o-------------o
 
−
</pre>
 
  
−
===Formula Display 9===
+
\subsection{Table A4.  $\operatorname{D}f$ Expanded Over Differential Features $\{ \operatorname{d}x, \operatorname{d}y \}$}
  
−
<pre>
+
\begin{quote}\begin{tabular}{|c|c||c|c|c|c|}
−
o-------------------------------------------------o
+
\multicolumn{6}{c}{\textbf{Table A4.  $\operatorname{D}f$ Expanded Over Differential Features $\{ \operatorname{d}x, \operatorname{d}y \}$}} \\
−
|                                                 |
+
\hline
−
|         u'   =   u + du   =   (u, du)           |
+
& $f$ &
−
|                                                |
+
$\operatorname{D}f|_{\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y}$  &
−
|         v'   =   v + du   =   (v, dv)           |
+
$\operatorname{D}f|_{\operatorname{d}x (\operatorname{d}y)}$  &
−
|                                                |
+
$\operatorname{D}f|_{(\operatorname{d}x) \operatorname{d}y}$  &
−
o-------------------------------------------------o
+
$\operatorname{D}f|_{(\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y)}$ \\
−
</pre>
+
\hline
 +
$f_{0}$  & $(~)$      & $(~)$      & $(~)$  & $(~)$  & $(~)$ \\
 +
\hline
 +
$f_{1}$  & $(x)(y)$    & $((x,\ y))$ & $(y)$  & $(x)$  & $(~)$ \\
 +
$f_{2}$  & $(x)\ y$    & $(x,\ y)$  & $y$    & $(x)$   & $(~)$ \\
 +
$f_{4}$  & $x\ (y)$    & $(x,\ y)$   & $(y)$   & $x$    & $(~)$ \\
 +
$f_{8}$  & $x\ y$      & $((x,\ y))$ & $y$    & $x$    & $(~)$ \\
 +
\hline
 +
$f_{3}$  & $(x)$      & $((~))$    & $((~))$ & $(~)$   & $(~)$ \\
 +
$f_{12}$ & $x$        & $((~))$    & $((~))$ & $(~)$  & $(~)$ \\
 +
\hline
 +
$f_{6}$  & $(x,\ y)$  & $(~)$      & $((~))$ & $((~))$ & $(~)$ \\
 +
$f_{9}$  & $((x,\ y))$ & $(~)$      & $((~))$ & $((~))$ & $(~)$ \\
 +
\hline
 +
$f_{5}$  & $(y)$      & $((~))$    & $(~)$  & $((~))$ & $(~)$ \\
 +
$f_{10}$ & $y$         & $((~))$    & $(~)$  & $((~))$ & $(~)$ \\
 +
\hline
 +
$f_{7}$  & $(x\ y)$    & $((x,\ y))$ & $y$    & $x$    & $(~)$ \\
 +
$f_{11}$ & $(x\ (y))$  & $(x,\ y)$   & $(y)$   & $x$    & $(~)$ \\
 +
$f_{13}$ & $((x)\ y)$  & $(x,\ y)$   & $y$    & $(x)$   & $(~)$ \\
 +
$f_{14}$ & $((x)(y))$  & $((x,\ y))$ & $(y)$  & $(x)$  & $(~)$ \\
 +
\hline
 +
$f_{15}$ & $((~))$    & $(~)$      & $(~)$  & $(~)$  & $(~)$ \\
 +
\hline
 +
\end{tabular}\end{quote}
  
−
===Formula Display 10===
+
\subsection{Table A5.  $\operatorname{E}f$ Expanded Over Ordinary Features $\{ x, y \}$}
  
−
<pre>
+
\begin{quote}\begin{tabular}{|c|c||c|c|c|c|}
−
o--------------------------------------------------------------o
+
\multicolumn{6}{c}{\textbf{Table A5.  $\operatorname{E}f$ Expanded Over Ordinary Features $\{ x, y \}$}} \\
−
|                                                             |
+
\hline
−
|  EJ<u, v, du, dv>   =   J<u + du, v + dv>   =   J<u', v'>   |
+
& $f$ &
−
|                                                              |
+
$\operatorname{E}f|_{x\ y}$  &
−
o--------------------------------------------------------------o
+
$\operatorname{E}f|_{x (y)}$  &
−
</pre>
+
$\operatorname{E}f|_{(x) y}$  &
 +
$\operatorname{E}f|_{(x)(y)}$ \\
 +
\hline
 +
$f_{0}$ &
 +
$(~)$  &
 +
$(~)$  &
 +
$(~)$  &
 +
$(~)$  &
 +
$(~)$  \\
 +
\hline
 +
$f_{1}$  &
 +
$(x)(y)$ &
 +
$\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y$  &
 +
$\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y)$ &
 +
$(\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y$ &
 +
$(\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y)$ \\
 +
$f_{2}$  &
 +
$(x)\ y$ &
 +
$\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y)$ &
 +
$\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y$  &
 +
$(\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y)$ &
 +
$(\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y$ \\
 +
$f_{4}$  &
 +
$x\ (y)$ &
 +
$(\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y$ &
 +
$(\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y)$ &
 +
$\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y$  &
 +
$\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y)$ \\
 +
$f_{8}$ &
 +
$x\ y$  &
 +
$(\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y)$ &
 +
$(\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y$ &
 +
$\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y)$ &
 +
$\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y$  \\
 +
\hline
 +
$f_{3}$ &
 +
$(x)$  &
 +
$\operatorname{d}x$  &
 +
$\operatorname{d}x$  &
 +
$(\operatorname{d}x)$ &
 +
$(\operatorname{d}x)$ \\
 +
$f_{12}$ &
 +
$x$      &
 +
$(\operatorname{d}x)$ &
 +
$(\operatorname{d}x)$ &
 +
$\operatorname{d}x$  &
 +
$\operatorname{d}x$  \\
 +
\hline
 +
$f_{6}$  &
 +
$(x,\ y)$ &
 +
$(\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y)$   &
 +
$((\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y))$ &
 +
$((\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y))$ &
 +
$(\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y)$   \\
 +
$f_{9}$    &
 +
$((x,\ y))$ &
 +
$((\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y))$ &
 +
$(\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y)$   &
 +
$(\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y)$  &
 +
$((\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y))$ \\
 +
\hline
 +
$f_{5}$ &
 +
$(y)$  &
 +
$\operatorname{d}y$  &
 +
$(\operatorname{d}y)$ &
 +
$\operatorname{d}y$  &
 +
$(\operatorname{d}y)$ \\
 +
$f_{10}$ &
 +
$y$      &
 +
$(\operatorname{d}y)$ &
 +
$\operatorname{d}y$  &
 +
$(\operatorname{d}y)$ &
 +
$\operatorname{d}y$  \\
 +
\hline
 +
$f_{7}$  &
 +
$(x\ y)$ &
 +
$((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))$ &
 +
$((\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y)$ &
 +
$(\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y))$ &
 +
$(\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y)$  \\
 +
$f_{11}$  &
 +
$(x\ (y))$ &
 +
$((\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y)$ &
 +
$((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))$ &
 +
$(\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y)$  &
 +
$(\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y))$ \\
 +
$f_{13}$  &
 +
$((x)\ y)$ &
 +
$(\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y))$ &
 +
$(\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y)$   &
 +
$((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))$ &
 +
$((\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y)$ \\
 +
$f_{14}$   &
 +
$((x)(y))$ &
 +
$(\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y)$   &
 +
$(\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y))$ &
 +
$((\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y)$ &
 +
$((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))$ \\
 +
\hline
 +
$f_{15}$ &
 +
$((~))$  &
 +
$((~))$  &
 +
$((~))$  &
 +
$((~))$  &
 +
$((~))$  \\
 +
\hline
 +
\end{tabular}\end{quote}
  
−
===Table 51.  Computation of an Analytic Series in Symbolic Terms===
+
\subsection{Table A6.  $\operatorname{D}f$ Expanded Over Ordinary Features $\{ x, y \}$}
  
−
<pre>
+
\begin{quote}\begin{tabular}{|c|c||c|c|c|c|}
−
Table 51.  Computation of an Analytic Series in Symbolic Terms
+
\multicolumn{6}{c}{\textbf{Table A6. $\operatorname{D}f$ Expanded Over Ordinary Features $\{ x, y \}$}} \\
−
o-----------o---------o------------o------------o------------o-----------o
+
\hline
−
| u    v  |   J    |     EJ    |     DJ    |     dJ    |   d^2.J  |
+
& $f$ &
−
o-----------o---------o------------o------------o------------o-----------o
+
$\operatorname{D}f|_{x\ y}$  &
−
|           |        |            |            |            |          |
+
$\operatorname{D}f|_{x (y)}$  &
−
|  0    0  |   0   |   du  dv   |   du dv  |     ()     |   du dv   |
+
$\operatorname{D}f|_{(x) y}$ &
−
|          |        |            |            |            |          |
+
$\operatorname{D}f|_{(x)(y)}$ \\
−
| 0     1 |    0    |   du (dv)  |   du (dv) |     du    |   du dv   |
+
\hline
−
|          |        |            |            |            |          |
+
$f_{0}$ &
−
|  1     0  |    0    | (du) dv   |  (du) dv   |     dv     |   du dv   |
+
$(~)$  &
−
|          |        |            |            |            |          |
+
$(~)$  &
−
|  1     1  |    1    |  (du)(dv) | ((du)(dv)) |  (du, dv) |   du dv   |
+
$(~)$   &
−
|          |        |            |            |            |          |
+
$(~)$   &
−
o-----------o---------o------------o------------o------------o-----------o
+
$(~)$   \\
 +
\hline
 +
$f_{1}$ &
 +
$(x)(y)$ &
 +
$\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y$     &
 +
$\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y)$   &
 +
$(\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y$   &
 +
$((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))$ \\
 +
$f_{2}$ &
 +
$(x)\ y$ &
 +
$\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y)$  &
 +
$\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y$     &
 +
$((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))$ &
 +
$(\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y$  \\
 +
$f_{4}$ &
 +
$x\ (y)$ &
 +
$(\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y$   &
 +
$((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))$ &
 +
$\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y$    &
 +
$\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y)$  \\
 +
$f_{8}$ &
 +
$x\ y$ &
 +
$((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))$ &
 +
$(\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y$   &
 +
$\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y)$  &
 +
$\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y$     \\
 +
\hline
 +
$f_{3}$ &
 +
$(x)$   &
 +
$\operatorname{d}x$ &
 +
$\operatorname{d}x$ &
 +
$\operatorname{d}x$ &
 +
$\operatorname{d}x$ \\
 +
$f_{12}$ &
 +
$x$      &
 +
$\operatorname{d}x$ &
 +
$\operatorname{d}x$ &
 +
$\operatorname{d}x$ &
 +
$\operatorname{d}x$ \\
 +
\hline
 +
$f_{6}$   &
 +
$(x,\ y)$ &
 +
$(\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y)$ &
 +
$(\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y)$ &
 +
$(\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y)$ &
 +
$(\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y)$ \\
 +
$f_{9}$     &
 +
$((x,\ y))$ &
 +
$(\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y)$ &
 +
$(\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y)$ &
 +
$(\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y)$ &
 +
$(\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y)$ \\
 +
\hline
 +
$f_{5}$ &
 +
$(y)$  &
 +
$\operatorname{d}y$ &
 +
$\operatorname{d}y$ &
 +
$\operatorname{d}y$ &
 +
$\operatorname{d}y$ \\
 +
$f_{10}$ &
 +
$y$      &
 +
$\operatorname{d}y$ &
 +
$\operatorname{d}y$ &
 +
$\operatorname{d}y$ &
 +
$\operatorname{d}y$ \\
 +
\hline
 +
$f_{7}$ &
 +
$(x\ y)$ &
 +
$((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))$ &
 +
$(\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y$   &
 +
$\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y)$   &
 +
$\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y$     \\
 +
$f_{11}$  &
 +
$(x\ (y))$ &
 +
$(\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y$  &
 +
$((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))$ &
 +
$\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y$     &
 +
$\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y)$   \\
 +
$f_{13}$   &
 +
$((x)\ y)$ &
 +
$\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y)$  &
 +
$\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y$     &
 +
$((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))$ &
 +
$(\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y$  \\
 +
$f_{14}$  &
 +
$((x)(y))$ &
 +
$\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y$    &
 +
$\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y)$   &
 +
$(\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y$   &
 +
$((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))$ \\
 +
\hline
 +
$f_{15}$ &
 +
$((~))$  &
 +
$(~)$    &
 +
$(~)$    &
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$(~)$    &
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$(~)$    \\
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\hline
 +
\end{tabular}\end{quote}
 
</pre>
 
</pre>
  
−
===Figure 52.  Decomposition of the Enlarged Conjunction EJ = (J, DJ)===
+
==Group Operation Tables==
  
−
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+
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            o                          o                          o
 
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          /%\                        /%\                        / \
 
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          /%%%\                      /%%%\                      /  \
 
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        o%%%%%o                    o%%%%%o                    o    o
 
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        / \%%%/ \                  /%\%%%/%\                  /%\  /%\
 
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      /  \%/  \                /%%%\%/%%%\                /%%%\ /%%%\
 
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      o    o    o              o%%%%%o%%%%%o              o%%%%%o%%%%%o
 
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    /%\  / \  /%\            / \%%%/%\%%%/ \            /%\%%%/%\%%%/%\
 
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    /%%%\ /  \ /%%%\          /  \%/%%%\%/  \          /%%%\%/%%%\%/%%%\
 
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  o%%%%%o    o%%%%%o        o    o%%%%%o    o        o%%%%%o%%%%%o%%%%%o
 
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  / \%%%/ \  / \%%%/ \      / \  / \%%%/ \  / \      / \%%%/ \%%%/ \%%%/ \
 
−
/  \%/  \ /  \%/  \    /  \ /  \%/  \ /  \    /  \%/  \%/  \%/  \
 
−
o    o    o    o    o  o    o    o    o    o  o    o    o    o    o
 
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|\  / \  /%\  / \  /|  |\  / \  / \  / \  /|  |\  / \  /%\  / \  /|
 
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| \ /  \ /%%%\ /  \ / |  | \ /  \ /  \ /  \ / |  | \ /  \ /%%%\ /  \ / |
 
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|  o    o%%%%%o    o  |  |  o    o    o    o  |  |  o    o%%%%%o    o  |
 
−
|  |\  / \%%%/ \  /|  |  |  |\  / \  / \  /|  |  |  |\  / \%%%/ \  /|  |
 
−
|u | \ /  \%/  \ / | v|  |u | \ /  \ /  \ / | v|  |u | \ /  \%/  \ / | v|
 
−
o--+--o    o    o--+--o  o--+--o    o    o--+--o  o--+--o    o    o--+--o
 
−
  |  \  / \  /  |        |  \  / \  /  |        |  \  / \  /  |
 
−
  | du \ /  \ / dv |        | du \ /  \ / dv |        | du \ /  \ / dv |
 
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  o-----o    o-----o        o-----o    o-----o        o-----o    o-----o
 
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          \  /                      \  /                      \  /
 
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          \ /                        \ /                        \ /
 
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            o                          o                          o
 
  
−
          EJ            =             J            +           DJ
+
{| align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" style="border-left:1px solid black; border-top:1px solid black; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black; text-align:center; width:80%"
 +
|+ <math>\text{Table 32.1}~~\text{Scheme of a Group Operation Table}</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| style="border-bottom:1px solid black; border-right:1px solid black" | <math>*\!</math>
 +
| style="border-bottom:1px solid black" | <math>x_0\!</math>
 +
| style="border-bottom:1px solid black" | <math>\cdots\!</math>
 +
| style="border-bottom:1px solid black" | <math>x_j\!</math>
 +
| style="border-bottom:1px solid black" | <math>\cdots\!</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>x_0\!</math>
 +
| <math>x_0 * x_0\!</math>
 +
| <math>\cdots\!</math>
 +
| <math>x_0 * x_j\!</math>
 +
| <math>\cdots\!</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>\cdots\!</math>
 +
| <math>\cdots\!</math>
 +
| <math>\cdots\!</math>
 +
| <math>\cdots\!</math>
 +
| <math>\cdots\!</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>x_i\!</math>
 +
| <math>x_i * x_0\!</math>
 +
| <math>\cdots\!</math>
 +
| <math>x_i * x_j\!</math>
 +
| <math>\cdots\!</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| width="12%" style="border-right:1px solid black" | <math>\cdots\!</math>
 +
| width="22%" | <math>\cdots\!</math>
 +
| width="22%" | <math>\cdots\!</math>
 +
| width="22%" | <math>\cdots\!</math>
 +
| width="22%" | <math>\cdots\!</math>
 +
|}
  
−
o-----------------------o  o-----------------------o  o-----------------------o
+
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|                      |  |                      |  |                      |
 
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|      o--o  o--o      |  |      o--o  o--o      |  |      o--o  o--o      |
 
−
|    /    \ /    \    |  |    /    \ /    \    |  |    /    \ /    \    |
 
−
|    /      o      \    |  |    /      o      \    |  |    /      o      \    |
 
−
|  /  u  / \  v  \  |  |  /  u  / \  v  \  |  |  /  u  / \  v  \  |
 
−
|  o      /->-\      o  |  |  o      /->-\      o  |  |  o      /  \      o  |
 
−
|  |    o \ / o    |  |  |  |    o \ / o    |  |  |  |    o    o    |  |
 
−
|  |  @--|->@<-|--@  |  |  |  |  @<-|--@--|->@  |  |  |  |  @<-|->@<-|->@  |  |
 
−
|  |    o  ^  o    |  |  |  |    o  |  o    |  |  |  |    o  ^  o    |  |
 
−
|  o      \ | /      o  |  |  o      \ | /      o  |  |  o      \ | /      o  |
 
−
|  \      \|/      /  |  |  \      \|/      /  |  |  \      \|/      /  |
 
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|    \    /|\    /    |  |    \    /|\    /    |  |    \    /|\    /    |
 
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|      o--o | o--o      |  |      o--o v o--o      |  |      o--o v o--o      |
 
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|          @          |  |          @          |  |          @          |
 
−
o-----------------------o  o-----------------------o  o-----------------------o
 
−
Figure 52.  Decomposition of the Enlarged Conjunction EJ = (J, DJ)
 
−
</pre>
 
  
−
===Figure 53. Decomposition of the Differed Conjunction DJ = (dJ, ddJ)===
+
{| align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" style="border-left:1px solid black; border-top:1px solid black; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black; text-align:center; width:80%"
 +
|+ <math>\text{Table 32.2}~~\text{Scheme of the Regular Ante-Representation}</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| style="border-bottom:1px solid black; border-right:1px solid black" | <math>\text{Element}\!</math>
 +
| colspan="6" style="border-bottom:1px solid black" | <math>\text{Function as Set of Ordered Pairs of Elements}\!</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>x_0\!</math>
 +
| <math>\{\!</math>
 +
| <math>(x_0 ~,~ x_0 * x_0),\!</math>
 +
| <math>\cdots\!</math>
 +
| <math>(x_j ~,~ x_0 * x_j),\!</math>
 +
| <math>\cdots\!</math>
 +
| <math>\}\!</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>\cdots\!</math>
 +
| <math>\{\!</math>
 +
| <math>\cdots\!</math>
 +
| <math>\cdots\!</math>
 +
| <math>\cdots\!</math>
 +
| <math>\cdots\!</math>
 +
| <math>\}\!</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>x_i\!</math>
 +
| <math>\{\!</math>
 +
| <math>(x_0 ~,~ x_i * x_0),\!</math>
 +
| <math>\cdots\!</math>
 +
| <math>(x_j ~,~ x_i * x_j),\!</math>
 +
| <math>\cdots\!</math>
 +
| <math>\}\!</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| width="12%" style="border-right:1px solid black" | <math>\cdots\!</math>
 +
| width="4%"  | <math>\{\!</math>
 +
| width="18%" | <math>\cdots\!</math>
 +
| width="22%" | <math>\cdots\!</math>
 +
| width="22%" | <math>\cdots\!</math>
 +
| width="18%" | <math>\cdots\!</math>
 +
| width="4%"  | <math>\}\!</math>
 +
|}
  
−
<pre>
+
<br>
−
            o                          o                          o
 
−
          / \                        / \                        / \
 
−
          /  \                      /  \                      /  \
 
−
        o    o                    o    o                    o    o
 
−
        /%\  /%\                  /%\  /%\                  / \  / \
 
−
      /%%%\ /%%%\                /%%%\%/%%%\                /  \ /  \
 
−
      o%%%%%o%%%%%o              o%%%%%o%%%%%o              o    o    o
 
−
    /%\%%%/%\%%%/%\            /%\%%%/ \%%%/%\            / \  /%\  / \
 
−
    /%%%\%/%%%\%/%%%\          /%%%\%/  \%/%%%\          /  \ /%%%\ /  \
 
−
  o%%%%%o%%%%%o%%%%%o        o%%%%%o    o%%%%%o        o    o%%%%%o    o
 
−
  / \%%%/ \%%%/ \%%%/ \      / \%%%/%\  /%\%%%/ \      / \  /%\%%%/%\  / \
 
−
/  \%/  \%/  \%/  \    /  \%/%%%\ /%%%\%/  \    /  \ /%%%\%/%%%\ /  \
 
−
o    o    o    o    o  o    o%%%%%o%%%%%o    o  o    o%%%%%o%%%%%o    o
 
−
|\  / \  /%\  / \  /|  |\  / \%%%/ \%%%/ \  /|  |\  / \%%%/%\%%%/ \  /|
 
−
| \ /  \ /%%%\ /  \ / |  | \ /  \%/  \%/  \ / |  | \ /  \%/%%%\%/  \ / |
 
−
|  o    o%%%%%o    o  |  |  o    o    o    o  |  |  o    o%%%%%o    o  |
 
−
|  |\  / \%%%/ \  /|  |  |  |\  / \  / \  /|  |  |  |\  / \%%%/ \  /|  |
 
−
|u | \ /  \%/  \ / | v|  |u | \ /  \ /  \ / | v|  |u | \ /  \%/  \ / | v|
 
−
o--+--o    o    o--+--o  o--+--o    o    o--+--o  o--+--o    o    o--+--o
 
−
  |  \  / \  /  |        |  \  / \  /  |        |  \  / \  /  |
 
−
  | du \ /  \ / dv |        | du \ /  \ / dv |        | du \ /  \ / dv |
 
−
  o-----o    o-----o        o-----o    o-----o        o-----o    o-----o
 
−
          \  /                      \  /                      \  /
 
−
          \ /                        \ /                        \ /
 
−
            o                          o                          o
 
  
−
          DJ            =           dJ            +           ddJ
+
{| align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" style="border-left:1px solid black; border-top:1px solid black; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black; text-align:center; width:80%"
 +
|+ <math>\text{Table 32.3}~~\text{Scheme of the Regular Post-Representation}</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| style="border-bottom:1px solid black; border-right:1px solid black" | <math>\text{Element}\!</math>
 +
| colspan="6" style="border-bottom:1px solid black" | <math>\text{Function as Set of Ordered Pairs of Elements}\!</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>x_0\!</math>
 +
| <math>\{\!</math>
 +
| <math>(x_0 ~,~ x_0 * x_0),\!</math>
 +
| <math>\cdots\!</math>
 +
| <math>(x_j ~,~ x_j * x_0),\!</math>
 +
| <math>\cdots\!</math>
 +
| <math>\}\!</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>\cdots\!</math>
 +
| <math>\{\!</math>
 +
| <math>\cdots\!</math>
 +
| <math>\cdots\!</math>
 +
| <math>\cdots\!</math>
 +
| <math>\cdots\!</math>
 +
| <math>\}\!</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>x_i\!</math>
 +
| <math>\{\!</math>
 +
| <math>(x_0 ~,~ x_0 * x_i),\!</math>
 +
| <math>\cdots\!</math>
 +
| <math>(x_j ~,~ x_j * x_i),\!</math>
 +
| <math>\cdots\!</math>
 +
| <math>\}\!</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| width="12%" style="border-right:1px solid black" | <math>\cdots\!</math>
 +
| width="4%"  | <math>\{\!</math>
 +
| width="18%" | <math>\cdots\!</math>
 +
| width="22%" | <math>\cdots\!</math>
 +
| width="22%" | <math>\cdots\!</math>
 +
| width="18%" | <math>\cdots\!</math>
 +
| width="4%"  | <math>\}\!</math>
 +
|}
  
−
o-----------------------o  o-----------------------o  o-----------------------o
+
<br>
−
|                      |  |                      |  |                      |
 
−
|      o--o  o--o      |  |      o--o  o--o      |  |      o--o  o--o      |
 
−
|    /    \ /    \    |  |    /    \ /    \    |  |    /    \ /    \    |
 
−
|    /      o      \    |  |    /      o      \    |  |    /      o      \    |
 
−
|  /  u  / \  v  \  |  |  /  u  / \  v  \  |  |  /  u  / \  v  \  |
 
−
|  o      /  \      o  |  |  o      /  \      o  |  |  o      /  \      o  |
 
−
|  |    o    o    |  |  |  |    o    o    |  |  |  |    o    o    |  |
 
−
|  |  @<-|->@<-|->@  |  |  |  |  @<-|->@<-|->@  |  |  |  |  @<-|-----|->@  |  |
 
−
|  |    o  ^  o    |  |  |  |  ^ o    o ^  |  |  |  |    o  @  o    |  |
 
−
|  o      \ | /      o  |  |  o    \ \  / /    o  |  |  o      \ ^ /      o  |
 
−
|  \      \|/      /  |  |  \    --\-/--    /  |  |  \      \|/      /  |
 
−
|    \      |      /    |  |    \      o      /    |  |    \      |      /    |
 
−
|    \    /|\    /    |  |    \    / \    /    |  |    \    /|\    /    |
 
−
|      o--o v o--o      |  |      o--o  o--o      |  |      o--o v o--o      |
 
−
|          @          |  |          @          |  |          @          |
 
−
o-----------------------o  o-----------------------o  o-----------------------o
 
−
Figure 53.  Decomposition of the Differed Conjunction DJ = (dJ, ddJ)
 
−
</pre>
 
  
−
===Table 54. Cast of Characters: Expansive Subtypes of Objects and Operators===
+
{| align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" style="border-left:1px solid black; border-top:1px solid black; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black; text-align:center; width:60%"
 +
|+ <math>\text{Table 33.1}~~\text{Multiplication Operation of the Group}~V_4</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| width="20%" style="border-bottom:1px solid black; border-right:1px solid black" | <math>\cdot\!</math>
 +
| width="20%" style="border-bottom:1px solid black" | <math>\operatorname{e}</math>
 +
| width="20%" style="border-bottom:1px solid black" | <math>\operatorname{f}</math>
 +
| width="20%" style="border-bottom:1px solid black" | <math>\operatorname{g}</math>
 +
| width="20%" style="border-bottom:1px solid black" | <math>\operatorname{h}</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>\operatorname{e}</math>
 +
| <math>\operatorname{e}</math>
 +
| <math>\operatorname{f}</math>
 +
| <math>\operatorname{g}</math>
 +
| <math>\operatorname{h}</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>\operatorname{f}</math>
 +
| <math>\operatorname{f}</math>
 +
| <math>\operatorname{e}</math>
 +
| <math>\operatorname{h}</math>
 +
| <math>\operatorname{g}</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>\operatorname{g}</math>
 +
| <math>\operatorname{g}</math>
 +
| <math>\operatorname{h}</math>
 +
| <math>\operatorname{e}</math>
 +
| <math>\operatorname{f}</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>\operatorname{h}</math>
 +
| <math>\operatorname{h}</math>
 +
| <math>\operatorname{g}</math>
 +
| <math>\operatorname{f}</math>
 +
| <math>\operatorname{e}</math>
 +
|}
  
−
<pre>
+
<br>
−
Table 54.  Cast of Characters:  Expansive Subtypes of Objects and Operators
 
−
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
 
−
| Item | Notation                | Description      | Type                      |
 
−
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
 
−
|      |                        |                  |                            |
 
−
| U%  | = [u, v]                | Source Universe  | [B^2]                      |
 
−
|      |                        |                  |                            |
 
−
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
 
−
|      |                        |                  |                            |
 
−
| X%  | = [x]                  | Target Universe  | [B^1]                      |
 
−
|      |                        |                  |                            |
 
−
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
 
−
|      |                        |                  |                            |
 
−
| EU%  | = [u, v, du, dv]        | Extended        | [B^2 x D^2]                |
 
−
|      |                        | Source Universe  |                            |
 
−
|      |                        |                  |                            |
 
−
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
 
−
|      |                        |                  |                            |
 
−
| EX%  | = [x, dx]              | Extended        | [B^1 x D^1]                |
 
−
|      |                        | Target Universe  |                            |
 
−
|      |                        |                  |                            |
 
−
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
 
−
|      |                        |                  |                            |
 
−
| J    | J : U -> B              | Proposition      | (B^2 -> B) c [B^2]        |
 
−
|      |                        |                  |                            |
 
−
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
 
−
|      |                        |                  |                            |
 
−
| J    | J : U% -> X%            | Transformation,  | [B^2] -> [B^1]            |
 
−
|      |                        | or Mapping      |                            |
 
−
|      |                        |                  |                            |
 
−
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
 
−
|      |                        |                  |                            |
 
−
| W    | W :                    | Operator        |                            |
 
−
|      | U% -> EU%,              |                  | [B^2] -> [B^2 x D^2],      |
 
−
|      | X% -> EX%,              |                  | [B^1] -> [B^1 x D^1],      |
 
−
|      | (U%->X%)->(EU%->EX%),  |                  | ([B^2] -> [B^1])          |
 
−
|      | for each W among:      |                  | ->                        |
 
−
|      | e!, !h!, E, D, d        |                  | ([B^2 x D^2]->[B^1 x D^1]) |
 
−
|      |                        |                  |                            |
 
−
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
 
−
|      |                        |                                              |
 
−
| !e!  |                        | Tacit Extension Operator  !e!                |
 
−
| !h!  |                        | Trope Extension Operator  !h!                |
 
−
|  E  |                        | Enlargement Operator        E                |
 
−
|  D  |                        | Difference Operator        D                |
 
−
|  d  |                        | Differential Operator      d                |
 
−
|      |                        |                                              |
 
−
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
 
−
|      |                        |                  |                            |
 
−
| $W$  | $W$ :                  | Operator        |                            |
 
−
|      | U% -> $T$U% = EU%,      |                  | [B^2] -> [B^2 x D^2],      |
 
−
|      | X% -> $T$X% = EX%,      |                  | [B^1] -> [B^1 x D^1],      |
 
−
|      | (U%->X%)->($T$U%->$T$X%)|                  | ([B^2] -> [B^1])          |
 
−
|      | for each $W$ among:    |                  | ->                        |
 
−
|      | $e$, $E$, $D$, $T$      |                  | ([B^2 x D^2]->[B^1 x D^1]) |
 
−
|      |                        |                  |                            |
 
−
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
 
−
|      |                        |                                              |
 
−
| $e$  |                        | Radius Operator            $e$ = <!e!, !h!>  |
 
−
| $E$  |                        | Secant Operator            $E$ = <!e!,  E >  |
 
−
| $D$  |                        | Chord Operator            $D$ = <!e!,  D >  |
 
−
| $T$  |                        | Tangent Functor            $T$ = <!e!,  d >  |
 
−
|      |                        |                                              |
 
−
o------o-------------------------o-----------------------------------------------o
 
−
</pre>
 
  
−
===Table 55. Synopsis of Terminology:  Restrictive and Alternative Subtypes===
+
{| align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" style="border-left:1px solid black; border-top:1px solid black; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black; text-align:center; width:60%"
 +
|+ <math>\text{Table 33.2}~~\text{Regular Representation of the Group}~V_4</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| style="border-bottom:1px solid black; border-right:1px solid black" | <math>\text{Element}\!</math>
 +
| colspan="6" style="border-bottom:1px solid black" | <math>\text{Function as Set of Ordered Pairs of Elements}\!</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| width="20%" style="border-right:1px solid black" | <math>\operatorname{e}</math>
 +
| width="4%" | <math>\{\!</math>
 +
| width="16%" | <math>(\operatorname{e}, \operatorname{e}),</math>
 +
| width="20%" | <math>(\operatorname{f}, \operatorname{f}),</math>
 +
| width="20%" | <math>(\operatorname{g}, \operatorname{g}),</math>
 +
| width="16%" | <math>(\operatorname{h}, \operatorname{h})</math>
 +
| width="4%"  | <math>\}\!</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>\operatorname{f}</math>
 +
| <math>\{\!</math>
 +
| <math>(\operatorname{e}, \operatorname{f}),</math>
 +
| <math>(\operatorname{f}, \operatorname{e}),</math>
 +
| <math>(\operatorname{g}, \operatorname{h}),</math>
 +
| <math>(\operatorname{h}, \operatorname{g})</math>
 +
| <math>\}\!</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>\operatorname{g}</math>
 +
| <math>\{\!</math>
 +
| <math>(\operatorname{e}, \operatorname{g}),</math>
 +
| <math>(\operatorname{f}, \operatorname{h}),</math>
 +
| <math>(\operatorname{g}, \operatorname{e}),</math>
 +
| <math>(\operatorname{h}, \operatorname{f})</math>
 +
| <math>\}\!</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>\operatorname{h}</math>
 +
| <math>\{\!</math>
 +
| <math>(\operatorname{e}, \operatorname{h}),</math>
 +
| <math>(\operatorname{f}, \operatorname{g}),</math>
 +
| <math>(\operatorname{g}, \operatorname{f}),</math>
 +
| <math>(\operatorname{h}, \operatorname{e})</math>
 +
| <math>\}\!</math>
 +
|}
  
−
<pre>
+
<br>
−
Table 55.  Synopsis of Terminology:  Restrictive and Alternative Subtypes
 
−
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
 
−
|              | Operator            | Proposition        | Map                  |
 
−
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
 
−
|              |                      |                    |                      |
 
−
| Tacit        | !e! :                | !e!J :            | !e!J :              |
 
−
| Extension    | U%->EU%, X%->EX%,    | <|u,v,du,dv|> -> B | [u,v,du,dv]->[x]    |
 
−
|              | (U%->X%)->(EU%->X%)  | B^2 x D^2 -> B    | [B^2 x D^2]->[B^1]  |
 
−
|              |                      |                    |                      |
 
−
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
 
−
|              |                      |                    |                      |
 
−
| Trope        | !h! :                | !h!J :            | !h!J :              |
 
−
| Extension    | U%->EU%, X%->EX%,    | <|u,v,du,dv|> -> D | [u,v,du,dv]->[dx]    |
 
−
|              | (U%->X%)->(EU%->dX%) | B^2 x D^2 -> D    | [B^2 x D^2]->[D^1]  |
 
−
|              |                      |                    |                      |
 
−
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
 
−
|              |                      |                    |                      |
 
−
| Enlargement  | E :                  | EJ :              | EJ :                |
 
−
| Operator    | U%->EU%, X%->EX%,    | <|u,v,du,dv|> -> D | [u,v,du,dv]->[dx]    |
 
−
|              | (U%->X%)->(EU%->dX%) | B^2 x D^2 -> D    | [B^2 x D^2]->[D^1]  |
 
−
|              |                      |                    |                      |
 
−
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
 
−
|              |                      |                    |                      |
 
−
| Difference  | D :                  | DJ :              | DJ :                |
 
−
| Operator    | U%->EU%, X%->EX%,    | <|u,v,du,dv|> -> D | [u,v,du,dv]->[dx]    |
 
−
|              | (U%->X%)->(EU%->dX%) | B^2 x D^2 -> D    | [B^2 x D^2]->[D^1]  |
 
−
|              |                      |                    |                      |
 
−
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
 
−
|              |                      |                    |                      |
 
−
| Differential | d :                  | dJ :              | dJ :                |
 
−
| Operator    | U%->EU%, X%->EX%,    | <|u,v,du,dv|> -> D | [u,v,du,dv]->[dx]    |
 
−
|              | (U%->X%)->(EU%->dX%) | B^2 x D^2 -> D    | [B^2 x D^2]->[D^1]  |
 
−
|              |                      |                    |                      |
 
−
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
 
−
|              |                      |                    |                      |
 
−
| Remainder    | r :                  | rJ :              | rJ :                |
 
−
| Operator    | U%->EU%, X%->EX%,    | <|u,v,du,dv|> -> D | [u,v,du,dv]->[dx]    |
 
−
|              | (U%->X%)->(EU%->dX%) | B^2 x D^2 -> D    | [B^2 x D^2]->[D^1]  |
 
−
|              |                      |                    |                      |
 
−
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
 
−
|              |                      |                    |                      |
 
−
| Radius      | $e$ = <!e!, !h!> :  |                    | $e$J :              |
 
−
| Operator    | U%->EU%, X%->EX%,    |                    | [u,v,du,dv]->[x, dx] |
 
−
|              | (U%->X%)->(EU%->EX%) |                    | [B^2 x D^2]->[B x D] |
 
−
|              |                      |                    |                      |
 
−
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
 
−
|              |                      |                    |                      |
 
−
| Secant      | $E$ = <!e!, E> :    |                    | $E$J :              |
 
−
| Operator    | U%->EU%, X%->EX%,    |                    | [u,v,du,dv]->[x, dx] |
 
−
|              | (U%->X%)->(EU%->EX%) |                    | [B^2 x D^2]->[B x D] |
 
−
|              |                      |                    |                      |
 
−
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
 
−
|              |                      |                    |                      |
 
−
| Chord        | $D$ = <!e!, D> :    |                    | $D$J :              |
 
−
| Operator    | U%->EU%, X%->EX%,    |                    | [u,v,du,dv]->[x, dx] |
 
−
|              | (U%->X%)->(EU%->EX%) |                    | [B^2 x D^2]->[B x D] |
 
−
|              |                      |                    |                      |
 
−
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
 
−
|              |                      |                    |                      |
 
−
| Tangent      | $T$ = <!e!, d> :    | dJ :              | $T$J :              |
 
−
| Functor      | U%->EU%, X%->EX%,    | <|u,v,du,dv|> -> D | [u,v,du,dv]->[x, dx] |
 
−
|              | (U%->X%)->(EU%->EX%) | B^2 x D^2 -> D    | [B^2 x D^2]->[B x D] |
 
−
|              |                      |                    |                      |
 
−
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
 
−
</pre>
 
  
−
===Figure 56-a1. Radius Map of the Conjunction J = uv===
+
{| align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" style="border-left:1px solid black; border-top:1px solid black; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black; text-align:center; width:60%"
 +
|+ <math>\text{Table 33.3}~~\text{Regular Representation of the Group}~V_4</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| style="border-bottom:1px solid black; border-right:1px solid black" | <math>\text{Element}\!</math>
 +
| colspan="6" style="border-bottom:1px solid black" | <math>\text{Function as Set of Ordered Pairs of Symbols}\!</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| width="20%" style="border-right:1px solid black" | <math>\operatorname{e}</math>
 +
| width="4%"  | <math>\{\!</math>
 +
| width="16%" | <math>({}^{\backprime\backprime}\text{e}{}^{\prime\prime}, {}^{\backprime\backprime}\text{e}{}^{\prime\prime}),</math>
 +
| width="20%" | <math>({}^{\backprime\backprime}\text{f}{}^{\prime\prime}, {}^{\backprime\backprime}\text{f}{}^{\prime\prime}),</math>
 +
| width="20%" | <math>({}^{\backprime\backprime}\text{g}{}^{\prime\prime}, {}^{\backprime\backprime}\text{g}{}^{\prime\prime}),</math>
 +
| width="16%" | <math>({}^{\backprime\backprime}\text{h}{}^{\prime\prime}, {}^{\backprime\backprime}\text{h}{}^{\prime\prime})</math>
 +
| width="4%"  | <math>\}\!</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>\operatorname{f}</math>
 +
| <math>\{\!</math>
 +
| <math>({}^{\backprime\backprime}\text{e}{}^{\prime\prime}, {}^{\backprime\backprime}\text{f}{}^{\prime\prime}),</math>
 +
| <math>({}^{\backprime\backprime}\text{f}{}^{\prime\prime}, {}^{\backprime\backprime}\text{e}{}^{\prime\prime}),</math>
 +
| <math>({}^{\backprime\backprime}\text{g}{}^{\prime\prime}, {}^{\backprime\backprime}\text{h}{}^{\prime\prime}),</math>
 +
| <math>({}^{\backprime\backprime}\text{h}{}^{\prime\prime}, {}^{\backprime\backprime}\text{g}{}^{\prime\prime})</math>
 +
| <math>\}\!</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>\operatorname{g}</math>
 +
| <math>\{\!</math>
 +
| <math>({}^{\backprime\backprime}\text{e}{}^{\prime\prime}, {}^{\backprime\backprime}\text{g}{}^{\prime\prime}),</math>
 +
| <math>({}^{\backprime\backprime}\text{f}{}^{\prime\prime}, {}^{\backprime\backprime}\text{h}{}^{\prime\prime}),</math>
 +
| <math>({}^{\backprime\backprime}\text{g}{}^{\prime\prime}, {}^{\backprime\backprime}\text{e}{}^{\prime\prime}),</math>
 +
| <math>({}^{\backprime\backprime}\text{h}{}^{\prime\prime}, {}^{\backprime\backprime}\text{f}{}^{\prime\prime})</math>
 +
| <math>\}\!</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>\operatorname{h}</math>
 +
| <math>\{\!</math>
 +
| <math>({}^{\backprime\backprime}\text{e}{}^{\prime\prime}, {}^{\backprime\backprime}\text{h}{}^{\prime\prime}),</math>
 +
| <math>({}^{\backprime\backprime}\text{f}{}^{\prime\prime}, {}^{\backprime\backprime}\text{g}{}^{\prime\prime}),</math>
 +
| <math>({}^{\backprime\backprime}\text{g}{}^{\prime\prime}, {}^{\backprime\backprime}\text{f}{}^{\prime\prime}),</math>
 +
| <math>({}^{\backprime\backprime}\text{h}{}^{\prime\prime}, {}^{\backprime\backprime}\text{e}{}^{\prime\prime})</math>
 +
| <math>\}\!</math>
 +
|}
  
−
<pre>
+
<br>
−
                              o
 
−
                            /X\
 
−
                            /XXX\
 
−
                          oXXXXXo
 
−
                          /X\XXX/X\
 
−
                        /XXX\X/XXX\
 
−
                        oXXXXXoXXXXXo
 
−
                      / \XXX/X\XXX/ \
 
−
                      /  \X/XXX\X/  \
 
−
                    o    oXXXXXo    o
 
−
                    / \  / \XXX/ \  / \
 
−
                  /  \ /  \X/  \ /  \
 
−
                  o    o    o    o    o
 
−
                =|\  / \  / \  / \  /|=
 
−
                = | \ /  \ /  \ /  \ / | =
 
−
              =  |  o    o    o    o  |  =
 
−
              =  |  |\  / \  / \  /|  |  =
 
−
            =    |u | \ /  \ /  \ / | v|    =
 
−
            o    o--+--o    o    o--+--o    o
 
−
          //\      |  \  / \  /  |      /\\
 
−
          ////\      | du \ /  \ / dv |      /\\\\
 
−
        o/////o    o-----o    o-----o    o\\\\\o
 
−
        //\/////\          \  /          /\\\\\/\\
 
−
      ////\/////\          \ /          /\\\\\/\\\\
 
−
      o/////o/////o          o          o\\\\\o\\\\\o
 
−
    / \/////\//// \        = =        / \\\\/\\\\\/ \
 
−
    /  \/////\//  \      =  =      /  \\/\\\\\/  \
 
−
  o    o/////o    o    =    =    o    o\\\\\o    o
 
−
  / \  / \//// \  / \  =      =  / \  / \\\\/ \  / \
 
−
/  \ /  \//  \ /  \ =        = /  \ /  \\/  \ /  \
 
−
o    o    o    o    o          o    o    o    o    o
 
−
|\  / \  / \  / \  /|          |\  / \  / \  / \  /|
 
−
| \ /  \ /  \ /  \ / |          | \ /  \ /  \ /  \ / |
 
−
|  o    o    o    o  |          |  o    o    o    o  |
 
−
|  |\  / \  / \  /|  |          |  |\  / \  / \  /|  |
 
−
|u | \ /  \ /  \ / | v|          |u | \ /  \ /  \ / | v|
 
−
o--+--o    o    o--+--o    o    o--+--o    o    o--+--o
 
−
. |  \  / \  /  |      /X\      |  \  / \  /  | .
 
−
  .| du \ /  \ / dv |      /XXX\      | du \ /  \ / dv |.
 
−
  o-----o    o-----o    /XXXXX\    o-----o    o-----o
 
−
    .    \  /          /XXXXXXX\          \  /    .
 
−
    .    \ /          /XXXXXXXXX\          \ /    .
 
−
      .    o          oXXXXXXXXXXXo          o    .
 
−
      .              //\XXXXXXXXX/\\              .
 
−
        .            ////\XXXXXXX/\\\\            .
 
−
      !e!J          //////\XXXXX/\\\\\\          !h!J
 
−
          .        ////////\XXX/\\\\\\\\        .
 
−
          .      //////////\X/\\\\\\\\\\      .
 
−
            .    o///////////o\\\\\\\\\\\o    .
 
−
            .    |\////////// \\\\\\\\\\/|    .
 
−
              .  | \////////  \\\\\\\\/ |  .
 
−
              .  |  \//////    \\\\\\/  |  .
 
−
                . |  \////      \\\\/  | .
 
−
                .| x  \//        \\/ dx |.
 
−
                  o-----o          o-----o
 
−
                        \        /
 
−
                          \      /
 
−
      x = uv              \    /            dx = uv
 
−
                            \  /
 
−
                            \ /
 
−
                              o
 
  
−
Figure 56-a1. Radius Map of the Conjunction J = uv
+
{| align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" style="border-left:1px solid black; border-top:1px solid black; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black; text-align:center; width:60%"
−
</pre>
+
|+ <math>\text{Table 34.1}~~\text{Multiplicative Presentation of the Group}~Z_4(\cdot)</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| width="20%" style="border-bottom:1px solid black; border-right:1px solid black" | <math>\cdot\!</math>
 +
| width="20%" style="border-bottom:1px solid black" | <math>\operatorname{1}</math>
 +
| width="20%" style="border-bottom:1px solid black" | <math>\operatorname{a}</math>
 +
| width="20%" style="border-bottom:1px solid black" | <math>\operatorname{b}</math>
 +
| width="20%" style="border-bottom:1px solid black" | <math>\operatorname{c}</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>\operatorname{1}</math>
 +
| <math>\operatorname{1}</math>
 +
| <math>\operatorname{a}</math>
 +
| <math>\operatorname{b}</math>
 +
| <math>\operatorname{c}</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>\operatorname{a}</math>
 +
| <math>\operatorname{a}</math>
 +
| <math>\operatorname{b}</math>
 +
| <math>\operatorname{c}</math>
 +
| <math>\operatorname{1}</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>\operatorname{b}</math>
 +
| <math>\operatorname{b}</math>
 +
| <math>\operatorname{c}</math>
 +
| <math>\operatorname{1}</math>
 +
| <math>\operatorname{a}</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>\operatorname{c}</math>
 +
| <math>\operatorname{c}</math>
 +
| <math>\operatorname{1}</math>
 +
| <math>\operatorname{a}</math>
 +
| <math>\operatorname{b}</math>
 +
|}
  
−
===Figure 56-a2.  Secant Map of the Conjunction J = uv===
+
<br>
  
−
<pre>
+
{| align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" style="border-left:1px solid black; border-top:1px solid black; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black; text-align:center; width:60%"
−
                              o
+
|+ <math>\text{Table 34.2}~~\text{Regular Representation of the Group}~Z_4(\cdot)</math>
−
                            /X\
+
|- style="height:50px"
−
                            /XXX\
+
| style="border-bottom:1px solid black; border-right:1px solid black" | <math>\text{Element}\!</math>
−
                          oXXXXXo
+
| colspan="6" style="border-bottom:1px solid black" | <math>\text{Function as Set of Ordered Pairs of Elements}\!</math>
−
                          //\XXX//\
+
|- style="height:50px"
−
                        ////\X////\
+
| width="20%" style="border-right:1px solid black" | <math>\operatorname{1}</math>
−
                        o/////o/////o
+
| width="4%" | <math>\{\!</math>
−
                      /\\/////\////\\
+
| width="16%" | <math>(\operatorname{1}, \operatorname{1}),</math>
−
                      /\\\\/////\//\\\\
+
| width="20%" | <math>(\operatorname{a}, \operatorname{a}),</math>
−
                    o\\\\\o/////o\\\\\o
+
| width="20%" | <math>(\operatorname{b}, \operatorname{b}),</math>
−
                    / \\\\/ \//// \\\\/ \
+
| width="16%" | <math>(\operatorname{c}, \operatorname{c})</math>
−
                  /  \\/  \//  \\/  \
+
| width="4%"  | <math>\}\!</math>
−
                  o    o    o    o    o
+
|- style="height:50px"
−
                =|\   / \   /\\  / \  /|=
+
| style="border-right:1px solid black" | <math>\operatorname{a}</math>
−
                = | \ /  \ /\\\\ /  \ / | =
+
| <math>\{\!</math>
−
              =  |  o    o\\\\\o    o  | =
+
| <math>(\operatorname{1}, \operatorname{a}),</math>
−
              =   |  |\   / \\\\/ \  /|  |   =
+
| <math>(\operatorname{a}, \operatorname{b}),</math>
−
            =    |u | \ /  \\/   \ / | v|   =
+
| <math>(\operatorname{b}, \operatorname{c}),</math>
−
            o    o--+--o    o    o--+--o    o
+
| <math>(\operatorname{c}, \operatorname{1})</math>
−
          //\      |   \   / \   /   |      /\\
+
| <math>\}\!</math>
−
          ////\      | du \ /  \ / dv |     /\\\\
+
|- style="height:50px"
−
        o/////o    o-----o    o-----o    o\\\\\o
+
| style="border-right:1px solid black" | <math>\operatorname{b}</math>
−
        //\/////\          \  /          / \\\\/ \
+
| <math>\{\!</math>
−
      ////\/////\          \ /          /  \\/  \
+
| <math>(\operatorname{1}, \operatorname{b}),</math>
−
      o/////o/////o          o          o    o    o
+
| <math>(\operatorname{a}, \operatorname{c}),</math>
−
    / \/////\//// \        = =        /\\   / \  /\\
+
| <math>(\operatorname{b}, \operatorname{1}),</math>
−
    /  \/////\//  \      =   =      /\\\\ /   \ /\\\\
+
| <math>(\operatorname{c}, \operatorname{a})</math>
−
  o    o/////o    o    =     =    o\\\\\o    o\\\\\o
+
| <math>\}\!</math>
−
  / \  / \//// \  / \  =      =  / \\\\/ \  / \\\\/ \
+
|- style="height:50px"
−
/  \ /  \//  \ /  \ =        = /  \\/  \ /  \\/  \
+
| style="border-right:1px solid black" | <math>\operatorname{c}</math>
−
o    o    o    o    o          o    o    o    o    o
+
| <math>\{\!</math>
−
|\  / \  / \  / \  /|          |\   / \  /\\  / \  /|
+
| <math>(\operatorname{1}, \operatorname{c}),</math>
−
| \ /  \ /  \ /  \ / |           | \ /  \ /\\\\ /  \ / |
+
| <math>(\operatorname{a}, \operatorname{1}),</math>
−
| o    o    o    o  |          |  o    o\\\\\o    o  |
+
| <math>(\operatorname{b}, \operatorname{a}),</math>
−
| |\   / \   / \  /| |          |  |\  / \\\\/ \  /|  |
+
| <math>(\operatorname{c}, \operatorname{b})</math>
−
|u | \ /  \ /  \ / | v|           |u | \ /   \\/  \ / | v|
+
| <math>\}\!</math>
−
o--+--o    o    o--+--o    o    o--+--o    o    o--+--o
+
|}
−
. |   \   / \   /   |       /X\       |  \   / \  /  | .
 
−
  .| du \ /  \ / dv |     /XXX\     | du \ /   \ / dv |.
 
−
  o-----o    o-----o    /XXXXX\     o-----o    o-----o
 
−
    .    \   /           /XXXXXXX\          \  /    .
 
−
    .    \ /          /XXXXXXXXX\          \ /    .
 
−
      .    o          oXXXXXXXXXXXo          o    .
 
−
      .              //\XXXXXXXXX/\\              .
 
−
        .            ////\XXXXXXX/\\\\            .
 
−
      !e!J          //////\XXXXX/\\\\\\          EJ
 
−
          .        ////////\XXX/\\\\\\\\        .
 
−
          .      //////////\X/\\\\\\\\\\      .
 
−
            .    o///////////o\\\\\\\\\\\o    .
 
−
            .    |\////////// \\\\\\\\\\/|    .
 
−
              .  | \////////  \\\\\\\\/ |  .
 
−
              .  | \//////    \\\\\\/ |  .
 
−
                . |   \////      \\\\/   | .
 
−
                .| x  \//        \\/ dx |.
 
−
                  o-----o          o-----o
 
−
                        \        /
 
−
                          \      / dx = (u, du)(v, dv)
 
−
      x = uv              \    /
 
−
                            \   /  dx = uv + u dv + v du + du dv
 
−
                            \ /
 
−
                              o
 
  
−
Figure 56-a2.  Secant Map of the Conjunction J = uv
+
<br>
−
</pre>
 
  
−
===Figure 56-a3. Chord Map of the Conjunction J = uv===
+
{| align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" style="border-left:1px solid black; border-top:1px solid black; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black; text-align:center; width:60%"
 +
|+ <math>\text{Table 35.1}~~\text{Additive Presentation of the Group}~Z_4(+)</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| width="20%" style="border-bottom:1px solid black; border-right:1px solid black" | <math>+\!</math>
 +
| width="20%" style="border-bottom:1px solid black" | <math>\operatorname{0}</math>
 +
| width="20%" style="border-bottom:1px solid black" | <math>\operatorname{1}</math>
 +
| width="20%" style="border-bottom:1px solid black" | <math>\operatorname{2}</math>
 +
| width="20%" style="border-bottom:1px solid black" | <math>\operatorname{3}</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>\operatorname{0}</math>
 +
| <math>\operatorname{0}</math>
 +
| <math>\operatorname{1}</math>
 +
| <math>\operatorname{2}</math>
 +
| <math>\operatorname{3}</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>\operatorname{1}</math>
 +
| <math>\operatorname{1}</math>
 +
| <math>\operatorname{2}</math>
 +
| <math>\operatorname{3}</math>
 +
| <math>\operatorname{0}</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>\operatorname{2}</math>
 +
| <math>\operatorname{2}</math>
 +
| <math>\operatorname{3}</math>
 +
| <math>\operatorname{0}</math>
 +
| <math>\operatorname{1}</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>\operatorname{3}</math>
 +
| <math>\operatorname{3}</math>
 +
| <math>\operatorname{0}</math>
 +
| <math>\operatorname{1}</math>
 +
| <math>\operatorname{2}</math>
 +
|}
  
−
<pre>
+
<br>
−
                              o
 
−
                            //\
 
−
                            ////\
 
−
                          o/////o
 
−
                          /X\////X\
 
−
                        /XXX\//XXX\
 
−
                        oXXXXXoXXXXXo
 
−
                      /\\XXX/X\XXX/\\
 
−
                      /\\\\X/XXX\X/\\\\
 
−
                    o\\\\\oXXXXXo\\\\\o
 
−
                    / \\\\/ \XXX/ \\\\/ \
 
−
                  /  \\/  \X/  \\/  \
 
−
                  o    o    o    o    o
 
−
                =|\  / \  /\\  / \  /|=
 
−
                = | \ /  \ /\\\\ /  \ / | =
 
−
              =  |  o    o\\\\\o    o  |  =
 
−
              =  |  |\  / \\\\/ \  /|  |  =
 
−
            =    |u | \ /  \\/  \ / | v|    =
 
−
            o    o--+--o    o    o--+--o    o
 
−
          //\      |  \  / \  /  |      / \
 
−
          ////\      | du \ /  \ / dv |      /  \
 
−
        o/////o    o-----o    o-----o    o    o
 
−
        //\/////\          \  /          /\\  /\\
 
−
      ////\/////\          \ /          /\\\\ /\\\\
 
−
      o/////o/////o          o          o\\\\\o\\\\\o
 
−
    / \/////\//// \        = =        /\\\\\/\\\\\/\\
 
−
    /  \/////\//  \      =  =      /\\\\\/\\\\\/\\\\
 
−
  o    o/////o    o    =    =    o\\\\\o\\\\\o\\\\\o
 
−
  / \  / \//// \  / \  =      =  / \\\\/ \\\\/ \\\\/ \
 
−
/  \ /  \//  \ /  \ =        = /  \\/  \\/  \\/  \
 
−
o    o    o    o    o          o    o    o    o    o
 
−
|\  / \  / \  / \  /|          |\  / \  /\\  / \  /|
 
−
| \ /  \ /  \ /  \ / |          | \ /  \ /\\\\ /  \ / |
 
−
|  o    o    o    o  |          |  o    o\\\\\o    o  |
 
−
|  |\  / \  / \  /|  |          |  |\  / \\\\/ \  /|  |
 
−
|u | \ /  \ /  \ / | v|          |u | \ /  \\/  \ / | v|
 
−
o--+--o    o    o--+--o    o    o--+--o    o    o--+--o
 
−
. |  \  / \  /  |      /X\      |  \  / \  /  | .
 
−
  .| du \ /  \ / dv |      /XXX\      | du \ /  \ / dv |.
 
−
  o-----o    o-----o    /XXXXX\    o-----o    o-----o
 
−
    .    \  /          /XXXXXXX\          \  /    .
 
−
    .    \ /          /XXXXXXXXX\          \ /    .
 
−
      .    o          oXXXXXXXXXXXo          o    .
 
−
      .              //\XXXXXXXXX/\\              .
 
−
        .            ////\XXXXXXX/\\\\            .
 
−
      !e!J          //////\XXXXX/\\\\\\          DJ
 
−
          .        ////////\XXX/\\\\\\\\        .
 
−
          .      //////////\X/\\\\\\\\\\      .
 
−
            .    o///////////o\\\\\\\\\\\o    .
 
−
            .    |\////////// \\\\\\\\\\/|    .
 
−
              .  | \////////  \\\\\\\\/ |  .
 
−
              .  |  \//////    \\\\\\/  |  .
 
−
                . |  \////      \\\\/  | .
 
−
                .| x  \//        \\/ dx |.
 
−
                  o-----o          o-----o
 
−
                        \        /
 
−
                          \      / dx = (u, du)(v, dv) - uv
 
−
      x = uv              \    /
 
−
                            \  /  dx = u dv + v du + du dv
 
−
                            \ /
 
−
                              o
 
  
−
Figure 56-a3. Chord Map of the Conjunction J = uv
+
{| align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" style="border-left:1px solid black; border-top:1px solid black; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black; text-align:center; width:60%"
−
</pre>
+
|+ <math>\text{Table 35.2}~~\text{Regular Representation of the Group}~Z_4(+)</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| style="border-bottom:1px solid black; border-right:1px solid black" | <math>\text{Element}\!</math>
 +
| colspan="6" style="border-bottom:1px solid black" | <math>\text{Function as Set of Ordered Pairs of Elements}\!</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| width="20%" style="border-right:1px solid black" | <math>\operatorname{0}</math>
 +
| width="4%"  | <math>\{\!</math>
 +
| width="16%" | <math>(\operatorname{0}, \operatorname{0}),</math>
 +
| width="20%" | <math>(\operatorname{1}, \operatorname{1}),</math>
 +
| width="20%" | <math>(\operatorname{2}, \operatorname{2}),</math>
 +
| width="16%" | <math>(\operatorname{3}, \operatorname{3})</math>
 +
| width="4%"  | <math>\}\!</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>\operatorname{1}</math>
 +
| <math>\{\!</math>
 +
| <math>(\operatorname{0}, \operatorname{1}),</math>
 +
| <math>(\operatorname{1}, \operatorname{2}),</math>
 +
| <math>(\operatorname{2}, \operatorname{3}),</math>
 +
| <math>(\operatorname{3}, \operatorname{0})</math>
 +
| <math>\}\!</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>\operatorname{2}</math>
 +
| <math>\{\!</math>
 +
| <math>(\operatorname{0}, \operatorname{2}),</math>
 +
| <math>(\operatorname{1}, \operatorname{3}),</math>
 +
| <math>(\operatorname{2}, \operatorname{0}),</math>
 +
| <math>(\operatorname{3}, \operatorname{1})</math>
 +
| <math>\}\!</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>\operatorname{3}</math>
 +
| <math>\{\!</math>
 +
| <math>(\operatorname{0}, \operatorname{3}),</math>
 +
| <math>(\operatorname{1}, \operatorname{0}),</math>
 +
| <math>(\operatorname{2}, \operatorname{1}),</math>
 +
| <math>(\operatorname{3}, \operatorname{2})</math>
 +
| <math>\}\!</math>
 +
|}
  
−
===Figure 56-a4.  Tangent Map of the Conjunction J = uv===
+
<br>
  
−
<pre>
+
==Higher Order Propositions==
−
                              o
 
−
                            //\
 
−
                            ////\
 
−
                          o/////o
 
−
                          /X\////X\
 
−
                        /XXX\//XXX\
 
−
                        oXXXXXoXXXXXo
 
−
                      /\\XXX//\XXX/\\
 
−
                      /\\\\X////\X/\\\\
 
−
                    o\\\\\o/////o\\\\\o
 
−
                    / \\\\/\\////\\\\\/ \
 
−
                  /  \\/\\\\//\\\\\/  \
 
−
                  o    o\\\\\o\\\\\o    o
 
−
                =|\  / \\\\/ \\\\/ \  /|=
 
−
                = | \ /  \\/  \\/  \ / | =
 
−
              =  |  o    o    o    o  |  =
 
−
              =  |  |\  / \  / \  /|  |  =
 
−
            =    |u | \ /  \ /  \ / | v|    =
 
−
            o    o--+--o    o    o--+--o    o
 
−
          //\      |  \  / \  /  |      / \
 
−
          ////\      | du \ /  \ / dv |      /  \
 
−
        o/////o    o-----o    o-----o    o    o
 
−
        //\/////\          \  /          /\\  /\\
 
−
      ////\/////\          \ /          /\\\\ /\\\\
 
−
      o/////o/////o          o          o\\\\\o\\\\\o
 
−
    / \/////\//// \        = =        /\\\\\/ \\\\/\\
 
−
    /  \/////\//  \      =  =      /\\\\\/  \\/\\\\
 
−
  o    o/////o    o    =    =    o\\\\\o    o\\\\\o
 
−
  / \  / \//// \  / \  =      =  / \\\\/\\  /\\\\\/ \
 
−
/  \ /  \//  \ /  \ =        = /  \\/\\\\ /\\\\\/  \
 
−
o    o    o    o    o          o    o\\\\\o\\\\\o    o
 
−
|\  / \  / \  / \  /|          |\  / \\\\/ \\\\/ \  /|
 
−
| \ /  \ /  \ /  \ / |          | \ /  \\/  \\/  \ / |
 
−
|  o    o    o    o  |          |  o    o    o    o  |
 
−
|  |\  / \  / \  /|  |          |  |\  / \  / \  /|  |
 
−
|u | \ /  \ /  \ / | v|          |u | \ /  \ /  \ / | v|
 
−
o--+--o    o    o--+--o    o    o--+--o    o    o--+--o
 
−
. |  \  / \  /  |      /X\      |  \  / \  /  | .
 
−
  .| du \ /  \ / dv |      /XXX\      | du \ /  \ / dv |.
 
−
  o-----o    o-----o    /XXXXX\    o-----o    o-----o
 
−
    .    \  /          /XXXXXXX\          \  /    .
 
−
    .    \ /          /XXXXXXXXX\          \ /    .
 
−
      .    o          oXXXXXXXXXXXo          o    .
 
−
      .              //\XXXXXXXXX/\\              .
 
−
        .            ////\XXXXXXX/\\\\            .
 
−
      !e!J          //////\XXXXX/\\\\\\          dJ
 
−
          .        ////////\XXX/\\\\\\\\        .
 
−
          .      //////////\X/\\\\\\\\\\      .
 
−
            .    o///////////o\\\\\\\\\\\o    .
 
−
            .    |\////////// \\\\\\\\\\/|    .
 
−
              .  | \////////  \\\\\\\\/ |  .
 
−
              .  |  \//////    \\\\\\/  |  .
 
−
                . |  \////      \\\\/  | .
 
−
                .| x  \//        \\/ dx |.
 
−
                  o-----o          o-----o
 
−
                        \        /
 
−
                          \      /
 
−
      x = uv              \    /  dx = u dv + v du
 
−
                            \  /
 
−
                            \ /
 
−
                              o
 
  
−
Figure 56-a4.  Tangent Map of the Conjunction J = uv
+
<br>
−
</pre>
 
  
−
===Figure 56-b1.  Radius Map of the Conjunction J = uv===
+
<table align="center" cellpadding="4" cellspacing="0" style="text-align:center; width:90%">
  
−
<pre>
+
<caption><font size="+2"><math>\text{Table 1.} ~~ \text{Higher Order Propositions} ~ (n = 1)</math></font></caption>
−
o-----------------------o
 
−
|                      |
 
−
|                      |
 
−
|                      |
 
−
|      o--o  o--o      |
 
−
|    /    \ /    \     |
 
−
|    /     o      \    |
 
−
|  / du  / \  dv  \  |
 
−
|  o      /  \      o  |
 
−
|  |    o    o    |  |
 
−
|  |    |    |    |  |
 
−
|  |    o    o    |  |
 
−
|  o      \  /      o  |
 
−
|  \      \ /      /  |
 
−
|    \      o      /    |
 
−
|    \    / \    /    |
 
−
|      o--o  o--o      |
 
−
|                      |
 
−
|                      |
 
−
|                      |
 
−
o-----------------------@
 
−
                        \
 
−
o-----------------------o \
 
−
|                      |  \
 
−
|                      |  \
 
−
|                      |    \
 
−
|      o--o  o--o      |    \
 
−
|    /    \ /    \    |      \
 
−
|    /      o      \    |      \
 
−
|  /  du  / \  dv  \  |        \
 
−
|  o      /  \      o  |        \
 
−
|  |    o    o    |  @          \
 
−
|  |    |    |    |  |\          \
 
−
|  |    o    o    |  | \          \
 
−
|  o      \  /      o  |  \          \
 
−
|  \      \ /      /  |  \          \
 
−
|    \      o      /    |    \          \
 
−
|    \    / \    /    |    \          \
 
−
|      o--o  o--o      |      \          \
 
−
|                      |      \          \
 
−
|                      |        \          \
 
−
|                      |        \          \
 
−
o-----------------------o          \          \
 
−
                                    \          \
 
−
o-----------------------@  o--------\----------\---o  o-----------------------o
 
−
|                      |\  |        \          \  |  |```````````````````````|
 
−
|                      | \ |          \          @ |  |```````````````````````|
 
−
|                      |  \|          \          |  |```````````````````````|
 
−
|      o--o  o--o      |  \      o--o  \o--o      |  |``````o--o```o--o``````|
 
−
|    /    \ /    \    |  |\    /    \ /\  \    |  |`````/````\`/````\`````|
 
−
|    /      o      \    |  | \  /      o  @  \    |  |````/``````o``````\````|
 
−
|  /  du  / \  dv  \  |  |  \/  du  /`\  dv  \  |  |```/``du``/`\``dv``\```|
 
−
|  o      /  \      o  |  |  o\    /```\      o  |  |``o``````/```\``````o``|
 
−
|  |    o    o    |  |  |  | \  o`````o    |  |  |``|`````o`````o`````|``|
 
−
|  |    |    |    |  |  |  |  @  |``@--|-----|------@``|`````|`````|`````|``|
 
−
|  |    o    o    |  |  |  |    o`````o    |  |  |``|`````o`````o`````|``|
 
−
|  o      \  /      o  |  |  o      \```/      o  |  |``o``````\```/``````o``|
 
−
|  \      \ /      /  |  |  \      \`/      /  |  |```\``````\`/``````/```|
 
−
|    \      o      /    |  |    \      o      /    |  |````\``````o``````/````|
 
−
|    \    / \    /    |  |    \    / \    /    |  |`````\````/`\````/`````|
 
−
|      o--o  o--o      |  |      o--o  o--o      |  |``````o--o```o--o``````|
 
−
|                      |  |                      |  |```````````````````````|
 
−
|                      |  |                      |  |```````````````````````|
 
−
|                      |  |                      |  |```````````````````````|
 
−
o-----------------------o  o-----------------------o  o-----------------------o
 
−
\                    /    \                    /    \                    /
 
−
  \      !h!J        /        \        J        /        \      !h!J        /
 
−
  \                /          \            /          \                /
 
−
    \              /  o----------\---------/----------o  \              /
 
−
    \            /    |            \    /            |    \            /
 
−
      \          /    |              \ /              |    \          /
 
−
      \        /      |        o-----o-----o        |      \        /
 
−
        \      /      |        /`````````````\        |      \      /
 
−
        \    /        |      /```````````````\      |        \    /
 
−
  o------\---/------o  |      /`````````````````\      |  o------\---/------o
 
−
  |      \ /      |  |    /```````````````````\    |  |      \ /      |
 
−
  |    o--o--o    |  |    /`````````````````````\    |  |    o--o--o    |
 
−
  |    /```````\    |  |  o```````````````````````o  |  |    /```````\    |
 
−
  |  /`````````\  |  |  |```````````````````````|  |  |  /`````````\  |
 
−
  |  o```````````o  |  |  |```````````````````````|  |  |  o```````````o  |
 
−
  |  |````dx`````|  @----@ |```````````x`````@-----|------@  |``` dx ````|  |
 
−
  |  o```````````o  |  |  |```````````````````````|  |  |  o```````````o  |
 
−
  |  \`````````/  |  |  |```````````````````````|  |  |  \`````````/  |
 
−
  |    \```````/    |  |  o```````````````````````o  |  |    \```````/    |
 
−
  |    o-----o    |  |    \`````````````````````/    |  |    o-----o    |
 
−
  |                |  |    \```````````````````/    |  |                |
 
−
  o-----------------o  |      \`````````````````/      |  o-----------------o
 
−
                        |      \```````````````/      |
 
−
                        |        \`````````````/        |
 
−
                        |        o-----------o        |
 
−
                        |                              |
 
−
                        |                              |
 
−
                        o-------------------------------o
 
  
−
Figure 56-b1.  Radius Map of the Conjunction J = uv
+
<tr>
−
</pre>
+
<td style="border-bottom:2px solid black" align="right"><math>x:</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>1 ~ 0</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black; border-right:2px solid black"><math>f</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>m_{0}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>m_{1}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>m_{2}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>m_{3}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>m_{4}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>m_{5}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>m_{6}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>m_{7}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>m_{8}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>m_{9}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>m_{10}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>m_{11}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>m_{12}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>m_{13}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>m_{14}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>m_{15}</math></td></tr>
  
−
===Figure 56-b2.  Secant Map of the Conjunction J = uv===
+
<tr>
 +
<td><math>f_{0}</math></td>
 +
<td><math>0 ~ 0</math></td>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>\texttt{(~)}</math></td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
  
−
<pre>
+
<tr>
−
o-----------------------o
+
<td><math>f_{1}</math></td>
−
|                      |
+
<td><math>0 ~ 1</math></td>
−
|                      |
+
<td style="border-right:2px solid black"><math>\texttt{(} x \texttt{)}</math></td>
−
|                      |
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|      o--o  o--o      |
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|    /   \ /   \    |
+
<td style="background:black; color:white">1</td>
−
|    /     o      \    |
+
<td style="background:black; color:white">1</td>
−
|  / du  /`\  dv  \  |
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|  o      /```\      o  |
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|  |    o`````o    |  |
+
<td style="background:black; color:white">1</td>
−
|  |    |`````|    |  |
+
<td style="background:black; color:white">1</td>
−
|  |    o`````o    |  |
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|  o      \```/      o  |
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|  \      \`/      /  |
+
<td style="background:black; color:white">1</td>
−
|    \      o      /    |
+
<td style="background:black; color:white">1</td>
−
|    \    / \    /    |
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|      o--o  o--o      |
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|                      |
+
<td style="background:black; color:white">1</td>
−
|                      |
+
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
−
|                      |
 
−
o-----------------------@
 
−
                        \
 
−
o-----------------------o \
 
−
|                      |  \
 
−
|                      |  \
 
−
|                      |    \
 
−
|      o--o  o--o      |    \
 
−
|    /````\ /   \    |      \
 
−
|    /``````o      \    |      \
 
−
|  /``du``/ \  dv  \  |        \
 
−
|  o``````/   \      o  |        \
 
−
|  |`````o    o    |  @          \
 
−
|  |`````|    |    |  |\          \
 
−
|  |`````o    o    |  | \          \
 
−
|  o``````\  /     o  |  \          \
 
−
|  \``````\ /     /  |  \          \
 
−
|    \``````o      /   |    \          \
 
−
|    \````/ \    /    |    \          \
 
−
|      o--o  o--o      |      \          \
 
−
|                      |      \          \
 
−
|                      |        \          \
 
−
|                      |        \          \
 
−
o-----------------------o          \          \
 
−
                                    \          \
 
−
o-----------------------@  o--------\----------\---o  o-----------------------o
 
−
|                      |\  |        \          \  |  |```````````````````````|
 
−
|                      | \ |          \          @ |  |```````````````````````|
 
−
|                      |  \|          \          |  |```````````````````````|
 
−
|      o--o  o--o      |  \      o--o  \o--o      |  |``````o--o```o--o``````|
 
−
|    /   \ /````\    |  |\    /    \ /\  \    |  |`````/    \`/    \`````|
 
−
|    /     o``````\    |  | \  /      o  @  \    |  |````/      o      \````|
 
−
|  / du  / \``dv``\  |  |  \/  du  /`\  dv  \  |  |```/  du  / \  dv  \```|
 
−
|  o      /   \``````o  |  |  o\    /```\      o  |  |``o      /  \      o``|
 
−
|  |    o    o`````|  |  |  | \  o`````o    |  |  |``|    o    o    |``|
 
−
|  |    |    |`````|  |  |  |  @  |``@--|-----|------@``|    |    |    |``|
 
−
|  |    o    o`````|  |  |  |    o`````o    |  |  |``|    o    o    |``|
 
−
|  o      \  /``````o  |  |  o      \```/      o  |  |``o      \  /      o``|
 
−
|  \      \ /``````/  |  |  \      \`/      /  |  |```\      \ /      /```|
 
−
|    \      o``````/   |  |    \      o      /    |  |````\      o      /````|
 
−
|    \    / \````/    |  |    \    / \    /    |  |`````\    /`\    /`````|
 
−
|      o--o  o--o      |  |      o--o  o--o      |  |``````o--o```o--o``````|
 
−
|                      |  |                      |  |```````````````````````|
 
−
|                      |  |                      |  |```````````````````````|
 
−
|                      |  |                      |  |```````````````````````|
 
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o-----------------------o  o-----------------------o  o-----------------------o
 
−
\                    /     \                    /     \                    /
 
−
  \        EJ        /        \        J        /        \        EJ        /
 
−
  \                /          \            /          \                /
 
−
    \              /  o----------\---------/----------o  \              /
 
−
    \            /    |            \    /            |    \            /
 
−
      \          /    |              \ /              |    \          /
 
−
      \        /      |        o-----o-----o        |      \        /
 
−
        \      /      |        /`````````````\        |      \      /
 
−
        \    /        |      /```````````````\      |        \    /
 
−
  o------\---/------o  |      /`````````````````\      |  o------\---/------o
 
−
  |      \ /      |  |    /```````````````````\    |  |      \ /      |
 
−
  |    o--o--o    |  |    /`````````````````````\    |  |    o--o--o    |
 
−
  |    /```````\    |  |  o```````````````````````o  |  |    /```````\    |
 
−
  |  /`````````\  |  |  |```````````````````````|  |  |  /`````````\  |
 
−
  |  o```````````o  |  |  |```````````````````````|  |  |  o```````````o  |
 
−
  |  |````dx`````|  @----@ |```````````x`````@-----|------@  |``` dx ````|  |
 
−
  |  o```````````o  |  |  |```````````````````````|  |  |  o```````````o  |
 
−
  |  \`````````/  |  |  |```````````````````````|  |  |  \`````````/  |
 
−
  |    \```````/    |  |  o```````````````````````o  |  |    \```````/    |
 
−
  |    o-----o    |  |    \`````````````````````/    |  |    o-----o    |
 
−
  |                |  |    \```````````````````/    |  |                |
 
−
  o-----------------o  |      \`````````````````/      |  o-----------------o
 
−
                        |      \```````````````/      |
 
−
                        |        \`````````````/        |
 
−
                        |        o-----------o        |
 
−
                        |                              |
 
−
                        |                              |
 
−
                        o-------------------------------o
 
  
−
Figure 56-b2.  Secant Map of the Conjunction J = uv
+
<tr>
−
</pre>
+
<td><math>f_{2}</math></td>
 +
<td><math>1 ~ 0</math></td>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>x</math></td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
  
−
===Figure 56-b3.  Chord Map of the Conjunction J = uv===
+
<tr>
 +
<td><math>f_{3}</math></td>
 +
<td><math>1 ~ 1</math></td>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>\texttt{((~))}</math></td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
  
−
<pre>
+
</table>
−
o-----------------------o
 
−
|                      |
 
−
|                      |
 
−
|                      |
 
−
|      o--o  o--o      |
 
−
|    /    \ /    \    |
 
−
|    /      o      \    |
 
−
|  /  du  /`\  dv  \  |
 
−
|  o      /```\      o  |
 
−
|  |    o`````o    |  |
 
−
|  |    |`````|    |  |
 
−
|  |    o`````o    |  |
 
−
|  o      \```/      o  |
 
−
|  \      \`/      /  |
 
−
|    \      o      /    |
 
−
|    \    / \    /    |
 
−
|      o--o  o--o      |
 
−
|                      |
 
−
|                      |
 
−
|                      |
 
−
o-----------------------@
 
−
                        \
 
−
o-----------------------o \
 
−
|                      |  \
 
−
|                      |  \
 
−
|                      |    \
 
−
|      o--o  o--o      |    \
 
−
|    /````\ /    \    |      \
 
−
|    /``````o      \    |      \
 
−
|  /``du``/ \  dv  \  |        \
 
−
|  o``````/  \      o  |        \
 
−
|  |`````o    o    |  @          \
 
−
|  |`````|    |    |  |\          \
 
−
|  |`````o    o    |  | \          \
 
−
|  o``````\  /      o  |  \          \
 
−
|  \``````\ /      /  |  \          \
 
−
|    \``````o      /    |    \          \
 
−
|    \````/ \    /    |    \          \
 
−
|      o--o  o--o      |      \          \
 
−
|                      |      \          \
 
−
|                      |        \          \
 
−
|                      |        \          \
 
−
o-----------------------o          \          \
 
−
                                    \          \
 
−
o-----------------------@  o--------\----------\---o  o-----------------------o
 
−
|                      |\  |        \          \  |  |                      |
 
−
|                      | \ |          \          @ |  |                      |
 
−
|                      |  \|          \          |  |                      |
 
−
|      o--o  o--o      |  \      o--o  \o--o      |  |      o--o  o--o      |
 
−
|    /    \ /````\    |  |\    /    \ /\  \    |  |    /````\ /````\    |
 
−
|    /      o``````\    |  | \  /      o  @  \    |  |    /``````o``````\    |
 
−
|  /  du  / \``dv``\  |  |  \/  du  /`\  dv  \  |  |  /``du``/`\``dv``\  |
 
−
|  o      /  \``````o  |  |  o\    /```\      o  |  |  o``````/```\``````o  |
 
−
|  |    o    o`````|  |  |  | \  o`````o    |  |  |  |`````o`````o`````|  |
 
−
|  |    |    |`````|  |  |  |  @  |``@--|-----|------@  |`````|`````|`````|  |
 
−
|  |    o    o`````|  |  |  |    o`````o    |  |  |  |`````o`````o`````|  |
 
−
|  o      \  /``````o  |  |  o      \```/      o  |  |  o``````\```/``````o  |
 
−
|  \      \ /``````/  |  |  \      \`/      /  |  |  \``````\`/``````/  |
 
−
|    \      o``````/    |  |    \      o      /    |  |    \``````o``````/    |
 
−
|    \    / \````/    |  |    \    / \    /    |  |    \````/ \````/    |
 
−
|      o--o  o--o      |  |      o--o  o--o      |  |      o--o  o--o      |
 
−
|                      |  |                      |  |                      |
 
−
|                      |  |                      |  |                      |
 
−
|                      |  |                      |  |                      |
 
−
o-----------------------o  o-----------------------o  o-----------------------o
 
−
\                    /    \                    /    \                    /
 
−
  \        DJ        /        \        J        /        \        DJ        /
 
−
  \                /          \            /          \                /
 
−
    \              /  o----------\---------/----------o  \              /
 
−
    \            /    |            \    /            |    \            /
 
−
      \          /    |              \ /              |    \          /
 
−
      \        /      |        o-----o-----o        |      \        /
 
−
        \      /      |        /`````````````\        |      \      /
 
−
        \    /        |      /```````````````\      |        \    /
 
−
  o------\---/------o  |      /`````````````````\      |  o------\---/------o
 
−
  |      \ /      |  |    /```````````````````\    |  |      \ /      |
 
−
  |    o--o--o    |  |    /`````````````````````\    |  |    o--o--o    |
 
−
  |    /```````\    |  |  o```````````````````````o  |  |    /```````\    |
 
−
  |  /`````````\  |  |  |```````````````````````|  |  |  /`````````\  |
 
−
  |  o```````````o  |  |  |```````````````````````|  |  |  o```````````o  |
 
−
  |  |````dx`````|  @----@ |```````````x`````@-----|------@  |``` dx ````|  |
 
−
  |  o```````````o  |  |  |```````````````````````|  |  |  o```````````o  |
 
−
  |  \`````````/  |  |  |```````````````````````|  |  |  \`````````/  |
 
−
  |    \```````/    |  |  o```````````````````````o  |  |    \```````/    |
 
−
  |    o-----o    |  |    \`````````````````````/    |  |    o-----o    |
 
−
  |                |  |    \```````````````````/    |  |                |
 
−
  o-----------------o  |      \`````````````````/      |  o-----------------o
 
−
                        |      \```````````````/      |
 
−
                        |        \`````````````/        |
 
−
                        |        o-----------o        |
 
−
                        |                              |
 
−
                        |                              |
 
−
                        o-------------------------------o
 
  
−
Figure 56-b3.  Chord Map of the Conjunction J = uv
+
<br>
−
</pre>
 
  
−
===Figure 56-b4.  Tangent Map of the Conjunction J = uv===
+
<table align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="text-align:center; width:90%">
  
−
<pre>
+
<caption><font size="+2"><math>\text{Table 2.} ~~ \text{Interpretive Categories for Higher Order Propositions} ~ (n = 1)</math></font></caption>
−
o-----------------------o
 
−
|                      |
 
−
|                      |
 
−
|                      |
 
−
|      o--o  o--o      |
 
−
|    /    \ /    \     |
 
−
|    /     o      \    |
 
−
|  / du  / \  dv  \  |
 
−
|  o      /  \      o  |
 
−
|  |    o    o    |  |
 
−
|  |    |    |    |  |
 
−
|  |    o    o    |  |
 
−
|  o      \  /      o  |
 
−
|  \      \ /      /  |
 
−
|    \      o      /    |
 
−
|    \    / \    /    |
 
−
|      o--o  o--o      |
 
−
|                      |
 
−
|                      |
 
−
|                      |
 
−
o-----------------------@
 
−
                        \
 
−
o-----------------------o \
 
−
|                      |  \
 
−
|                      |  \
 
−
|                      |    \
 
−
|      o--o  o--o      |    \
 
−
|    /````\ /    \    |      \
 
−
|    /``````o      \    |      \
 
−
|  /``du``/`\  dv  \  |        \
 
−
|  o``````/```\      o  |        \
 
−
|  |`````o`````o    |  @          \
 
−
|  |`````|`````|    |  |\          \
 
−
|  |`````o`````o    |  | \          \
 
−
|  o``````\```/      o  |  \          \
 
−
|  \``````\`/      /  |  \          \
 
−
|    \``````o      /    |    \          \
 
−
|    \````/ \    /    |    \          \
 
−
|      o--o  o--o      |      \          \
 
−
|                      |      \          \
 
−
|                      |        \          \
 
−
|                      |        \          \
 
−
o-----------------------o          \          \
 
−
                                    \          \
 
−
o-----------------------@  o--------\----------\---o  o-----------------------o
 
−
|                      |\  |        \          \  |  |                      |
 
−
|                      | \ |          \          @ |  |                      |
 
−
|                      |  \|          \          |  |                      |
 
−
|      o--o  o--o      |  \      o--o  \o--o      |  |      o--o  o--o      |
 
−
|    /    \ /````\    |  |\    /    \ /\  \    |  |    /````\ /````\    |
 
−
|    /      o``````\    |  | \  /      o  @  \    |  |    /``````o``````\    |
 
−
|  /  du  /`\``dv``\  |  |  \/  du  /`\  dv  \  |  |  /``du``/ \``dv``\  |
 
−
|  o      /```\``````o  |  |  o\    /```\      o  |  |  o``````/  \``````o  |
 
−
|  |    o`````o`````|  |  |  | \  o`````o    |  |  |  |`````o    o`````|  |
 
−
|  |    |`````|`````|  |  |  |  @  |``@--|-----|------@  |`````|    |`````|  |
 
−
|  |    o`````o`````|  |  |  |    o`````o    |  |  |  |`````o    o`````|  |
 
−
|  o      \```/``````o  |  |  o      \```/      o  |  |  o``````\  /``````o  |
 
−
|  \      \`/``````/  |  |  \      \`/      /  |  |  \``````\ /``````/  |
 
−
|    \      o``````/    |  |    \      o      /    |  |    \``````o``````/    |
 
−
|    \    / \````/    |  |    \    / \    /    |  |    \````/ \````/    |
 
−
|      o--o  o--o      |  |      o--o  o--o      |  |      o--o  o--o      |
 
−
|                      |  |                      |  |                      |
 
−
|                      |  |                      |  |                      |
 
−
|                      |  |                      |  |                      |
 
−
o-----------------------o  o-----------------------o  o-----------------------o
 
−
\                    /    \                    /    \                    /
 
−
  \        dJ        /        \        J        /        \        dJ        /
 
−
  \                /          \            /          \                /
 
−
    \              /  o----------\---------/----------o  \              /
 
−
    \            /    |            \    /            |    \            /
 
−
      \          /    |              \ /              |    \          /
 
−
      \        /      |        o-----o-----o        |      \        /
 
−
        \      /      |        /`````````````\        |      \      /
 
−
        \    /        |      /```````````````\      |        \    /
 
−
  o------\---/------o  |      /`````````````````\      |  o------\---/------o
 
−
  |      \ /      |  |    /```````````````````\    |  |      \ /      |
 
−
  |    o--o--o    |  |    /`````````````````````\    |  |    o--o--o    |
 
−
  |    /```````\    |  |  o```````````````````````o  |  |    /```````\    |
 
−
  |  /`````````\  |  |  |```````````````````````|  |  |  /`````````\  |
 
−
  |  o```````````o  |  |  |```````````````````````|  |  |  o```````````o  |
 
−
  |  |````dx`````|  @----@ |```````````x`````@-----|------@  |``` dx ````|  |
 
−
  |  o```````````o  |  |  |```````````````````````|  |  |  o```````````o  |
 
−
  |  \`````````/  |  |  |```````````````````````|  |  |  \`````````/  |
 
−
  |    \```````/    |  |  o```````````````````````o  |  |    \```````/    |
 
−
  |    o-----o    |  |    \`````````````````````/    |  |    o-----o    |
 
−
  |                |  |    \```````````````````/    |  |                |
 
−
  o-----------------o  |      \`````````````````/      |  o-----------------o
 
−
                        |      \```````````````/      |
 
−
                        |        \`````````````/        |
 
−
                        |        o-----------o        |
 
−
                        |                              |
 
−
                        |                              |
 
−
                        o-------------------------------o
 
  
−
Figure 56-b4.  Tangent Map of the Conjunction J = uv
+
<tr>
−
</pre>
+
<td style="border-bottom:2px solid black; border-right:2px solid black">Measure</td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black">Happening</td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black">Exactness</td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black">Existence</td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black">Linearity</td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black">Uniformity</td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black">Information</td></tr>
  
−
===Figure 57-1.  Radius Operator Diagram for the Conjunction J = uv===
+
<tr>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>m_{0}</math></td>
 +
<td>Nothing happens</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td></tr>
  
−
<pre>
+
<tr>
−
            o                                  o
+
<td style="border-right:2px solid black"><math>m_{1}</math></td>
−
          //\                                /X\
+
<td>&nbsp;</td>
−
          ////\                              /XXX\
+
<td>Just false</td>
−
        //////\                            oXXXXXo
+
<td>Nothing exists</td>
−
        ////////\                          /X\XXX/X\
+
<td>&nbsp;</td>
−
      //////////\                        /XXX\X/XXX\
+
<td>&nbsp;</td>
−
      o///////////o                      oXXXXXoXXXXXo
+
<td>&nbsp;</td></tr>
−
    / \////////// \                    / \XXX/X\XXX/ \
 
−
    /  \////////  \                  /  \X/XXX\X/  \
 
−
  /    \//////    \                o    oXXXXXo    o
 
−
  /      \////      \              / \  / \XXX/ \  / \
 
−
/        \//        \            /  \ /  \X/  \ /  \
 
−
o          o          o          o    o    o    o    o
 
−
|\        / \        /|          |\  / \  / \  / \  /|
 
−
| \      /  \      / |          | \ /  \ /  \ /  \ / |
 
−
|  \    /    \    /  |          |  o    o    o    o  |
 
−
|  \  /      \  /  |          |  |\  / \  / \  /|  |
 
−
| u  \ /        \ /  v |          |u | \ /  \ /  \ / | v|
 
−
o-----o          o-----o          o--+--o    o    o--+--o
 
−
      \        /                     |  \  / \  /  |
 
−
        \      /                     | du \ /  \ / dv |
 
−
        \    /                       o-----o    o-----o
 
−
          \  /                              \  /
 
−
          \ /                                \ /
 
−
            o                                  o
 
−
                U%          $e$          $E$U%
 
−
                    o------------------>o
 
−
                    |                  |
 
−
                    |                  |
 
−
                    |                  |
 
−
                    |                  |
 
−
                J  |                  | $e$J
 
−
                    |                  |
 
−
                    |                  |
 
−
                    |                  |
 
−
                    v                  v
 
−
                    o------------------>o
 
−
                X%          $e$          $E$X%
 
−
            o                                  o
 
−
          //\                                /X\
 
−
          ////\                              /XXX\
 
−
        //////\                            /XXXXX\
 
−
        ////////\                          /XXXXXXX\
 
−
      //////////\                        /XXXXXXXXX\
 
−
      ////////////o                      oXXXXXXXXXXXo
 
−
    ///////////// \                    //\XXXXXXXXX/\\
 
−
    /////////////  \                  ////\XXXXXXX/\\\\
 
−
  /////////////    \                //////\XXXXX/\\\\\\
 
−
  /////////////      \              ////////\XXX/\\\\\\\\
 
−
/////////////        \            //////////\X/\\\\\\\\\\
 
−
o////////////          o          o///////////o\\\\\\\\\\\o
 
−
|\//////////          /            |\////////// \\\\\\\\\\/|
 
−
| \////////          /            | \////////  \\\\\\\\/ |
 
−
|  \//////          /              |  \//////    \\\\\\/  |
 
−
|  \////          /              |  \////      \\\\/  |
 
−
| x  \//          /                | x  \//        \\/ dx |
 
−
o-----o          /                o-----o          o-----o
 
−
      \        /                        \        /
 
−
        \      /                          \      /
 
−
        \    /                            \    /
 
−
          \  /                              \  /
 
−
          \ /                                \ /
 
−
            o                                  o
 
  
−
Figure 57-1.  Radius Operator Diagram for the Conjunction J = uv
+
<tr>
−
</pre>
+
<td style="border-right:2px solid black"><math>m_{2}</math></td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>Just not <math>x</math></td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td></tr>
  
−
===Figure 57-2.  Secant Operator Diagram for the Conjunction J = uv===
+
<tr>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>m_{3}</math></td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>Nothing is <math>x</math></td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td></tr>
  
−
<pre>
+
<tr>
−
            o                                  o
+
<td style="border-right:2px solid black"><math>m_{4}</math></td>
−
          //\                                /X\
+
<td>&nbsp;</td>
−
          ////\                              /XXX\
+
<td>Just <math>x</math></td>
−
        //////\                            oXXXXXo
+
<td>&nbsp;</td>
−
        ////////\                          //\XXX//\
+
<td>&nbsp;</td>
−
      //////////\                        ////\X////\
+
<td>&nbsp;</td>
−
      o///////////o                      o/////o/////o
+
<td>&nbsp;</td></tr>
−
    / \////////// \                    /\\/////\////\\
 
−
    /  \////////  \                  /\\\\/////\//\\\\
 
−
  /    \//////    \                o\\\\\o/////o\\\\\o
 
−
  /      \////      \              / \\\\/ \//// \\\\/ \
 
−
/        \//        \            /  \\/  \//  \\/  \
 
−
o          o          o          o    o    o    o    o
 
−
|\        / \        /|          |\  / \  /\\  / \  /|
 
−
| \      /  \      / |          | \ /  \ /\\\\ /  \ / |
 
−
|  \    /    \    /  |          |  o    o\\\\\o    o  |
 
−
|  \  /      \  /  |          |  |\  / \\\\/ \  /|  |
 
−
| u  \ /        \ /  v |          |u | \ /  \\/  \ / | v|
 
−
o-----o          o-----o          o--+--o    o    o--+--o
 
−
      \        /                     |  \  / \  /  |
 
−
        \      /                     | du \ /  \ / dv |
 
−
        \    /                      o-----o    o-----o
 
−
          \  /                              \  /
 
−
          \ /                                \ /
 
−
            o                                  o
 
−
                U%          $E$          $E$U%
 
−
                    o------------------>o
 
−
                    |                  |
 
−
                    |                  |
 
−
                    |                  |
 
−
                    |                  |
 
−
                J  |                  | $E$J
 
−
                    |                  |
 
−
                    |                  |
 
−
                    |                  |
 
−
                    v                  v
 
−
                    o------------------>o
 
−
                X%          $E$          $E$X%
 
−
            o                                  o
 
−
          //\                                /X\
 
−
          ////\                              /XXX\
 
−
        //////\                            /XXXXX\
 
−
        ////////\                          /XXXXXXX\
 
−
      //////////\                        /XXXXXXXXX\
 
−
      ////////////o                      oXXXXXXXXXXXo
 
−
    ///////////// \                    //\XXXXXXXXX/\\
 
−
    /////////////  \                  ////\XXXXXXX/\\\\
 
−
  /////////////    \                //////\XXXXX/\\\\\\
 
−
  /////////////      \              ////////\XXX/\\\\\\\\
 
−
/////////////        \            //////////\X/\\\\\\\\\\
 
−
o////////////          o          o///////////o\\\\\\\\\\\o
 
−
|\//////////          /            |\////////// \\\\\\\\\\/|
 
−
| \////////          /            | \////////  \\\\\\\\/ |
 
−
|  \//////          /              |  \//////    \\\\\\/  |
 
−
|  \////          /              |  \////      \\\\/  |
 
−
| x \//           /                | x  \//        \\/ dx |
 
−
o-----o          /                 o-----o          o-----o
 
−
      \        /                        \        /
 
−
        \      /                          \      /
 
−
        \    /                             \    /
 
−
          \  /                              \  /
 
−
          \ /                                \ /
 
−
            o                                  o
 
  
−
Figure 57-2.  Secant Operator Diagram for the Conjunction J = uv
+
<tr>
−
</pre>
+
<td style="border-right:2px solid black"><math>m_{5}</math></td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>Everything is <math>x</math></td>
 +
<td><math>f</math> is linear</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td></tr>
  
−
===Figure 57-3.  Chord Operator Diagram for the Conjunction J = uv===
+
<tr>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>m_{6}</math></td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td><math>f</math> is not uniform</td>
 +
<td><math>f</math> is informed</td></tr>
  
−
<pre>
+
<tr>
−
            o                                  o
+
<td style="border-right:2px solid black"><math>m_{7}</math></td>
−
          //\                                //\
+
<td>&nbsp;</td>
−
          ////\                              ////\
+
<td>Not just true</td>
−
        //////\                            o/////o
+
<td>&nbsp;</td>
−
        ////////\                          /X\////X\
+
<td>&nbsp;</td>
−
      //////////\                        /XXX\//XXX\
+
<td>&nbsp;</td>
−
      o///////////o                      oXXXXXoXXXXXo
+
<td>&nbsp;</td></tr>
−
    / \////////// \                    /\\XXX/X\XXX/\\
 
−
    /  \////////  \                  /\\\\X/XXX\X/\\\\
 
−
  /    \//////    \                o\\\\\oXXXXXo\\\\\o
 
−
  /      \////      \              / \\\\/ \XXX/ \\\\/ \
 
−
/        \//        \            /  \\/  \X/  \\/  \
 
−
o          o          o          o    o    o    o    o
 
−
|\        / \        /|          |\  / \  /\\  / \  /|
 
−
| \      /  \      / |          | \ /  \ /\\\\ /  \ / |
 
−
|  \    /    \    /  |          |  o    o\\\\\o    o  |
 
−
|  \  /      \  /  |          |  |\  / \\\\/ \  /|  |
 
−
| u  \ /        \ /  v |          |u | \ /  \\/  \ / | v|
 
−
o-----o          o-----o          o--+--o    o    o--+--o
 
−
      \        /                     |  \  / \  /  |
 
−
        \      /                     | du \ /  \ / dv |
 
−
        \    /                       o-----o    o-----o
 
−
          \  /                              \  /
 
−
          \ /                                \ /
 
−
            o                                  o
 
−
                U%          $D$          $E$U%
 
−
                    o------------------>o
 
−
                    |                  |
 
−
                    |                  |
 
−
                    |                  |
 
−
                    |                  |
 
−
                J  |                  | $D$J
 
−
                    |                  |
 
−
                    |                  |
 
−
                    |                  |
 
−
                    v                  v
 
−
                    o------------------>o
 
−
                X%          $D$          $E$X%
 
−
            o                                  o
 
−
          //\                                /X\
 
−
          ////\                              /XXX\
 
−
        //////\                            /XXXXX\
 
−
        ////////\                          /XXXXXXX\
 
−
      //////////\                        /XXXXXXXXX\
 
−
      ////////////o                      oXXXXXXXXXXXo
 
−
    ///////////// \                    //\XXXXXXXXX/\\
 
−
    /////////////  \                  ////\XXXXXXX/\\\\
 
−
  /////////////    \                //////\XXXXX/\\\\\\
 
−
  /////////////      \              ////////\XXX/\\\\\\\\
 
−
/////////////        \            //////////\X/\\\\\\\\\\
 
−
o////////////          o          o///////////o\\\\\\\\\\\o
 
−
|\//////////          /            |\////////// \\\\\\\\\\/|
 
−
| \////////          /            | \////////  \\\\\\\\/ |
 
−
|  \//////          /              |  \//////    \\\\\\/  |
 
−
|  \////          /              |  \////      \\\\/  |
 
−
| x  \//          /                | x  \//        \\/ dx |
 
−
o-----o          /                o-----o          o-----o
 
−
      \        /                        \        /
 
−
        \      /                          \      /
 
−
        \    /                            \    /
 
−
          \  /                              \  /
 
−
          \ /                                \ /
 
−
            o                                  o
 
  
−
Figure 57-3.  Chord Operator Diagram for the Conjunction J = uv
+
<tr>
−
</pre>
+
<td style="border-right:2px solid black"><math>m_{8}</math></td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>Just true</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td></tr>
 +
 
 +
<tr>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>m_{9}</math></td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td><math>f</math> is uniform</td>
 +
<td><math>f</math> is not informed</td></tr>
  
−
===Figure 57-4.  Tangent Functor Diagram for the Conjunction J = uv===
+
<tr>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>m_{10}</math></td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>Something is not <math>x</math></td>
 +
<td><math>f</math> is not linear</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td></tr>
  
−
<pre>
+
<tr>
−
            o                                  o
+
<td style="border-right:2px solid black"><math>m_{11}</math></td>
−
          //\                                //\
+
<td>&nbsp;</td>
−
          ////\                              ////\
+
<td>Not just <math>x</math></td>
−
        //////\                            o/////o
+
<td>&nbsp;</td>
−
        ////////\                          /X\////X\
+
<td>&nbsp;</td>
−
      //////////\                        /XXX\//XXX\
+
<td>&nbsp;</td>
−
      o///////////o                      oXXXXXoXXXXXo
+
<td>&nbsp;</td></tr>
−
    / \////////// \                    /\\XXX//\XXX/\\
 
−
    /  \////////  \                  /\\\\X////\X/\\\\
 
−
  /    \//////    \                o\\\\\o/////o\\\\\o
 
−
  /      \////      \              / \\\\/\\////\\\\\/ \
 
−
/        \//        \            /  \\/\\\\//\\\\\/  \
 
−
o          o          o          o    o\\\\\o\\\\\o    o
 
−
|\        / \        /|          |\  / \\\\/ \\\\/ \  /|
 
−
| \      /  \      / |          | \ /  \\/  \\/  \ / |
 
−
|  \    /    \    /  |          |  o    o    o    o  |
 
−
|  \  /      \  /  |          |  |\  / \  / \  /|  |
 
−
| u  \ /        \ /  v |          |u | \ /  \ /  \ / | v|
 
−
o-----o          o-----o          o--+--o    o    o--+--o
 
−
      \        /                     |  \  / \  /  |
 
−
        \      /                     | du \ /  \ / dv |
 
−
        \    /                      o-----o    o-----o
 
−
          \  /                              \  /
 
−
          \ /                                \ /
 
−
            o                                  o
 
−
                U%          $T$          $E$U%
 
−
                    o------------------>o
 
−
                    |                  |
 
−
                    |                  |
 
−
                    |                  |
 
−
                    |                  |
 
−
                J  |                  | $T$J
 
−
                    |                  |
 
−
                    |                  |
 
−
                    |                  |
 
−
                    v                  v
 
−
                    o------------------>o
 
−
                X%          $T$          $E$X%
 
−
            o                                  o
 
−
          //\                                /X\
 
−
          ////\                              /XXX\
 
−
        //////\                            /XXXXX\
 
−
        ////////\                          /XXXXXXX\
 
−
      //////////\                        /XXXXXXXXX\
 
−
      ////////////o                      oXXXXXXXXXXXo
 
−
    ///////////// \                    //\XXXXXXXXX/\\
 
−
    /////////////  \                  ////\XXXXXXX/\\\\
 
−
  /////////////    \                //////\XXXXX/\\\\\\
 
−
  /////////////      \              ////////\XXX/\\\\\\\\
 
−
/////////////        \            //////////\X/\\\\\\\\\\
 
−
o////////////          o          o///////////o\\\\\\\\\\\o
 
−
|\//////////          /            |\////////// \\\\\\\\\\/|
 
−
| \////////          /            | \////////  \\\\\\\\/ |
 
−
|  \//////          /              |  \//////    \\\\\\/  |
 
−
|  \////          /              |  \////      \\\\/  |
 
−
| x \//           /                | x  \//        \\/ dx |
 
−
o-----o          /                 o-----o          o-----o
 
−
      \        /                        \        /
 
−
        \      /                          \      /
 
−
        \    /                             \    /
 
−
          \  /                              \  /
 
−
          \ /                                \ /
 
−
            o                                  o
 
  
−
Figure 57-4.  Tangent Functor Diagram for the Conjunction J = uv
+
<tr>
−
</pre>
+
<td style="border-right:2px solid black"><math>m_{12}</math></td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>Something is <math>x</math></td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td></tr>
  
−
===Formula Display 11===
+
<tr>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>m_{13}</math></td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>Not just not <math>x</math></td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td></tr>
  
−
<pre>
+
<tr>
−
o-----------------------------------------------------------o
+
<td style="border-right:2px solid black"><math>m_{14}</math></td>
−
|                                                          |
+
<td>&nbsp;</td>
−
|  F  =  <f, g> =  <F_1, F_2> :  [u, v]  -> [x, y]    |
+
<td>Not just false</td>
−
|                                                          |
+
<td>Something exists</td>
−
|  where      f    =      F_1    :  [u, v]  -> [x]      |
+
<td>&nbsp;</td>
−
|                                                          |
+
<td>&nbsp;</td>
−
|  and        g    =      F_2    :  [u, v]  -> [y]      |
+
<td>&nbsp;</td></tr>
−
|                                                          |
 
−
o-----------------------------------------------------------o
 
−
</pre>
 
  
−
===Table 58.  Cast of Characters: Expansive Subtypes of Objects and Operators===
+
<tr>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>m_{15}</math></td>
 +
<td>Anything happens</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td></tr>
  
−
<pre>
+
</table>
−
Table 58.  Cast of Characters:  Expansive Subtypes of Objects and Operators
 
−
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
 
−
| Item | Notation                | Description      | Type                      |
 
−
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
 
−
|      |                        |                  |                            |
 
−
| U%  | = [u, v]                | Source Universe  | [B^n]                      |
 
−
|      |                        |                  |                            |
 
−
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
 
−
|      |                        |                  |                            |
 
−
| X%  | = [x, y]                | Target Universe  | [B^k]                      |
 
−
|      | = [f, g]                |                  |                            |
 
−
|      |                        |                  |                            |
 
−
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
 
−
|      |                        |                  |                            |
 
−
| EU%  | = [u, v, du, dv]        | Extended        | [B^n x D^n]                |
 
−
|      |                        | Source Universe  |                            |
 
−
|      |                        |                  |                            |
 
−
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
 
−
|      |                        |                  |                            |
 
−
| EX%  | = [x, y, dx, dy]        | Extended        | [B^k x D^k]                |
 
−
|      | = [f, g, df, dg]        | Target Universe  |                            |
 
−
|      |                        |                  |                            |
 
−
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
 
−
|      |                        |                  |                            |
 
−
| F    | F = <f, g> : U% -> X%  | Transformation,  | [B^n] -> [B^k]            |
 
−
|      |                        | or Mapping      |                            |
 
−
|      |                        |                  |                            |
 
−
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
 
−
|      |                        |                  |                            |
 
−
|      | f, g : U -> B          | Proposition,    | B^n -> B                  |
 
−
|      |                        |  special case  |                            |
 
−
| f    | f : U -> [x] c X%      |  of a mapping,  | c (B^n, B^n -> B)          |
 
−
|      |                        |  or component  |                            |
 
−
| g    | g : U -> [y] c X%      |  of a mapping.  | = (B^n +-> B) = [B^n]      |
 
−
|      |                        |                  |                            |
 
−
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
 
−
|      |                        |                  |                            |
 
−
| W    | W :                    | Operator        |                            |
 
−
|      | U% -> EU%,              |                  | [B^n] -> [B^n x D^n],      |
 
−
|      | X% -> EX%,              |                  | [B^k] -> [B^k x D^k],      |
 
−
|      | (U%->X%)->(EU%->EX%),  |                  | ([B^n] -> [B^k])          |
 
−
|      | for each W among:      |                  | ->                        |
 
−
|      | !e!, !h!, E, D, d      |                  | ([B^n x D^n]->[B^k x D^k]) |
 
−
|      |                        |                  |                            |
 
−
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
 
−
|      |                        |                                              |
 
−
| !e!  |                        | Tacit Extension Operator  !e!                |
 
−
| !h!  |                        | Trope Extension Operator  !h!                |
 
−
|  E  |                        | Enlargement Operator        E                |
 
−
|  D  |                        | Difference Operator        D                |
 
−
|  d  |                        | Differential Operator      d                |
 
−
|      |                        |                                              |
 
−
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
 
−
|      |                        |                  |                            |
 
−
| $W$  | $W$ :                  | Operator        |                            |
 
−
|      | U% -> $T$U% = EU%,      |                  | [B^n] -> [B^n x D^n],      |
 
−
|      | X% -> $T$X% = EX%,      |                  | [B^k] -> [B^k x D^k],      |
 
−
|      | (U%->X%)->($T$U%->$T$X%)|                  | ([B^n] -> [B^k])          |
 
−
|      | for each $W$ among:    |                  | ->                        |
 
−
|      | $e$, $E$, $D$, $T$      |                  | ([B^n x D^n]->[B^k x D^k]) |
 
−
|      |                        |                  |                            |
 
−
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
 
−
|      |                        |                                              |
 
−
| $e$  |                        | Radius Operator        $e$  =  <!e!, !h!>    |
 
−
| $E$  |                        | Secant Operator        $E$  =  <!e!,  E >    |
 
−
| $D$  |                        | Chord Operator        $D$  =  <!e!,  D >    |
 
−
| $T$  |                        | Tangent Functor        $T$  =  <!e!,  d >    |
 
−
|      |                        |                                              |
 
−
o------o-------------------------o-----------------------------------------------o
 
−
</pre>
 
  
−
===Table 59.  Synopsis of Terminology:  Restrictive and Alternative Subtypes===
+
<br>
  
−
<pre>
+
<table align="center" cellpadding="1" cellspacing="0" style="background:white; color:black; text-align:center; width:90%">
−
Table 59.  Synopsis of Terminology:  Restrictive and Alternative Subtypes
 
−
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
 
−
|              | Operator            | Proposition        | Transformation      |
 
−
|              |    or                |    or              |    or                |
 
−
|              | Operand              | Component          | Mapping              |
 
−
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
 
−
|              |                      |                    |                      |
 
−
| Operand      | F = <F_1, F_2>      | F_i : <|u,v|> -> B | F : [u, v] -> [x, y] |
 
−
|              |                      |                    |                      |
 
−
|              | F = <f, g> : U -> X  | F_i : B^n -> B    | F : B^n -> B^k      |
 
−
|              |                      |                    |                      |
 
−
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
 
−
|              |                      |                    |                      |
 
−
| Tacit        | !e! :                | !e!F_i :          | !e!F :              |
 
−
| Extension    | U%->EU%, X%->EX%,    | <|u,v,du,dv|> -> B | [u,v,du,dv]->[x, y]  |
 
−
|              | (U%->X%)->(EU%->X%)  | B^n x D^n -> B    | [B^n x D^n]->[B^k]  |
 
−
|              |                      |                    |                      |
 
−
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
 
−
|              |                      |                    |                      |
 
−
| Trope        | !h! :                | !h!F_i :          | !h!F :              |
 
−
| Extension    | U%->EU%, X%->EX%,    | <|u,v,du,dv|> -> D | [u,v,du,dv]->[dx,dy] |
 
−
|              | (U%->X%)->(EU%->dX%) | B^n x D^n -> D    | [B^n x D^n]->[D^k]  |
 
−
|              |                      |                    |                      |
 
−
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
 
−
|              |                      |                    |                      |
 
−
| Enlargement  | E :                  | EF_i :            | EF :                |
 
−
| Operator    | U%->EU%, X%->EX%,    | <|u,v,du,dv|> -> D | [u,v,du,dv]->[dx,dy] |
 
−
|              | (U%->X%)->(EU%->dX%) | B^n x D^n -> D    | [B^n x D^n]->[D^k]  |
 
−
|              |                      |                    |                      |
 
−
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
 
−
|              |                      |                    |                      |
 
−
| Difference  | D :                  | DF_i :            | DF :                |
 
−
| Operator    | U%->EU%, X%->EX%,    | <|u,v,du,dv|> -> D | [u,v,du,dv]->[dx,dy] |
 
−
|              | (U%->X%)->(EU%->dX%) | B^n x D^n -> D    | [B^n x D^n]->[D^k]  |
 
−
|              |                      |                    |                      |
 
−
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
 
−
|              |                      |                    |                      |
 
−
| Differential | d :                  | dF_i :            | dF :                |
 
−
| Operator    | U%->EU%, X%->EX%,    | <|u,v,du,dv|> -> D | [u,v,du,dv]->[dx,dy] |
 
−
|              | (U%->X%)->(EU%->dX%) | B^n x D^n -> D    | [B^n x D^n]->[D^k]  |
 
−
|              |                      |                    |                      |
 
−
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
 
−
|              |                      |                    |                      |
 
−
| Remainder    | r :                  | rF_i :            | rF :                |
 
−
| Operator    | U%->EU%, X%->EX%,    | <|u,v,du,dv|> -> D | [u,v,du,dv]->[dx,dy] |
 
−
|              | (U%->X%)->(EU%->dX%) | B^n x D^n -> D    | [B^n x D^n]->[D^k]  |
 
−
|              |                      |                    |                      |
 
−
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
 
−
|              |                      |                    |                      |
 
−
| Radius      | $e$ = <!e!, !h!> :  |                    | $e$F :              |
 
−
| Operator    |                      |                    |                      |
 
−
|              | U%->EU%, X%->EX%,    |                    | [u, v, du, dv] ->    |
 
−
|              | (U%->X%)->(EU%->EX%) |                    | [x, y, dx, dy],      |
 
−
|              |                      |                    |                      |
 
−
|              |                      |                    | [B^n x D^n] ->      |
 
−
|              |                      |                    | [B^k x D^k]          |
 
−
|              |                      |                    |                      |
 
−
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
 
−
|              |                      |                    |                      |
 
−
| Secant      | $E$ = <!e!, E> :    |                    | $E$F :              |
 
−
| Operator    |                      |                    |                      |
 
−
|              | U%->EU%, X%->EX%,    |                    | [u, v, du, dv] ->    |
 
−
|              | (U%->X%)->(EU%->EX%) |                    | [x, y, dx, dy],      |
 
−
|              |                      |                    |                      |
 
−
|              |                      |                    | [B^n x D^n] ->      |
 
−
|              |                      |                    | [B^k x D^k]          |
 
−
|              |                      |                    |                      |
 
−
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
 
−
|              |                      |                    |                      |
 
−
| Chord        | $D$ = <!e!, D> :     |                    | $D$F :               |
 
−
| Operator    |                      |                    |                      |
 
−
|              | U%->EU%, X%->EX%,    |                    | [u, v, du, dv] ->    |
 
−
|              | (U%->X%)->(EU%->EX%) |                    | [x, y, dx, dy],      |
 
−
|              |                      |                    |                      |
 
−
|              |                      |                    | [B^n x D^n] ->      |
 
−
|              |                      |                    | [B^k x D^k]          |
 
−
|              |                      |                    |                      |
 
−
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
 
−
|              |                      |                    |                      |
 
−
| Tangent      | $T$ = <!e!, d> :    | dF_i :             | $T$F :               |
 
−
| Functor      |                      |                    |                      |
 
−
|              | U%->EU%, X%->EX%,    | <|u,v,du,dv|> -> D | [u, v, du, dv] ->    |
 
−
|              | (U%->X%)->(EU%->EX%) |                    | [x, y, dx, dy],      |
 
−
|              |                      |                    |                      |
 
−
|              |                      | B^n x D^n -> D    | [B^n x D^n] ->      |
 
−
|              |                      |                    | [B^k x D^k]          |
 
−
|              |                      |                    |                      |
 
−
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
 
−
</pre>
 
  
−
===Formula Display 12===
+
<caption><font size="+2"><math>\text{Table 3.} ~~ \text{Higher Order Propositions} ~ (n = 2)</math></font></caption>
  
−
<pre>
+
<tr>
−
o-----------------------------------------------------------o
+
<td style="border-bottom:2px solid black" align="right"><math>\begin{matrix}u\!:\\v\!:\end{matrix}</math></td>
−
|                                                          |
+
<td style="border-bottom:2px solid black">
−
|        x  =   f(u, v)  =   ((u)(v))                    |
+
<math>\begin{matrix}1100\\1010\end{matrix}</math></td>
−
|                                                          |
+
<td style="border-bottom:2px solid black; border-right:2px solid black"><math>f</math></td>
−
|        y  =   g(u, v)  =  ((u, v))                    |
+
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\underset{0}{m}</math></td>
−
|                                                          |
+
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\underset{1}{m}</math></td>
−
o-----------------------------------------------------------o
+
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\underset{2}{m}</math></td>
−
</pre>
+
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\underset{3}{m}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\underset{4}{m}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\underset{5}{m}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\underset{6}{m}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\underset{7}{m}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\underset{8}{m}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\underset{9}{m}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\underset{10}{m}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\underset{11}{m}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\underset{12}{m}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\underset{13}{m}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\underset{14}{m}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\underset{15}{m}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\underset{16}{m}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\underset{17}{m}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\underset{18}{m}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\underset{19}{m}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\underset{20}{m}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\underset{21}{m}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\underset{22}{m}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\underset{23}{m}</math></td>
 +
</tr>
  
−
===Formula Display 13===
+
<tr>
 +
<td><math>f_{0}</math></td>
 +
<td><math>0000</math></td>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>\texttt{(~)}</math></td>
 +
<td>0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td>0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td>0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td>0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td>0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td>0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td>0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td>0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td>0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td>0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td>0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td>0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
  
−
<pre>
+
<tr>
−
o-----------------------------------------------------------o
+
<td><math>f_{1}</math></td>
−
|                                                          |
+
<td><math>0001</math></td>
−
|    <x, y>   =  F<u, v>   =   <((u)(v)), ((u, v))>       |
+
<td style="border-right:2px solid black"><math>\texttt{(} u \texttt{)(} v \texttt{)}</math></td>
−
|                                                          |
+
<td>0</td><td>0</td>
−
o-----------------------------------------------------------o
+
<td style="background:black; color:white">1</td>
−
</pre>
+
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td>0</td><td>0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td>0</td><td>0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td>0</td><td>0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td>0</td><td>0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td>0</td><td>0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
  
−
===Table 60.  Propositional Transformation===
+
<tr>
 +
<td><math>f_{2}</math></td>
 +
<td><math>0010</math></td>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>\texttt{(} u\texttt{)} ~ v</math></td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
  
−
<pre>
+
<tr>
−
Table 60.  Propositional Transformation
+
<td><math>f_{3}</math></td>
−
o-------------o-------------o-------------o-------------o
+
<td><math>0011</math></td>
−
|      u     |      v      |      f      |      g      |
+
<td style="border-right:2px solid black"><math>\texttt{(} u \texttt{)}</math></td>
−
o-------------o-------------o-------------o-------------o
+
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
−
|            |            |            |            |
+
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
−
|      0     |      0     |      0     |      1      |
+
<td style="background:black; color:white">1</td>
−
|            |            |            |            |
+
<td style="background:black; color:white">1</td>
−
|      0     |      1      |      1      |      0     |
+
<td style="background:black; color:white">1</td>
−
|            |            |            |            |
+
<td style="background:black; color:white">1</td>
−
|      1      |      0     |      1      |      0     |
+
<td style="background:black; color:white">1</td>
−
|            |            |            |            |
+
<td style="background:black; color:white">1</td>
−
|      1     |      1     |      1     |      1     |
+
<td style="background:black; color:white">1</td>
−
|            |            |            |            |
+
<td style="background:black; color:white">1</td>
−
o-------------o-------------o-------------o-------------o
+
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
−
|            |            |  ((u)(v))  |  ((u, v))  |
+
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr>
−
o-------------o-------------o-------------o-------------o
 
−
</pre>
 
  
−
===Figure 61.  Propositional Transformation===
+
<tr>
 +
<td><math>f_{4}</math></td>
 +
<td><math>0100</math></td>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>u ~ \texttt{(} v \texttt{)}</math></td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
  
−
<pre>
+
<tr>
−
            o-----------------------------------------------------o
+
<td><math>f_{5}</math></td>
−
            | U                                                  |
+
<td><math>0101</math></td>
−
            |                                                    |
+
<td style="border-right:2px solid black"><math>\texttt{(} v \texttt{)}</math></td>
−
            |            o-----------o  o-----------o            |
+
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
−
            |          /             \ /             \          |
+
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
−
            |          /               o              \          |
+
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
−
            |        /               / \              \        |
+
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
−
            |        /              /  \              \        |
+
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
−
            |      o              o    o              o      |
+
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr>
−
            |      |              |    |              |      |
 
−
            |      |      u      |    |      v      |      |
 
−
            |      |              |    |              |      |
 
−
            |      o              o    o              o      |
 
−
            |        \              \  /              /        |
 
−
            |        \              \ /              /        |
 
−
            |          \              o              /          |
 
−
            |          \            / \            /          |
 
−
            |            o-----------o  o-----------o            |
 
−
            |                                                    |
 
−
            |                                                    |
 
−
            o-----------------------------------------------------o
 
−
            / \                                                  / \
 
−
          /  \                                                /  \
 
−
          /    \                                              /    \
 
−
        /      \                                            /      \
 
−
        /        \                                          /        \
 
−
      /          \                                        /          \
 
−
      /            \                                      /            \
 
−
    /              \                                    /              \
 
−
    /                \                                  /                \
 
−
  /                  \                                /                  \
 
−
  /                    \                              /                    \
 
−
/                      \                            /                      \
 
−
o-------------------------o                          o-------------------------o
 
−
| U                      |                          |\U \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\|
 
−
|      o---o  o---o      |                          |\\\\\\o---o\\\o---o\\\\\\|
 
−
|    //////\ //////\    |                          |\\\\\/    \\/    \\\\\\|
 
−
|    ////////o///////\    |                          |\\\\/      o      \\\\\|
 
−
|  //////////\///////\  |                          |\\\/      /\\      \\\\|
 
−
|  o///////o///o///////o  |                          |\\o      o\\\o      o\\|
 
−
|  |// u //|///|// v //|  |                          |\\|  u  |\\\|  v  |\\|
 
−
|  o///////o///o///////o  |                          |\\o      o\\\o      o\\|
 
−
|  \///////\//////////  |                          |\\\\      \\/      /\\\|
 
−
|    \///////o////////    |                          |\\\\\      o      /\\\\|
 
−
|    \////// \//////    |                          |\\\\\\    /\\    /\\\\\|
 
−
|      o---o  o---o      |                          |\\\\\\o---o\\\o---o\\\\\\|
 
−
|                        |                          |\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\|
 
−
o-------------------------o                          o-------------------------o
 
−
\                        |                          |                        /
 
−
  \                      |                          |                      /
 
−
    \                    |                          |                    /
 
−
      \        f        |                          |        g        /
 
−
        \                |                          |                /
 
−
          \              |                          |              /
 
−
            \            |                          |            /
 
−
              \          |                          |          /
 
−
                \        |                          |        /
 
−
                  \      |                          |      /
 
−
            o-------\----|---------------------------|----/-------o
 
−
            | X      \  |                          |  /         |
 
−
            |          \|                          |/          |
 
−
            |            o-----------o  o-----------o            |
 
−
            |          //////////////\ /\\\\\\\\\\\\\\          |
 
−
            |          ////////////////o\\\\\\\\\\\\\\\\          |
 
−
            |        /////////////////X\\\\\\\\\\\\\\\\\        |
 
−
            |        /////////////////XXX\\\\\\\\\\\\\\\\\        |
 
−
            |      o///////////////oXXXXXo\\\\\\\\\\\\\\\o      |
 
−
            |      |///////////////|XXXXX|\\\\\\\\\\\\\\\|      |
 
−
            |      |////// x //////|XXXXX|\\\\\\ y \\\\\\|      |
 
−
            |      |///////////////|XXXXX|\\\\\\\\\\\\\\\|      |
 
−
            |      o///////////////oXXXXXo\\\\\\\\\\\\\\\o      |
 
−
            |        \///////////////\XXX/\\\\\\\\\\\\\\\/        |
 
−
            |        \///////////////\X/\\\\\\\\\\\\\\\/        |
 
−
            |          \///////////////o\\\\\\\\\\\\\\\/          |
 
−
            |          \////////////// \\\\\\\\\\\\\\/          |
 
−
            |            o-----------o  o-----------o            |
 
−
            |                                                    |
 
−
            |                                                    |
 
−
            o-----------------------------------------------------o
 
−
Figure 61.  Propositional Transformation
 
−
</pre>
 
  
−
===Figure 62.  Propositional Transformation (Short Form)===
+
<tr>
 +
<td><math>f_{6}</math></td>
 +
<td><math>0110</math></td>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>\texttt{(} u \texttt{,} v \texttt{)}</math></td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr>
  
−
<pre>
+
<tr>
−
o-------------------------o o-------------------------o
+
<td><math>f_{7}</math></td>
−
| U                      | |\U \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\|
+
<td><math>0111</math></td>
−
|      o---o  o---o      | |\\\\\\o---o\\\o---o\\\\\\|
+
<td style="border-right:2px solid black"><math>\texttt{(} u ~ v \texttt{)}</math></td>
−
|    //////\ //////\    | |\\\\\/    \\/    \\\\\\|
+
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
−
|    ////////o///////\    | |\\\\/      o      \\\\\|
+
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
−
|  //////////\///////\  | |\\\/      /\\      \\\\|
+
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
−
|  o///////o///o///////o  | |\\o      o\\\o      o\\|
+
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
−
|  |// u //|///|// v //|  | |\\|  u  |\\\|  v  |\\|
+
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
−
|  o///////o///o///////o  | |\\o      o\\\o      o\\|
+
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr>
−
|  \///////\//////////  | |\\\\      \\/      /\\\|
 
−
|    \///////o////////    | |\\\\\      o      /\\\\|
 
−
|    \////// \//////    | |\\\\\\    /\\    /\\\\\|
 
−
|      o---o  o---o      | |\\\\\\o---o\\\o---o\\\\\\|
 
−
|                        | |\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\|
 
−
o-------------------------o o-------------------------o
 
−
\                      /   \                      /
 
−
  \                    /     \                    /
 
−
  \                  /       \                  /
 
−
    \        f        /         \        g        /
 
−
    \              /           \              /
 
−
      \            /             \            /
 
−
      \          /              \          /
 
−
        \        /                \        /
 
−
        \      /                  \      /
 
−
o---------\-----/---------------------\-----/---------o
 
−
| X        \  /                      \  /          |
 
−
|          \ /                        \ /          |
 
−
|            o-----------o  o-----------o            |
 
−
|          //////////////\ /\\\\\\\\\\\\\\          |
 
−
|          ////////////////o\\\\\\\\\\\\\\\\          |
 
−
|        /////////////////X\\\\\\\\\\\\\\\\\        |
 
−
|        /////////////////XXX\\\\\\\\\\\\\\\\\        |
 
−
|      o///////////////oXXXXXo\\\\\\\\\\\\\\\o      |
 
−
|      |///////////////|XXXXX|\\\\\\\\\\\\\\\|      |
 
−
|      |////// x //////|XXXXX|\\\\\\ y \\\\\\|      |
 
−
|      |///////////////|XXXXX|\\\\\\\\\\\\\\\|      |
 
−
|      o///////////////oXXXXXo\\\\\\\\\\\\\\\o      |
 
−
|        \///////////////\XXX/\\\\\\\\\\\\\\\/        |
 
−
|        \///////////////\X/\\\\\\\\\\\\\\\/        |
 
−
|          \///////////////o\\\\\\\\\\\\\\\/          |
 
−
|          \////////////// \\\\\\\\\\\\\\/          |
 
−
|            o-----------o  o-----------o            |
 
−
|                                                    |
 
−
|                                                    |
 
−
o-----------------------------------------------------o
 
−
Figure 62.  Propositional Transformation (Short Form)
 
−
</pre>
 
  
−
===Figure 63.  Transformation of Positions===
+
<tr>
 +
<td><math>f_{8}</math></td>
 +
<td><math>1000</math></td>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>u ~ v</math></td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr>
  
−
<pre>
+
<tr>
−
            o-----------------------------------------------------o
+
<td><math>f_{9}</math></td>
−
            |`U` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `|
+
<td><math>1001</math></td>
−
            |` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `|
+
<td style="border-right:2px solid black"><math>\texttt{((} u \texttt{,} v \texttt{))}</math></td>
−
            |` ` ` ` ` ` o-----------o ` o-----------o ` ` ` ` ` `|
+
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
−
            |` ` ` ` ` `/' ' ' ' ' ' '\`/' ' ' ' ' ' '\` ` ` ` ` `|
+
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
−
            |` ` ` ` ` / ' ' ' ' ' ' ' o ' ' ' ' ' ' ' \ ` ` ` ` `|
+
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
−
            |` ` ` ` `/' ' ' ' ' ' ' '/^\' ' ' ' ' ' ' '\` ` ` ` `|
+
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
−
            |` ` ` ` / ' ' ' ' ' ' ' /^^^\ ' ' ' ' ' ' ' \ ` ` ` `|
+
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
−
            |` ` ` `o' ' ' ' ' ' ' 'o^^^^^o' ' ' ' ' ' ' 'o` ` ` `|
+
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr>
−
            |` ` ` `|' ' ' ' ' ' ' '|^^^^^|' ' ' ' ' ' ' '|` ` ` `|
 
−
            |` ` ` `|' ' ' ' u ' ' '|^^^^^|' ' ' v ' ' ' '|` ` ` `|
 
−
            |` ` ` `|' ' ' ' ' ' ' '|^^^^^|' ' ' ' ' ' ' '|` ` ` `|
 
−
            |` `@` `o' ' ' ' @ ' ' 'o^^@^^o' ' ' @ ' ' ' 'o` ` ` `|
 
−
            |` ` \ ` \ ' ' ' | ' ' ' \^|^/ ' ' ' | ' ' ' / ` ` ` `|
 
−
            |` ` `\` `\' ' ' | ' ' ' '\|/' ' ' ' | ' ' '/` ` ` ` `|
 
−
            |` ` ` \ ` \ ' ' | ' ' ' ' | ' ' ' ' | ' ' / ` ` ` ` `|
 
−
            |` ` ` `\` `\' ' | ' ' ' '/|\' ' ' ' | ' '/` ` ` ` ` `|
 
−
            |` ` ` ` \ ` o---|-------o | o-------|---o ` ` ` ` ` `|
 
−
            |` ` ` ` `\` ` ` | ` ` ` ` | ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` `|
 
−
            |` ` ` ` ` \ ` ` | ` ` ` ` | ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` `|
 
−
            o-----------\----|---------|---------|----------------o
 
−
            " "          \  |        |        |              " "
 
−
        "      "        \  |        |        |            "      "
 
−
      "            "      \ |        |        |        "            "
 
−
  "                  "    \|        |        |      "                  "
 
−
o-------------------------o  \        |        |  o-------------------------o
 
−
| U                      |  |\        |        |  |`U```````````````````````|
 
−
|      o---o  o---o      |  | \      |        |  |``````o---o```o---o``````|
 
−
|    /'''''\ /'''''\    |  |  \      |        |  |`````/    \`/    \`````|
 
−
|    /'''''''o'''''''\    |  |  \    |        |  |````/      o      \````|
 
−
|  /'''''''/'\'''''''\  |  |    \    |        |  |```/      /`\      \```|
 
−
|  o'''''''o'''o'''''''o  |  |    \  |        |  |``o      o```o      o``|
 
−
|  |'''u'''|'''|'''v'''|  |  |      \  |        |  |``|  u  |```|  v  |``|
 
−
|  o'''''''o'''o'''''''o  |  |      \ |        |  |``o      o```o      o``|
 
−
|  \'''''''\'/'''''''/  |  |        \|        |  |```\      \`/      /```|
 
−
|    \'''''''o'''''''/    |  |        \        |  |````\      o      /````|
 
−
|    \'''''/ \'''''/    |  |        |\        |  |`````\    /`\    /`````|
 
−
|      o---o  o---o      |  |        | \      |  |``````o---o```o---o``````|
 
−
|                        |  |        |  \      *  |`````````````````````````|
 
−
o-------------------------o  |        |  \    /    o-------------------------o
 
−
\                        |  |        |    \  /    |                        /
 
−
  \     ((u)(v))        |  |        |    \/      |        ((u, v))     /
 
−
    \                    |  |        |    /\      |                    /
 
−
      \                  |  |        |    / \    |                  /
 
−
        \                |  |        |  /   \    |                /
 
−
          \              |  |        |  /     *  |              /
 
−
            \            |  |        | /       |  |            /
 
−
              \          |  |        |/       |  |          /
 
−
                \        |  |        /         |  |        /
 
−
                  \      |  |        /|        |  |      /
 
−
            o-------\----|---|-------/-|---------|---|----/-------o
 
−
            | X      \  |  |      / |        |  |  /         |
 
−
            |          \|  |    /   |        |  |/           |
 
−
            |            o---|----/--o | o-------|---o            |
 
−
            |          /' ' | ' / ' '\|/` ` ` ` | ` `\          |
 
−
            |          / ' ' | '/' ' ' | ` ` ` ` | ` ` \          |
 
−
            |        /' ' ' | / ' ' '/|\` ` ` ` | ` ` `\        |
 
−
            |        / ' ' ' |/' ' ' /^|^\ ` ` ` | ` ` ` \        |
 
−
            |  @  o' ' ' ' @ ' ' 'o^^@^^o` ` ` @ ` ` ` `o      |
 
−
            |      |' ' ' ' ' ' ' '|^^^^^|` ` ` ` ` ` ` `|      |
 
−
            |      |' ' ' ' f ' ' '|^^^^^|` ` ` g ` ` ` `|      |
 
−
            |      |' ' ' ' ' ' ' '|^^^^^|` ` ` ` ` ` ` `|      |
 
−
            |      o' ' ' ' ' ' ' 'o^^^^^o` ` ` ` ` ` ` `o      |
 
−
            |        \ ' ' ' ' ' ' ' \^^^/ ` ` ` ` ` ` ` /        |
 
−
            |        \' ' ' ' ' ' ' '\^/` ` ` ` ` ` ` `/        |
 
−
            |          \ ' ' ' ' ' ' ' o ` ` ` ` ` ` ` /          |
 
−
            |          \' ' ' ' ' ' '/ \` ` ` ` ` ` `/          |
 
−
            |            o-----------o  o-----------o            |
 
−
            |                                                    |
 
−
            |                                                    |
 
−
            o-----------------------------------------------------o
 
−
Figure 63.  Transformation of Positions
 
−
</pre>
 
  
−
===Table 64.  Transformation of Positions===
+
<tr>
 +
<td><math>f_{10}</math></td>
 +
<td><math>1010</math></td>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>v</math></td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr>
  
−
<pre>
+
<tr>
−
Table 64.  Transformation of Positions
+
<td><math>f_{11}</math></td>
−
o-----o----------o----------o-------o-------o--------o--------o-------------o
+
<td><math>1011</math></td>
−
| u v |    x    |    y    |  x y  |  x(y) | (x)y  | (x)(y) | X% = [x, y] |
+
<td style="border-right:2px solid black"><math>\texttt{(} u ~ \texttt{(} v \texttt{))}</math></td>
−
o-----o----------o----------o-------o-------o--------o--------o-------------o
+
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
−
|    |          |          |      |      |        |        |      ^      |
+
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
−
| 0 0 |    0     |    1    |  0   |  0   |  1    |  0   |      |      |
+
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
−
|    |          |          |      |      |        |        |            |
+
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
−
| 0 1 |    1    |    0     |  0   |  1  |  0   |  0    |      F      |
+
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
−
|    |          |          |      |      |        |        |      =      |
+
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr>
−
| 1 0 |    1    |    0     |  0   |  1  |  0    |  0   |  <f , g>   |
 
−
|    |          |          |      |      |        |        |            |
 
−
| 1 1 |    1    |    1    |  1  |  0   |  0   |  0   |      ^      |
 
−
|    |          |          |      |      |        |        |      |      |
 
−
o-----o----------o----------o-------o-------o--------o--------o-------------o
 
−
|    | ((u)(v)) | ((u, v)) |  u v  | (u,v) | (u)(v) |  0   | U% = [u, v] |
 
−
o-----o----------o----------o-------o-------o--------o--------o-------------o
 
−
</pre>
 
  
−
===Table 65.  Induced Transformation on Propositions===
+
<tr>
 +
<td><math>f_{12}</math></td>
 +
<td><math>1100</math></td>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>u</math></td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr>
  
−
<pre>
+
<tr>
−
Table 65.  Induced Transformation on Propositions
+
<td><math>f_{13}</math></td>
−
o------------o---------------------------------o------------o
+
<td><math>1101</math></td>
−
|    X%    |  <---  F  =  <f , g>   <---  |    U%    |
+
<td style="border-right:2px solid black"><math>\texttt{((} u \texttt{)} ~ v \texttt{)}</math></td>
−
o------------o----------o-----------o----------o------------o
+
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
−
|            |      u = |  1 1 0 0  | = u      |            |
+
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
−
|            |      v = |  1 0 1 0  | = v      |            |
+
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
−
| f_i <x, y> o----------o-----------o----------o f_j <u, v> |
+
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
−
|            |      x = |  1 1 1 0  | = f<u,v> |            |
+
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
−
|            |      y = |  1 0 0 1  | = g<u,v> |            |
+
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr>
−
o------------o----------o-----------o----------o------------o
 
−
|            |          |          |          |            |
 
−
|    f_0    |    ()   |  0 0 0 0  |    ()   |    f_0    |
 
−
|            |          |          |          |            |
 
−
|    f_1    |  (x)(y)  |  0 0 0 1  |    ()    |    f_0    |
 
−
|            |          |          |          |            |
 
−
|    f_2    |  (x) y  |  0 0 1 0  |  (u)(v)  |    f_1    |
 
−
|            |          |          |          |            |
 
−
|    f_3    |  (x)    |  0 0 1 1  |  (u)(v)  |    f_1    |
 
−
|            |          |          |          |            |
 
−
|    f_4    |  x (y)  |  0 1 0 0  |  (u, v)  |    f_6    |
 
−
|            |          |          |          |            |
 
−
|    f_5    |    (y)  |  0 1 0 1  |  (u, v)  |    f_6    |
 
−
|            |          |          |          |            |
 
−
|    f_6    |  (x, y)  |  0 1 1 0 |  (u  v)  |    f_7    |
 
−
|            |          |          |          |            |
 
−
|    f_7    |  (x  y)  |  0 1 1 1  |  (u  v)  |    f_7    |
 
−
|            |          |          |          |            |
 
−
o------------o----------o-----------o----------o------------o
 
−
|            |          |          |          |            |
 
−
|    f_8    |  x  y  |  1 0 0 0 |  u  v  |    f_8    |
 
−
|            |          |          |          |            |
 
−
|    f_9    | ((x, y)) |  1 0 0 1  |  u  v  |    f_8    |
 
−
|            |          |          |          |            |
 
−
|    f_10    |      y  |  1 0 1 0 | ((u, v)) |    f_9    |
 
−
|            |          |          |          |            |
 
−
|    f_11    |  (x (y)) |  1 0 1 1  | ((u, v)) |    f_9    |
 
−
|            |          |          |          |            |
 
−
|    f_12    |  x      |  1 1 0 0 | ((u)(v)) |    f_14    |
 
−
|            |          |          |          |            |
 
−
|    f_13    | ((x) y)  |  1 1 0 1  | ((u)(v)) |    f_14    |
 
−
|            |          |          |          |            |
 
−
|    f_14    | ((x)(y)) |  1 1 1 0  |  (())  |    f_15    |
 
−
|            |          |          |          |            |
 
−
|    f_15    |  (())  |  1 1 1 1  |  (())  |    f_15    |
 
−
|            |          |          |          |            |
 
−
o------------o----------o-----------o----------o------------o
 
−
</pre>
 
  
−
===Formula Display 14===
+
<tr>
 +
<td><math>f_{14}</math></td>
 +
<td><math>1110</math></td>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>\texttt{((} u \texttt{)(} v \texttt{))}</math></td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr>
  
−
<pre>
+
<tr>
−
o-------------------------------------------------o
+
<td><math>f_{15}</math></td>
−
|                                                |
+
<td><math>1111</math></td>
−
|  EG_i  =  G_i <u + du, v + dv>                 |
+
<td style="border-right:2px solid black"><math>\texttt{((~))}</math></td>
−
|                                                |
+
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
−
o-------------------------------------------------o
+
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
−
</pre>
+
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr>
  
−
===Formula Display 15===
+
</table>
  
−
<pre>
+
<br>
−
o-------------------------------------------------o
 
−
|                                                |
 
−
|  DG_i  =  G_i <u, v>  +  EG_i <u, v, du, dv>  |
 
−
|                                                |
 
−
|        =  G_i <u, v>  +  G_i <u + du, v + dv>  |
 
−
|                                                |
 
−
o-------------------------------------------------o
 
−
</pre>
 
  
−
===Formula Display 16===
+
<table align="center" cellpadding="1" cellspacing="0" style="text-align:center; width:90%">
  
−
<pre>
+
<caption><font size="+2"><math>\text{Table 4.} ~~ \text{Qualifiers of the Implication Ordering:} ~ \alpha_{i} f = \Upsilon (f_{i}, f) = \Upsilon (f_{i} \Rightarrow f)</math></font></caption>
−
o-------------------------------------------------o
 
−
|                                                |
 
−
|  Ef  = ((u + du)(v + dv))                     |
 
−
|                                                |
 
−
|  Eg  = ((u + du, v + dv))                    |
 
−
|                                                |
 
−
o-------------------------------------------------o
 
−
</pre>
 
  
−
===Formula Display 17===
+
<tr>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black" align="right">
 +
<math>\begin{matrix}u\!:\\v\!:\end{matrix}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black">
 +
<math>\begin{matrix}1100\\1010\end{matrix}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black; border-right:2px solid black"><math>f</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\alpha_{15}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\alpha_{14}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\alpha_{13}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\alpha_{12}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\alpha_{11}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\alpha_{10}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\alpha_{9}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\alpha_{8}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\alpha_{7}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\alpha_{6}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\alpha_{5}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\alpha_{4}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\alpha_{3}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\alpha_{2}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\alpha_{1}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\alpha_{0}</math></td></tr>
  
−
<pre>
+
<tr>
−
o-------------------------------------------------o
+
<td><math>f_{0}</math></td>
−
|                                                |
+
<td><math>0000</math></td>
−
|  Df  = ((u)(v))  +  ((u + du)(v + dv))        |
+
<td style="border-right:2px solid black"><math>\texttt{(~)}</math></td>
−
|                                                |
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|  Dg  = ((u, v))  +  ((u + du, v + dv))        |
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|                                                |
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
o-------------------------------------------------o
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
</pre>
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{1}</math></td>
 +
<td><math>0001</math></td>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>\texttt{(} u \texttt{)(} v \texttt{)}</math></td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
  
−
===Table 66-i.  Computation Summary for f‹u, v› = ((u)(v))===
+
<tr>
 +
<td><math>f_{2}</math></td>
 +
<td><math>0010</math></td>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>\texttt{(} u\texttt{)} ~ v</math></td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
  
−
<pre>
+
<tr>
−
Table 66-i.  Computation Summary for f<u, v> = ((u)(v))
+
<td><math>f_{3}</math></td>
−
o--------------------------------------------------------------------------------o
+
<td><math>0011</math></td>
−
|                                                                                |
+
<td style="border-right:2px solid black"><math>\texttt{(} u \texttt{)}</math></td>
−
| !e!f  = uv.    1      + u(v).    1      + (u)v.    1      + (u)(v).    0     |
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|                                                                                |
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|  Ef  = uv. (du  dv)  + u(v). (du (dv)) + (u)v.((du) dv)  + (u)(v).((du)(dv)) |
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|                                                                                |
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|  Df  = uv.  du  dv  + u(v).  du (dv)  + (u)v. (du) dv  + (u)(v).((du)(dv)) |
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|                                                                                |
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|  df  = uv.    0     + u(v).  du      + (u)v.      dv  + (u)(v). (du, dv)  |
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|                                                                                |
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|  rf  = uv.  du  dv  + u(v).  du  dv  + (u)v.  du  dv  + (u)(v).  du  dv  |
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|                                                                                |
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
o--------------------------------------------------------------------------------o
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
</pre>
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
  
−
===Table 66-ii.  Computation Summary for g‹u, v› = ((u, v))===
+
<tr>
 +
<td><math>f_{4}</math></td>
 +
<td><math>0100</math></td>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>u ~ \texttt{(} v \texttt{)}</math></td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
  
−
<pre>
+
<tr>
−
Table 66-ii.  Computation Summary for g<u, v> = ((u, v))
+
<td><math>f_{5}</math></td>
−
o--------------------------------------------------------------------------------o
+
<td><math>0101</math></td>
−
|                                                                                |
+
<td style="border-right:2px solid black"><math>\texttt{(} v \texttt{)}</math></td>
−
| !e!g  = uv.    1      + u(v).    0     + (u)v.    0     + (u)(v).    1      |
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|                                                                                |
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|  Eg  = uv.((du, dv)) + u(v). (du, dv)  + (u)v. (du, dv)  + (u)(v).((du, dv)) |
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|                                                                                |
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|  Dg  = uv. (du, dv)  + u(v). (du, dv)  + (u)v. (du, dv)  + (u)(v). (du, dv)  |
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|                                                                                |
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|  dg  = uv. (du, dv)  + u(v). (du, dv)  + (u)v. (du, dv)  + (u)(v). (du, dv)  |
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|                                                                                |
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|  rg  = uv.    0     + u(v).    0     + (u)v.    0      + (u)(v).    0      |
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|                                                                                |
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
o--------------------------------------------------------------------------------o
+
<td style="background:black; color:white">1</td>
−
</pre>
+
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
  
−
===Table 67.  Computation of an Analytic Series in Terms of Coordinates===
+
<tr>
 +
<td><math>f_{6}</math></td>
 +
<td><math>0110</math></td>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>\texttt{(} u \texttt{,} v \texttt{)}</math></td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
  
−
<pre>
+
<tr>
−
Table 67.  Computation of an Analytic Series in Terms of Coordinates
+
<td><math>f_{7}</math></td>
−
o--------o-------o-------o--------o-------o-------o-------o-------o
+
<td><math>0111</math></td>
−
|  u v | du dv | u' v' |  f  g  | Ef Eg | Df Dg | df dg | rf rg |
+
<td style="border-right:2px solid black"><math>\texttt{(} u ~ v \texttt{)}</math></td>
−
o--------o-------o-------o--------o-------o-------o-------o-------o
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|        |      |      |        |      |      |      |      |
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|  0 0  | 0  0  | 0  0  |  0  1  | 0  1  | 0  0  | 0  0  | 0  0  |
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|        |      |      |        |      |      |      |      |
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|        | 0 1  | 0  1  |        | 1  0  | 1  1  | 1  1  | 0  0  |
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|        |      |      |        |      |      |      |      |
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|        | 1  0 | 1  0  |        | 1  0  | 1  1  | 1  1  | 0  0  |
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|        |      |      |        |      |      |      |      |
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|        | 1  1  | 1  1  |        | 1  1  | 1  0 | 0  0  | 1  0  |
+
<td style="background:black; color:white">1</td>
−
|        |      |      |        |      |      |      |      |
+
<td style="background:black; color:white">1</td>
−
o--------o-------o-------o--------o-------o-------o-------o-------o
+
<td style="background:black; color:white">1</td>
−
|        |      |      |        |      |      |      |      |
+
<td style="background:black; color:white">1</td>
−
|  0 1  | 0  0  | 0  1  |  1  0  | 1  0  | 0  0  | 0  0  | 0  0  |
+
<td style="background:black; color:white">1</td>
−
|        |      |      |        |      |      |      |      |
+
<td style="background:black; color:white">1</td>
−
|        | 0 1  | 0  0  |        | 0  1  | 1  1  | 1  1  | 0  0  |
+
<td style="background:black; color:white">1</td>
−
|        |      |      |        |      |      |      |      |
+
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
−
|        | 1  0 | 1  1  |        | 1  1  | 0  1  | 0  1  | 0  0  |
 
−
|        |      |      |        |      |      |      |      |
 
−
|        | 1  1  | 1  0 |        | 1  0  | 0  0  | 1  0  | 1  0  |
 
−
|        |      |      |        |      |      |      |      |
 
−
o--------o-------o-------o--------o-------o-------o-------o-------o
 
−
|        |      |      |        |      |      |      |      |
 
−
|  1 0  | 0  0  | 1  0  |  1  0  | 1  0  | 0  0  | 0  0  | 0  0  |
 
−
|        |      |      |        |      |      |      |      |
 
−
|        | 0  1 | 1  1  |        | 1  1  | 0  1  | 0  1  | 0  0  |
 
−
|        |      |      |        |      |      |      |      |
 
−
|        | 1 0  | 0  0  |        | 0  1  | 1  1  | 1  1  | 0  0  |
 
−
|        |      |      |        |      |      |      |      |
 
−
|        | 1 1  | 0  1  |        | 1  0  | 0  0  | 1  0  | 1  0  |
 
−
|        |      |      |        |      |      |      |      |
 
−
o--------o-------o-------o--------o-------o-------o-------o-------o
 
−
|        |      |      |        |      |      |      |      |
 
−
|  1 1  | 0  0  | 1  1  |  1  1  | 1  1  | 0  0  | 0  0  | 0  0  |
 
−
|        |      |      |        |      |      |      |      |
 
−
|        | 0  1 | 1  0  |        | 1  0  | 0  1  | 0  1  | 0  0  |
 
−
|        |      |      |        |      |      |      |      |
 
−
|        | 1 0  | 0  1  |        | 1  0  | 0  1  | 0  1  | 0  0  |
 
−
|        |      |      |        |      |      |      |      |
 
−
|        | 1 1  | 0  0  |        | 0  1  | 1  0  | 0  0  | 1  0  |
 
−
|        |      |      |        |      |      |      |      |
 
−
o--------o-------o-------o--------o-------o-------o-------o-------o
 
−
</pre>
 
  
−
===Table 68.  Computation of an Analytic Series in Symbolic Terms===
+
<tr>
 +
<td><math>f_{8}</math></td>
 +
<td><math>1000</math></td>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>u ~ v</math></td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
  
−
<pre>
+
<tr>
−
Table 68.  Computation of an Analytic Series in Symbolic Terms
+
<td><math>f_{9}</math></td>
−
o-----o-----o------------o----------o----------o----------o----------o----------o
+
<td><math>1001</math></td>
−
| u v | f g |    Df    |    Dg    |    df    |    dg    |    rf    |    rf    |
+
<td style="border-right:2px solid black"><math>\texttt{((} u \texttt{,} v \texttt{))}</math></td>
−
o-----o-----o------------o----------o----------o----------o----------o----------o
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|    |    |            |          |          |          |          |          |
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
| 0 0 | 0 1 | ((du)(dv)) | (du, dv) | (du, dv) | (du, dv) |  du  dv  |    ()    |
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|    |    |            |          |          |          |          |          |
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
| 0 1 | 1 0 |  (du) dv  | (du, dv) |    dv    | (du, dv) |  du  dv  |    ()    |
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|    |    |            |          |          |          |          |          |
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
| 1 0 | 1 0 |  du (dv)  | (du, dv) |    du    | (du, dv) |  du  dv  |    ()    |
+
<td style="background:black; color:white">1</td>
−
|    |    |            |          |          |          |          |          |
+
<td style="background:black; color:white">1</td>
−
| 1 1 | 1 1 |  du  dv  | (du, dv) |    ()    | (du, dv) |  du  dv  |    ()    |
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|    |    |            |          |          |          |          |          |
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
o-----o-----o------------o----------o----------o----------o----------o----------o
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
</pre>
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
  
−
===Formula Display 18===
+
<tr>
 +
<td><math>f_{10}</math></td>
 +
<td><math>1010</math></td>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>v</math></td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
  
−
<pre>
+
<tr>
−
o-------------------------------------------------------------------------o
+
<td><math>f_{11}</math></td>
−
|                                                                        |
+
<td><math>1011</math></td>
−
|  Df  = uv. du  dv  + u(v). du (dv) + (u)v.(du) dv  + (u)(v).((du)(dv)) |
+
<td style="border-right:2px solid black"><math>\texttt{(} u ~ \texttt{(} v \texttt{))}</math></td>
−
|                                                                        |
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|  Dg  = uv.(du, dv) + u(v).(du, dv) + (u)v.(du, dv) + (u)(v). (du, dv)  |
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|                                                                        |
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
o-------------------------------------------------------------------------o
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
  
−
===Figure 69.  Difference Map of F = <f, g> = <((u)(v)), ((u, v))>===
+
<tr>
 +
<td><math>f_{12}</math></td>
 +
<td><math>1100</math></td>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>u</math></td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
  
−
o-----------------------------------o o-----------------------------------o
+
<tr>
−
| U                                | |`U`````````````````````````````````|
+
<td><math>f_{13}</math></td>
−
|                                  | |```````````````````````````````````|
+
<td><math>1101</math></td>
−
|                ^                | |```````````````````````````````````|
+
<td style="border-right:2px solid black"><math>\texttt{((} u \texttt{)} ~ v \texttt{)}</math></td>
−
|                |                | |```````````````````````````````````|
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|      o-------o | o-------o      | |```````o-------o```o-------o```````|
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
| ^    /`````````\|/`````````\    ^ | | ^ ```/      ^  \`/  ^      \``` ^ |
+
<td style="background:black; color:white">1</td>
−
|  \  /```````````|```````````\  / | |``\``/        \  o  /        \``/``|
+
<td style="background:black; color:white">1</td>
−
|  \/`````u`````/|\`````v`````\/  | |```\/    u    \/`\/    v    \/```|
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|  /\``````````/`|`\``````````/\  | |```/\          /\`/\          /\```|
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|  o``\````````o``@``o````````/``o  | |``o  \        o``@``o        /  o``|
+
<td style="background:black; color:white">1</td>
−
|  |```\```````|`````|```````/```|  | |``|  \      |`````|      /  |``|
+
<td style="background:black; color:white">1</td>
−
|  |````@``````|`````|``````@````|  | |``|    @-------->`<--------@    |``|
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|  |```````````|`````|```````````|  | |``|          |`````|          |``|
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|  o```````````o` ^ `o```````````o  | |``o          o`````o          o``|
+
<td style="background:black; color:white">1</td>
−
|  \```````````\`|`/```````````/  | |```\          \```/          /```|
+
<td style="background:black; color:white">1</td>
−
|    \```` ^ ````\|/```` ^ ````/    | |````\    ^    \`/    ^    /````|
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|    \`````\`````|`````/`````/    | |`````\    \    o    /    /`````|
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|      \`````\```/|\```/`````/      | |``````\    \  /`\   /    /``````|
+
<td style="background:black; color:white">1</td>
−
|      o-----\-o | o-/-----o      | |```````o-----\-o```o-/-----o```````|
+
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
−
|              \  |  /              | |``````````````\`````/``````````````|
 
−
|              \ | /              | |```````````````\```/```````````````|
 
−
|                \|/                | |````````````````\`/````````````````|
 
−
|                @                | |`````````````````@`````````````````|
 
−
o-----------------------------------o o-----------------------------------o
 
−
\                                /  \                                /
 
−
  \                            /      \                            /
 
−
    \        ((u)(v))        /          \       ((u, v))        /
 
−
      \                    /              \                    /
 
−
        \                /                  \                /
 
−
o----------\-------------/-----------------------\-------------/----------o
 
−
| X          \        /                           \        /            |
 
−
|              \    /                               \    /              |
 
−
|                \ /                                   \ /                |
 
−
|                o----------------o  o----------------o                |
 
−
|                /                 \ /                  \                |
 
−
|              /                   o                    \              |
 
−
|              /                   / \                    \              |
 
−
|            /                   /  \                    \            |
 
−
|            /                   /    \                    \            |
 
−
|          /                   /      \                    \          |
 
−
|          /                   /        \                    \          |
 
−
|        o                    o          o                    o        |
 
−
|        |                    |          |                    |        |
 
−
|        |                    |          |                    |        |
 
−
|        |        f          |          |          g        |        |
 
−
|        |                    |          |                    |        |
 
−
|        |                    |          |                    |        |
 
−
|        o                    o          o                    o        |
 
−
|          \                    \        /                   /          |
 
−
|          \                    \      /                   /          |
 
−
|            \                    \    /                   /            |
 
−
|            \                    \  /                    /            |
 
−
|              \                    \ /                    /              |
 
−
|              \                    o                    /              |
 
−
|                \                  / \                  /                |
 
−
|                o----------------o  o----------------o                |
 
−
|                                                                        |
 
−
|                                                                        |
 
−
|                                                                        |
 
−
o-------------------------------------------------------------------------o
 
−
Figure 69.  Difference Map of F = <f, g> = <((u)(v)), ((u, v))>
 
−
</pre>
 
  
−
===Figure 70-a.  Tangent Functor Diagram for F‹u, v› = ‹((u)(v)), ((u, v))›===
+
<tr>
 +
<td><math>f_{14}</math></td>
 +
<td><math>1110</math></td>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>\texttt{((} u \texttt{)(} v \texttt{))}</math></td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
  
−
<pre>
+
<tr>
−
o-------------------------------------------------------------------------------o
+
<td><math>f_{15}</math></td>
−
|                                                                              |
+
<td><math>1111</math></td>
−
|  df  = uv.  0      +  u(v). du      +  (u)v.    dv  +  (u)(v).(du, dv)  |
+
<td style="border-right:2px solid black"><math>\texttt{((~))}</math></td>
−
|                                                                              |
+
<td style="background:black; color:white">1</td>
−
|  dg  = uv.(du, dv)  +  u(v).(du, dv)  +  (u)v.(du, dv)  +  (u)(v).(du, dv)  |
+
<td style="background:black; color:white">1</td>
−
|                                                                              |
+
<td style="background:black; color:white">1</td>
−
o-------------------------------------------------------------------------------o
+
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
  
−
                o                                  o
+
</table>
−
              / \                                / \
 
−
              /  \                              /  \
 
−
            /    \                            /  O  \
 
−
            /      \                          o  /@\  o
 
−
          /        \                        / \    / \
 
−
          /          \                      /  \  /  \
 
−
        /      O      \                    /  O  \ /  O  \
 
−
        o      /@\      o                  o  /@\  o  /@\  o
 
−
      / \            / \                / \  \ / \  \ / \
 
−
      /  \          /  \              /  \  /  \  /  \
 
−
    /    \        /    \            /  O  \ /  O  \ /  O  \
 
−
    /      \      /      \          o  /@  o  /@\  o  /@  o
 
−
  /        \    /        \        / \  \ / \    / \  \ / \
 
−
  /          \  /          \      /  \  /  \  /  \  /  \
 
−
/      O      \ /      O      \    /  O  \ /  O  \ /  O  \ /  O  \
 
−
o      /@      o      /@      o  o  /@  o  /@  o  /@  o  /@  o
 
−
|\            / \            /|  |\    / \ /  / \ /  / \    /|
 
−
| \          /  \          / |  | \  /  \  /  \  /  \  / |
 
−
|  \        /    \        /  |  |  \ /  O  \ /  O  \ /  O  \ /  |
 
−
|  \      /      \      /  |  |  o  /@  o  @\  o  /@  o  |
 
−
|    \    /        \    /    |  |  |\ / \ / \    / \ / \ /|  |
 
−
|    \  /          \  /    |  |  | \  /  \  /  \  / |  |
 
−
| u    \ /      O      \ /    v |  | u |  \ /  O  \ /  O  \ /  | v |
 
−
o-------o      @\      o-------o  o---+---o  @\  o  @\  o---+---o
 
−
        \            /                |    \ / \ / \ / \ /    |
 
−
          \          /                |    \  /  \  /    |
 
−
          \        /                  | du  \ /  O  \ /  dv |
 
−
            \      /                  o-------o  @\  o-------o
 
−
            \    /                            \    /
 
−
              \  /                              \  /
 
−
              \ /                                \ /
 
−
                o                                  o
 
−
                    U%          $T$          $E$U%
 
−
                        o------------------>o
 
−
                        |                  |
 
−
                        |                  |
 
−
                        |                  |
 
−
                        |                  |
 
−
                    F  |                  | $T$F
 
−
                        |                  |
 
−
                        |                  |
 
−
                        |                  |
 
−
                        v                  v
 
−
                        o------------------>o
 
−
                    X%          $T$          $E$X%
 
−
                o                                  o
 
−
              / \                                / \
 
−
              /  \                              /  \
 
−
            /    \                            /  O  \
 
−
            /      \                          o  /@\  o
 
−
          /        \                        / \    / \
 
−
          /          \                      /  \  /  \
 
−
        /      O      \                    /  O  \ /  O  \
 
−
        o      /@\      o                  o  /@\  o  /@\  o
 
−
      / \            / \                / \  \ / \ /  / \
 
−
      /  \          /  \              /  \  /  \  /  \
 
−
    /    \        /    \            /  O  \ /  O  \ /  O  \
 
−
    /      \      /      \          o  /@  o  /@\  o  @\  o
 
−
  /        \    /        \        / \  \ / \ / \ / \ /  / \
 
−
  /          \  /          \      /  \  /  \  /  \  /  \
 
−
/      O      \ /      O      \    /  O  \ /  O  \ /  O  \ /  O  \
 
−
o      /@      o      @\      o  o  /@  o  /@  o  @\  o  @\  o
 
−
|\            / \            /|  |\    / \ / \ / \ / \ / \    /|
 
−
| \          /  \          / |  | \  /  \  /  \  /  \  / |
 
−
|  \        /    \        /  |  |  \ /  O  \ /  O  \ /  O  \ /  |
 
−
|  \      /      \      /  |  |  o  /@  o  @  o  @\  o  |
 
−
|    \    /        \    /    |  |  |\ /  / \ / \ / \  \ /|  |
 
−
|    \  /          \  /    |  |  | \  /  \  /  \  / |  |
 
−
| x    \ /      O      \ /    y |  | x |  \ /  O  \ /  O  \ /  | y |
 
−
o-------o      @      o-------o  o---+---o  @  o  @  o---+---o
 
−
        \            /                |    \ /  / \  \ /    |
 
−
          \          /                |    \  /  \  /    |
 
−
          \        /                  | dx  \ /  O  \ /  dy |
 
−
            \      /                  o-------o  @  o-------o
 
−
            \    /                            \    /
 
−
              \  /                              \  /
 
−
              \ /                                \ /
 
−
                o                                  o
 
  
−
Figure 70-a.  Tangent Functor Diagram for F‹u, v› = <((u)(v)), ((u, v))>
+
<br>
−
</pre>
 
  
−
==Inquiry Driven Systems==
+
<table align="center" cellpadding="1" cellspacing="0" style="text-align:center; width:90%">
  
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:60%"
+
<caption><font size="+2"><math>\text{Table 5.} ~~ \text{Qualifiers of the Implication Ordering:} ~ \beta_i f = \Upsilon (f, f_i) = \Upsilon (f \Rightarrow f_i)</math></font></caption>
−
|+ Table 1. Sign Relation of Interpreter ''A''
 
−
|- style="background:paleturquoise"
 
−
! style="width:20%" | Object
 
−
! style="width:20%" | Sign
 
−
! style="width:20%" | Interpretant
 
−
|-
 
−
| ''A'' || "A" || "A"
 
−
|-
 
−
| ''A'' || "A" || "i"
 
−
|-
 
−
| ''A'' || "i" || "A"
 
−
|-
 
−
| ''A'' || "i" || "i"
 
−
|-
 
−
| ''B'' || "B" || "B"
 
−
|-
 
−
| ''B'' || "B" || "u"
 
−
|-
 
−
| ''B'' || "u" || "B"
 
−
|-
 
−
| ''B'' || "u" || "u"
 
−
|}
 
−
<br>
 
  
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:60%"
+
<tr>
−
|+ Table 2.  Sign Relation of Interpreter ''B''
+
<td style="border-bottom:2px solid black" align="right">
−
|- style="background:paleturquoise"
+
<math>\begin{matrix}u\!:\\v\!:\end{matrix}</math></td>
−
! style="width:20%" | Object
+
<td style="border-bottom:2px solid black">
−
! style="width:20%" | Sign
+
<math>\begin{matrix}1100\\1010\end{matrix}</math></td>
−
! style="width:20%" | Interpretant
+
 
−
|-
+
<td style="border-bottom:2px solid black; border-right:2px solid black"><math>f</math></td>
−
| ''A'' || "A" || "A"
+
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\beta_{0}</math></td>
−
|-
+
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\beta_{1}</math></td>
−
| ''A'' || "A" || "u"
+
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\beta_{2}</math></td>
−
|-
+
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\beta_{3}</math></td>
−
| ''A'' || "u" || "A"
+
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\beta_{4}</math></td>
−
|-
+
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\beta_{5}</math></td>
−
| ''A'' || "u" || "u"
+
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\beta_{6}</math></td>
−
|-
+
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\beta_{7}</math></td>
−
| ''B'' || "B" || "B"
+
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\beta_{8}</math></td>
−
|-
+
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\beta_{9}</math></td>
−
| ''B'' || "B" || "i"
+
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\beta_{10}</math></td>
−
|-
+
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\beta_{11}</math></td>
−
| ''B'' || "i" || "B"
+
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\beta_{12}</math></td>
−
|-
+
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\beta_{13}</math></td>
−
| ''B'' || "i" || "i"
+
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\beta_{14}</math></td>
−
|}
+
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\beta_{15}</math></td></tr>
−
<br>
 
  
−
<pre>
+
<tr>
−
Table 3.  Semiotic Partition of Interpreter A
+
<td><math>f_{0}</math></td>
−
"A"
+
<td><math>0000</math></td>
−
"i"
+
<td style="border-right:2px solid black"><math>\texttt{(~)}</math></td>
−
"u"
+
<td style="background:black; color:white">1</td>
−
"B"
+
<td style="background:black; color:white">1</td>
−
</pre>
+
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
  
−
<pre>
+
<tr>
−
Table 4.  Semiotic Partition of Interpreter B
+
<td><math>f_{1}</math></td>
−
"A"
+
<td><math>0001</math></td>
−
"i"
+
<td style="border-right:2px solid black"><math>\texttt{(} u \texttt{)(} v \texttt{)}</math></td>
−
"u"
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
"B"
+
<td style="background:black; color:white">1</td>
−
</pre>
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
  
−
==Logical Tables==
+
<tr>
 +
<td><math>f_{2}</math></td>
 +
<td><math>0010</math></td>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>\texttt{(} u\texttt{)} ~ v</math></td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
  
−
===Higher Order Propositions===
+
<tr>
 +
<td><math>f_{3}</math></td>
 +
<td><math>0011</math></td>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>\texttt{(} u \texttt{)}</math></td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
  
−
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
+
<tr>
−
|+ '''Table 7.  Higher Order Propositions (n = 1)'''
+
<td><math>f_{4}</math></td>
−
|- style="background:paleturquoise"
+
<td><math>0100</math></td>
−
| \ ''x'' || 1 0 || ''F''
+
<td style="border-right:2px solid black"><math>u ~ \texttt{(} v \texttt{)}</math></td>
−
|''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|- style="background:paleturquoise"
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
| ''F'' \ || &nbsp; || &nbsp;
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|00||01||02||03||04||05||06||07||08||09||10||11||12||13||14||15
+
<td style="background:black; color:white">1</td>
−
|-
+
<td style="background:black; color:white">1</td>
−
| ''F<sub>0</sub> || 0 0 ||  0  ||0||1||0||1||0||1||0||1||0||1||0||1||0||1||0||1
+
<td style="background:black; color:white">1</td>
−
|-
+
<td style="background:black; color:white">1</td>
−
| ''F<sub>1</sub> || 0 1 || (x) ||0||0||1||1||0||0||1||1||0||0||1||1||0||0||1||1
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|-
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
| ''F<sub>2</sub> || 1 0 ||  x  ||0||0||0||0||1||1||1||1||0||0||0||0||1||1||1||1
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|-
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
| ''F<sub>3</sub> || 1 1 ||  1  ||0||0||0||0||0||0||0||0||1||1||1||1||1||1||1||1
+
<td style="background:black; color:white">1</td>
−
|}
+
<td style="background:black; color:white">1</td>
−
<br>
+
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
  
−
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
+
<tr>
−
|+ '''Table 8.  Interpretive Categories for Higher Order Propositions (n = 1)'''
+
<td><math>f_{5}</math></td>
−
|- style="background:paleturquoise"
+
<td><math>0101</math></td>
−
|Measure||Happening||Exactness||Existence||Linearity||Uniformity||Information
+
<td style="border-right:2px solid black"><math>\texttt{(} v \texttt{)}</math></td>
−
|-
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|''m''<sub>0</sub>||nothing happens||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|-
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|''m''<sub>1</sub>||&nbsp;||just false||nothing exists||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|-
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|''m''<sub>2</sub>||&nbsp;||just not x||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
+
<td style="background:black; color:white">1</td>
−
|-
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|''m''<sub>3</sub>||&nbsp;||&nbsp;||nothing is x||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
+
<td style="background:black; color:white">1</td>
−
|-
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|''m''<sub>4</sub>||&nbsp;||just x||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|-
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|''m''<sub>5</sub>||&nbsp;||&nbsp;||everything is x||F is linear||&nbsp;||&nbsp;
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|-
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|''m''<sub>6</sub>||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||F is not uniform||F is informed
+
<td style="background:black; color:white">1</td>
−
|-
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|''m''<sub>7</sub>||&nbsp;||not just true||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
+
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
−
|-
+
 
−
|''m''<sub>8</sub>||&nbsp;||just true||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
+
<tr>
−
|-
+
<td><math>f_{6}</math></td>
−
|''m''<sub>9</sub>||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||F is uniform||F is not informed
+
<td><math>0110</math></td>
−
|-
+
<td style="border-right:2px solid black"><math>\texttt{(} u \texttt{,} v \texttt{)}</math></td>
−
|''m''<sub>10</sub>||&nbsp;||&nbsp;||something is not x||F is not linear||&nbsp;||&nbsp;
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|-
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|''m''<sub>11</sub>||&nbsp;||not just x||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|-
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|''m''<sub>12</sub>||&nbsp;||&nbsp;||something is x||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|-
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|''m''<sub>13</sub>||&nbsp;||not just not x||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
+
<td style="background:black; color:white">1</td>
−
|-
+
<td style="background:black; color:white">1</td>
−
|''m''<sub>14</sub>||&nbsp;||not just false||something exists||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|-
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|''m''<sub>15</sub>||anything happens||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
|}
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
−
<br>
+
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{7}</math></td>
 +
<td><math>0111</math></td>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>\texttt{(} u ~ v \texttt{)}</math></td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{8}</math></td>
 +
<td><math>1000</math></td>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>u ~ v</math></td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{9}</math></td>
 +
<td><math>1001</math></td>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>\texttt{((} u \texttt{,} v \texttt{))}</math></td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{10}</math></td>
 +
<td><math>1010</math></td>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>v</math></td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{11}</math></td>
 +
<td><math>1011</math></td>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>\texttt{(} u ~ \texttt{(} v \texttt{))}</math></td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{12}</math></td>
 +
<td><math>1100</math></td>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>u</math></td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{13}</math></td>
 +
<td><math>1101</math></td>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>\texttt{((} u \texttt{)} ~ v \texttt{)}</math></td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{14}</math></td>
 +
<td><math>1110</math></td>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>\texttt{((} u \texttt{)(} v \texttt{))}</math></td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{15}</math></td>
 +
<td><math>1111</math></td>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>\texttt{((~))}</math></td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 
 +
</table>
 +
 
 +
<br>
 +
 
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="text-align:center; width:90%"
 +
|+ <math>\text{Table 7.} ~~ \text{Syllogistic Premisses as Higher Order Indicator Functions}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{array}{clcl}
 +
\mathrm{A}
 +
& \mathrm{Universal~Affirmative}
 +
& \mathrm{All} ~ u ~ \mathrm{is} ~ v
 +
& \mathrm{Indicator~of} ~ u \texttt{(} v \texttt{)} = 0
 +
\\
 +
\mathrm{E}
 +
& \mathrm{Universal~Negative}
 +
& \mathrm{All} ~ u ~ \mathrm{is} ~ \texttt{(} v \texttt{)}
 +
& \mathrm{Indicator~of} ~ u \cdot v = 0
 +
\\
 +
\mathrm{I}
 +
& \mathrm{Particular~Affirmative}
 +
& \mathrm{Some} ~ u ~ \mathrm{is} ~ v
 +
& \mathrm{Indicator~of} ~ u \cdot v = 1
 +
\\
 +
\mathrm{O}
 +
& \mathrm{Particular~Negative}
 +
& \mathrm{Some} ~ u ~ \mathrm{is} ~ \texttt{(} v \texttt{)}
 +
& \mathrm{Indicator~of} ~ u \texttt{(} v \texttt{)} = 1
 +
\end{array}</math>
 +
|}
 +
 
 +
<br>
 +
 
 +
<table align="center" cellpadding="4" cellspacing="0" style="border-left:1px solid black; border-top:1px solid black; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black; text-align:center; width:90%">
 +
 
 +
<caption><font size="+2"><math>\text{Table 8.} ~~ \text{Simple Qualifiers of Propositions (Version 1)}</math></font></caption>
 +
 
 +
<tr>
 +
<td width="4%" style="border-bottom:1px solid black" align="right">
 +
<math>\begin{matrix}u\!:\\v\!:\end{matrix}</math></td>
 +
<td width="6%" style="border-bottom:1px solid black">
 +
<math>\begin{matrix}1100\\1010\end{matrix}</math></td>
 +
<td width="10%" style="border-bottom:1px solid black; border-right:1px solid black">
 +
<math>f</math></td>
 +
<td width="10%" style="border-bottom:1px solid black">
 +
<math>\begin{smallmatrix}
 +
\texttt{(} \ell_{11} \texttt{)}
 +
\\
 +
\mathrm{No} ~ u
 +
\\
 +
\mathrm{is} ~ v
 +
\end{smallmatrix}</math></td>
 +
<td width="10%" style="border-bottom:1px solid black">
 +
<math>\begin{smallmatrix}
 +
\texttt{(} \ell_{10} \texttt{)}
 +
\\
 +
\mathrm{No} ~ u
 +
\\
 +
\mathrm{is} ~ \texttt{(} v \texttt{)}
 +
\end{smallmatrix}</math></td>
 +
<td width="10%" style="border-bottom:1px solid black">
 +
<math>\begin{smallmatrix}
 +
\texttt{(} \ell_{01} \texttt{)}
 +
\\
 +
\mathrm{No} ~ \texttt{(} u \texttt{)}
 +
\\
 +
\mathrm{is} ~ v
 +
\end{smallmatrix}</math></td>
 +
<td width="10%" style="border-bottom:1px solid black">
 +
<math>\begin{smallmatrix}
 +
\texttt{(} \ell_{00} \texttt{)}
 +
\\
 +
\mathrm{No} ~ \texttt{(} u \texttt{)}
 +
\\
 +
\mathrm{is} ~ \texttt{(} v \texttt{)}
 +
\end{smallmatrix}</math></td>
 +
<td width="10%" style="border-bottom:1px solid black">
 +
<math>\begin{smallmatrix}
 +
\ell_{00}
 +
\\
 +
\mathrm{Some} ~ \texttt{(} u \texttt{)}
 +
\\
 +
\mathrm{is} ~ \texttt{(} v \texttt{)}
 +
\end{smallmatrix}</math></td>
 +
<td width="10%" style="border-bottom:1px solid black">
 +
<math>\begin{smallmatrix}
 +
\ell_{01}
 +
\\
 +
\mathrm{Some} ~ \texttt{(} u \texttt{)}
 +
\\
 +
\mathrm{is} ~ v
 +
\end{smallmatrix}</math></td>
 +
<td width="10%" style="border-bottom:1px solid black">
 +
<math>\begin{smallmatrix}
 +
\ell_{10}
 +
\\
 +
\mathrm{Some} ~ u
 +
\\
 +
\mathrm{is} ~ \texttt{(} v \texttt{)}
 +
\end{smallmatrix}</math></td>
 +
<td width="10%" style="border-bottom:1px solid black">
 +
<math>\begin{smallmatrix}
 +
\ell_{11}
 +
\\
 +
\mathrm{Some} ~ u
 +
\\
 +
\mathrm{is} ~ v
 +
\end{smallmatrix}</math></td></tr>
 +
 
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{0}</math></td>
 +
<td><math>0000</math></td>
 +
<td style="border-right:1px solid black"><math>\texttt{(~)}</math></td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td></tr>
 +
 
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{1}</math></td>
 +
<td><math>0001</math></td>
 +
<td style="border-right:1px solid black"><math>\texttt{(} u \texttt{)(} v \texttt{)}</math></td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td></tr>
 +
 
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{2}</math></td>
 +
<td><math>0010</math></td>
 +
<td style="border-right:1px solid black"><math>\texttt{(} u\texttt{)} ~ v</math></td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td></tr>
 +
 
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{3}</math></td>
 +
<td><math>0011</math></td>
 +
<td style="border-right:1px solid black"><math>\texttt{(} u \texttt{)}</math></td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td></tr>
 +
 
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{4}</math></td>
 +
<td><math>0100</math></td>
 +
<td style="border-right:1px solid black"><math>u ~ \texttt{(} v \texttt{)}</math></td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td></tr>
 +
 
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{5}</math></td>
 +
<td><math>0101</math></td>
 +
<td style="border-right:1px solid black"><math>\texttt{(} v \texttt{)}</math></td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td></tr>
 +
 
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{6}</math></td>
 +
<td><math>0110</math></td>
 +
<td style="border-right:1px solid black"><math>\texttt{(} u \texttt{,} v \texttt{)}</math></td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td></tr>
 +
 
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{7}</math></td>
 +
<td><math>0111</math></td>
 +
<td style="border-right:1px solid black"><math>\texttt{(} u ~ v \texttt{)}</math></td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td></tr>
 +
 
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{8}</math></td>
 +
<td><math>1000</math></td>
 +
<td style="border-right:1px solid black"><math>u ~ v</math></td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{9}</math></td>
 +
<td><math>1001</math></td>
 +
<td style="border-right:1px solid black"><math>\texttt{((} u \texttt{,} v \texttt{))}</math></td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{10}</math></td>
 +
<td><math>1010</math></td>
 +
<td style="border-right:1px solid black"><math>v</math></td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{11}</math></td>
 +
<td><math>1011</math></td>
 +
<td style="border-right:1px solid black"><math>\texttt{(} u ~ \texttt{(} v \texttt{))}</math></td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{12}</math></td>
 +
<td><math>1100</math></td>
 +
<td style="border-right:1px solid black"><math>u</math></td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{13}</math></td>
 +
<td><math>1101</math></td>
 +
<td style="border-right:1px solid black"><math>\texttt{((} u \texttt{)} ~ v \texttt{)}</math></td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{14}</math></td>
 +
<td><math>1110</math></td>
 +
<td style="border-right:1px solid black"><math>\texttt{((} u \texttt{)(} v \texttt{))}</math></td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{15}</math></td>
 +
<td><math>1111</math></td>
 +
<td style="border-right:1px solid black"><math>\texttt{((~))}</math></td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 
 +
</table>
  
−
{| align="center" border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
 
−
|+ '''Table 9.  Higher Order Propositions (n = 2)'''
 
−
|- style="background:paleturquoise"
 
−
| align=right | ''x'' : || 1100 || ''f''
 
−
|''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''
 
−
|''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''
 
−
|''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''
 
−
|- style="background:paleturquoise"
 
−
| align=right | ''y'' : || 1010 || &nbsp;
 
−
|0||1||2||3||4||5||6||7||8||9||10||11||12
 
−
|13||14||15||16||17||18||19||20||21||22||23
 
−
|-
 
−
| ''f<sub>0</sub> || 0000 || ( )
 
−
| 0    || 1    || 0    || 1    || 0    || 1    || 0    || 1
 
−
| 0    || 1    || 0    || 1    || 0    || 1    || 0    || 1
 
−
| 0    || 1    || 0    || 1    || 0    || 1    || 0    || 1
 
−
|-
 
−
| ''f<sub>1</sub> || 0001 || (x)(y)
 
−
|&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    || 0    || 0    || 1    || 1
 
−
| 0    || 0    || 1    || 1    || 0    || 0    || 1    || 1
 
−
| 0    || 0    || 1    || 1    || 0    || 0    || 1    || 1
 
−
|-
 
−
| ''f<sub>2</sub> || 0010 || (x) y
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    || 1    || 1
 
−
| 0    || 0    || 0    || 0    || 1    || 1    || 1    || 1
 
−
| 0    || 0    || 0    || 0    || 1    || 1    || 1    || 1
 
−
|-
 
−
| ''f<sub>3</sub> || 0011 || (x)
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
| 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1
 
−
| 0    || 0    || 0    || 0    || 0    || 0    || 0    || 0
 
−
|-
 
−
| ''f<sub>4</sub> || 0100 || x (y)
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
| 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1
 
−
|-
 
−
| ''f<sub>5</sub> || 0101 || (y)
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|-
 
−
| ''f<sub>6</sub> || 0110 || (x, y)
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|-
 
−
| ''f<sub>7</sub> || 0111 || (x  y)
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|-
 
−
| ''f<sub>8</sub> || 1000 || x  y
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|-
 
−
| ''f<sub>9</sub> || 1001 || ((x, y))
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|-
 
−
| ''f<sub>10</sub> || 1010 || y
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|-
 
−
| ''f<sub>11</sub> || 1011 || (x (y))
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|-
 
−
| ''f<sub>12</sub> || 1100 || x
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|-
 
−
| ''f<sub>13</sub> || 1101 || ((x) y)
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|-
 
−
| ''f<sub>14</sub> || 1110 || ((x)(y))
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|-
 
−
| ''f<sub>15</sub> || 1111 || (( ))
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|}
 
 
<br>
 
<br>
  
−
{| align="center" border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
+
<table align="center" cellpadding="4" cellspacing="0" style="border-left:1px solid black; border-top:1px solid black; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black; text-align:center; width:90%">
−
|+ '''Table 10. Qualifiers of Implication Ordering:  &alpha;<sub>''i''&nbsp;</sub>''f'' = &Upsilon;(''f''<sub>''i''</sub> &rArr; ''f'')'''
+
 
−
|- style="background:paleturquoise"
+
<caption><font size="+2"><math>\text{Table 9.} ~~ \text{Simple Qualifiers of Propositions (Version 2)}</math></font></caption>
−
| align=right | ''x'' : || 1100 || ''f''
+
 
−
|&alpha;||&alpha;||&alpha;||&alpha;||&alpha;||&alpha;||&alpha;||&alpha;
+
<tr>
−
|&alpha;||&alpha;||&alpha;||&alpha;||&alpha;||&alpha;||&alpha;||&alpha;
+
<td width="4%" style="border-bottom:1px solid black" align="right">
−
|- style="background:paleturquoise"
+
<math>\begin{matrix}u\!:\\v\!:\end{matrix}</math></td>
−
| align=right | ''y'' : || 1010 || &nbsp;
+
<td width="6%" style="border-bottom:1px solid black">
−
|15||14||13||12||11||10||9||8||7||6||5||4||3||2||1||0
+
<math>\begin{matrix}1100\\1010\end{matrix}</math></td>
−
|-
+
<td width="10%" style="border-bottom:1px solid black; border-right:1px solid black">
−
| ''f<sub>0</sub> || 0000 || ( )
+
<math>f</math></td>
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
+
<td width="10%" style="border-bottom:1px solid black">
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
+
<math>\begin{smallmatrix}
−
|-
+
\texttt{(} \ell_{11} \texttt{)}
−
| ''f<sub>1</sub> || 0001 || (x)(y)
+
\\
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
+
\mathrm{No} ~ u
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
+
\\
−
|-
+
\mathrm{is} ~ v
−
| ''f<sub>2</sub> || 0010 || (x) y
+
\end{smallmatrix}</math></td>
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
+
<td width="10%" style="border-bottom:1px solid black">
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
+
<math>\begin{smallmatrix}
−
|-
+
\texttt{(} \ell_{10} \texttt{)}
−
| ''f<sub>3</sub> || 0011 || (x)  
+
\\
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
+
\mathrm{No} ~ u
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    || 1    || 1
+
\\
−
|-
+
\mathrm{is} ~ \texttt{(} v \texttt{)}
−
| ''f<sub>4</sub> || 0100 || x (y)
+
\end{smallmatrix}</math></td>
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
+
<td width="10%" style="border-bottom:1px solid black">
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
+
<math>\begin{smallmatrix}
 +
\texttt{(} \ell_{01} \texttt{)}
 +
\\
 +
\mathrm{No} ~ \texttt{(} u \texttt{)}
 +
\\
 +
\mathrm{is} ~ v
 +
\end{smallmatrix}</math></td>
 +
<td width="10%" style="border-bottom:1px solid black">
 +
<math>\begin{smallmatrix}
 +
\texttt{(} \ell_{00} \texttt{)}
 +
\\
 +
\mathrm{No} ~ \texttt{(} u \texttt{)}
 +
\\
 +
\mathrm{is} ~ \texttt{(} v \texttt{)}
 +
\end{smallmatrix}</math></td>
 +
<td width="10%" style="border-bottom:1px solid black">
 +
<math>\begin{smallmatrix}
 +
\ell_{00}
 +
\\
 +
\mathrm{Some} ~ \texttt{(} u \texttt{)}
 +
\\
 +
\mathrm{is} ~ \texttt{(} v \texttt{)}
 +
\end{smallmatrix}</math></td>
 +
<td width="10%" style="border-bottom:1px solid black">
 +
<math>\begin{smallmatrix}
 +
\ell_{01}
 +
\\
 +
\mathrm{Some} ~ \texttt{(} u \texttt{)}
 +
\\
 +
\mathrm{is} ~ v
 +
\end{smallmatrix}</math></td>
 +
<td width="10%" style="border-bottom:1px solid black">
 +
<math>\begin{smallmatrix}
 +
\ell_{10}
 +
\\
 +
\mathrm{Some} ~ u
 +
\\
 +
\mathrm{is} ~ \texttt{(} v \texttt{)}
 +
\end{smallmatrix}</math></td>
 +
<td width="10%" style="border-bottom:1px solid black">
 +
<math>\begin{smallmatrix}
 +
\ell_{11}
 +
\\
 +
\mathrm{Some} ~ u
 +
\\
 +
\mathrm{is} ~ v
 +
\end{smallmatrix}</math></td></tr>
 +
 
 +
<tr>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black"><math>f_{0}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black"><math>0000</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; border-right:1px solid black"><math>\texttt{(~)}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:white; color:black">0</td></tr>
 +
 
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{1}</math></td>
 +
<td><math>0001</math></td>
 +
<td style="border-right:1px solid black"><math>\texttt{(} u \texttt{)(} v \texttt{)}</math></td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td></tr>
 +
 
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{2}</math></td>
 +
<td><math>0010</math></td>
 +
<td style="border-right:1px solid black"><math>\texttt{(} u\texttt{)} ~ v</math></td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td></tr>
 +
 
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{4}</math></td>
 +
<td><math>0100</math></td>
 +
<td style="border-right:1px solid black"><math>u ~ \texttt{(} v \texttt{)}</math></td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td></tr>
 +
 
 +
<tr>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black"><math>f_{8}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black"><math>1000</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; border-right:1px solid black"><math>u ~ v</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{3}</math></td>
 +
<td><math>0011</math></td>
 +
<td style="border-right:1px solid black"><math>\texttt{(} u \texttt{)}</math></td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td></tr>
 +
 
 +
<tr>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black"><math>f_{12}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black"><math>1100</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; border-right:1px solid black"><math>u</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{6}</math></td>
 +
<td><math>0110</math></td>
 +
<td style="border-right:1px solid black"><math>\texttt{(} u \texttt{,} v \texttt{)}</math></td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td></tr>
 +
 
 +
<tr>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black"><math>f_{9}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black"><math>1001</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; border-right:1px solid black"><math>\texttt{((} u \texttt{,} v \texttt{))}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{5}</math></td>
 +
<td><math>0101</math></td>
 +
<td style="border-right:1px solid black"><math>\texttt{(} v \texttt{)}</math></td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td></tr>
 +
 
 +
<tr>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black"><math>f_{10}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black"><math>1010</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; border-right:1px solid black"><math>v</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{7}</math></td>
 +
<td><math>0111</math></td>
 +
<td style="border-right:1px solid black"><math>\texttt{(} u ~ v \texttt{)}</math></td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td></tr>
 +
 
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{11}</math></td>
 +
<td><math>1011</math></td>
 +
<td style="border-right:1px solid black"><math>\texttt{(} u ~ \texttt{(} v \texttt{))}</math></td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{13}</math></td>
 +
<td><math>1101</math></td>
 +
<td style="border-right:1px solid black"><math>\texttt{((} u \texttt{)} ~ v \texttt{)}</math></td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 
 +
<tr>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black"><math>f_{14}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black"><math>1110</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; border-right:1px solid black"><math>\texttt{((} u \texttt{)(} v \texttt{))}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{15}</math></td>
 +
<td><math>1111</math></td>
 +
<td style="border-right:1px solid black"><math>\texttt{((~))}</math></td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 
 +
</table>
 +
 
 +
<br>
 +
 
 +
<table align="center" cellpadding="4" cellspacing="0" style="border-left:1px solid black; border-top:1px solid black; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black; text-align:center; width:90%">
 +
 
 +
<caption><font size="+2"><math>\text{Table 10.} ~~ \text{Relation of Quantifiers to Higher Order Propositions}</math></font></caption>
 +
 
 +
<tr>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black"><math>\mathrm{Mnemonic}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black"><math>\mathrm{Category}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black"><math>\mathrm{Classical~Form}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black"><math>\mathrm{Alternate~Form}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black"><math>\mathrm{Symmetric~Form}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black"><math>\mathrm{Operator}</math></td></tr>
 +
 
 +
<tr>
 +
<td><math>\begin{matrix}
 +
\mathrm{E}
 +
\\
 +
\mathrm{Exclusive}
 +
\end{matrix}</math></td>
 +
<td><math>\begin{matrix}
 +
\mathrm{Universal}
 +
\\
 +
\mathrm{Negative}
 +
\end{matrix}</math></td>
 +
<td><math>\mathrm{All} ~ u ~ \mathrm{is} ~ \texttt{(} v \texttt{)}</math></td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td><math>\mathrm{No} ~ u ~ \mathrm{is} ~ v</math></td>
 +
<td><math>\texttt{(} \ell_{11} \texttt{)}</math></td></tr>
 +
 
 +
<tr>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black">
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\mathrm{A}
 +
\\
 +
\mathrm{Absolute}
 +
\end{matrix}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black">
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\mathrm{Universal}
 +
\\
 +
\mathrm{Affirmative}
 +
\end{matrix}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black"><math>\mathrm{All} ~ u ~ \mathrm{is} ~ v</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black">&nbsp;</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black"><math>\mathrm{No} ~ u ~ \mathrm{is} ~ \texttt{(} v \texttt{)}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black"><math>\texttt{(} \ell_{10} \texttt{)}</math></td></tr>
 +
 
 +
<tr>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td><math>\mathrm{All} ~ v ~ \mathrm{is} ~ u</math></td>
 +
<td><math>\mathrm{No} ~ v ~ \mathrm{is} ~ \texttt{(} u \texttt{)}</math></td>
 +
<td><math>\mathrm{No} ~ \texttt{(} u \texttt{)} ~ \mathrm{is} ~ v</math></td>
 +
<td><math>\texttt{(} \ell_{01} \texttt{)}</math></td></tr>
 +
 
 +
<tr>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black">&nbsp;</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black">&nbsp;</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black"><math>\mathrm{All} ~ \texttt{(} v \texttt{)} ~ \mathrm{is} ~ u</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black"><math>\mathrm{No} ~ \texttt{(} v \texttt{)} ~ \mathrm{is} ~ \texttt{(} u \texttt{)}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black"><math>\mathrm{No} ~ \texttt{(} u \texttt{)} ~ \mathrm{is} ~ \texttt{(} v \texttt{)}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black"><math>\texttt{(} \ell_{00} \texttt{)}</math></td></tr>
 +
 
 +
<tr>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td><math>\mathrm{Some} ~ \texttt{(} u \texttt{)} ~ \mathrm{is} ~ \texttt{(} v \texttt{)}</math></td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td><math>\mathrm{Some} ~ \texttt{(} u \texttt{)} ~ \mathrm{is} ~ \texttt{(} v \texttt{)}</math></td>
 +
<td><math>\ell_{00}</math></td></tr>
 +
 
 +
<tr>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black">&nbsp;</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black">&nbsp;</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black"><math>\mathrm{Some} ~ \texttt{(} u \texttt{)} ~ \mathrm{is} ~ v</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black">&nbsp;</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black"><math>\mathrm{Some} ~ \texttt{(} u \texttt{)} ~ \mathrm{is} ~ v</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black"><math>\ell_{01}</math></td></tr>
 +
 
 +
<tr>
 +
<td><math>\begin{matrix}
 +
\mathrm{O}
 +
\\
 +
\mathrm{Obtrusive}
 +
\end{matrix}</math></td>
 +
<td><math>\begin{matrix}
 +
\mathrm{Particular}
 +
\\
 +
\mathrm{Negative}
 +
\end{matrix}</math></td>
 +
<td><math>\mathrm{Some} ~ u ~ \mathrm{is} ~ \texttt{(} v \texttt{)}</math></td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td><math>\mathrm{Some} ~ u ~ \mathrm{is} ~ \texttt{(} v \texttt{)}</math></td>
 +
<td><math>\ell_{10}</math></td></tr>
 +
 
 +
<tr>
 +
<td><math>\begin{matrix}
 +
\mathrm{I}
 +
\\
 +
\mathrm{Indefinite}
 +
\end{matrix}</math></td>
 +
<td><math>\begin{matrix}
 +
\mathrm{Particular}
 +
\\
 +
\mathrm{Affirmative}
 +
\end{matrix}</math></td>
 +
<td><math>\mathrm{Some} ~ u ~ \mathrm{is} ~ v</math></td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td><math>\mathrm{Some} ~ u ~ \mathrm{is} ~ v</math></td>
 +
<td><math>\ell_{11}</math></td></tr>
 +
 
 +
</table>
 +
 
 +
<br>
 +
 
 +
==Inquiry Driven Systems==
 +
 
 +
===Table 1.  Sign Relation of Interpreter ''A''===
 +
 
 +
<pre>
 +
Table 1.  Sign Relation of Interpreter A
 +
o---------------o---------------o---------------o
 +
| Object        | Sign          | Interpretant  |
 +
o---------------o---------------o---------------o
 +
| A            | "A"          | "A"          |
 +
| A            | "A"          | "i"          |
 +
| A            | "i"          | "A"          |
 +
| A            | "i"          | "i"          |
 +
| B            | "B"          | "B"          |
 +
| B            | "B"          | "u"          |
 +
| B            | "u"          | "B"          |
 +
| B            | "u"          | "u"          |
 +
o---------------o---------------o---------------o
 +
</pre>
 +
 
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:60%"
 +
|+ Table 1.  Sign Relation of Interpreter ''A''
 +
|- style="background:paleturquoise"
 +
! style="width:20%" | Object
 +
! style="width:20%" | Sign
 +
! style="width:20%" | Interpretant
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>5</sub> || 0101 || (y)
+
| ''A'' || "A" || "A"
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    ||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>6</sub> || 0110 || (x, y)
+
| ''A'' || "A" || "i"
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>7</sub> || 0111 || (x  y)
+
| ''A'' || "i" || "A"
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
| 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>8</sub> || 1000 || x  y
+
| ''A'' || "i" || "i"
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>9</sub> || 1001 || ((x, y))
+
| ''B'' || "B" || "B"
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>10</sub> || 1010 || y
+
| ''B'' || "B" || "u"
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>11</sub> || 1011 || (x (y))
+
| ''B'' || "u" || "B"
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    || 1    || 1
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    || 1    || 1
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>12</sub> || 1100 || x
+
| ''B'' || "u" || "u"
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
 
−
|-
 
−
| ''f<sub>13</sub> || 1101 || ((x) y)
 
−
|&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    ||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
 
−
|&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    ||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
 
−
|-
 
−
| ''f<sub>14</sub> || 1110 || ((x)(y))
 
−
|&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
 
−
|&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
 
−
|-
 
−
| ''f<sub>15</sub> || 1111 || (( ))
 
−
| 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1
 
−
| 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1
 
 
|}
 
|}
 
<br>
 
<br>
  
−
{| align="center" border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
+
===Table 2.  Sign Relation of Interpreter ''B''===
−
|+ '''Table 11.  Qualifiers of Implication Ordering:  &beta;<sub>''i''&nbsp;</sub>''f'' = &Upsilon;(''f'' &rArr; ''f''<sub>''i''</sub>)'''
+
 
 +
<pre>
 +
Table 2.  Sign Relation of Interpreter B
 +
o---------------o---------------o---------------o
 +
| Object        | Sign          | Interpretant  |
 +
o---------------o---------------o---------------o
 +
| A            | "A"          | "A"          |
 +
| A            | "A"          | "u"          |
 +
| A            | "u"          | "A"          |
 +
| A            | "u"          | "u"          |
 +
| B            | "B"          | "B"          |
 +
| B            | "B"          | "i"          |
 +
| B            | "i"          | "B"          |
 +
| B            | "i"          | "i"          |
 +
o---------------o---------------o---------------o
 +
</pre>
 +
 
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:60%"
 +
|+ Table 2.  Sign Relation of Interpreter ''B''
 
|- style="background:paleturquoise"
 
|- style="background:paleturquoise"
−
| align=right | ''x'' : || 1100 || ''f''
+
! style="width:20%" | Object
−
|&beta;||&beta;||&beta;||&beta;||&beta;||&beta;||&beta;||&beta;
+
! style="width:20%" | Sign
−
|&beta;||&beta;||&beta;||&beta;||&beta;||&beta;||&beta;||&beta;
+
! style="width:20%" | Interpretant
−
|- style="background:paleturquoise"
 
−
| align=right | ''y'' : || 1010 || &nbsp;
 
−
|0||1||2||3||4||5||6||7||8||9||10||11||12||13||14||15
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>0</sub> || 0000 || ( )
+
| ''A'' || "A" || "A"
−
| 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1
 
−
| 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>1</sub> || 0001 || (x)(y)
+
| ''A'' || "A" || "u"
−
|&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
 
−
|&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>2</sub> || 0010 || (x) y
+
| ''A'' || "u" || "A"
−
|&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    ||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
 
−
|&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    ||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>3</sub> || 0011 || (x)
+
| ''A'' || "u" || "u"
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>4</sub> || 0100 || x (y)
+
| ''B'' || "B" || "B"
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    || 1    || 1
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    || 1    || 1
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>5</sub> || 0101 || (y)
+
| ''B'' || "B" || "i"
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>6</sub> || 0110 || (x, y)
+
| ''B'' || "i" || "B"
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>7</sub> || 0111 || (x y)
+
| ''B'' || "i" || "i"
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
+
|}
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
+
<br>
 +
 
 +
===Table 3.  Semiotic Partition of Interpreter ''A''===
 +
 
 +
<pre>
 +
Table 3. A's Semiotic Partition
 +
o-------------------------------o
 +
|     "A"            "i"      |
 +
o-------------------------------o
 +
|     "u"            "B"      |
 +
o-------------------------------o
 +
</pre>
 +
 
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="12" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:60%"
 +
|+ Table 3.  Semiotic Partition of Interpreter ''A''
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| width="50%" | "A"
 +
| width="50%" | "i"
 +
|}
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>8</sub> || 1000 || x  y
+
|
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
+
{| align="center" border="0" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
−
| 1    || 1    || 1    || 1   || 1    || 1    || 1    || 1
+
| width="50%" | "u"
 +
| width="50%" | "B"
 +
|}
 +
|}
 +
<br>
 +
 
 +
===Table 4.  Semiotic Partition of Interpreter ''B''===
 +
 
 +
<pre>
 +
Table 4.  B's Semiotic Partition
 +
o---------------o---------------o
 +
|     "A"      |     "i"      |
 +
|               |               |
 +
|     "u"      |     "B"      |
 +
o---------------o---------------o
 +
</pre>
 +
 
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="12" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:60%"
 +
|+ Table 4.  Semiotic Partition of Interpreter ''B''
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="12" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:50%"
 +
| "A"
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>9</sub> || 1001 || ((x, y))
+
| "u"
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
+
|}
−
|&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
+
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="12" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:50%"
 +
| "i"
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>10</sub> || 1010 || y
+
| "B"
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
+
|}
−
|&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    ||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
 
−
|-
 
−
| ''f<sub>11</sub> || 1011 || (x (y))
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
 
−
|-
 
−
| ''f<sub>12</sub> || 1100 || x
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    || 1    || 1
 
−
|-
 
−
| ''f<sub>13</sub> || 1101 || ((x) y)
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
 
−
|-
 
−
| ''f<sub>14</sub> || 1110 || ((x)(y))
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
 
−
|-
 
−
| ''f<sub>15</sub> || 1111 || (( ))
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
 
 
|}
 
|}
 
<br>
 
<br>
  
−
{| align="center" border="1" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
+
===Table 5.  Alignments of Capacities===
−
|+ '''Table 13.  Syllogistic Premisses as Higher Order Indicator Functions'''
+
 
−
| A
+
<pre>
−
| align=left | Universal Affirmative
+
Table 5.  Alignments of Capacities
−
| align=left | All
+
o-------------------o-----------------------------o
−
| x || is || y
+
|      Formal      |          Formative          |
−
| align=left | Indicator of " x (y)" = 0
+
o-------------------o-----------------------------o
 +
|    Objective    |        Instrumental        |
 +
|      Passive      |          Active            |
 +
o-------------------o--------------o--------------o
 +
|    Afforded      |  Possessed  |  Exercised  |
 +
o-------------------o--------------o--------------o
 +
</pre>
 +
 
 +
===Table 6.  Alignments of Capacities in Aristotle===
 +
 
 +
<pre>
 +
Table 6.  Alignments of Capacities in Aristotle
 +
o-------------------o-----------------------------o
 +
|      Matter      |            Form            |
 +
o-------------------o-----------------------------o
 +
|  Potentiality    |          Actuality          |
 +
|    Receptivity    |  Possession  |  Exercise  |
 +
|      Life        |    Sleep    |    Waking    |
 +
|        Wax        |        Impression          |
 +
|        Axe        |    Edge      |  Cutting    |
 +
|        Eye        |  Vision    |    Seeing    |
 +
|      Body        |            Soul            |
 +
o-------------------o-----------------------------o
 +
|      Ship?      |          Sailor?          |
 +
o-------------------o-----------------------------o
 +
</pre>
 +
 
 +
===Table 7.  Synthesis of Alignments===
 +
 
 +
<pre>
 +
Table 7.  Synthesis of Alignments
 +
o-------------------o-----------------------------o
 +
|      Formal      |          Formative          |
 +
o-------------------o-----------------------------o
 +
|    Objective    |        Instrumental        |
 +
|      Passive      |          Active            |
 +
|    Afforded      |  Possessed  |  Exercised  |
 +
|      To Hold      |  To Have    |    To Use    |
 +
|    Receptivity    |  Possession  |  Exercise  |
 +
|  Potentiality    |          Actuality          |
 +
|      Matter      |            Form            |
 +
o-------------------o-----------------------------o
 +
</pre>
 +
 
 +
===Table 8.  Boolean Product===
 +
 
 +
<pre>
 +
Table 8.  Boolean Product
 +
o---------o---------o---------o
 +
|  %*%  %  %0%  |  %1%  |
 +
o=========o=========o=========o
 +
|  %0%  %  %0%  |  %0%  |
 +
o---------o---------o---------o
 +
|  %1%  %  %0%  |  %1%  |
 +
o---------o---------o---------o
 +
</pre>
 +
 
 +
===Table 9.  Boolean Sum===
 +
 
 +
<pre>
 +
Table 9.  Boolean Sum
 +
o---------o---------o---------o
 +
|  %+%  %  %0%  |  %1%  |
 +
o=========o=========o=========o
 +
|  %0%  %  %0%  |  %1%  |
 +
o---------o---------o---------o
 +
|  %1%  %  %1%  |  %0%  |
 +
o---------o---------o---------o
 +
</pre>
 +
 
 +
==Logical Tables==
 +
 
 +
===Table Templates===
 +
 
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
 +
|+ Table 1.  Two Variable Template
 +
|- style="background:paleturquoise"
 +
|
 +
{| align="right" style="background:paleturquoise; text-align:right"
 +
| u :
 +
|-
 +
| v :
 +
|}
 +
|
 +
{| style="background:paleturquoise"
 +
| 1 1 0 0
 
|-
 
|-
−
| E
+
| 1 0 1 0
−
| align=left | Universal Negative
+
|}
−
| align=left | All
+
|
−
| x || is || (y)
+
{| style="background:paleturquoise"
−
| align=left | Indicator of " x  y " = 0
+
| f
 
|-
 
|-
−
| I
+
| &nbsp;
−
| align=left | Particular Affirmative
+
|}
−
| align=left | Some
+
|
−
| x || is || y
+
{| style="background:paleturquoise"
−
| align=left | Indicator of " x  y " = 1
+
| f
 
|-
 
|-
−
| O
+
| &nbsp;
−
| align=left | Particular Negative
 
−
| align=left | Some
 
−
| x || is || (y)
 
−
| align=left | Indicator of " x (y)" = 1
 
 
|}
 
|}
−
<br>
+
|
−
 
+
{| style="background:paleturquoise"
−
{| align="center" border="1" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
+
| f
−
|+ '''Table 14.  Relation of Quantifiers to Higher Order Propositions'''
 
−
|- style="background:paleturquoise"
 
−
|Mnemonic||Category||Classical Form||Alternate Form||Symmetric Form||Operator
 
 
|-
 
|-
−
| E<br>Exclusive
+
| &nbsp;
−
| Universal<br>Negative
+
|}
−
| align=left | All x is (y)
 
−
| align=left | &nbsp;
 
−
| align=left | No x is y
 
−
| (''L''<sub>11</sub>)
 
 
|-
 
|-
−
| A<br>Absolute
+
|
−
| Universal<br>Affirmative
+
{| cellpadding="2" style="background:lightcyan"
−
| align=left | All x is y
+
| f<sub>0</sub>
−
| align=left | &nbsp;
 
−
| align=left | No x is (y)
 
−
| (''L''<sub>10</sub>)
 
 
|-
 
|-
−
| &nbsp;
+
| f<sub>1</sub>
−
| &nbsp;
 
−
| align=left | All y is x
 
−
| align=left | No y is (x)
 
−
| align=left | No (x) is y
 
−
| (''L''<sub>01</sub>)
 
 
|-
 
|-
−
| &nbsp;
+
| f<sub>2</sub>
−
| &nbsp;
 
−
| align=left | All (y) is x
 
−
| align=left | No (y) is (x)
 
−
| align=left | No (x) is (y)
 
−
| (''L''<sub>00</sub>)
 
 
|-
 
|-
−
| &nbsp;
+
| f<sub>3</sub>
−
| &nbsp;
+
|-
−
| align=left | Some (x) is (y)
+
| f<sub>4</sub>
−
| align=left | &nbsp;
 
−
| align=left | Some (x) is (y)
 
−
| ''L''<sub>00</sub>
 
 
|-
 
|-
−
| &nbsp;
+
| f<sub>5</sub>
−
| &nbsp;
 
−
| align=left | Some (x) is y
 
−
| align=left | &nbsp;
 
−
| align=left | Some (x) is y
 
−
| ''L''<sub>01</sub>
 
 
|-
 
|-
−
| O<br>Obtrusive
+
| f<sub>6</sub>
−
| Particular<br>Negative
 
−
| align=left | Some x is (y)
 
−
| align=left | &nbsp;
 
−
| align=left | Some x is (y)
 
−
| ''L''<sub>10</sub>
 
 
|-
 
|-
−
| I<br>Indefinite
+
| f<sub>7</sub>
−
| Particular<br>Affirmative
 
−
| align=left | Some x is y
 
−
| align=left | &nbsp;
 
−
| align=left | Some x is y
 
−
| ''L''<sub>11</sub>
 
 
|}
 
|}
−
<br>
+
|
−
 
+
{| cellpadding="2" style="background:lightcyan"
−
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
+
| 0 0 0 0
−
|+ '''Table 15.  Simple Qualifiers of Propositions (n = 2)'''
+
|-
−
|- style="background:paleturquoise"
+
| 0 0 0 1
−
| align=right | ''x'' : || 1100 || ''f''
+
|-
−
| (''L''<sub>11</sub>)
+
| 0 0 1 0
−
| (''L''<sub>10</sub>)
+
|-
−
| (''L''<sub>01</sub>)
+
| 0 0 1 1
−
| (''L''<sub>00</sub>)
+
|-
−
| ''L''<sub>00</sub>
+
| 0 1 0 0
−
| ''L''<sub>01</sub>
+
|-
−
|  ''L''<sub>10</sub>
+
| 0 1 0 1
−
|  ''L''<sub>11</sub>
 
−
|- style="background:paleturquoise"
 
−
| align=right | ''y'' : || 1010 || &nbsp;
 
−
| align=left |  no  x  <br> is  y
 
−
| align=left |  no  x  <br> is (y)
 
−
| align=left |  no (x) <br> is  y
 
−
| align=left |  no (x) <br> is (y)
 
−
| align=left | some (x) <br> is (y)
 
−
| align=left | some (x) <br> is  y
 
−
| align=left | some  x  <br> is (y)
 
−
| align=left | some  x  <br> is  y
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>0</sub> || 0000 || ( )
+
| 0 1 1 0
−
| 1 || 1 || 1 || 1 || 0 || 0 || 0 || 0
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>1</sub> || 0001 || (x)(y)
+
| 0 1 1 1
−
| 1 || 1 || 1 || 0 || 1 || 0 || 0 || 0
+
|}
 +
|
 +
{| cellpadding="2" style="background:lightcyan"
 +
| f<sub>0</sub>
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>2</sub> || 0010 || (x) y
+
| f<sub>1</sub>
−
| 1 || 1 || 0 || 1 || 0 || 1 || 0 || 0
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>3</sub> || 0011 || (x)
+
| f<sub>2</sub>
−
| 1 || 1 || 0 || 0 || 1 || 1 || 0 || 0
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>4</sub> || 0100 || x (y)
+
| f<sub>3</sub>
−
| 1 || 0 || 1 || 1 || 0 || 0 || 1 || 0
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>5</sub> || 0101 || (y)
+
| f<sub>4</sub>
−
| 1 || 0 || 1 || 0 || 1 || 0 || 1 || 0
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>6</sub> || 0110 || (x, y)
+
| f<sub>5</sub>
−
| 1 || 0 || 0 || 1 || 0 || 1 || 1 || 0
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>7</sub> || 0111 || (x  y)
+
| f<sub>6</sub>
−
| 1 || 0 || 0 || 0 || 1 || 1 || 1 || 0
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>8</sub> || 1000 || x  y
+
| f<sub>7</sub>
−
| 0 || 1 || 1 || 1 || 0 || 0 || 0 || 1
+
|}
 +
|
 +
{| cellpadding="2" style="background:lightcyan"
 +
| f<sub>0</sub>
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>9</sub> || 1001 || ((x, y))
+
| f<sub>1</sub>
−
| 0 || 1 || 1 || 0 || 1 || 0 || 0 || 1
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>10</sub> || 1010 || y
+
| f<sub>2</sub>
−
| 0 || 1 || 0 || 1 || 0 || 1 || 0 || 1
+
|-
 +
| f<sub>3</sub>
 +
|-
 +
| f<sub>4</sub>
 +
|-
 +
| f<sub>5</sub>
 +
|-
 +
| f<sub>6</sub>
 +
|-
 +
| f<sub>7</sub>
 +
|}
 +
|
 +
{| cellpadding="2" style="background:lightcyan"
 +
| f<sub>0</sub>
 +
|-
 +
| f<sub>1</sub>
 +
|-
 +
| f<sub>2</sub>
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>11</sub> || 1011 || (x (y))
+
| f<sub>3</sub>
−
| 0 || 1 || 0 || 0 || 1 || 1 || 0 || 1
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>12</sub> || 1100 || x
+
| f<sub>4</sub>
−
| 0 || 0 || 1 || 1 || 0 || 0 || 1 || 1
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>13</sub> || 1101 || ((x) y)
+
| f<sub>5</sub>
−
| 0 || 0 || 1 || 0 || 1 || 0 || 1 || 1
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>14</sub> || 1110 || ((x)(y))
+
| f<sub>6</sub>
−
| 0 || 0 || 0 || 1 || 0 || 1 || 1 || 1
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>15</sub> || 1111 || (( ))
+
| f<sub>7</sub>
−
| 0 || 0 || 0 || 0 || 1 || 1 || 1 || 1
+
|}
 +
|-
 +
|
 +
{| cellpadding="2" style="background:lightcyan"
 +
| f<sub>8</sub>
 +
|-
 +
| f<sub>9</sub>
 +
|-
 +
| f<sub>10</sub>
 +
|-
 +
| f<sub>11</sub>
 +
|-
 +
| f<sub>12</sub>
 +
|-
 +
| f<sub>13</sub>
 +
|-
 +
| f<sub>14</sub>
 +
|-
 +
| f<sub>15</sub>
 +
|}
 +
|
 +
{| cellpadding="2" style="background:lightcyan"
 +
| 1 0 0 0
 +
|-
 +
| 1 0 0 1
 +
|-
 +
| 1 0 1 0
 +
|-
 +
| 1 0 1 1
 +
|-
 +
| 1 1 0 0
 +
|-
 +
| 1 1 0 1
 +
|-
 +
| 1 1 1 0
 +
|-
 +
| 1 1 1 1
 +
|}
 +
|
 +
{| cellpadding="2" style="background:lightcyan"
 +
| f<sub>8</sub>
 +
|-
 +
| f<sub>9</sub>
 +
|-
 +
| f<sub>10</sub>
 +
|-
 +
| f<sub>11</sub>
 +
|-
 +
| f<sub>12</sub>
 +
|-
 +
| f<sub>13</sub>
 +
|-
 +
| f<sub>14</sub>
 +
|-
 +
| f<sub>15</sub>
 +
|}
 +
|
 +
{| cellpadding="2" style="background:lightcyan"
 +
| f<sub>8</sub>
 +
|-
 +
| f<sub>9</sub>
 +
|-
 +
| f<sub>10</sub>
 +
|-
 +
| f<sub>11</sub>
 +
|-
 +
| f<sub>12</sub>
 +
|-
 +
| f<sub>13</sub>
 +
|-
 +
| f<sub>14</sub>
 +
|-
 +
| f<sub>15</sub>
 +
|}
 +
|
 +
{| cellpadding="2" style="background:lightcyan"
 +
| f<sub>8</sub>
 +
|-
 +
| f<sub>9</sub>
 +
|-
 +
| f<sub>10</sub>
 +
|-
 +
| f<sub>11</sub>
 +
|-
 +
| f<sub>12</sub>
 +
|-
 +
| f<sub>13</sub>
 +
|-
 +
| f<sub>14</sub>
 +
|-
 +
| f<sub>15</sub>
 +
|}
 
|}
 
|}
 
<br>
 
<br>
  
−
Table 7.  Higher Order Propositions (n = 1)
+
<font face="courier new">
−
o------o-----o-----o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o---o
+
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
−
| \ x | 1 0 | F  |m |m |m |m |m |m |m |m |m |m |m |m |m |m |m |m  |
+
|+ Table 2.  Two Variable Template
−
| F \  |     |     |00|01|02|03|04|05|06|07|08|09|10|11|12|13|14|15 |
+
|- style="background:paleturquoise"
−
o------o-----o-----o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o---o
+
|
−
|     |     |     |                                               |
+
{| align="right" style="background:paleturquoise; text-align:right"
−
| F_0  | 0 0 | 0  | 0  1  0  1  0  1  0  1  0  1  0  1  0  1  0  1 |
+
| u :
−
|     |     |     |                                                |
+
|-
−
| F_1  | 0 1 | (x) | 0  0  1  1  0  0  1  1  0  0  1  1  0  0  1  1 |
+
| v :
−
|      |    |    |                                                |
+
|}
−
| F_2  | 1 0 | x  | 0  0  0  0  1  1  1  1  0  0  0  0  1  1  1  1 |
+
|
−
|      |    |    |                                                |
+
{| style="background:paleturquoise"
−
| F_3  | 1 1 | 1  | 0  0  0  0  0  0  0  0  1  1  1  1  1  1  1  1 |
+
| 1100
−
|     |     |     |                                               |
+
|-
−
o------o-----o-----o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o---o
+
| 1010
−
<br>
+
|}
−
 
+
|
−
Table 8.  Interpretive Categories for Higher Order Propositions (n = 1)
+
{| style="background:paleturquoise"
−
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
+
| f
−
|Measure| Happening| Exactness  | Existence  | Linearity|Uniformity|Information|
+
|-
−
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
+
| &nbsp;
−
| m_0  | nothing  |            |            |          |          |          |
+
|}
−
|      | happens  |            |            |          |          |          |
+
|
−
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
+
{| style="background:paleturquoise"
−
| m_1  |          |            | nothing    |          |          |          |
+
| f
−
|      |          | just false | exists    |          |          |          |
+
|-
−
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
+
| &nbsp;
−
| m_2  |          |            |            |          |          |          |
+
|}
−
|      |          | just not x |            |          |          |          |
+
|
−
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
+
{| style="background:paleturquoise"
−
| m_3  |          |            | nothing    |          |          |          |
+
| f
−
|      |          |            | is x      |          |          |          |
+
|-
−
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
+
| &nbsp;
−
| m_4  |          |            |            |          |          |          |
+
|}
−
|      |          | just x    |            |          |          |          |
+
|-
−
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
+
|
−
| m_5  |          |            | everything | F is    |          |          |
+
{| cellpadding="2" style="background:lightcyan"
−
|      |          |            | is x      | linear  |          |          |
+
| f<sub>0</sub>
−
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
+
|-
−
| m_6  |          |            |            |          | F is not | F is      |
+
| f<sub>1</sub>
−
|      |          |            |            |          | uniform  | informed  |
+
|-
−
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
+
| f<sub>2</sub>
−
| m_7  |          | not        |            |          |          |          |
+
|-
−
|      |          | just true  |            |          |          |          |
+
| f<sub>3</sub>
−
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
+
|-
−
| m_8  |          |            |            |          |          |          |
+
| f<sub>4</sub>
−
|      |          | just true  |            |          |          |          |
+
|-
−
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
+
| f<sub>5</sub>
−
| m_9  |          |            |            |          | F is    | F is not  |
+
|-
−
|      |          |            |            |          | uniform  | informed  |
+
| f<sub>6</sub>
−
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
+
|-
−
| m_10  |          |            | something  | F is not |          |          |
+
| f<sub>7</sub>
−
|      |          |            | is not x  | linear  |          |          |
+
|}
−
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
+
|
−
| m_11  |          | not        |            |          |          |          |
+
{| cellpadding="2" style="background:lightcyan"
−
|      |          | just x    |            |          |          |          |
+
| 0000
−
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
+
|-
−
| m_12  |          |            | something  |          |          |          |
+
| 0001
−
|      |          |            | is x      |          |          |          |
+
|-
−
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
+
| 0010
−
| m_13  |          | not        |            |          |          |          |
+
|-
−
|      |          | just not x |            |          |          |          |
+
| 0011
−
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
+
|-
−
| m_14  |          | not        | something  |          |          |          |
+
| 0100
−
|      |          | just false | exists    |          |          |          |
+
|-
−
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
+
| 0101
−
| m_15  | anything |            |            |          |          |          |
+
|-
−
|      | happens  |            |            |          |          |          |
+
| 0110
−
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
+
|-
−
<br>
+
| 0111
−
 
+
|}
−
Table 9.  Higher Order Propositions (n = 2)
+
|
−
o------o------o----------o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o
+
{| cellpadding="2" style="background:lightcyan"
−
|  | x | 1100 |    f    |m|m|m|m|m|m|m|m|m|m|m|m|m|m|m|m|.|
+
| ()
−
|  | y | 1010 |          |0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|1|1|1|1|1|1|.|
+
|-
−
| f \  |      |          |0|1|2|3|4|5|6|7|8|9|0|1|2|3|4|5|.|
+
| &nbsp;(u)(v)&nbsp;
−
o------o------o----------o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o
+
|-
−
|      |      |          |                                |
+
| &nbsp;(u)&nbsp;v&nbsp;&nbsp;
−
| f_0  | 0000 |    ()    |0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1  |
+
|-
−
|      |      |          |                                |
+
| &nbsp;(u)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
−
| f_1  | 0001 |  (x)(y)  |    1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1  |
+
|-
−
|      |      |          |                                |
+
| &nbsp;&nbsp;u&nbsp;(v)&nbsp;
−
| f_2  | 0010 |  (x) y  |        1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1  |
+
|-
−
|      |      |          |                                |
+
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(v)&nbsp;
−
| f_3  | 0011 |  (x)    |                1 1 1 1 1 1 1 1  |
+
|-
−
|      |      |          |                                |
+
| &nbsp;(u,&nbsp;v)&nbsp;
−
| f_4  | 0100 |  x (y)  |                                |
+
|-
−
|      |      |          |                                |
+
| &nbsp;(u&nbsp;&nbsp;v)&nbsp;
−
| f_5  | 0101 |    (y)  |                                |
+
|}
−
|      |      |          |                                |
+
|
−
| f_6  | 0110 |  (x, y)  |                                |
+
{| cellpadding="2" style="background:lightcyan"
−
|      |      |          |                                |
+
| f<sub>0</sub>
−
| f_7  | 0111 |  (x  y)  |                                |
+
|-
−
|      |      |          |                                |
+
| f<sub>1</sub>
−
o------o------o----------o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o
+
|-
−
|      |      |          |                                |
+
| f<sub>2</sub>
−
| f_8  | 1000 |  x  y  |                                |
+
|-
−
|      |      |          |                                |
+
| f<sub>3</sub>
−
| f_9  | 1001 | ((x, y)) |                                |
+
|-
−
|      |      |          |                                |
+
| f<sub>4</sub>
−
| f_10 | 1010 |      y  |                                |
+
|-
−
|      |      |          |                                |
+
| f<sub>5</sub>
−
| f_11 | 1011 |  (x (y)) |                                |
+
|-
−
|      |      |          |                                |
+
| f<sub>6</sub>
−
| f_12 | 1100 |  x      |                                |
+
|-
−
|      |      |          |                                |
+
| f<sub>7</sub>
−
| f_13 | 1101 | ((x) y)  |                                |
+
|}
−
|      |      |          |                                |
+
|
−
| f_14 | 1110 | ((x)(y)) |                                |
+
{| cellpadding="2" style="background:lightcyan"
−
|      |      |          |                                |
+
| f<sub>0</sub>
−
| f_15 | 1111 |  (())  |                                |
+
|-
−
|      |      |          |                                |
+
| f<sub>1</sub>
−
o------o------o----------o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o
+
|-
−
<br>
+
| f<sub>2</sub>
−
 
+
|-
−
Table 10.  Qualifiers of Implication Ordering:  !a!_i f  =  !Y!(f_i => f)
+
| f<sub>3</sub>
−
o------o------o----------o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o
+
|-
−
|  | x | 1100 |    f    |a |a |a |a |a |a |a |a |a |a |a |a |a |a |a |a |
+
| f<sub>4</sub>
−
|  | y | 1010 |          |1 |1 |1 |1 |1 |1 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |
+
|-
−
| f \  |      |          |5 |4 |3 |2 |1 |0 |9 |8 |7 |6 |5 |4 |3 |2 |1 |0 |
+
| f<sub>5</sub>
−
o------o------o----------o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o
+
|-
−
|      |      |          |                                              |
+
| f<sub>6</sub>
−
| f_0  | 0000 |    ()    |                                            1 |
+
|-
−
|      |      |          |                                              |
+
| f<sub>7</sub>
−
| f_1  | 0001 |  (x)(y)  |                                          1  1 |
+
|}
−
|      |      |          |                                              |
+
|-
−
| f_2  | 0010 |  (x) y  |                                      1    1 |
+
|
−
|      |      |          |                                              |
+
{| cellpadding="2" style="background:lightcyan"
−
| f_3  | 0011 |  (x)    |                                    1  1  1  1 |
+
| f<sub>8</sub>
−
|      |      |          |                                              |
+
|-
−
| f_4  | 0100 |  x (y)  |                                1          1 |
+
| f<sub>9</sub>
−
|      |      |          |                                              |
+
|-
−
| f_5  | 0101 |    (y)  |                              1  1        1  1 |
+
| f<sub>10</sub>
−
|      |      |          |                                              |
+
|-
−
| f_6  | 0110 |  (x, y)  |                          1    1    1    1 |
+
| f<sub>11</sub>
−
|      |      |          |                                              |
+
|-
−
| f_7  | 0111 |  (x  y)  |                        1  1  1  1  1  1  1  1 |
+
| f<sub>12</sub>
−
|      |      |          |                                              |
+
|-
−
| f_8  | 1000 |  x  y  |                    1                      1 |
+
| f<sub>13</sub>
−
|      |      |          |                                              |
+
|-
−
| f_9  | 1001 | ((x, y)) |                  1  1                    1  1 |
+
| f<sub>14</sub>
−
|      |      |          |                                              |
+
|-
−
| f_10 | 1010 |      y  |              1    1                1    1 |
+
| f<sub>15</sub>
−
|      |      |          |                                              |
+
|}
−
| f_11 | 1011 |  (x (y)) |            1  1  1  1              1  1  1  1 |
+
|
−
|      |      |          |                                              |
+
{| cellpadding="2" style="background:lightcyan"
−
| f_12 | 1100 |  x      |        1          1          1          1 |
+
| 1000
−
|      |      |          |                                              |
+
|-
−
| f_13 | 1101 | ((x) y)  |      1  1        1  1        1  1        1  1 |
+
| 1001
−
|      |      |          |                                              |
+
|-
−
| f_14 | 1110 | ((x)(y)) |  1    1    1    1    1    1    1    1 |
+
| 1010
−
|      |      |          |                                              |
+
|-
−
| f_15 | 1111 |  (())  |1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1 |
+
| 1011
−
|      |      |          |                                              |
+
|-
−
o------o------o----------o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o
+
| 1100
−
<br>
+
|-
−
 
+
| 1101
−
Table 11.  Qualifiers of Implication Ordering:  !b!_i f  =  !Y!(f => f_i)
+
|-
−
o------o------o----------o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o
+
| 1110
−
|  | x | 1100 |    f    |b |b |b |b |b |b |b |b |b |b |b |b |b |b |b |b |
+
|-
−
|  | y | 1010 |          |0 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |1 |1 |1 |1 |1 |1 |
+
| 1111
−
| f \  |      |          |0 |1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |8 |9 |0 |1 |2 |3 |4 |5 |
+
|}
−
o------o------o----------o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o
+
|
−
|      |      |          |                                              |
+
{| cellpadding="2" style="background:lightcyan"
−
| f_0  | 0000 |    ()    |1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1 |
+
| &nbsp;&nbsp;u&nbsp;&nbsp;v&nbsp;&nbsp;
−
|      |      |          |                                              |
+
|-
−
| f_1  | 0001 |  (x)(y)  |  1    1    1    1    1    1    1    1 |
+
| ((u,&nbsp;v))
−
|      |      |          |                                              |
+
|-
−
| f_2  | 0010 |  (x) y  |      1  1        1  1        1  1        1  1 |
+
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;v&nbsp;&nbsp;
−
|      |      |          |                                              |
+
|-
−
| f_3  | 0011 |  (x)    |        1          1          1          1 |
+
| &nbsp;(u&nbsp;(v))
−
|      |      |          |                                              |
+
|-
−
| f_4  | 0100 |  x (y)  |            1  1  1  1              1  1  1  1 |
+
| &nbsp;&nbsp;u&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
−
|      |      |          |                                              |
+
|-
−
| f_5  | 0101 |    (y)  |              1    1                1    1 |
+
| ((u)&nbsp;v)&nbsp;
−
|      |      |          |                                              |
+
|-
−
| f_6  | 0110 |  (x, y)  |                  1  1                    1  1 |
+
| ((u)(v))
−
|      |      |          |                                              |
+
|-
−
| f_7  | 0111 |  (x  y)  |                    1                      1 |
+
| (())
−
|      |      |          |                                              |
+
|}
−
| f_8  | 1000 |  x  y  |                        1  1  1  1  1  1  1  1 |
+
|
−
|      |      |          |                                              |
+
{| cellpadding="2" style="background:lightcyan"
−
| f_9  | 1001 | ((x, y)) |                          1    1    1    1 |
+
| f<sub>8</sub>
−
|      |      |          |                                              |
+
|-
−
| f_10 | 1010 |      y  |                              1  1        1  1 |
+
| f<sub>9</sub>
−
|      |      |          |                                              |
+
|-
−
| f_11 | 1011 |  (x (y)) |                                1          1 |
+
| f<sub>10</sub>
−
|      |      |          |                                              |
+
|-
−
| f_12 | 1100 |  x      |                                    1  1  1  1 |
+
| f<sub>11</sub>
−
|      |      |          |                                              |
+
|-
−
| f_13 | 1101 | ((x) y)  |                                      1    1 |
+
| f<sub>12</sub>
−
|      |      |          |                                              |
+
|-
−
| f_14 | 1110 | ((x)(y)) |                                          1  1 |
+
| f<sub>13</sub>
−
|      |      |          |                                              |
+
|-
−
| f_15 | 1111 |  (())  |                                            1 |
+
| f<sub>14</sub>
−
|      |      |          |                                              |
+
|-
−
o------o------o----------o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o
+
| f<sub>15</sub>
−
<br>
+
|}
 +
|
 +
{| cellpadding="2" style="background:lightcyan"
 +
| f<sub>8</sub>
 +
|-
 +
| f<sub>9</sub>
 +
|-
 +
| f<sub>10</sub>
 +
|-
 +
| f<sub>11</sub>
 +
|-
 +
| f<sub>12</sub>
 +
|-
 +
| f<sub>13</sub>
 +
|-
 +
| f<sub>14</sub>
 +
|-
 +
| f<sub>15</sub>
 +
|}
 +
|}
 +
</font><br>
 +
 
 +
===Higher Order Propositions===
  
−
Table 13.  Syllogistic Premisses as Higher Order Indicator Functions
+
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
−
o---o------------------------o-----------------o---------------------------o
+
|+ '''Table 7.  Higher Order Propositions (n = 1)'''
−
|   |                       |                 |                           |
+
|- style="background:paleturquoise"
−
| A | Universal Affirmative  | All  x is  y | Indicator of " x (y)" = 0 |
+
| \ ''x'' || 1 0 || ''F''
−
|   |                       |                 |                           |
+
|''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''
−
| E | Universal Negative    | All  x is (y) | Indicator of " x  y " = 0 |
+
|''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''
−
|   |                       |                 |                           |
+
|- style="background:paleturquoise"
−
| I | Particular Affirmative | Some x  is  y  | Indicator of " x  y " = 1 |
+
| ''F'' \ || &nbsp; || &nbsp;
−
|   |                       |                 |                           |
+
|00||01||02||03||04||05||06||07||08||09||10||11||12||13||14||15
−
| O | Particular Negative    | Some x is (y) | Indicator of " x (y)" = 1 |
+
|-
−
|   |                       |                 |                           |
+
| ''F<sub>0</sub> || 0 0 ||  0 ||0||1||0||1||0||1||0||1||0||1||0||1||0||1||0||1
−
o---o------------------------o-----------------o---------------------------o
+
|-
 +
| ''F<sub>1</sub> || 0 1 || (x) ||0||0||1||1||0||0||1||1||0||0||1||1||0||0||1||1
 +
|-
 +
| ''F<sub>2</sub> || 1 0 ||  x  ||0||0||0||0||1||1||1||1||0||0||0||0||1||1||1||1
 +
|-
 +
| ''F<sub>3</sub> || 1 1 ||  1 ||0||0||0||0||0||0||0||0||1||1||1||1||1||1||1||1
 +
|}
 
<br>
 
<br>
  
−
Table 14.  Relation of Quantifiers to Higher Order Propositions
+
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
−
o------------o------------o-----------o-----------o-----------o-----------o
+
|+ '''Table 8.  Interpretive Categories for Higher Order Propositions (n = 1)'''
−
| Mnemonic  | Category  | Classical | Alternate | Symmetric | Operator  |
+
|- style="background:paleturquoise"
−
|           |           |   Form    |   Form    |   Form    |           |
+
|Measure||Happening||Exactness||Existence||Linearity||Uniformity||Information
−
o============o============o===========o===========o===========o===========o
+
|-
−
|     E      | Universal  | All  x  |           |   No  x  | (L_11)  |
+
|''m''<sub>0</sub>||nothing happens||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
−
| Exclusive  | Negative  |   is  (y) |           |   is  y  |           |
+
|-
−
o------------o------------o-----------o-----------o-----------o-----------o
+
|''m''<sub>1</sub>||&nbsp;||just false||nothing exists||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
−
|     A      | Universal  | All  x |           |   No  x  | (L_10)  |
+
|-
−
| Absolute  | Affrmtve  |   is   y  |           |   is  (y) |           |
+
|''m''<sub>2</sub>||&nbsp;||just not x||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
−
o------------o------------o-----------o-----------o-----------o-----------o
+
|-
−
|           |           | All  y  |   No  y  |   No  (x) | (L_01)  |
+
|''m''<sub>3</sub>||&nbsp;||&nbsp;||nothing is x||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
−
|           |           |   is   x |   is (x) |   is  y  |           |
+
|-
−
o------------o------------o-----------o-----------o-----------o-----------o
+
|''m''<sub>4</sub>||&nbsp;||just x||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
−
|           |           | All  (y) |   No  (y) |   No  (x) | (L_00)  |
+
|-
−
|           |           |   is   x  |   is (x) |   is  (y) |           |
+
|''m''<sub>5</sub>||&nbsp;||&nbsp;||everything is x||F is linear||&nbsp;||&nbsp;
−
o------------o------------o-----------o-----------o-----------o-----------o
+
|-
−
|           |           | Some  (x) |           | Some  (x) |   L_00    |
+
|''m''<sub>6</sub>||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||F is not uniform||F is informed
−
|           |           |   is (y) |           |   is (y) |           |
+
|-
−
o------------o------------o-----------o-----------o-----------o-----------o
+
|''m''<sub>7</sub>||&nbsp;||not just true||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
−
|           |           | Some  (x) |           | Some  (x) |   L_01    |
+
|-
−
|           |           |   is   y  |           |   is  y  |           |
+
|''m''<sub>8</sub>||&nbsp;||just true||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
−
o------------o------------o-----------o-----------o-----------o-----------o
+
|-
−
|     O      | Particular | Some  x |           | Some  x  |   L_10    |
+
|''m''<sub>9</sub>||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||F is uniform||F is not informed
−
| Obtrusive  | Negative  |   is  (y) |           |   is  (y) |           |
+
|-
−
o------------o------------o-----------o-----------o-----------o-----------o
+
|''m''<sub>10</sub>||&nbsp;||&nbsp;||something is not x||F is not linear||&nbsp;||&nbsp;
−
|     I      | Particular | Some  x  |           | Some  x  |   L_11    |
+
|-
−
| Indefinite | Affrmtve  |   is  y  |           |   is  y  |           |
+
|''m''<sub>11</sub>||&nbsp;||not just x||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
−
o------------o------------o-----------o-----------o-----------o-----------o
+
|-
 +
|''m''<sub>12</sub>||&nbsp;||&nbsp;||something is x||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|-
 +
|''m''<sub>13</sub>||&nbsp;||not just not x||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|-
 +
|''m''<sub>14</sub>||&nbsp;||not just false||something exists||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|-
 +
|''m''<sub>15</sub>||anything happens||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|}
 
<br>
 
<br>
  
−
Table 15.  Simple Qualifiers of Propositions (n = 2)
+
{| align="center" border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
−
o------o------o----------o-----o-----o-----o-----o-----o-----o-----o-----o
+
|+ '''Table 9.  Higher Order Propositions (n = 2)'''
−
| | x | 1100 |   f    |(L11)|(L10)|(L01)|(L00)| L00 | L01 | L10 | L11 |
+
|- style="background:paleturquoise"
−
|  | y | 1010 |          |no  x|no  x|no ~x|no ~x|sm ~x|sm ~x|sm  x|sm  x|
+
| align=right | ''x'' : || 1100 || ''f''
−
| f \  |      |          |is  y|is ~y|is  y|is ~y|is ~y|is  y|is ~y|is  y|
+
|''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''
−
o------o------o----------o-----o-----o-----o-----o-----o-----o-----o-----o
+
|''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''
−
|     |     |         |                                               |
+
|''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''
−
| f_0  | 0000 |   ()    | 1    1    1    1    0    0    0    0  |
 
−
|     |     |         |                                               |
 
−
| f_1  | 0001 | (x)(y)  | 1    1    1    0    1    0    0    0  |
 
−
|     |     |         |                                               |
 
−
| f_2  | 0010 | (x) y  | 1    1    0    1    0    1    0    0  |
 
−
|     |     |         |                                               |
 
−
| f_3  | 0011 | (x)    | 1    1    0    0    1    1    0    0  |
 
−
|     |     |         |                                               |
 
−
| f_4  | 0100 |  x (y)  |  1    0    1    1    0    0    1    0  |
 
−
|      |      |          |                                              |
 
−
| f_5  | 0101 |    (y)  |  1    0    1    0    1    0    1    0  |
 
−
|      |      |          |                                              |
 
−
| f_6  | 0110 |  (x, y)  |  1    0    0    1    0    1    1    0  |
 
−
|      |      |          |                                              |
 
−
| f_7  | 0111 |  (x  y)  |  1    0    0    0    1    1    1    0  |
 
−
|      |      |          |                                              |
 
−
| f_8  | 1000 |  x  y  |  0    1    1    1    0    0    0    1  |
 
−
|      |      |          |                                              |
 
−
| f_9  | 1001 | ((x, y)) |  0    1    1    0    1    0    0    1  |
 
−
|      |      |          |                                              |
 
−
| f_10 | 1010 |      y  |  0    1    0    1    0    1    0    1  |
 
−
|      |     |         |                                              |
 
−
| f_11 | 1011 |  (x (y)) |  0    1    0    0    1    1    0    1  |
 
−
|      |      |          |                                              |
 
−
| f_12 | 1100 |  x      |  0    0    1    1    0    0    1    1  |
 
−
|      |      |          |                                              |
 
−
| f_13 | 1101 | ((x) y)  |  0    0    1    0    1    0    1    1  |
 
−
|      |      |          |                                              |
 
−
| f_14 | 1110 | ((x)(y)) |  0    0    0    1    0    1    1    1  |
 
−
|      |      |          |                                              |
 
−
| f_15 | 1111 |  (())  |  0    0    0    0    1    1    1    1  |
 
−
|      |      |          |                                              |
 
−
o------o------o----------o-----o-----o-----o-----o-----o-----o-----o-----o
 
−
<br>
 
−
 
 
−
===[[Zeroth Order Logic]]===
 
−
 
 
−
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
 
−
|+ '''Table 1.  Propositional Forms on Two Variables'''
 
 
|- style="background:paleturquoise"
 
|- style="background:paleturquoise"
−
! style="width:15%" | L<sub>1</sub>
+
| align=right | ''y'' : || 1010 || &nbsp;
−
! style="width:15%" | L<sub>2</sub>
+
|0||1||2||3||4||5||6||7||8||9||10||11||12
−
! style="width:15%" | L<sub>3</sub>
+
|13||14||15||16||17||18||19||20||21||22||23
−
! style="width:15%" | L<sub>4</sub>
 
−
! style="width:15%" | L<sub>5</sub>
 
−
! style="width:15%" | L<sub>6</sub>
 
−
|- style="background:paleturquoise"
 
−
| &nbsp;
 
−
| align="right" | x :
 
−
| 1 1 0 0
 
−
| &nbsp;
 
−
| &nbsp;
 
−
| &nbsp;
 
−
|- style="background:paleturquoise"
 
−
| &nbsp;
 
−
| align="right" | y :
 
−
| 1 0 1 0
 
−
| &nbsp;
 
−
| &nbsp;
 
−
| &nbsp;
 
 
|-
 
|-
−
| f<sub>0</sub> || f<sub>0000</sub> || 0 0 0 0 || (&nbsp;) || false || 0
+
| ''f<sub>0</sub> || 0000 || ( )
 +
| 0    || 1    || 0    || 1    || 0    || 1    || 0    || 1
 +
| 0    || 1    || 0   || 1    || 0   || 1    || 0   || 1
 +
| 0    || 1    || 0   || 1    || 0    || 1    || 0   || 1
 
|-
 
|-
−
| f<sub>1</sub> || f<sub>0001</sub> || 0 0 0 1 || (x)(y) || neither x nor y || &not;x &and; &not;y
+
| ''f<sub>1</sub> || 0001 || (x)(y)
 +
|&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    || 0    || 0    || 1    || 1
 +
| 0    || 0    || 1    || 1    || 0    || 0    || 1    || 1
 +
| 0    || 0    || 1    || 1    || 0    || 0    || 1    || 1
 
|-
 
|-
−
| f<sub>2</sub> || f<sub>0010</sub> || 0 0 1 0 || (x) y || y and not x || &not;x &and; y
+
| ''f<sub>2</sub> || 0010 || (x) y  
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    || 1    || 1
 +
| 0    || 0    || 0    || 0    || 1    || 1    || 1    || 1
 +
| 0    || 0    || 0    || 0    || 1    || 1    || 1    || 1
 
|-
 
|-
−
| f<sub>3</sub> || f<sub>0011</sub> || 0 0 1 1 || (x) || not x || &not;x
+
| ''f<sub>3</sub> || 0011 || (x)  
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
| 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1
 +
| 0    || 0    || 0    || 0    || 0    || 0    || 0    || 0
 
|-
 
|-
−
| f<sub>4</sub> || f<sub>0100</sub> || 0 1 0 0 || x (y) || x and not y || x &and; &not;y
+
| ''f<sub>4</sub> || 0100 || x (y)
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
| 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1
 
|-
 
|-
−
| f<sub>5</sub> || f<sub>0101</sub> || 0 1 0 1 || (y) || not y || &not;y
+
| ''f<sub>5</sub> || 0101 || (y)
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
|-
 
|-
−
| f<sub>6</sub> || f<sub>0110</sub> || 0 1 1 0 || (x, y) || x not equal to y || x &ne; y
+
| ''f<sub>6</sub> || 0110 || (x, y)
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
|-
 
|-
−
| f<sub>7</sub> || f<sub>0111</sub> || 0 1 1 1 || (x&nbsp;y) || not both x and y || &not;x &or; &not;y
+
| ''f<sub>7</sub> || 0111 || (x  y)
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
|-
 
|-
−
| f<sub>8</sub> || f<sub>1000</sub> || 1 0 0 0 || x&nbsp;y || x and y || x &and; y
+
| ''f<sub>8</sub> || 1000 || x  y
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
|-
 
|-
−
| f<sub>9</sub> || f<sub>1001</sub> || 1 0 0 1 || ((x, y)) || x equal to y || x = y
+
| ''f<sub>9</sub> || 1001 || ((x, y))
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
|-
 
|-
−
| f<sub>10</sub> || f<sub>1010</sub> || 1 0 1 0 || y || y || y
+
| ''f<sub>10</sub> || 1010 || y
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
|-
 
|-
−
| f<sub>11</sub> || f<sub>1011</sub> || 1 0 1 1 || (x (y)) || not x without y || x &rarr; y
+
| ''f<sub>11</sub> || 1011 || (x (y))
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
|-
 
|-
−
| f<sub>12</sub> || f<sub>1100</sub> || 1 1 0 0 || x || x || x
+
| ''f<sub>12</sub> || 1100 || x
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
|-
 
|-
−
| f<sub>13</sub> || f<sub>1101</sub> || 1 1 0 1 || ((x) y) || not y without x || x &larr; y
+
| ''f<sub>13</sub> || 1101 || ((x) y)
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
|-
 
|-
−
| f<sub>14</sub> || f<sub>1110</sub> || 1 1 1 0 || ((x)(y)) || x or y  || x &or; y
+
| ''f<sub>14</sub> || 1110 || ((x)(y))
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
|-
 
|-
−
| f<sub>15</sub> || f<sub>1111</sub> || 1 1 1 1 || ((&nbsp;)) || true || 1
+
| ''f<sub>15</sub> || 1111 || (( ))
−
|}
+
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|}
 
<br>
 
<br>
  
−
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:mintcream; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
+
{| align="center" border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
−
|+ '''Table 1.  Propositional Forms on Two Variables'''
+
|+ '''Table 10.  Qualifiers of Implication Ordering: &alpha;<sub>''i''&nbsp;</sub>''f'' = &Upsilon;(''f''<sub>''i''</sub> &rArr; ''f'')'''
−
|- style="background:aliceblue"
+
|- style="background:paleturquoise"
−
! style="width:15%" | L<sub>1</sub>
+
| align=right | ''x'' : || 1100 || ''f''
−
! style="width:15%" | L<sub>2</sub>
+
|&alpha;||&alpha;||&alpha;||&alpha;||&alpha;||&alpha;||&alpha;||&alpha;
−
! style="width:15%" | L<sub>3</sub>
+
|&alpha;||&alpha;||&alpha;||&alpha;||&alpha;||&alpha;||&alpha;||&alpha;
−
! style="width:15%" | L<sub>4</sub>
+
|- style="background:paleturquoise"
−
! style="width:15%" | L<sub>5</sub>
+
| align=right | ''y'' : || 1010 || &nbsp;
−
! style="width:15%" | L<sub>6</sub>
+
|15||14||13||12||11||10||9||8||7||6||5||4||3||2||1||0
−
|- style="background:aliceblue"
 
−
| &nbsp;
 
−
| align="right" | x :
 
−
| 1 1 0 0
 
−
| &nbsp;
 
−
| &nbsp;
 
−
| &nbsp;
 
−
|- style="background:aliceblue"
 
−
| &nbsp;
 
−
| align="right" | y :
 
−
| 1 0 1 0
 
−
| &nbsp;
 
−
| &nbsp;
 
−
| &nbsp;
 
 
|-
 
|-
−
| f<sub>0</sub> || f<sub>0000</sub> || 0 0 0 0 || (&nbsp;) || false || 0
+
| ''f<sub>0</sub> || 0000 || ( )
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
 
|-
 
|-
−
| f<sub>1</sub> || f<sub>0001</sub> || 0 0 0 1 || (x)(y) || neither x nor y || &not;x &and; &not;y
+
| ''f<sub>1</sub> || 0001 || (x)(y)
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
 
|-
 
|-
−
| f<sub>2</sub> || f<sub>0010</sub> || 0 0 1 0 || (x) y || y and not x || &not;x &and; y
+
| ''f<sub>2</sub> || 0010 || (x) y  
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
 
|-
 
|-
−
| f<sub>3</sub> || f<sub>0011</sub> || 0 0 1 1 || (x) || not x || &not;x
+
| ''f<sub>3</sub> || 0011 || (x)  
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    || 1    || 1
 
|-
 
|-
−
| f<sub>4</sub> || f<sub>0100</sub> || 0 1 0 0 || x (y) || x and not y || x &and; &not;y
+
| ''f<sub>4</sub> || 0100 || x (y)
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
 
|-
 
|-
−
| f<sub>5</sub> || f<sub>0101</sub> || 0 1 0 1 || (y) || not y || &not;y
+
| ''f<sub>5</sub> || 0101 || (y)
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|&nbsp;||&nbsp;|| 1   || 1    ||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
 
|-
 
|-
−
| f<sub>6</sub> || f<sub>0110</sub> || 0 1 1 0 || (x, y) || x not equal to y || x &ne; y
+
| ''f<sub>6</sub> || 0110 || (x, y)
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
 
|-
 
|-
−
| f<sub>7</sub> || f<sub>0111</sub> || 0 1 1 1 || (x&nbsp;y) || not both x and y || &not;x &or; &not;y
+
| ''f<sub>7</sub> || 0111 || (x  y)
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
| 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1
 
|-
 
|-
−
| f<sub>8</sub> || f<sub>1000</sub> || 1 0 0 0 || x&nbsp;y || x and y || x &and; y
+
| ''f<sub>8</sub> || 1000 || x  y
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
 
|-
 
|-
−
| f<sub>9</sub> || f<sub>1001</sub> || 1 0 0 1 || ((x, y)) || x equal to y || x = y
+
| ''f<sub>9</sub> || 1001 || ((x, y))
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
 
|-
 
|-
−
| f<sub>10</sub> || f<sub>1010</sub> || 1 0 1 0 || y || y || y
+
| ''f<sub>10</sub> || 1010 || y
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1   ||&nbsp;|| 1
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
 
|-
 
|-
−
| f<sub>11</sub> || f<sub>1011</sub> || 1 0 1 1 || (x (y)) || not x without y || x &rarr; y
+
| ''f<sub>11</sub> || 1011 || (x (y))
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    || 1    || 1
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    || 1    || 1
 
|-
 
|-
−
| f<sub>12</sub> || f<sub>1100</sub> || 1 1 0 0 || x || x || x
+
| ''f<sub>12</sub> || 1100 || x
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1   ||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
 
|-
 
|-
−
| f<sub>13</sub> || f<sub>1101</sub> || 1 1 0 1 || ((x) y) || not y without x || x &larr; y
+
| ''f<sub>13</sub> || 1101 || ((x) y)
 +
|&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    ||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
 +
|&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    ||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
 
|-
 
|-
−
| f<sub>14</sub> || f<sub>1110</sub> || 1 1 1 0 || ((x)(y)) || x or y  || x &or; y
+
| ''f<sub>14</sub> || 1110 || ((x)(y))
 +
|&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
 +
|&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
 
|-
 
|-
−
| f<sub>15</sub> || f<sub>1111</sub> || 1 1 1 1 || ((&nbsp;)) || true || 1
+
| ''f<sub>15</sub> || 1111 || (( ))
 +
| 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1
 +
| 1   || 1   || 1   || 1    || 1    || 1    || 1    || 1
 
|}
 
|}
 
<br>
 
<br>
  
−
===Template Draft===
+
{| align="center" border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
−
 
+
|+ '''Table 11.  Qualifiers of Implication Ordering: &beta;<sub>''i''&nbsp;</sub>''f'' = &Upsilon;(''f'' &rArr; ''f''<sub>''i''</sub>)'''
−
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:mintcream; font-weight:bold; text-align:center; width:98%"
+
|- style="background:paleturquoise"
−
|+ '''Propositional Forms on Two Variables'''
+
| align=right | ''x'' : || 1100 || ''f''
−
|- style="background:aliceblue"
+
|&beta;||&beta;||&beta;||&beta;||&beta;||&beta;||&beta;||&beta;
−
! style="width:14%" | L<sub>1</sub>
+
|&beta;||&beta;||&beta;||&beta;||&beta;||&beta;||&beta;||&beta;
−
! style="width:14%" | L<sub>2</sub>
+
|- style="background:paleturquoise"
−
! style="width:14%" | L<sub>3</sub>
+
| align=right | ''y'' : || 1010 || &nbsp;
−
! style="width:14%" | L<sub>4</sub>
+
|0||1||2||3||4||5||6||7||8||9||10||11||12||13||14||15
−
! style="width:14%" | L<sub>5</sub>
 
−
! style="width:14%" | L<sub>6</sub>
 
−
! style="width:14%" | Name
 
−
|- style="background:aliceblue"
 
−
| &nbsp;
 
−
| align="right" | x :
 
−
| 1 1 0 0
 
−
| &nbsp;
 
−
| &nbsp;
 
−
| &nbsp;
 
−
| &nbsp;
 
−
|- style="background:aliceblue"
 
−
| &nbsp;
 
−
| align="right" | y :
 
−
| 1 0 1 0
 
−
| &nbsp;
 
−
| &nbsp;
 
−
| &nbsp;
 
−
| &nbsp;
 
 
|-
 
|-
−
| f<sub>0</sub> || f<sub>0000</sub> || 0 0 0 0 || (&nbsp;) || false || 0 || Falsity
+
| ''f<sub>0</sub> || 0000 || ( )
 +
| 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1
 +
| 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1
 
|-
 
|-
−
| f<sub>1</sub> || f<sub>0001</sub> || 0 0 0 1 || (x)(y) || neither x nor y || &not;x &and; &not;y || [[NNOR]]
+
| ''f<sub>1</sub> || 0001 || (x)(y)
 +
|&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
 +
|&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
 
|-
 
|-
−
| f<sub>2</sub> || f<sub>0010</sub> || 0 0 1 0 || (x) y || y and not x || &not;x &and; y || Insuccede
+
| ''f<sub>2</sub> || 0010 || (x) y  
 +
|&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    ||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
 +
|&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    ||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
 
|-
 
|-
−
| f<sub>3</sub> || f<sub>0011</sub> || 0 0 1 1 || (x) || not x || &not;x || Not One
+
| ''f<sub>3</sub> || 0011 || (x)
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1   ||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
 
|-
 
|-
−
| f<sub>4</sub> || f<sub>0100</sub> || 0 1 0 0 || x (y) || x and not y || x &and; &not;y || Imprecede
+
| ''f<sub>4</sub> || 0100 || x (y)
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    || 1    || 1
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    || 1    || 1
 
|-
 
|-
−
| f<sub>5</sub> || f<sub>0101</sub> || 0 1 0 1 || (y) || not y || &not;y || Not Two
+
| ''f<sub>5</sub> || 0101 || (y)
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1   ||&nbsp;|| 1
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
 
|-
 
|-
−
| f<sub>6</sub> || f<sub>0110</sub> || 0 1 1 0 || (x, y) || x not equal to y || x &ne; y || Inequality
+
| ''f<sub>6</sub> || 0110 || (x, y)
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
 
|-
 
|-
−
| f<sub>7</sub> || f<sub>0111</sub> || 0 1 1 1 || (x&nbsp;y) || not both x and y || &not;x &or; &not;y || NAND
+
| ''f<sub>7</sub> || 0111 || (x  y)
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
 
|-
 
|-
−
| f<sub>8</sub> || f<sub>1000</sub> || 1 0 0 0 || x&nbsp;y || x and y || x &and; y || [[Conjunction]]
+
| ''f<sub>8</sub> || 1000 || x  y
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
| 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1
 
|-
 
|-
−
| f<sub>9</sub> || f<sub>1001</sub> || 1 0 0 1 || ((x, y)) || x equal to y || x = y || Equality
+
| ''f<sub>9</sub> || 1001 || ((x, y))
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
 
|-
 
|-
−
| f<sub>10</sub> || f<sub>1010</sub> || 1 0 1 0 || y || y || y || Two
+
| ''f<sub>10</sub> || 1010 || y
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|&nbsp;||&nbsp;|| 1   || 1   ||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
 
|-
 
|-
−
| f<sub>11</sub> || f<sub>1011</sub> || 1 0 1 1 || (x (y)) || not x without y || x &rarr; y || [[Logical implcation|Implication]]
+
| ''f<sub>11</sub> || 1011 || (x (y))
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
 
|-
 
|-
−
| f<sub>12</sub> || f<sub>1100</sub> || 1 1 0 0 || x || x || x || One
+
| ''f<sub>12</sub> || 1100 || x
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    || 1    || 1
 
|-
 
|-
−
| f<sub>13</sub> || f<sub>1101</sub> || 1 1 0 1 || ((x) y) || not y without x || x &larr; y || [[Logical involution|Involution]]
+
| ''f<sub>13</sub> || 1101 || ((x) y)
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
 
|-
 
|-
−
| f<sub>14</sub> || f<sub>1110</sub> || 1 1 1 0 || ((x)(y)) || x or y  || x &or; y || [[Disjunction]]
+
| ''f<sub>14</sub> || 1110 || ((x)(y))
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
 
|-
 
|-
−
| f<sub>15</sub> || f<sub>1111</sub> || 1 1 1 1 || ((&nbsp;)) || true || 1 || Tautology
+
| ''f<sub>15</sub> || 1111 || (( ))
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
 
|}
 
|}
 
<br>
 
<br>
  
−
===[[Truth Tables]]===
+
{| align="center" border="1" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
−
 
+
|+ '''Table 13.  Syllogistic Premisses as Higher Order Indicator Functions'''
−
====[[Logical negation]]====
+
| A
−
 
+
| align=left | Universal Affirmative
−
'''Logical negation''' is an [[logical operation|operation]] on one [[logical value]], typically the value of a [[proposition]], that produces a value of ''true'' when its operand is false and a value of ''false'' when its operand is true.
+
| align=left | All
−
 
+
| x || is || y
−
The [[truth table]] of '''NOT p''' (also written as '''~p''' or '''&not;p''') is as follows:
+
| align=left | Indicator of " x (y)" = 0
−
 
+
|-
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:mintcream; font-weight:bold; text-align:center; width:40%"
+
| E
−
|+ '''Logical Negation'''
+
| align=left | Universal Negative
−
|- style="background:aliceblue"
+
| align=left | All
−
! style="width:20%" | p
+
| x || is || (y)
−
! style="width:20%" | &not;p
+
| align=left | Indicator of " x  y " = 0
 
|-
 
|-
−
| F || T
+
| I
 +
| align=left | Particular Affirmative
 +
| align=left | Some
 +
| x || is || y
 +
| align=left | Indicator of " x  y " = 1
 
|-
 
|-
−
| T || F
+
| O
 +
| align=left | Particular Negative
 +
| align=left | Some
 +
| x || is || (y)
 +
| align=left | Indicator of " x (y)" = 1
 
|}
 
|}
 
<br>
 
<br>
  
−
The logical negation of a proposition '''p''' is notated in different ways in various contexts of discussion and fields of application.  Among these variants are the following:
+
{| align="center" border="1" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
−
 
+
|+ '''Table 14.  Relation of Quantifiers to Higher Order Propositions'''
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:mintcream; width:40%"
+
|- style="background:paleturquoise"
−
|+ '''Variant Notations'''
+
|Mnemonic||Category||Classical Form||Alternate Form||Symmetric Form||Operator
−
|- style="background:aliceblue"
+
|-
−
! style="text-align:center" | Notation
+
| E<br>Exclusive
−
! Vocalization
+
| Universal<br>Negative
 +
| align=left | All x is (y)
 +
| align=left | &nbsp;
 +
| align=left | No x is y
 +
| (''L''<sub>11</sub>)
 
|-
 
|-
−
| style="text-align:center" | <math>\bar{p}</math>
+
| A<br>Absolute
−
| bar ''p''
+
| Universal<br>Affirmative
 +
| align=left | All x is y
 +
| align=left | &nbsp;
 +
| align=left | No x is (y)
 +
| (''L''<sub>10</sub>)
 
|-
 
|-
−
| style="text-align:center" | <math>p'\!</math>
+
| &nbsp;
−
| ''p'' prime,<p> ''p'' complement
+
| &nbsp;
 +
| align=left | All y is x
 +
| align=left | No y is (x)
 +
| align=left | No (x) is y
 +
| (''L''<sub>01</sub>)
 
|-
 
|-
−
| style="text-align:center" | <math>!p\!</math>
+
| &nbsp;
−
| bang ''p''
+
| &nbsp;
−
|}
+
| align=left | All (y) is x
−
<br>
+
| align=left | No (y) is (x)
−
 
+
| align=left | No (x) is (y)
−
No matter how it is notated or symbolized, the logical negation &not;''p'' is read as "it is not the case that ''p''", or usually more simply as "not ''p''".
+
| (''L''<sub>00</sub>)
−
 
 
−
* Within a system of [[classical logic]], double negation, that is, the negation of the negation of a proposition ''p'', is [[logically equivalent]] to the initial proposition ''p''.  Expressed in symbolic terms, &not;(&not;''p'') &hArr; ''p''.
 
−
 
 
−
* Within a system of [[intuitionistic logic]], however, &not;&not;''p'' is a weaker statement than ''p''.  On the other hand, the logical equivalence &not;&not;&not;''p'' &hArr; &not;''p'' remains valid.
 
−
 
 
−
Logical negation can be defined in terms of other logical operations.  For example, ~''p'' can be defined as ''p'' &rarr; ''F'', where &rarr; is [[material implication]] and ''F'' is absolute falsehood.  Conversely, one can define ''F'' as ''p'' &amp; ~''p'' for any proposition ''p'', where &amp; is [[logical conjunction]].  The idea here is that any [[contradiction]] is false.  While these ideas work in both classical and intuitionistic logic, they don't work in [[Brazilian logic]], where contradictions are not necessarily false.  But in classical logic, we get a further identity: ''p'' &rarr; ''q'' can be defined as ~''p'' &or; ''q'', where &or; is [[logical disjunction]].
 
−
 
 
−
Algebraically, logical negation corresponds to the ''complement'' in a [[Boolean algebra]] (for classical logic) or a [[Heyting algebra]] (for intuitionistic logic).
 
−
 
 
−
====[[Logical conjunction]]====
 
−
 
 
−
'''Logical conjunction''' is an [[logical operation|operation]] on two [[logical value]]s, typically the values of two [[proposition]]s, that produces a value of ''true'' if and only if both of its operands are true.
 
−
 
 
−
The [[truth table]] of '''p AND q''' (also written as '''p &and; q''', '''p & q''', or '''p<math>\cdot</math>q''') is as follows:
 
−
 
 
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:mintcream; font-weight:bold; text-align:center; width:45%"
 
−
|+ '''Logical Conjunction'''
 
−
|- style="background:aliceblue"
 
−
! style="width:15%" | p
 
−
! style="width:15%" | q
 
−
! style="width:15%" | p &and; q
 
 
|-
 
|-
−
| F || F || F
+
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
| align=left | Some (x) is (y)
 +
| align=left | &nbsp;
 +
| align=left | Some (x) is (y)
 +
| ''L''<sub>00</sub>
 
|-
 
|-
−
| F || T || F
+
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
| align=left | Some (x) is y
 +
| align=left | &nbsp;
 +
| align=left | Some (x) is y
 +
| ''L''<sub>01</sub>
 
|-
 
|-
−
| T || F || F
+
| O<br>Obtrusive
 +
| Particular<br>Negative
 +
| align=left | Some x is (y)
 +
| align=left | &nbsp;
 +
| align=left | Some x is (y)
 +
| ''L''<sub>10</sub>
 
|-
 
|-
−
| T || T || T
+
| I<br>Indefinite
 +
| Particular<br>Affirmative
 +
| align=left | Some x is y
 +
| align=left | &nbsp;
 +
| align=left | Some x is y
 +
| ''L''<sub>11</sub>
 
|}
 
|}
 
<br>
 
<br>
  
−
====[[Logical disjunction]]====
+
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
−
 
+
|+ '''Table 15.  Simple Qualifiers of Propositions (n = 2)'''
−
'''Logical disjunction''' is an [[logical operation|operation]] on two [[logical value]]s, typically the values of two [[proposition]]s, that produces a value of ''false'' if and only if both of its operands are false.
+
|- style="background:paleturquoise"
−
 
+
| align=right | ''x'' : || 1100 || ''f''
−
The [[truth table]] of '''p OR q''' (also written as '''p &or; q''') is as follows:
+
| (''L''<sub>11</sub>)
 +
| (''L''<sub>10</sub>)
 +
| (''L''<sub>01</sub>)
 +
| (''L''<sub>00</sub>)
 +
| ''L''<sub>00</sub>
 +
|  ''L''<sub>01</sub>
 +
|  ''L''<sub>10</sub>
 +
|  ''L''<sub>11</sub>
 +
|- style="background:paleturquoise"
 +
| align=right | ''y'' : || 1010 || &nbsp;
 +
| align=left |  no  x  <br> is  y
 +
| align=left |  no  x  <br> is (y)
 +
| align=left |  no (x) <br> is  y
 +
| align=left |  no (x) <br> is (y)
 +
| align=left | some (x) <br> is (y)
 +
| align=left | some (x) <br> is  y
 +
| align=left | some  x  <br> is (y)
 +
| align=left | some  x  <br> is  y
 +
|-
 +
| ''f<sub>0</sub> || 0000 || ( )
 +
| 1 || 1 || 1 || 1 || 0 || 0 || 0 || 0
 +
|-
 +
| ''f<sub>1</sub> || 0001 || (x)(y)
 +
| 1 || 1 || 1 || 0 || 1 || 0 || 0 || 0
  
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:mintcream; font-weight:bold; text-align:center; width:45%"
 
−
|+ '''Logical Disjunction'''
 
−
|- style="background:aliceblue"
 
−
! style="width:15%" | p
 
−
! style="width:15%" | q
 
−
! style="width:15%" | p &or; q
 
 
|-
 
|-
−
| F || F || F
+
| ''f<sub>2</sub> || 0010 || (x) y
 +
| 1 || 1 || 0 || 1 || 0 || 1 || 0 || 0
 
|-
 
|-
−
| F || T || T
+
| ''f<sub>3</sub> || 0011 || (x)
 +
| 1 || 1 || 0 || 0 || 1 || 1 || 0 || 0
 
|-
 
|-
−
| T || F || T
+
| ''f<sub>4</sub> || 0100 || x (y)
 +
| 1 || 0 || 1 || 1 || 0 || 0 || 1 || 0
 
|-
 
|-
−
| T || T || T
+
| ''f<sub>5</sub> || 0101 || (y)
−
|}
+
| 1 || 0 || 1 || 0 || 1 || 0 || 1 || 0
−
<br>
+
|-
−
 
+
| ''f<sub>6</sub> || 0110 || (x, y)
−
====[[Logical equality]]====
+
| 1 || 0 || 0 || 1 || 0 || 1 || 1 || 0
−
 
+
|-
−
'''Logical equality''' is an [[logical operation|operation]] on two [[logical value]]s, typically the values of two [[proposition]]s, that produces a value of ''true'' if and only if both operands are false or both operands are true.
+
| ''f<sub>7</sub> || 0111 || (x  y)
−
 
+
| 1 || 0 || 0 || 0 || 1 || 1 || 1 || 0
−
The [[truth table]] of '''p EQ q''' (also written as '''p = q''', '''p &harr; q''', or '''p &equiv; q''') is as follows:
+
|-
−
 
+
| ''f<sub>8</sub> || 1000 || x  y
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:mintcream; font-weight:bold; text-align:center; width:45%"
+
| 0 || 1 || 1 || 1 || 0 || 0 || 0 || 1
−
|+ '''Logical Equality'''
+
|-
−
|- style="background:aliceblue"
+
| ''f<sub>9</sub> || 1001 || ((x, y))
−
! style="width:15%" | p
+
| 0 || 1 || 1 || 0 || 1 || 0 || 0 || 1
−
! style="width:15%" | q
+
|-
−
! style="width:15%" | p = q
+
| ''f<sub>10</sub> || 1010 || y
 +
| 0 || 1 || 0 || 1 || 0 || 1 || 0 || 1
 +
|-
 +
| ''f<sub>11</sub> || 1011 || (x (y))
 +
| 0 || 1 || 0 || 0 || 1 || 1 || 0 || 1
 
|-
 
|-
−
| F || F || T
+
| ''f<sub>12</sub> || 1100 || x
 +
| 0 || 0 || 1 || 1 || 0 || 0 || 1 || 1
 
|-
 
|-
−
| F || T || F
+
| ''f<sub>13</sub> || 1101 || ((x) y)
 +
| 0 || 0 || 1 || 0 || 1 || 0 || 1 || 1
 
|-
 
|-
−
| T || F || F
+
| ''f<sub>14</sub> || 1110 || ((x)(y))
 +
| 0 || 0 || 0 || 1 || 0 || 1 || 1 || 1
 
|-
 
|-
−
| T || T || T
+
| ''f<sub>15</sub> || 1111 || (( ))
 +
| 0 || 0 || 0 || 0 || 1 || 1 || 1 || 1
 
|}
 
|}
 
<br>
 
<br>
  
−
====[[Exclusive disjunction]]====
+
Table 7. Higher Order Propositions (n = 1)
−
 
+
o------o-----o-----o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o---o
−
'''Exclusive disjunction''' is an [[logical operation|operation]] on two [[logical value]]s, typically the values of two [[proposition]]s, that produces a value of ''true'' just in case exactly one of its operands is true.
+
|  \ x | 1 0 |  F  |m |m |m |m |m |m |m |m |m |m |m |m |m |m |m |m  |
−
 
+
| F \  |    |    |00|01|02|03|04|05|06|07|08|09|10|11|12|13|14|15 |
−
The [[truth table]] of '''p XOR q''' (also written as '''p + q''', '''p &oplus; q''', or '''p &ne; q''') is as follows:
+
o------o-----o-----o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o---o
−
 
+
|      |    |    |                                                |
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:mintcream; font-weight:bold; text-align:center; width:45%"
+
| F_0  | 0 0 | 0  | 0  1  0  1  0  1  0  1  0  1  0  1  0  1  0  1 |
−
|+ '''Exclusive Disjunction'''
+
|     |     |     |                                               |
−
|- style="background:aliceblue"
+
| F_1  | 0 1 | (x) | 0  0  1  1  0  0  1  1  0  0  1  1  0  0  1  1 |
−
! style="width:15%" | p
+
|     |     |     |                                               |
−
! style="width:15%" | q
+
| F_2  | 1 0 |  x  | 0  0  0  0  1  1  1  1  0  0  0  0  1  1  1  1 |
−
! style="width:15%" | p XOR q
+
|     |     |     |                                               |
−
|-
+
| F_3  | 1 1 |  1  | 0  0  0  0  0  0  0  0  1  1  1  1  1  1  1  1 |
−
| F || F || F
+
|     |     |     |                                               |
−
|-
+
o------o-----o-----o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o---o
−
| F || T || T
 
−
|-
 
−
| T || F || T
 
−
|-
 
−
| T || T || F
 
−
|}
 
 
<br>
 
<br>
  
−
The following equivalents can then be deduced:
+
Table 8.  Interpretive Categories for Higher Order Propositions (n = 1)
−
 
+
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
−
: <math>\begin{matrix}
+
|Measure| Happening| Exactness  | Existence  | Linearity|Uniformity|Information|
−
p + q & = & (p \land \lnot q) & \lor & (\lnot p \land q) \\
+
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
−
\\
+
| m_0  | nothing  |            |            |          |          |          |
−
       & = & (p \lor q) & \land & (\lnot p \lor \lnot q) \\
+
|      | happens  |            |            |          |          |          |
−
\\
+
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
−
       & = & (p \lor q) & \land & \lnot (p \land q)
+
| m_1  |          |            | nothing    |          |          |          |
−
\end{matrix}</math>
+
|      |          | just false | exists    |          |          |          |
 +
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
 +
| m_2  |          |            |            |          |          |          |
 +
|      |          | just not x |            |          |          |          |
 +
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
 +
| m_3  |          |            | nothing    |          |          |          |
 +
|      |          |            | is x      |          |          |          |
 +
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
 +
| m_4  |          |            |            |          |          |          |
 +
|      |          | just x    |            |          |          |          |
 +
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
 +
| m_5  |          |            | everything | F is    |          |          |
 +
|      |          |            | is x      | linear  |          |          |
 +
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
 +
| m_6  |          |            |            |          | F is not | F is      |
 +
|      |          |            |            |          | uniform  | informed  |
 +
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
 +
| m_7  |          | not        |            |          |          |          |
 +
|      |          | just true  |            |          |          |          |
 +
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
 +
| m_8  |          |            |            |          |          |          |
 +
|      |          | just true  |            |          |          |          |
 +
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
 +
| m_9  |          |            |            |          | F is    | F is not  |
 +
|      |          |            |            |          | uniform  | informed  |
 +
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
 +
| m_10  |          |            | something  | F is not |          |          |
 +
|      |          |            | is not x  | linear  |          |          |
 +
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
 +
| m_11  |          | not        |            |          |          |          |
 +
|      |          | just x    |            |          |          |          |
 +
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
 +
| m_12  |          |            | something  |          |          |          |
 +
|      |          |            | is x      |          |          |          |
 +
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
 +
| m_13  |          | not        |            |          |          |          |
 +
|      |          | just not x |            |          |          |          |
 +
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
 +
| m_14  |          | not        | something  |          |          |          |
 +
|       |          | just false | exists    |          |          |          |
 +
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
 +
| m_15  | anything |            |            |          |          |          |
 +
|       | happens  |            |            |          |          |          |
 +
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
 +
<br>
  
−
'''Generalized''' or '''n-ary''' XOR is true when the number of 1-bits is odd.
+
Table 9.  Higher Order Propositions (n = 2)
 +
o------o------o----------o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o
 +
|  | x | 1100 |    f    |m|m|m|m|m|m|m|m|m|m|m|m|m|m|m|m|.|
 +
|  | y | 1010 |          |0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|1|1|1|1|1|1|.|
 +
| f \  |      |          |0|1|2|3|4|5|6|7|8|9|0|1|2|3|4|5|.|
 +
o------o------o----------o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o
 +
|      |      |          |                                |
 +
| f_0  | 0000 |    ()    |0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1  |
 +
|      |      |          |                                |
 +
| f_1  | 0001 |  (x)(y)  |    1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 |
 +
|      |      |          |                                |
 +
| f_2  | 0010 |  (x) y  |        1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1  |
 +
|      |      |          |                                |
 +
| f_3  | 0011 |  (x)    |                1 1 1 1 1 1 1 1  |
 +
|      |      |          |                                |
 +
| f_4  | 0100 |  x (y)  |                                |
 +
|      |      |          |                                |
 +
| f_5  | 0101 |    (y)  |                                |
 +
|      |      |          |                                |
 +
| f_6  | 0110 |  (x, y)  |                                |
 +
|      |      |          |                                |
 +
| f_7  | 0111 |  (x  y)  |                                |
 +
|      |      |          |                                |
 +
o------o------o----------o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o
 +
|      |      |          |                                |
 +
| f_8  | 1000 |  x  y  |                                |
 +
|      |      |          |                                |
 +
| f_9  | 1001 | ((x, y)) |                                |
 +
|      |      |          |                                |
 +
| f_10 | 1010 |      y  |                                |
 +
|      |      |          |                                |
 +
| f_11 | 1011 |  (x (y)) |                                |
 +
|      |      |          |                                |
 +
| f_12 | 1100 |  x      |                                |
 +
|      |      |          |                                |
 +
| f_13 | 1101 | ((x) y)  |                                |
 +
|      |      |          |                                |
 +
| f_14 | 1110 | ((x)(y)) |                                |
 +
|      |      |          |                                |
 +
| f_15 | 1111 |  (())  |                                |
 +
|      |      |          |                                |
 +
o------o------o----------o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o
 +
<br>
  
−
====[[Logical implication]]====
+
Table 10.  Qualifiers of Implication Ordering:  !a!_i f  = !Y!(f_i => f)
−
 
+
o------o------o----------o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o
−
The '''material conditional''' and '''logical implication''' are both associated with an [[logical operation|operation]] on two [[logical value]]s, typically the values of two [[proposition]]s, that produces a value of ''false'' if and only if the first operand is true and the second operand is false.
+
|  | x | 1100 |    f    |a |a |a |a |a |a |a |a |a |a |a |a |a |a |a |a |
 +
|  | y | 1010 |          |1 |1 |1 |1 |1 |1 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |
 +
| f \  |      |          |5 |4 |3 |2 |1 |0 |9 |8 |7 |6 |5 |4 |3 |2 |1 |0 |
 +
o------o------o----------o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o
 +
|      |      |          |                                              |
 +
| f_0  | 0000 |    ()    |                                            1 |
 +
|      |      |          |                                              |
 +
| f_1  | 0001 |  (x)(y)  |                                          1  1 |
 +
|      |      |          |                                              |
 +
| f_2  | 0010 |  (x) y  |                                      1    1 |
 +
|      |      |          |                                              |
 +
| f_3  | 0011 |  (x)    |                                    1  1  1  1 |
 +
|      |      |          |                                              |
 +
| f_4  | 0100 |  x (y)  |                                1          1 |
 +
|      |      |          |                                              |
 +
| f_5  | 0101 |    (y)  |                              1  1        1  1 |
 +
|      |      |         |                                              |
 +
| f_6  | 0110 |  (x, y)  |                          1    1    1    1 |
 +
|      |      |          |                                              |
 +
| f_7  | 0111 |  (x  y)  |                        1  1  1  1  1  1  1  1 |
 +
|      |      |          |                                              |
 +
| f_8  | 1000 |  x  y  |                    1                      1 |
 +
|      |      |          |                                              |
 +
| f_9  | 1001 | ((x, y)) |                  1  1                    1  1 |
 +
|      |      |          |                                              |
 +
| f_10 | 1010 |      y  |              1    1                1    1 |
 +
|      |      |          |                                              |
 +
| f_11 | 1011 |  (x (y)) |            1  1  1  1              1  1  1  1 |
 +
|      |      |          |                                              |
 +
| f_12 | 1100 |  x      |        1          1          1          1 |
 +
|      |      |          |                                              |
 +
| f_13 | 1101 | ((x) y)  |      1  1        1  1        1  1        1  1 |
 +
|      |      |          |                                              |
 +
| f_14 | 1110 | ((x)(y)) |  1    1    1    1    1    1    1    1 |
 +
|      |      |          |                                              |
 +
| f_15 | 1111 |  (())  |1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1 |
 +
|      |      |          |                                              |
 +
o------o------o----------o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o
 +
<br>
  
−
The [[truth table]] associated with the material conditional '''if p then q''' (symbolized as '''p&nbsp;&rarr;&nbsp;q''') and the logical implication '''p implies q''' (symbolized as '''p&nbsp;&rArr;&nbsp;q''') is as follows:
+
Table 11.  Qualifiers of Implication Ordering:  !b!_i f  =  !Y!(f => f_i)
−
 
+
o------o------o----------o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:mintcream; font-weight:bold; text-align:center; width:45%"
+
|  | x | 1100 |    f    |b |b |b |b |b |b |b |b |b |b |b |b |b |b |b |b |
−
|+ '''Logical Implication'''
+
|  | y | 1010 |          |0 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |1 |1 |1 |1 |1 |1 |
−
|- style="background:aliceblue"
+
| f \  |      |          |0 |1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |8 |9 |0 |1 |2 |3 |4 |5 |
−
! style="width:15%" | p
+
o------o------o----------o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o
−
! style="width:15%" | q
+
|      |      |          |                                              |
−
! style="width:15%" | p &rArr; q
+
| f_0  | 0000 |    ()    |1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1 |
−
|-
+
|      |      |          |                                              |
−
| F || F || T
+
| f_1  | 0001 |  (x)(y)  |  1    1    1    1    1    1    1    1 |
−
|-
+
|      |      |          |                                              |
−
| F || T || T
+
| f_2  | 0010 |  (x) y  |      1  1        1  1        1  1        1  1 |
−
|-
+
|      |      |          |                                              |
−
| T || F || F
+
| f_3  | 0011 |  (x)    |        1          1          1          1 |
−
|-
+
|      |      |          |                                              |
−
| T || T || T
+
| f_4  | 0100 |  x (y)  |            1  1  1  1              1  1  1  1 |
−
|}
+
|      |      |          |                                              |
 +
| f_5  | 0101 |    (y)  |              1    1                1    1 |
 +
|      |      |          |                                              |
 +
| f_6  | 0110 |  (x, y)  |                  1  1                    1  1 |
 +
|      |      |          |                                              |
 +
| f_7  | 0111 |  (x  y)  |                    1                      1 |
 +
|      |      |          |                                              |
 +
| f_8  | 1000 |  x  y  |                        1  1  1  1  1  1  1  1 |
 +
|      |      |          |                                              |
 +
| f_9  | 1001 | ((x, y)) |                          1    1    1    1 |
 +
|      |      |          |                                              |
 +
| f_10 | 1010 |      y  |                              1  1        1  1 |
 +
|      |      |          |                                              |
 +
| f_11 | 1011 |  (x (y)) |                                1          1 |
 +
|      |      |          |                                              |
 +
| f_12 | 1100 |   x      |                                   1  1  1  1 |
 +
|      |      |          |                                              |
 +
| f_13 | 1101 | ((x) y)  |                                       1    1 |
 +
|      |      |          |                                              |
 +
| f_14 | 1110 | ((x)(y)) |                                         1  1 |
 +
|      |      |          |                                              |
 +
| f_15 | 1111 |   (())  |                                             1 |
 +
|     |      |          |                                              |
 +
o------o------o----------o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o
 
<br>
 
<br>
  
−
====[[Logical NAND]]====
+
Table 13.  Syllogistic Premisses as Higher Order Indicator Functions
−
 
+
o---o------------------------o-----------------o---------------------------o
−
The '''NAND operation''' is a [[logical operation]] on two [[logical value]]s, typically the values of two [[proposition]]s, that produces a value of ''false'' if and only if both of its operands are true. In other words, it produces a value of ''true'' if and only if at least one of its operands is false.
+
  |  |                        |                |                          |
−
 
+
| A | Universal Affirmative  | All  x  is y  | Indicator of " x (y)" = 0 |
−
The [[truth table]] of '''p NAND q''' (also written as '''p&nbsp;|&nbsp;q''' or '''p&nbsp;&uarr;&nbsp;q''') is as follows:
+
|  |                        |                |                          |
−
 
+
| E | Universal Negative    | All  x  is (y) | Indicator of " x  y " = 0 |
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:mintcream; font-weight:bold; text-align:center; width:45%"
+
|  |                        |                 |                           |
−
|+ '''Logical NAND'''
+
| I | Particular Affirmative | Some  x  is  y  | Indicator of " x  y " = 1 |
−
|- style="background:aliceblue"
+
|   |                       |                 |                           |
−
! style="width:15%" | p
+
| O | Particular Negative    | Some  x  is (y) | Indicator of " x (y)" = 1 |
−
! style="width:15%" | q
+
|   |                       |                 |                           |
−
! style="width:15%" | p &uarr; q
+
o---o------------------------o-----------------o---------------------------o
−
|-
 
−
| F || F || T
 
−
|-
 
−
| F || T || T
 
−
|-
 
−
| T || F || T
 
−
|-
 
−
| T || T || F
 
−
|}
 
 
<br>
 
<br>
  
−
====[[Logical NNOR]]====
+
Table 14.  Relation of Quantifiers to Higher Order Propositions
−
 
+
o------------o------------o-----------o-----------o-----------o-----------o
−
The '''NNOR operation''' is a [[logical operation]] on two [[logical value]]s, typically the values of two [[proposition]]s, that produces a value of ''true'' if and only if both of its operands are false. In other words, it produces a value of ''false'' if and only if at least one of its operands is true.
+
| Mnemonic  | Category  | Classical | Alternate | Symmetric | Operator  |
−
 
+
|            |            |  Form    |  Form    |  Form    |          |
−
The [[truth table]] of '''p NNOR q''' (also written as '''p&nbsp;&perp;&nbsp;q''' or '''p&nbsp;&darr;&nbsp;q''') is as follows:
+
o============o============o===========o===========o===========o===========o
−
 
+
|    E      | Universal  |  All  x  |          |  No  x  |  (L_11)  |
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:mintcream; font-weight:bold; text-align:center; width:45%"
+
| Exclusive  |  Negative  |  is  (y) |          |  is   y  |          |
−
|+ '''Logical NOR'''
+
o------------o------------o-----------o-----------o-----------o-----------o
−
|- style="background:aliceblue"
+
|    A      | Universal  |  All  x  |          |  No  x  |  (L_10)   |
−
! style="width:15%" | p
+
| Absolute  |  Affrmtve  |  is   y  |          |  is  (y) |          |
−
! style="width:15%" | q
+
o------------o------------o-----------o-----------o-----------o-----------o
−
! style="width:15%" | p &darr; q
+
|            |            |  All  y  |  No  y  |  No  (x) |  (L_01)  |
−
|-
+
|           |            |  is  x  |  is  (x) |  is  y  |          |
−
| F || F || T
+
o------------o------------o-----------o-----------o-----------o-----------o
−
|-
+
|            |            |  All  (y) |  No  (y) |  No  (x) |  (L_00)  |
−
| F || T || F
+
|            |            |  is  x  |  is  (x) |  is  (y) |           |
−
|-
+
o------------o------------o-----------o-----------o-----------o-----------o
−
| T || F || F
+
|           |            | Some  (x) |           | Some  (x) |   L_00    |
−
|-
+
|            |            |  is  (y) |          |   is  (y) |          |
−
| T || T || F
+
o------------o------------o-----------o-----------o-----------o-----------o
−
|}
+
|            |           | Some  (x) |           | Some  (x) |   L_01    |
 +
|            |            |   is  y  |          |  is  y  |          |
 +
o------------o------------o-----------o-----------o-----------o-----------o
 +
|     O      | Particular | Some  x  |           | Some  x  |  L_10    |
 +
| Obtrusive  |  Negative  |   is  (y) |          |  is  (y) |          |
 +
o------------o------------o-----------o-----------o-----------o-----------o
 +
|     I      | Particular | Some  x  |          | Some  x  |   L_11    |
 +
| Indefinite | Affrmtve  |  is  y  |          |  is  y  |          |
 +
o------------o------------o-----------o-----------o-----------o-----------o
 
<br>
 
<br>
  
−
===Exclusive Disjunction===
+
Table 15.  Simple Qualifiers of Propositions (n = 2)
−
 
+
o------o------o----------o-----o-----o-----o-----o-----o-----o-----o-----o
−
  A + B = (A &#8743; !B) &#8744; (!A &#8743; B)
+
  |  | x | 1100 |    f    |(L11)|(L10)|(L01)|(L00)| L00 | L01 | L10 | L11 |
−
      = {(A &#8743; !B) &#8744; !A} &#8743; {(A &#8743; !B) &#8744; B}
+
|  | y | 1010 |          |no  x|no  x|no ~x|no ~x|sm ~x|sm ~x|sm  x|sm  x|
−
      = {(A &#8744; !A) &#8743; (!B &#8744; !A)} &#8743; {(A &#8744; B) &#8743; (!B &#8744; B)}
+
| f \  |      |          |is  y|is ~y|is  y|is ~y|is ~y|is  y|is ~y|is  y|
−
      = (!A &#8744; !B) &#8743; (A &#8744; B)
+
o------o------o----------o-----o-----o-----o-----o-----o-----o-----o-----o
−
      = !(A &#8743; B) &#8743; (A &#8744; B)
+
|      |      |          |                                              |
 +
| f_0  | 0000 |    ()    |  1    1    1    1    0    0    0    0  |
 +
|      |      |          |                                              |
 +
| f_1  | 0001 |  (x)(y) |  1    1    1    0    1    0    0    0  |
 +
|      |      |          |                                              |
 +
| f_2  | 0010 |  (x) y  |  1    1    0    1    0    1    0    0  |
 +
|      |      |          |                                              |
 +
| f_3  | 0011 |  (x)     |  1    1    0    0    1    1    0    0  |
 +
|      |      |          |                                              |
 +
| f_4  | 0100 |  x (y) |  1    0    1    1    0    0    1    0  |
 +
|      |      |          |                                              |
 +
| f_5  | 0101 |    (y) |  1    0    1    0    1    0    1    0  |
 +
|      |      |          |                                              |
 +
| f_6  | 0110 |  (x, y)  |  1    0    0    1    0    1    1    0  |
 +
|      |      |          |                                              |
 +
| f_7  | 0111 |  (x  y)  |  1    0    0    0    1    1    1    0  |
 +
|      |      |          |                                              |
 +
| f_8  | 1000 |  x  y  |  0    1    1    1    0    0    0    1  |
 +
|      |      |          |                                              |
 +
| f_9  | 1001 | ((x, y)) |  0    1    1    0    1    0    0    1  |
 +
|      |      |          |                                              |
 +
| f_10 | 1010 |      y  |  0    1    0    1    0    1    0    1  |
 +
|      |      |          |                                              |
 +
| f_11 | 1011 |  (x (y)) |  0    1    0    0    1    1    0    1  |
 +
|      |      |          |                                              |
 +
| f_12 | 1100 |  x      |  0    0    1    1    0    0    1    1  |
 +
|      |      |          |                                              |
 +
| f_13 | 1101 | ((x) y)  |  0    0    1    0    1    0    1    1  |
 +
|      |      |          |                                              |
 +
| f_14 | 1110 | ((x)(y)) |  0    0    0    1    0    1    1    1  |
 +
|      |      |          |                                              |
 +
| f_15 | 1111 |  (())  |  0    0    0    0    1    1    1    1  |
 +
|      |      |          |                                              |
 +
o------o------o----------o-----o-----o-----o-----o-----o-----o-----o-----o
 +
<br>
  
 +
===[[Zeroth Order Logic]]===
  
−
p + q = (p &#8743; !q)  &#8744; (!p &#8743; B)
+
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
−
+
|+ '''Table 1.  Propositional Forms on Two Variables'''
−
      = {(p &#8743; !q) &#8744; !p} &#8743; {(p &#8743; !q) &#8744; q}
+
|- style="background:paleturquoise"
−
+
! style="width:15%" | L<sub>1</sub>
−
      = {(p &#8744; !q) &#8743; (!q &#8744; !p)} &#8743; {(p &#8744; q) &#8743; (!q &#8744; q)}
+
! style="width:15%" | L<sub>2</sub>
−
+
! style="width:15%" | L<sub>3</sub>
−
      = (!p &#8744; !q) &#8743; (p &#8744; q)
+
! style="width:15%" | L<sub>4</sub>
−
+
! style="width:15%" | L<sub>5</sub>
−
      = !(p &#8743; q)  &#8743; (p &#8744; q)
+
! style="width:15%" | L<sub>6</sub>
−
 
 
−
 
 
−
p + q = (p &#8743; ~q)  &#8744; (~p &#8743; q)
 
−
 
−
      = ((p &#8743; ~q) &#8744; ~p) &#8743; ((p &#8743; ~q) &#8744; q)
 
−
 
−
      = ((p &#8744; ~q) &#8743; (~q &#8744; ~p)) &#8743; ((p &#8744; q) &#8743; (~q &#8744; q))
 
−
 
−
      = (~p &#8744; ~q) &#8743; (p &#8744; q)
 
−
 
−
      = ~(p &#8743; q)  &#8743; (p &#8744; q)
 
−
 
 
−
: <math>\begin{matrix}
 
−
p + q & = & (p \land \lnot q) & \lor & (\lnot p \land q) \\
 
−
& = & ((p \land \lnot q) \lor \lnot p) & \and & ((p \land \lnot q) \lor q) \\
 
−
& = & ((p \lor \lnot q) \land (\lnot q \lor \lnot p)) & \land & ((p \lor q) \land (\lnot q \lor q)) \\
 
−
& = & (\lnot p \lor \lnot q) & \land & (p \lor q) \\
 
−
& = & \lnot (p \land q) & \land & (p \lor q)
 
−
\end{matrix}</math>
 
−
 
 
−
==Logical Tables==
 
−
 
 
−
===Higher Order Propositions===
 
−
 
 
−
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
 
−
|+ '''Table 7.  Higher Order Propositions (n = 1)'''
 
 
|- style="background:paleturquoise"
 
|- style="background:paleturquoise"
−
| \ ''x'' || 1 0 || ''F''
+
| &nbsp;
−
|''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''
+
| align="right" | x :
−
|''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''
+
| 1 1 0 0
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 
|- style="background:paleturquoise"
 
|- style="background:paleturquoise"
−
| ''F'' \ || &nbsp; || &nbsp;
+
| &nbsp;
−
|00||01||02||03||04||05||06||07||08||09||10||11||12||13||14||15
+
| align="right" | y :
 +
| 1 0 1 0
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 
|-
 
|-
−
| ''F<sub>0</sub> || 0 0 || 0 ||0||1||0||1||0||1||0||1||0||1||0||1||0||1||0||1
+
| f<sub>0</sub> || f<sub>0000</sub> || 0 0 0 0 || (&nbsp;) || false || 0
 
|-
 
|-
−
| ''F<sub>1</sub> || 0 1 || (x) ||0||0||1||1||0||0||1||1||0||0||1||1||0||0||1||1
+
| f<sub>1</sub> || f<sub>0001</sub> || 0 0 0 1 || (x)(y) || neither x nor y || &not;x &and; &not;y
 
|-
 
|-
−
| ''F<sub>2</sub> || 1 0 ||  x  ||0||0||0||0||1||1||1||1||0||0||0||0||1||1||1||1
+
| f<sub>2</sub> || f<sub>0010</sub> || 0 0 1 0 || (x) y || y and not x || &not;x &and; y
 
|-
 
|-
−
| ''F<sub>3</sub> || 1 1 ||  1  ||0||0||0||0||0||0||0||0||1||1||1||1||1||1||1||1
+
| f<sub>3</sub> || f<sub>0011</sub> || 0 0 1 1 || (x) || not x || &not;x
−
|}
 
−
<br>
 
−
 
 
−
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
 
−
|+ '''Table 8.  Interpretive Categories for Higher Order Propositions (n = 1)'''
 
−
|- style="background:paleturquoise"
 
−
|Measure||Happening||Exactness||Existence||Linearity||Uniformity||Information
 
 
|-
 
|-
−
|''m''<sub>0</sub>||nothing happens||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
+
| f<sub>4</sub> || f<sub>0100</sub> || 0 1 0 0 || x (y) || x and not y || x &and; &not;y
 
|-
 
|-
−
|''m''<sub>1</sub>||&nbsp;||just false||nothing exists||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
+
| f<sub>5</sub> || f<sub>0101</sub> || 0 1 0 1 || (y) || not y || &not;y
 
|-
 
|-
−
|''m''<sub>2</sub>||&nbsp;||just not x||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
+
| f<sub>6</sub> || f<sub>0110</sub> || 0 1 1 0 || (x, y) || x not equal to y || x &ne; y
 
|-
 
|-
−
|''m''<sub>3</sub>||&nbsp;||&nbsp;||nothing is x||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
+
| f<sub>7</sub> || f<sub>0111</sub> || 0 1 1 1 || (x&nbsp;y) || not both x and y || &not;x &or; &not;y
 
|-
 
|-
−
|''m''<sub>4</sub>||&nbsp;||just x||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
+
| f<sub>8</sub> || f<sub>1000</sub> || 1 0 0 0 || x&nbsp;y || x and y || x &and; y
 
|-
 
|-
−
|''m''<sub>5</sub>||&nbsp;||&nbsp;||everything is x||F is linear||&nbsp;||&nbsp;
+
| f<sub>9</sub> || f<sub>1001</sub> || 1 0 0 1 || ((x, y)) || x equal to y || x = y
 
|-
 
|-
−
|''m''<sub>6</sub>||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||F is not uniform||F is informed
+
| f<sub>10</sub> || f<sub>1010</sub> || 1 0 1 0 || y || y || y
 
|-
 
|-
−
|''m''<sub>7</sub>||&nbsp;||not just true||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
+
| f<sub>11</sub> || f<sub>1011</sub> || 1 0 1 1 || (x (y)) || not x without y || x &rarr; y
 
|-
 
|-
−
|''m''<sub>8</sub>||&nbsp;||just true||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
+
| f<sub>12</sub> || f<sub>1100</sub> || 1 1 0 0 || x || x || x
 
|-
 
|-
−
|''m''<sub>9</sub>||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||F is uniform||F is not informed
+
| f<sub>13</sub> || f<sub>1101</sub> || 1 1 0 1 || ((x) y) || not y without x || x &larr; y
 
|-
 
|-
−
|''m''<sub>10</sub>||&nbsp;||&nbsp;||something is not x||F is not linear||&nbsp;||&nbsp;
+
| f<sub>14</sub> || f<sub>1110</sub> || 1 1 1 0 || ((x)(y)) || x or y  || x &or; y
 
|-
 
|-
−
|''m''<sub>11</sub>||&nbsp;||not just x||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
+
| f<sub>15</sub> || f<sub>1111</sub> || 1 1 1 1 || ((&nbsp;)) || true || 1
−
|-
 
−
|''m''<sub>12</sub>||&nbsp;||&nbsp;||something is x||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|-
 
−
|''m''<sub>13</sub>||&nbsp;||not just not x||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|-
 
−
|''m''<sub>14</sub>||&nbsp;||not just false||something exists||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|-
 
−
|''m''<sub>15</sub>||anything happens||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
 
|}
 
|}
 
<br>
 
<br>
  
−
{| align="center" border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
+
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:mintcream; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
−
|+ '''Table 9.  Higher Order Propositions (n = 2)'''
+
|+ '''Table 1.  Propositional Forms on Two Variables'''
−
|- style="background:paleturquoise"
+
|- style="background:aliceblue"
−
| align=right | ''x'' : || 1100 || ''f''
+
! style="width:15%" | L<sub>1</sub>
−
|''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''
+
! style="width:15%" | L<sub>2</sub>
−
|''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''
+
! style="width:15%" | L<sub>3</sub>
−
|''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''
+
! style="width:15%" | L<sub>4</sub>
−
|- style="background:paleturquoise"
+
! style="width:15%" | L<sub>5</sub>
−
| align=right | ''y'' : || 1010 || &nbsp;
+
! style="width:15%" | L<sub>6</sub>
−
|0||1||2||3||4||5||6||7||8||9||10||11||12
+
|- style="background:aliceblue"
−
|13||14||15||16||17||18||19||20||21||22||23
+
| &nbsp;
 +
| align="right" | x :
 +
| 1 1 0 0
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
|- style="background:aliceblue"
 +
| &nbsp;
 +
| align="right" | y :
 +
| 1 0 1 0
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>0</sub> || 0000 || ( )
+
| f<sub>0</sub> || f<sub>0000</sub> || 0 0 0 0 || (&nbsp;) || false || 0
−
| 0   || 1    || 0   || 1    || 0    || 1    || 0   || 1
 
−
| 0   || 1    || 0    || 1    || 0    || 1    || 0   || 1
 
−
| 0    || 1    || 0    || 1    || 0    || 1    || 0    || 1
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>1</sub> || 0001 || (x)(y)
+
| f<sub>1</sub> || f<sub>0001</sub> || 0 0 0 1 || (x)(y) || neither x nor y || &not;x &and; &not;y
−
|&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    || 0    || 0    || 1    || 1
 
−
| 0    || 0    || 1    || 1    || 0    || 0    || 1    || 1
 
−
| 0    || 0    || 1    || 1    || 0    || 0    || 1    || 1
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>2</sub> || 0010 || (x) y  
+
| f<sub>2</sub> || f<sub>0010</sub> || 0 0 1 0 || (x) y || y and not x || &not;x &and; y
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    || 1    || 1
 
−
| 0    || 0    || 0    || 0    || 1    || 1    || 1    || 1
 
−
| 0    || 0    || 0    || 0    || 1    || 1    || 1    || 1
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>3</sub> || 0011 || (x)  
+
| f<sub>3</sub> || f<sub>0011</sub> || 0 0 1 1 || (x) || not x || &not;x
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
+
|-
−
| 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1
+
| f<sub>4</sub> || f<sub>0100</sub> || 0 1 0 0 || x (y) || x and not y || x &and; &not;y
−
| 0    || 0    || 0   || 0   || 0   || 0    || 0    || 0
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>4</sub> || 0100 || x (y)
+
| f<sub>5</sub> || f<sub>0101</sub> || 0 1 0 1 || (y) || not y || &not;y
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
| 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>5</sub> || 0101 || (y)
+
| f<sub>6</sub> || f<sub>0110</sub> || 0 1 1 0 || (x, y) || x not equal to y || x &ne; y
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>6</sub> || 0110 || (x, y)
+
| f<sub>7</sub> || f<sub>0111</sub> || 0 1 1 1 || (x&nbsp;y) || not both x and y || &not;x &or; &not;y
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>7</sub> || 0111 || (x  y)
+
| f<sub>8</sub> || f<sub>1000</sub> || 1 0 0 0 || x&nbsp;y || x and y || x &and; y
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>8</sub> || 1000 || x y  
+
| f<sub>9</sub> || f<sub>1001</sub> || 1 0 0 1 || ((x, y)) || x equal to y || x = y
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>9</sub> || 1001 || ((x, y))
+
| f<sub>10</sub> || f<sub>1010</sub> || 1 0 1 0 || y || y || y
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>10</sub> || 1010 || y
+
| f<sub>11</sub> || f<sub>1011</sub> || 1 0 1 1 || (x (y)) || not x without y || x &rarr; y
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>11</sub> || 1011 || (x (y))
+
| f<sub>12</sub> || f<sub>1100</sub> || 1 1 0 0 || x || x || x
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>12</sub> || 1100 || x
+
| f<sub>13</sub> || f<sub>1101</sub> || 1 1 0 1 || ((x) y) || not y without x || x &larr; y
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>13</sub> || 1101 || ((x) y)
+
| f<sub>14</sub> || f<sub>1110</sub> || 1 1 1 0 || ((x)(y)) || x or y  || x &or; y
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>14</sub> || 1110 || ((x)(y))
+
| f<sub>15</sub> || f<sub>1111</sub> || 1 1 1 1 || ((&nbsp;)) || true || 1
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|-
 
−
| ''f<sub>15</sub> || 1111 || (( ))
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
 
|}
 
|}
 
<br>
 
<br>
  
−
{| align="center" border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
+
===Template Draft===
−
|+ '''Table 10.  Qualifiers of Implication Ordering: &alpha;<sub>''i''&nbsp;</sub>''f'' = &Upsilon;(''f''<sub>''i''</sub> &rArr; ''f'')'''
+
 
−
|- style="background:paleturquoise"
+
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:mintcream; font-weight:bold; text-align:center; width:98%"
−
| align=right | ''x'' : || 1100 || ''f''
+
|+ '''Propositional Forms on Two Variables'''
−
|&alpha;||&alpha;||&alpha;||&alpha;||&alpha;||&alpha;||&alpha;||&alpha;
+
|- style="background:aliceblue"
−
|&alpha;||&alpha;||&alpha;||&alpha;||&alpha;||&alpha;||&alpha;||&alpha;
+
! style="width:14%" | L<sub>1</sub>
−
|- style="background:paleturquoise"
+
! style="width:14%" | L<sub>2</sub>
−
| align=right | ''y'' : || 1010 || &nbsp;
+
! style="width:14%" | L<sub>3</sub>
−
|15||14||13||12||11||10||9||8||7||6||5||4||3||2||1||0
+
! style="width:14%" | L<sub>4</sub>
−
|-
+
! style="width:14%" | L<sub>5</sub>
−
| ''f<sub>0</sub> || 0000 || ( )
+
! style="width:14%" | L<sub>6</sub>
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
+
! style="width:14%" | Name
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
+
|- style="background:aliceblue"
−
|-
+
| &nbsp;
−
| ''f<sub>1</sub> || 0001 || (x)(y)
+
| align="right" | x :
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
+
| 1 1 0 0
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
+
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
|- style="background:aliceblue"
 +
| &nbsp;
 +
| align="right" | y :
 +
| 1 0 1 0
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>2</sub> || 0010 || (x) y
+
| f<sub>0</sub> || f<sub>0000</sub> || 0 0 0 0 || (&nbsp;) || false || 0 || Falsity
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>3</sub> || 0011 || (x)  
+
| f<sub>1</sub> || f<sub>0001</sub> || 0 0 0 1 || (x)(y) || neither x nor y || &not;x &and; &not;y || [[NNOR]]
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    || 1    || 1
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>4</sub> || 0100 || x (y)
+
| f<sub>2</sub> || f<sub>0010</sub> || 0 0 1 0 || (x) y || y and not x || &not;x &and; y || Insuccede
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>5</sub> || 0101 || (y)
+
| f<sub>3</sub> || f<sub>0011</sub> || 0 0 1 1 || (x) || not x || &not;x || Not One
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;||&nbsp;|| 1   || 1    ||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>6</sub> || 0110 || (x, y)
+
| f<sub>4</sub> || f<sub>0100</sub> || 0 1 0 0 || x (y) || x and not y || x &and; &not;y || Imprecede
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>7</sub> || 0111 || (x  y)
+
| f<sub>5</sub> || f<sub>0101</sub> || 0 1 0 1 || (y) || not y || &not;y || Not Two
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
| 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>8</sub> || 1000 || x  y
+
| f<sub>6</sub> || f<sub>0110</sub> || 0 1 1 0 || (x, y) || x not equal to y || x &ne; y || Inequality
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>9</sub> || 1001 || ((x, y))
+
| f<sub>7</sub> || f<sub>0111</sub> || 0 1 1 1 || (x&nbsp;y) || not both x and y || &not;x &or; &not;y || NAND
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1   || 1
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>10</sub> || 1010 || y
+
| f<sub>8</sub> || f<sub>1000</sub> || 1 0 0 0 || x&nbsp;y || x and y || x &and; y || [[Conjunction]]
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1   ||&nbsp;|| 1
+
|-
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
+
| f<sub>9</sub> || f<sub>1001</sub> || 1 0 0 1 || ((x, y)) || x equal to y || x = y || Equality
 +
|-
 +
| f<sub>10</sub> || f<sub>1010</sub> || 1 0 1 0 || y || y || y || Two
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>11</sub> || 1011 || (x (y))
+
| f<sub>11</sub> || f<sub>1011</sub> || 1 0 1 1 || (x (y)) || not x without y || x &rarr; y || [[Logical implcation|Implication]]
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    || 1    || 1
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    || 1    || 1
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>12</sub> || 1100 || x
+
| f<sub>12</sub> || f<sub>1100</sub> || 1 1 0 0 || x || x || x || One
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1   ||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>13</sub> || 1101 || ((x) y)
+
| f<sub>13</sub> || f<sub>1101</sub> || 1 1 0 1 || ((x) y) || not y without x || x &larr; y || [[Logical involution|Involution]]
−
|&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    ||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
 
−
|&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    ||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>14</sub> || 1110 || ((x)(y))
+
| f<sub>14</sub> || f<sub>1110</sub> || 1 1 1 0 || ((x)(y)) || x or y  || x &or; y || [[Disjunction]]
−
|&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
 
−
|&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>15</sub> || 1111 || (( ))
+
| f<sub>15</sub> || f<sub>1111</sub> || 1 1 1 1 || ((&nbsp;)) || true || 1 || Tautology
−
| 1   || 1   || 1   || 1   || 1    || 1    || 1   || 1
 
−
| 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1
 
 
|}
 
|}
 
<br>
 
<br>
  
−
{| align="center" border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
+
===[[Truth Tables]]===
−
|+ '''Table 11.  Qualifiers of Implication Ordering:  &beta;<sub>''i''&nbsp;</sub>''f'' = &Upsilon;(''f'' &rArr; ''f''<sub>''i''</sub>)'''
+
 
−
|- style="background:paleturquoise"
+
====[[Logical negation]]====
−
| align=right | ''x'' : || 1100 || ''f''
+
 
−
|&beta;||&beta;||&beta;||&beta;||&beta;||&beta;||&beta;||&beta;
+
'''Logical negation''' is an [[logical operation|operation]] on one [[logical value]], typically the value of a [[proposition]], that produces a value of ''true'' when its operand is false and a value of ''false'' when its operand is true.
−
|&beta;||&beta;||&beta;||&beta;||&beta;||&beta;||&beta;||&beta;
+
 
−
|- style="background:paleturquoise"
+
The [[truth table]] of '''NOT p''' (also written as '''~p''' or '''&not;p''') is as follows:
−
| align=right | ''y'' : || 1010 || &nbsp;
+
 
−
|0||1||2||3||4||5||6||7||8||9||10||11||12||13||14||15
+
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:mintcream; font-weight:bold; text-align:center; width:40%"
−
|-
+
|+ '''Logical Negation'''
−
| ''f<sub>0</sub> || 0000 || ( )
+
|- style="background:aliceblue"
−
| 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1
+
! style="width:20%" | p
−
| 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1
+
! style="width:20%" | &not;p
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>1</sub> || 0001 || (x)(y)
+
| F || T
−
|&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
 
−
|&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>2</sub> || 0010 || (x) y
+
| T || F
−
|&nbsp;||&nbsp;|| 1   || 1    ||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
+
|}
−
|&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    ||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
+
<br>
 +
 
 +
The logical negation of a proposition '''p''' is notated in different ways in various contexts of discussion and fields of application.  Among these variants are the following:
 +
 
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:mintcream; width:40%"
 +
|+ '''Variant Notations'''
 +
|- style="background:aliceblue"
 +
! style="text-align:center" | Notation
 +
! Vocalization
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>3</sub> || 0011 || (x)
+
| style="text-align:center" | <math>\bar{p}</math>
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
+
| bar ''p''
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>4</sub> || 0100 || x (y)
+
| style="text-align:center" | <math>p'\!</math>
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    || 1    || 1
+
| ''p'' prime,<p> ''p'' complement
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    || 1    || 1
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>5</sub> || 0101 || (y)
+
| style="text-align:center" | <math>!p\!</math>
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
+
| bang ''p''
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
+
|}
−
|-
+
<br>
−
| ''f<sub>6</sub> || 0110 || (x, y)
+
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
+
No matter how it is notated or symbolized, the logical negation &not;''p'' is read as "it is not the case that ''p''", or usually more simply as "not ''p''".
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
+
 
 +
* Within a system of [[classical logic]], double negation, that is, the negation of the negation of a proposition ''p'', is [[logically equivalent]] to the initial proposition ''p''.  Expressed in symbolic terms, &not;(&not;''p'') &hArr; ''p''.
 +
 
 +
* Within a system of [[intuitionistic logic]], however, &not;&not;''p'' is a weaker statement than ''p''.  On the other hand, the logical equivalence &not;&not;&not;''p'' &hArr; &not;''p'' remains valid.
 +
 
 +
Logical negation can be defined in terms of other logical operations.  For example, ~''p'' can be defined as ''p'' &rarr; ''F'', where &rarr; is [[material implication]] and ''F'' is absolute falsehood.  Conversely, one can define ''F'' as ''p'' &amp; ~''p'' for any proposition ''p'', where &amp; is [[logical conjunction]].  The idea here is that any [[contradiction]] is false.  While these ideas work in both classical and intuitionistic logic, they don't work in [[Brazilian logic]], where contradictions are not necessarily false.  But in classical logic, we get a further identity: ''p'' &rarr; ''q'' can be defined as ~''p'' &or; ''q'', where &or; is [[logical disjunction]].
 +
 
 +
Algebraically, logical negation corresponds to the ''complement'' in a [[Boolean algebra]] (for classical logic) or a [[Heyting algebra]] (for intuitionistic logic).
 +
 
 +
====[[Logical conjunction]]====
 +
 
 +
'''Logical conjunction''' is an [[logical operation|operation]] on two [[logical value]]s, typically the values of two [[proposition]]s, that produces a value of ''true'' if and only if both of its operands are true.
 +
 
 +
The [[truth table]] of '''p AND q''' (also written as '''p &and; q''', '''p & q''', or '''p<math>\cdot</math>q''') is as follows:
 +
 
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:mintcream; font-weight:bold; text-align:center; width:45%"
 +
|+ '''Logical Conjunction'''
 +
|- style="background:aliceblue"
 +
! style="width:15%" | p
 +
! style="width:15%" | q
 +
! style="width:15%" | p &and; q
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>7</sub> || 0111 || (x  y)
+
| F || F || F
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>8</sub> || 1000 || x  y
+
| F || T || F
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
| 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>9</sub> || 1001 || ((x, y))
+
| T || F || F
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>10</sub> || 1010 || y
+
| T || T || T
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
+
|}
−
|&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    ||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
+
<br>
−
|-
+
 
−
| ''f<sub>11</sub> || 1011 || (x (y))
+
====[[Logical disjunction]]====
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
+
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1   ||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
+
'''Logical disjunction''' is an [[logical operation|operation]] on two [[logical value]]s, typically the values of two [[proposition]]s, that produces a value of ''false'' if and only if both of its operands are false.
−
|-
+
 
−
| ''f<sub>12</sub> || 1100 || x
+
The [[truth table]] of '''p OR q''' (also written as '''p &or; q''') is as follows:
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
+
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    || 1    || 1
+
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:mintcream; font-weight:bold; text-align:center; width:45%"
 +
|+ '''Logical Disjunction'''
 +
|- style="background:aliceblue"
 +
! style="width:15%" | p
 +
! style="width:15%" | q
 +
! style="width:15%" | p &or; q
 +
|-
 +
| F || F || F
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>13</sub> || 1101 || ((x) y)
+
| F || T || T
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>14</sub> || 1110 || ((x)(y))
+
| T || F || T
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>15</sub> || 1111 || (( ))
+
| T || T || T
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
−
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
 
 
|}
 
|}
 
<br>
 
<br>
  
−
{| align="center" border="1" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
+
====[[Logical equality]]====
−
|+ '''Table 13.  Syllogistic Premisses as Higher Order Indicator Functions'''
+
 
−
| A
+
'''Logical equality''' is an [[logical operation|operation]] on two [[logical value]]s, typically the values of two [[proposition]]s, that produces a value of ''true'' if and only if both operands are false or both operands are true.
−
| align=left | Universal Affirmative
+
 
−
| align=left | All
+
The [[truth table]] of '''p EQ q''' (also written as '''p = q''', '''p &harr; q''', or '''p &equiv; q''') is as follows:
−
| x || is || y
+
 
−
| align=left | Indicator of " x (y)" = 0
+
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:mintcream; font-weight:bold; text-align:center; width:45%"
 +
|+ '''Logical Equality'''
 +
|- style="background:aliceblue"
 +
! style="width:15%" | p
 +
! style="width:15%" | q
 +
! style="width:15%" | p = q
 +
|-
 +
| F || F || T
 
|-
 
|-
−
| E
+
| F || T || F
−
| align=left | Universal Negative
 
−
| align=left | All
 
−
| x || is || (y)
 
−
| align=left | Indicator of " x  y " = 0
 
 
|-
 
|-
−
| I
+
| T || F || F
−
| align=left | Particular Affirmative
 
−
| align=left | Some
 
−
| x || is || y
 
−
| align=left | Indicator of " x  y " = 1
 
 
|-
 
|-
−
| O
+
| T || T || T
−
| align=left | Particular Negative
 
−
| align=left | Some
 
−
| x || is || (y)
 
−
| align=left | Indicator of " x (y)" = 1
 
 
|}
 
|}
 
<br>
 
<br>
  
−
{| align="center" border="1" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
+
====[[Exclusive disjunction]]====
−
|+ '''Table 14.  Relation of Quantifiers to Higher Order Propositions'''
+
 
−
|- style="background:paleturquoise"
+
'''Exclusive disjunction''' is an [[logical operation|operation]] on two [[logical value]]s, typically the values of two [[proposition]]s, that produces a value of ''true'' just in case exactly one of its operands is true.
−
|Mnemonic||Category||Classical Form||Alternate Form||Symmetric Form||Operator
+
 
 +
The [[truth table]] of '''p XOR q''' (also written as '''p + q''', '''p &oplus; q''', or '''p &ne; q''') is as follows:
 +
 
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:mintcream; font-weight:bold; text-align:center; width:45%"
 +
|+ '''Exclusive Disjunction'''
 +
|- style="background:aliceblue"
 +
! style="width:15%" | p
 +
! style="width:15%" | q
 +
! style="width:15%" | p XOR q
 
|-
 
|-
−
| E<br>Exclusive
+
| F || F || F
−
| Universal<br>Negative
 
−
| align=left | All x is (y)
 
−
| align=left | &nbsp;
 
−
| align=left | No x is y
 
−
| (''L''<sub>11</sub>)
 
 
|-
 
|-
−
| A<br>Absolute
+
| F || T || T
−
| Universal<br>Affirmative
 
−
| align=left | All x is y
 
−
| align=left | &nbsp;
 
−
| align=left | No x is (y)
 
−
| (''L''<sub>10</sub>)
 
 
|-
 
|-
−
| &nbsp;
+
| T || F || T
−
| &nbsp;
 
−
| align=left | All y is x
 
−
| align=left | No y is (x)
 
−
| align=left | No (x) is y
 
−
| (''L''<sub>01</sub>)
 
 
|-
 
|-
−
| &nbsp;
+
| T || T || F
−
| &nbsp;
 
−
| align=left | All (y) is x
 
−
| align=left | No (y) is (x)
 
−
| align=left | No (x) is (y)
 
−
| (''L''<sub>00</sub>)
 
−
|-
 
−
| &nbsp;
 
−
| &nbsp;
 
−
| align=left | Some (x) is (y)
 
−
| align=left | &nbsp;
 
−
| align=left | Some (x) is (y)
 
−
| ''L''<sub>00</sub>
 
−
|-
 
−
| &nbsp;
 
−
| &nbsp;
 
−
| align=left | Some (x) is y
 
−
| align=left | &nbsp;
 
−
| align=left | Some (x) is y
 
−
| ''L''<sub>01</sub>
 
−
|-
 
−
| O<br>Obtrusive
 
−
| Particular<br>Negative
 
−
| align=left | Some x is (y)
 
−
| align=left | &nbsp;
 
−
| align=left | Some x is (y)
 
−
| ''L''<sub>10</sub>
 
−
|-
 
−
| I<br>Indefinite
 
−
| Particular<br>Affirmative
 
−
| align=left | Some x is y
 
−
| align=left | &nbsp;
 
−
| align=left | Some x is y
 
−
| ''L''<sub>11</sub>
 
 
|}
 
|}
 
<br>
 
<br>
  
−
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
+
The following equivalents can then be deduced:
−
|+ '''Table 15.  Simple Qualifiers of Propositions (n = 2)'''
+
 
−
|- style="background:paleturquoise"
+
: <math>\begin{matrix}
−
| align=right | ''x'' : || 1100 || ''f''
+
p + q & = & (p \land \lnot q) & \lor & (\lnot p \land q) \\
−
| (''L''<sub>11</sub>)
+
\\
−
| (''L''<sub>10</sub>)
+
      & = & (p \lor q) & \land & (\lnot p \lor \lnot q) \\
−
| (''L''<sub>01</sub>)
+
\\
−
| (''L''<sub>00</sub>)
+
      & = & (p \lor q) & \land & \lnot (p \land q)
−
|  ''L''<sub>00</sub>
+
\end{matrix}</math>
−
|  ''L''<sub>01</sub>
+
 
−
| ''L''<sub>10</sub>
+
'''Generalized''' or '''n-ary''' XOR is true when the number of 1-bits  is odd.
−
| ''L''<sub>11</sub>
+
 
−
|- style="background:paleturquoise"
+
<pre>
−
| align=right | ''y'' : || 1010 || &nbsp;
+
A + B = (A &#8743; !B) &#8744; (!A &#8743; B)
−
| align=left |  no x <br> is y
+
      = {(A &#8743; !B) &#8744; !A} &#8743; {(A &#8743; !B) &#8744; B}
−
| align=left |  no x <br> is (y)
+
      = {(A &#8744; !A) &#8743; (!B &#8744; !A)} &#8743; {(A &#8744; B) &#8743; (!B &#8744; B)}
−
| align=left |  no (x) <br> is  y
+
      = (!A &#8744; !B) &#8743; (A &#8744; B)
−
| align=left |  no (x) <br> is (y)
+
      = !(A &#8743; B) &#8743; (A &#8744; B)
−
| align=left | some (x) <br> is (y)
+
</pre>
−
| align=left | some (x) <br> is  y
+
 
−
| align=left | some  x  <br> is (y)
+
<pre>
−
| align=left | some  x  <br> is  y
+
  p + q = (p &#8743; !q)  &#8744; (!p &#8743; B)
−
|-
+
   
−
| ''f<sub>0</sub> || 0000 || ( )
+
      = {(p &#8743; !q) &#8744; !p} &#8743; {(p &#8743; !q) &#8744; q}
−
| 1 || 1 || 1 || 1 || 0 || 0 || 0 || 0
+
−
|-
+
      = {(p &#8744; !q) &#8743; (!q &#8744; !p)} &#8743; {(p &#8744; q) &#8743; (!q &#8744; q)}
−
| ''f<sub>1</sub> || 0001 || (x)(y)
+
−
| 1 || 1 || 1 || 0 || 1 || 0 || 0 || 0
+
      = (!p &#8744; !q) &#8743; (p &#8744; q)
 +
   
 +
      = !(p &#8743; q) &#8743; (p &#8744; q)
 +
</pre>
 +
 
 +
<pre>
 +
p + q = (p &#8743; ~q)  &#8744; (~p &#8743; q)
 +
   
 +
      = ((p &#8743; ~q) &#8744; ~p) &#8743; ((p &#8743; ~q) &#8744; q)
 +
   
 +
      = ((p &#8744; ~q) &#8743; (~q &#8744; ~p)) &#8743; ((p &#8744; q) &#8743; (~q &#8744; q))
 +
   
 +
      = (~p &#8744; ~q) &#8743; (p &#8744; q)
 +
 +
      = ~(p &#8743; q)  &#8743; (p &#8744; q)
 +
</pre>
 +
 
 +
: <math>\begin{matrix}
 +
p + q & = & (p \land \lnot q) & \lor & (\lnot p \land q) \\
 +
& = & ((p \land \lnot q) \lor \lnot p) & \and & ((p \land \lnot q) \lor q) \\
 +
& = & ((p \lor \lnot q) \land (\lnot q \lor \lnot p)) & \land & ((p \lor q) \land (\lnot q \lor q)) \\
 +
& = & (\lnot p \lor \lnot q) & \land & (p \lor q) \\
 +
& = & \lnot (p \land q) & \land & (p \lor q)
 +
\end{matrix}</math>
 +
 
 +
====[[Logical implication]]====
 +
 
 +
The '''material conditional''' and '''logical implication''' are both associated with an [[logical operation|operation]] on two [[logical value]]s, typically the values of two [[proposition]]s, that produces a value of ''false'' if and only if the first operand is true and the second operand is false.
 +
 
 +
The [[truth table]] associated with the material conditional '''if p then q''' (symbolized as '''p&nbsp;&rarr;&nbsp;q''') and the logical implication '''p implies q''' (symbolized as '''p&nbsp;&rArr;&nbsp;q''') is as follows:
 +
 
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:mintcream; font-weight:bold; text-align:center; width:45%"
 +
|+ '''Logical Implication'''
 +
|- style="background:aliceblue"
 +
! style="width:15%" | p
 +
! style="width:15%" | q
 +
! style="width:15%" | p &rArr; q
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>2</sub> || 0010 || (x) y
+
| F || F || T
−
| 1 || 1 || 0 || 1 || 0 || 1 || 0 || 0
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>3</sub> || 0011 || (x)
+
| F || T || T
−
| 1 || 1 || 0 || 0 || 1 || 1 || 0 || 0
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>4</sub> || 0100 || x (y)
+
| T || F || F
−
| 1 || 0 || 1 || 1 || 0 || 0 || 1 || 0
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>5</sub> || 0101 || (y)
+
| T || T || T
−
| 1 || 0 || 1 || 0 || 1 || 0 || 1 || 0
+
|}
 +
<br>
 +
 
 +
====[[Logical NAND]]====
 +
 
 +
The '''NAND operation''' is a [[logical operation]] on two [[logical value]]s, typically the values of two [[proposition]]s, that produces a value of ''false'' if and only if both of its operands are true.  In other words, it produces a value of ''true'' if and only if at least one of its operands is false.
 +
 
 +
The [[truth table]] of '''p NAND q''' (also written as '''p&nbsp;|&nbsp;q''' or '''p&nbsp;&uarr;&nbsp;q''') is as follows:
 +
 
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:mintcream; font-weight:bold; text-align:center; width:45%"
 +
|+ '''Logical NAND'''
 +
|- style="background:aliceblue"
 +
! style="width:15%" | p
 +
! style="width:15%" | q
 +
! style="width:15%" | p &uarr; q
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>6</sub> || 0110 || (x, y)
+
| F || F || T
−
| 1 || 0 || 0 || 1 || 0 || 1 || 1 || 0
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>7</sub> || 0111 || (x  y)
+
| F || T || T
−
| 1 || 0 || 0 || 0 || 1 || 1 || 1 || 0
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>8</sub> || 1000 || x  y
+
| T || F || T
−
| 0 || 1 || 1 || 1 || 0 || 0 || 0 || 1
 
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>9</sub> || 1001 || ((x, y))
+
| T || T || F
−
| 0 || 1 || 1 || 0 || 1 || 0 || 0 || 1
 
−
|-
 
−
| ''f<sub>10</sub> || 1010 || y
 
−
| 0 || 1 || 0 || 1 || 0 || 1 || 0 || 1
 
−
|-
 
−
| ''f<sub>11</sub> || 1011 || (x (y))
 
−
| 0 || 1 || 0 || 0 || 1 || 1 || 0 || 1
 
−
|-
 
−
| ''f<sub>12</sub> || 1100 || x
 
−
| 0 || 0 || 1 || 1 || 0 || 0 || 1 || 1
 
−
|-
 
−
| ''f<sub>13</sub> || 1101 || ((x) y)
 
−
| 0 || 0 || 1 || 0 || 1 || 0 || 1 || 1
 
−
|-
 
−
| ''f<sub>14</sub> || 1110 || ((x)(y))
 
−
| 0 || 0 || 0 || 1 || 0 || 1 || 1 || 1
 
−
|-
 
−
| ''f<sub>15</sub> || 1111 || (( ))
 
−
| 0 || 0 || 0 || 0 || 1 || 1 || 1 || 1
 
 
|}
 
|}
 
<br>
 
<br>
  
−
  Table 7. Higher Order Propositions (n = 1)
+
====[[Logical NNOR]]====
−
o------o-----o-----o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o---o
+
 
−
|  \ x | 1 0 | F  |m |m |m |m |m |m |m |m |m |m |m |m |m |m |m |m  |
+
The '''NNOR operation''' is a [[logical operation]] on two [[logical value]]s, typically the values of two [[proposition]]s, that produces a value of ''true'' if and only if both of its operands are false. In other words, it produces a value of ''false'' if and only if at least one of its operands is true.
−
| F \  |    |    |00|01|02|03|04|05|06|07|08|09|10|11|12|13|14|15 |
+
 
−
o------o-----o-----o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o---o
+
The [[truth table]] of '''p NNOR q''' (also written as '''p&nbsp;&perp;&nbsp;q''' or '''p&nbsp;&darr;&nbsp;q''') is as follows:
−
|     |     |     |                                               |
+
 
−
| F_0  | 0 0 |  0  | 0  1  0  1  0  1  0  1  0  1  0  1  0  1  0  1 |
+
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:mintcream; font-weight:bold; text-align:center; width:45%"
−
|     |     |     |                                               |
+
|+ '''Logical NOR'''
−
| F_1  | 0 1 | (x) | 0  0  1  1  0  0  1  1  0  0  1  1  0  0  1  1 |
+
|- style="background:aliceblue"
−
|     |     |     |                                               |
+
! style="width:15%" | p
−
| F_2  | 1 0 |  x  | 0  0  0  0  1  1  1  1  0  0  0  0  1  1  1  1 |
+
! style="width:15%" | q
−
|     |     |     |                                               |
+
! style="width:15%" | p &darr; q
−
| F_3  | 1 1 |  1  | 0  0  0  0  0  0  0  0  1  1  1  1  1  1  1  1 |
+
|-
−
|      |    |     |                                                |
+
| F || F || T
−
o------o-----o-----o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o---o
+
|-
 +
| F || T || F
 +
|-
 +
| T || F || F
 +
|-
 +
| T || T || F
 +
|}
 
<br>
 
<br>
  
−
Table 8.  Interpretive Categories for Higher Order Propositions (n = 1)
+
==Relational Tables==
−
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
+
 
−
|Measure| Happening| Exactness | Existence  | Linearity|Uniformity|Information|
+
===Factorization===
−
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
+
 
−
| m_0  | nothing  |           |           |         |          |          |
+
{| align="center" style="text-align:center; width:60%"
−
|      | happens  |            |            |          |          |          |
+
|
−
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
+
{| align="center" style="text-align:center; width:100%"
−
| m_1  |          |            | nothing    |          |          |          |
+
| <math>\text{Table 7. Plural Denotation}\!</math>
−
|      |          | just false | exists    |          |          |          |
+
|}
−
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
+
|-
−
| m_2  |          |            |            |          |          |          |
+
|
−
|      |          | just not x |            |          |          |          |
+
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="text-align:center; width:100%"
−
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
+
|- style="background:#f0f0ff"
−
| m_3  |          |            | nothing    |          |          |          |
+
| width="33%" | <math>\text{Object}\!</math>
−
|      |          |            | is x      |          |          |          |
+
| width="33%" | <math>\text{Sign}\!</math>
−
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
+
| width="33%" | <math>\text{Interpretant}\!</math>
−
| m_4  |          |            |            |          |          |          |
+
|-
−
|      |          | just x    |            |          |          |          |
+
|
−
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
+
<math>\begin{matrix}
−
| m_5  |          |            | everything | F is    |          |          |
+
o_1 \\ o_2 \\ o_3 \\ \ldots \\ o_k \\ \ldots
−
|       |          |            | is x      | linear  |          |          |
+
\end{matrix}</math>
−
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
+
|
−
| m_6  |          |            |            |          | F is not | F is      |
+
<math>\begin{matrix}
−
|       |          |            |            |          | uniform | informed  |
+
s \\ s \\ s \\ \ldots \\ s \\ \ldots
−
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
+
\end{matrix}</math>
−
| m_7  |          | not        |            |          |          |          |
+
|
−
|       |          | just true  |            |          |          |          |
+
<math>\begin{matrix}
−
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
+
\ldots \\ \ldots \\ \ldots \\ \ldots \\ \ldots \\ \ldots
−
| m_8  |         |           |           |         |          |          |
+
\end{matrix}</math>
−
|       |          | just true  |            |          |          |          |
+
|}
−
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
+
|}
−
| m_9  |          |            |            |          | F is    | F is not  |
+
 
−
|      |          |            |            |          | uniform  | informed  |
+
<br>
−
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
+
 
−
| m_10  |          |            | something  | F is not |          |          |
+
{| align="center" style="text-align:center; width:60%"
−
|      |          |            | is not x  | linear  |          |          |
+
|
−
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
+
{| align="center" style="text-align:center; width:100%"
−
| m_11  |          | not        |            |          |          |          |
+
| <math>\text{Table 8. Sign Relation}~ L</math>
−
|      |          | just x    |            |          |          |          |
+
|}
−
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
+
|-
−
| m_12  |          |            | something  |          |          |          |
+
|
−
|      |          |            | is x      |          |          |          |
+
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="text-align:center; width:100%"
−
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
+
|- style="background:#f0f0ff"
−
| m_13  |         | not        |            |          |          |          |
+
| width="33%" | <math>\text{Object}\!</math>
−
|       |         | just not x |           |         |         |          |
+
| width="33%" | <math>\text{Sign}\!</math>
−
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
+
| width="33%" | <math>\text{Interpretant}\!</math>
−
| m_14  |         | not        | something  |         |         |           |
+
|-
−
|      |          | just false | exists    |          |          |          |
+
|
−
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
+
<math>\begin{matrix}
−
| m_15  | anything |           |           |         |         |           |
+
o_1 \\ o_2 \\ o_3
−
|      | happens  |            |            |          |          |           |
+
\end{matrix}</math>
−
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
+
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
s \\ s \\ s
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\ldots \\ \ldots \\ \ldots
 +
\end{matrix}</math>
 +
|}
 +
|}
 +
 
 +
===Sign Relations===
 +
 
 +
{| cellpadding="4"
 +
| width="20px" | &nbsp;
 +
| align="center" | '''O''' || = || Object Domain
 +
|-
 +
| width="20px" | &nbsp;
 +
| align="center" | '''S''' || = || Sign Domain
 +
|-
 +
| width="20px" | &nbsp;
 +
| align="center" | '''I''' || = || Interpretant Domain
 +
|}
 
<br>
 
<br>
  
−
Table 9.  Higher Order Propositions (n = 2)
+
{| cellpadding="4"
−
o------o------o----------o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o
+
| width="20px" | &nbsp;
−
| | x | 1100 |   f    |m|m|m|m|m|m|m|m|m|m|m|m|m|m|m|m|.|
+
| align="center" | '''O'''
−
|  | y | 1010 |          |0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|1|1|1|1|1|1|.|
+
| =
−
| f \  |      |          |0|1|2|3|4|5|6|7|8|9|0|1|2|3|4|5|.|
+
| {Ann, Bob}
−
o------o------o----------o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o
+
| =
−
|     |      |          |                                |
+
| {A, B}
−
| f_0  | 0000 |    ()    |0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1  |
+
|-
−
|      |      |          |                                |
+
| width="20px" | &nbsp;
−
| f_1  | 0001 |  (x)(y)  |    1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1  |
+
| align="center" | '''S'''
−
|      |      |          |                                |
+
| =
−
| f_2  | 0010 |  (x) y  |        1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1  |
+
| {"Ann", "Bob", "I", "You"}
−
|      |      |          |                                |
+
| =
−
| f_3  | 0011 |  (x)    |                1 1 1 1 1 1 1 1  |
+
| {"A", "B", "i", "u"}
−
|     |      |          |                                |
+
|-
−
| f_4  | 0100 |  x (y)  |                                |
+
| width="20px" | &nbsp;
−
|      |      |          |                                |
+
| align="center" | '''I'''
−
| f_5  | 0101 |    (y)  |                                |
+
| =
−
|      |      |          |                                |
+
| {"Ann", "Bob", "I", "You"}
−
| f_6  | 0110 |  (x, y)  |                                |
+
| =
−
|      |      |          |                                |
+
| {"A", "B", "i", "u"}
−
| f_7  | 0111 |  (x  y)  |                                |
+
|}
−
|     |      |          |                                |
+
<br>
−
o------o------o----------o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o
+
 
−
|     |     |         |                                 |
+
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:60%"
−
| f_8  | 1000 |  x  y  |                                |
+
|+ '''L'''<sub>A</sub> = Sign Relation of Interpreter A
−
|     |     |         |                                 |
+
|- style="background:paleturquoise"
−
| f_9  | 1001 | ((x, y)) |                                |
+
! style="width:20%" | Object
−
|     |     |         |                                 |
+
! style="width:20%" | Sign
−
| f_10 | 1010 |      y  |                                |
+
! style="width:20%" | Interpretant
−
|     |     |         |                                 |
+
|-
−
| f_11 | 1011 |  (x (y)) |                                |
+
| '''A''' || '''"A"''' || '''"A"'''
−
|     |     |         |                                 |
+
|-
−
| f_12 | 1100 |  x      |                                |
+
| '''A''' || '''"A"''' || '''"i"'''
−
|     |     |         |                                 |
+
|-
−
| f_13 | 1101 | ((x) y)  |                                |
+
| '''A''' || '''"i"''' || '''"A"'''
−
|     |     |         |                                 |
+
|-
−
| f_14 | 1110 | ((x)(y)) |                                |
+
| '''A''' || '''"i"''' || '''"i"'''
−
|     |     |         |                                 |
+
|-
−
| f_15 | 1111 |  (())  |                                |
+
| '''B''' || '''"B"''' || '''"B"'''
−
|     |     |         |                                 |
+
|-
−
o------o------o----------o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o
+
| '''B''' || '''"B"''' || '''"u"'''
 +
|-
 +
| '''B''' || '''"u"''' || '''"B"'''
 +
|-
 +
| '''B''' || '''"u"''' || '''"u"'''
 +
|}
 
<br>
 
<br>
  
−
Table 10.  Qualifiers of Implication Ordering:  !a!_i f  = !Y!(f_i => f)
+
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:60%"
−
o------o------o----------o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o
+
|+ '''L'''<sub>B</sub> = Sign Relation of Interpreter B
−
|  | x | 1100 |    f    |a |a |a |a |a |a |a |a |a |a |a |a |a |a |a |a |
+
|- style="background:paleturquoise"
−
|  | y | 1010 |          |1 |1 |1 |1 |1 |1 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |
+
! style="width:20%" | Object
−
| f \  |      |          |5 |4 |3 |2 |1 |0 |9 |8 |7 |6 |5 |4 |3 |2 |1 |0 |
+
! style="width:20%" | Sign
−
o------o------o----------o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o
+
! style="width:20%" | Interpretant
−
|      |      |          |                                              |
+
|-
−
| f_0  | 0000 |    ()    |                                            1 |
+
| '''A''' || '''"A"''' || '''"A"'''
−
|      |      |          |                                              |
+
|-
−
| f_1  | 0001 |  (x)(y)  |                                          1  1 |
+
| '''A''' || '''"A"''' || '''"u"'''
−
|      |      |          |                                              |
+
|-
−
| f_2  | 0010 |  (x) y  |                                      1    1 |
+
| '''A''' || '''"u"''' || '''"A"'''
−
|     |     |         |                                               |
+
|-
−
| f_3  | 0011 |  (x)    |                                    1  1  1  1 |
+
| '''A''' || '''"u"''' || '''"u"'''
−
|     |     |         |                                               |
+
|-
−
| f_4  | 0100 |  x (y)  |                                1          1 |
+
| '''B''' || '''"B"''' || '''"B"'''
−
|     |     |         |                                               |
+
|-
−
| f_5  | 0101 |    (y)  |                              1  1        1  1 |
+
| '''B''' || '''"B"''' || '''"i"'''
−
|     |     |         |                                               |
+
|-
−
| f_6  | 0110 |  (x, y)  |                          1    1    1    1 |
+
| '''B''' || '''"i"''' || '''"B"'''
−
|     |     |         |                                               |
+
|-
−
| f_7  | 0111 |  (x  y)  |                        1  1  1  1  1  1  1  1 |
+
| '''B''' || '''"i"''' || '''"i"'''
−
|     |     |         |                                               |
+
|}
−
| f_8  | 1000 |  x  y  |                    1                      1 |
 
−
|     |     |         |                                               |
 
−
| f_9  | 1001 | ((x, y)) |                  1  1                    1  1 |
 
−
|      |      |          |                                              |
 
−
| f_10 | 1010 |      y  |              1    1                1    1 |
 
−
|      |      |          |                                              |
 
−
| f_11 | 1011 |  (x (y)) |            1  1  1  1              1  1  1  1 |
 
−
|      |      |          |                                              |
 
−
| f_12 | 1100 |  x      |        1          1          1          1 |
 
−
|      |      |          |                                              |
 
−
| f_13 | 1101 | ((x) y)  |     1  1        1  1        1  1        1  1 |
 
−
|      |      |          |                                              |
 
−
| f_14 | 1110 | ((x)(y)) |  1    1    1    1    1    1    1    1 |
 
−
|      |      |          |                                              |
 
−
| f_15 | 1111 |  (())  |1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1 |
 
−
|      |      |          |                                              |
 
−
o------o------o----------o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o
 
 
<br>
 
<br>
  
−
Table 11.  Qualifiers of Implication Ordering:  !b!_i f  = !Y!(f => f_i)
+
===Triadic Relations===
−
o------o------o----------o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o
+
 
−
|  | x | 1100 |    f    |b |b |b |b |b |b |b |b |b |b |b |b |b |b |b |b |
+
====Algebraic Examples====
−
|  | y | 1010 |          |0 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |1 |1 |1 |1 |1 |1 |
 
−
| f \  |      |          |0 |1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |8 |9 |0 |1 |2 |3 |4 |5 |
 
−
o------o------o----------o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o
 
−
|      |      |          |                                              |
 
−
| f_0  | 0000 |    ()    |1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1 |
 
−
|      |      |          |                                              |
 
−
| f_1  | 0001 |  (x)(y)  |  1    1    1    1    1    1    1    1 |
 
−
|      |      |          |                                              |
 
−
| f_2  | 0010 |  (x) y  |      1  1        1  1        1  1        1  1 |
 
−
|      |      |          |                                              |
 
−
| f_3  | 0011 |  (x)    |        1          1          1          1 |
 
−
|      |      |          |                                              |
 
−
| f_4  | 0100 |  x (y)  |            1  1  1  1              1  1  1  1 |
 
−
|      |      |          |                                              |
 
−
| f_5  | 0101 |    (y)  |              1    1                1    1 |
 
−
|      |      |          |                                              |
 
−
| f_6  | 0110 |  (x, y)  |                  1  1                    1  1 |
 
−
|      |      |          |                                              |
 
−
| f_7  | 0111 |  (x  y)  |                    1                      1 |
 
−
|      |      |          |                                              |
 
−
| f_8  | 1000 |  x  y  |                        1  1  1  1  1  1  1  1 |
 
−
|      |      |          |                                              |
 
−
| f_9  | 1001 | ((x, y)) |                          1    1    1    1 |
 
−
|      |      |          |                                              |
 
−
| f_10 | 1010 |      y  |                              1  1        1  1 |
 
−
|      |      |          |                                              |
 
−
| f_11 | 1011 |  (x (y)) |                                1          1 |
 
−
|      |      |          |                                              |
 
−
| f_12 | 1100 |  x      |                                    1  1  1  1 |
 
−
|      |      |          |                                              |
 
−
| f_13 | 1101 | ((x) y)  |                                      1    1 |
 
−
|      |      |          |                                              |
 
−
| f_14 | 1110 | ((x)(y)) |                                          1  1 |
 
−
|      |      |          |                                              |
 
−
| f_15 | 1111 |  (())  |                                            1 |
 
−
|      |      |          |                                              |
 
−
o------o------o----------o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o
 
−
<br>
 
  
−
Table 13.  Syllogistic Premisses as Higher Order Indicator Functions
+
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:60%"
−
o---o------------------------o-----------------o---------------------------o
+
|+ '''L'''<sub>0</sub> = {(''x'', ''y'', ''z'') &isin; '''B'''<sup>3</sup> : ''x'' + ''y'' + ''z'' = 0}
−
|   |                       |                 |                           |
+
|- style="background:paleturquoise"
−
| A | Universal Affirmative  | All  x  is  y  | Indicator of " x (y)" = 0 |
+
! X !! Y !! Z
−
|   |                       |                 |                           |
+
|-
−
| E | Universal Negative    | All  x  is (y) | Indicator of " x  y " = 0 |
+
| '''0''' || '''0''' || '''0'''
−
|   |                       |                 |                           |
+
|-
−
| I | Particular Affirmative | Some  x is  y | Indicator of " x y " = 1 |
+
| '''0''' || '''1''' || '''1'''
−
|   |                       |                 |                           |
+
|-
−
| O | Particular Negative    | Some  x  is (y) | Indicator of " x (y)" = 1 |
+
| '''1''' || '''0''' || '''1'''
−
|   |                       |                 |                           |
+
|-
−
o---o------------------------o-----------------o---------------------------o
+
| '''1''' || '''1''' || '''0'''
 +
|}
 +
<br>
 +
 
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:60%"
 +
|+ '''L'''<sub>1</sub> = {(''x'', ''y'', ''z'') &isin; '''B'''<sup>3</sup> : ''x'' + ''y'' + ''z'' = 1}
 +
|- style="background:paleturquoise"
 +
! X !! Y !! Z
 +
|-
 +
| '''0''' || '''0''' || '''1'''
 +
|-
 +
| '''0''' || '''1''' || '''0'''
 +
|-
 +
| '''1''' || '''0''' || '''0'''
 +
|-
 +
| '''1''' || '''1''' || '''1'''
 +
|}
 
<br>
 
<br>
  
−
Table 14.  Relation of Quantifiers to Higher Order Propositions
+
====Semiotic Examples====
−
o------------o------------o-----------o-----------o-----------o-----------o
+
 
−
| Mnemonic  | Category  | Classical | Alternate | Symmetric | Operator  |
+
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:60%"
−
|            |            |  Form    |  Form    |  Form    |          |
+
|+ '''L'''<sub>A</sub> = Sign Relation of Interpreter A
−
o============o============o===========o===========o===========o===========o
+
|- style="background:paleturquoise"
−
|     E      | Universal  | All  x  |           |   No  x  |  (L_11)  |
+
! style="width:20%" | Object
−
| Exclusive  |  Negative  |  is  (y) |          |  is  y  |          |
+
! style="width:20%" | Sign
−
o------------o------------o-----------o-----------o-----------o-----------o
+
! style="width:20%" | Interpretant
−
|     A     | Universal  | All  x  |          |  No  x  | (L_10)  |
+
|-
−
| Absolute  |  Affrmtve  |  is  y  |          |  is  (y) |          |
+
| '''A''' || '''"A"''' || '''"A"'''
−
o------------o------------o-----------o-----------o-----------o-----------o
+
|-
−
|           |           | All  y  |   No  y  |  No  (x) |  (L_01)  |
+
| '''A''' || '''"A"''' || '''"i"'''
−
|            |            |  is  x  |  is  (x) |  is  y  |          |
+
|-
−
o------------o------------o-----------o-----------o-----------o-----------o
+
| '''A''' || '''"i"''' || '''"A"'''
−
|           |           | All  (y) |   No  (y) |  No  (x) |  (L_00)  |
+
|-
−
|            |            |  is  x  |   is  (x) |  is  (y) |          |
+
| '''A''' || '''"i"''' || '''"i"'''
−
o------------o------------o-----------o-----------o-----------o-----------o
+
|-
−
|            |           | Some  (x) |           | Some  (x) |  L_00    |
+
| '''B''' || '''"B"''' || '''"B"'''
−
|            |            |  is  (y) |          |  is  (y) |           |
+
|-
−
o------------o------------o-----------o-----------o-----------o-----------o
+
| '''B''' || '''"B"''' || '''"u"'''
−
|            |           | Some  (x) |           | Some  (x) |  L_01    |
+
|-
−
|            |            |  is  y  |          |  is  y  |           |
+
| '''B''' || '''"u"''' || '''"B"'''
−
o------------o------------o-----------o-----------o-----------o-----------o
+
|-
−
|    O      | Particular | Some  x  |           | Some  x  |  L_10    |
+
| '''B''' || '''"u"''' || '''"u"'''
−
| Obtrusive  |  Negative  |  is  (y) |          |  is  (y) |           |
+
|}
−
o------------o------------o-----------o-----------o-----------o-----------o
 
−
|    I      | Particular | Some  x  |           | Some  x  |   L_11    |
 
−
| Indefinite |  Affrmtve  |  is  y  |          |  is  y  |          |
 
−
o------------o------------o-----------o-----------o-----------o-----------o
 
 
<br>
 
<br>
  
−
Table 15.  Simple Qualifiers of Propositions (n = 2)
+
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:60%"
−
o------o------o----------o-----o-----o-----o-----o-----o-----o-----o-----o
+
|+ '''L'''<sub>B</sub> = Sign Relation of Interpreter B
−
|  | x | 1100 |    f    |(L11)|(L10)|(L01)|(L00)| L00 | L01 | L10 | L11 |
+
|- style="background:paleturquoise"
−
|  | y | 1010 |          |no  x|no  x|no ~x|no ~x|sm ~x|sm ~x|sm  x|sm  x|
+
! style="width:20%" | Object
−
| f \  |      |          |is  y|is ~y|is  y|is ~y|is ~y|is  y|is ~y|is  y|
+
! style="width:20%" | Sign
−
o------o------o----------o-----o-----o-----o-----o-----o-----o-----o-----o
+
! style="width:20%" | Interpretant
−
|      |      |          |                                              |
+
|-
−
| f_0  | 0000 |    ()    |  1    1    1    1    0    0    0    0  |
+
| '''A''' || '''"A"''' || '''"A"'''
−
|      |      |          |                                              |
+
|-
−
| f_1  | 0001 |  (x)(y)  |  1    1    1    0    1    0    0    0  |
+
| '''A''' || '''"A"''' || '''"u"'''
−
|      |      |          |                                              |
+
|-
−
| f_2  | 0010 |  (x) y  |  1    1    0    1    0    1    0    0  |
+
| '''A''' || '''"u"''' || '''"A"'''
−
|      |      |          |                                              |
+
|-
−
| f_3  | 0011 |  (x)    |  1    1    0    0    1    1    0    0  |
+
| '''A''' || '''"u"''' || '''"u"'''
−
|      |      |          |                                              |
+
|-
−
| f_4  | 0100 |  x (y)  |  1    0    1    1    0    0    1    0  |
+
| '''B''' || '''"B"''' || '''"B"'''
−
|      |      |          |                                              |
+
|-
−
| f_5  | 0101 |    (y)  |  1    0    1    0    1    0    1    0  |
+
| '''B''' || '''"B"''' || '''"i"'''
−
|      |      |          |                                              |
+
|-
−
| f_6  | 0110 |  (x, y)  |  1    0    0    1    0    1    1    0  |
+
| '''B''' || '''"i"''' || '''"B"'''
−
|      |      |          |                                              |
+
|-
−
| f_7  | 0111 |  (x  y)  |  1    0    0    0    1    1    1    0  |
+
| '''B''' || '''"i"''' || '''"i"'''
−
|      |      |          |                                              |
+
|}
−
| f_8  | 1000 |  x  y  |  0    1    1    1    0    0    0    1  |
+
<br>
−
|      |      |          |                                              |
+
 
−
| f_9  | 1001 | ((x, y)) |  0    1    1    0    1    0    0    1  |
+
===Dyadic Projections===
−
|      |      |          |                                              |
+
 
−
| f_10 | 1010 |      y  |  0    1    0    1    0    1    0    1  |
+
{| cellpadding="4"
−
|      |      |          |                                              |
+
| width="20px" | &nbsp;
−
| f_11 | 1011 |  (x (y)) |  0    1    0    0    1    1    0    1  |
+
| '''L'''<sub>OS</sub>
−
|      |      |          |                                              |
+
| =
−
| f_12 | 1100 |  x      |  0    0    1    1    0    0    1    1  |
+
| ''proj''<sub>OS</sub>('''L''')
−
|      |      |          |                                              |
+
| =
−
| f_13 | 1101 | ((x) y)  |  0    0    1    0    1    0    1    1  |
+
| { (''o'', ''s'') &isin; '''O''' &times; '''S''' : (''o'', ''s'', ''i'') &isin; '''L''' for some ''i'' &isin; '''I''' }
−
|      |      |          |                                              |
 
−
| f_14 | 1110 | ((x)(y)) |  0    0    0    1    0    1    1    1  |
 
−
|      |      |          |                                              |
 
−
| f_15 | 1111 |  (())  |  0    0    0    0    1    1    1    1  |
 
−
|      |      |          |                                              |
 
−
o------o------o----------o-----o-----o-----o-----o-----o-----o-----o-----o
 
−
<br>
 
−
 
 
−
===[[Zeroth Order Logic]]===
 
−
 
 
−
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
 
−
|+ '''Table 1.  Propositional Forms on Two Variables'''
 
−
|- style="background:paleturquoise"
 
−
! style="width:15%" | L<sub>1</sub>
 
−
! style="width:15%" | L<sub>2</sub>
 
−
! style="width:15%" | L<sub>3</sub>
 
−
! style="width:15%" | L<sub>4</sub>
 
−
! style="width:15%" | L<sub>5</sub>
 
−
! style="width:15%" | L<sub>6</sub>
 
−
|- style="background:paleturquoise"
 
−
| &nbsp;
 
−
| align="right" | x :
 
−
| 1 1 0 0
 
−
| &nbsp;
 
−
| &nbsp;
 
−
| &nbsp;
 
−
|- style="background:paleturquoise"
 
−
| &nbsp;
 
−
| align="right" | y :
 
−
| 1 0 1 0
 
−
| &nbsp;
 
−
| &nbsp;
 
−
| &nbsp;
 
 
|-
 
|-
−
| f<sub>0</sub> || f<sub>0000</sub> || 0 0 0 0 || (&nbsp;) || false || 0
+
| width="20px" | &nbsp;
 +
| '''L'''<sub>SO</sub>
 +
| =
 +
| ''proj''<sub>SO</sub>('''L''')
 +
| =
 +
| { (''s'', ''o'') &isin; '''S''' &times; '''O''' : (''o'', ''s'', ''i'') &isin; '''L''' for some ''i'' &isin; '''I''' }
 
|-
 
|-
−
| f<sub>1</sub> || f<sub>0001</sub> || 0 0 0 1 || (x)(y) || neither x nor y || &not;x &and; &not;y
+
| width="20px" | &nbsp;
 +
| '''L'''<sub>IS</sub>
 +
| =
 +
| ''proj''<sub>IS</sub>('''L''')
 +
| =
 +
| { (''i'', ''s'') &isin; '''I''' &times; '''S''' : (''o'', ''s'', ''i'') &isin; '''L''' for some ''o'' &isin; '''O''' }
 
|-
 
|-
−
| f<sub>2</sub> || f<sub>0010</sub> || 0 0 1 0 || (x) y || y and not x || &not;x &and; y
+
| width="20px" | &nbsp;
 +
| '''L'''<sub>SI</sub>
 +
| =
 +
| ''proj''<sub>SI</sub>('''L''')
 +
| =
 +
| { (''s'', ''i'') &isin; '''S''' &times; '''I''' : (''o'', ''s'', ''i'') &isin; '''L''' for some ''o'' &isin; '''O''' }
 
|-
 
|-
−
| f<sub>3</sub> || f<sub>0011</sub> || 0 0 1 1 || (x) || not x || &not;x
+
| width="20px" | &nbsp;
 +
| '''L'''<sub>OI</sub>
 +
| =
 +
| ''proj''<sub>OI</sub>('''L''')
 +
| =
 +
| { (''o'', ''i'') &isin; '''O''' &times; '''I''' : (''o'', ''s'', ''i'') &isin; '''L''' for some ''s'' &isin; '''S''' }
 
|-
 
|-
−
| f<sub>4</sub> || f<sub>0100</sub> || 0 1 0 0 || x (y) || x and not y || x &and; &not;y
+
| width="20px" | &nbsp;
 +
| '''L'''<sub>IO</sub>
 +
| =
 +
| ''proj''<sub>IO</sub>('''L''')
 +
| =
 +
| { (''i'', ''o'') &isin; '''I''' &times; '''O''' : (''o'', ''s'', ''i'') &isin; '''L''' for some ''s'' &isin; '''S''' }
 +
|}
 +
<br>
 +
 
 +
====Method 1 : Subtitles as Captions====
 +
 
 +
{| align="center" style="width:90%"
 +
|
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
 +
|+  ''proj''<sub>OS</sub>('''L'''<sub>A</sub>)
 +
|- style="background:paleturquoise"
 +
! style="width:50%" | Object
 +
! style="width:50%" | Sign
 
|-
 
|-
−
| f<sub>5</sub> || f<sub>0101</sub> || 0 1 0 1 || (y) || not y || &not;y
+
| '''A''' || '''"A"'''
 
|-
 
|-
−
| f<sub>6</sub> || f<sub>0110</sub> || 0 1 1 0 || (x, y) || x not equal to y || x &ne; y
+
| '''A''' || '''"i"'''
 
|-
 
|-
−
| f<sub>7</sub> || f<sub>0111</sub> || 0 1 1 1 || (x&nbsp;y) || not both x and y || &not;x &or; &not;y
+
| '''B''' || '''"B"'''
 
|-
 
|-
−
| f<sub>8</sub> || f<sub>1000</sub> || 1 0 0 0 || x&nbsp;y || x and y || x &and; y
+
| '''B''' || '''"u"'''
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
 +
|+ ''proj''<sub>OS</sub>('''L'''<sub>B</sub>)
 +
|- style="background:paleturquoise"
 +
! style="width:50%" | Object
 +
! style="width:50%" | Sign
 +
|-
 +
| '''A''' || '''"A"'''
 +
|-
 +
| '''A''' || '''"u"'''
 +
|-
 +
| '''B''' || '''"B"'''
 +
|-
 +
| '''B''' || '''"i"'''
 +
|}
 +
|}
 +
<br>
 +
 
 +
{| align="center" style="width:90%"
 +
|
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
 +
|+ ''proj''<sub>SI</sub>('''L'''<sub>A</sub>)
 +
|- style="background:paleturquoise"
 +
! style="width:50%" | Sign
 +
! style="width:50%" | Interpretant
 +
|-
 +
| '''"A"''' || '''"A"'''
 
|-
 
|-
−
| f<sub>9</sub> || f<sub>1001</sub> || 1 0 0 1 || ((x, y)) || x equal to y || x = y
+
| '''"A"''' || '''"i"'''
 
|-
 
|-
−
| f<sub>10</sub> || f<sub>1010</sub> || 1 0 1 0 || y || y || y
+
| '''"i"''' || '''"A"'''
 
|-
 
|-
−
| f<sub>11</sub> || f<sub>1011</sub> || 1 0 1 1 || (x (y)) || not x without y || x &rarr; y
+
| '''"i"''' || '''"i"'''
 
|-
 
|-
−
| f<sub>12</sub> || f<sub>1100</sub> || 1 1 0 0 || x || x || x
+
| '''"B"''' || '''"B"'''
 
|-
 
|-
−
| f<sub>13</sub> || f<sub>1101</sub> || 1 1 0 1 || ((x) y) || not y without x || x &larr; y
+
| '''"B"''' || '''"u"'''
 
|-
 
|-
−
| f<sub>14</sub> || f<sub>1110</sub> || 1 1 1 0 || ((x)(y)) || x or y  || x &or; y
+
| '''"u"''' || '''"B"'''
 
|-
 
|-
−
| f<sub>15</sub> || f<sub>1111</sub> || 1 1 1 1 || ((&nbsp;)) || true || 1
+
| '''"u"''' || '''"u"'''
 
|}
 
|}
−
<br>
+
|
−
 
+
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
−
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:mintcream; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
+
|+ ''proj''<sub>SI</sub>('''L'''<sub>B</sub>)
−
|+ '''Table 1.  Propositional Forms on Two Variables'''
+
|- style="background:paleturquoise"
−
|- style="background:aliceblue"
+
! style="width:50%" | Sign
−
! style="width:15%" | L<sub>1</sub>
+
! style="width:50%" | Interpretant
−
! style="width:15%" | L<sub>2</sub>
 
−
! style="width:15%" | L<sub>3</sub>
 
−
! style="width:15%" | L<sub>4</sub>
 
−
! style="width:15%" | L<sub>5</sub>
 
−
! style="width:15%" | L<sub>6</sub>
 
−
|- style="background:aliceblue"
 
−
| &nbsp;
 
−
| align="right" | x :
 
−
| 1 1 0 0
 
−
| &nbsp;
 
−
| &nbsp;
 
−
| &nbsp;
 
−
|- style="background:aliceblue"
 
−
| &nbsp;
 
−
| align="right" | y :
 
−
| 1 0 1 0
 
−
| &nbsp;
 
−
| &nbsp;
 
−
| &nbsp;
 
 
|-
 
|-
−
| f<sub>0</sub> || f<sub>0000</sub> || 0 0 0 0 || (&nbsp;) || false || 0
+
| '''"A"''' || '''"A"'''
 
|-
 
|-
−
| f<sub>1</sub> || f<sub>0001</sub> || 0 0 0 1 || (x)(y) || neither x nor y || &not;x &and; &not;y
+
| '''"A"''' || '''"u"'''
 
|-
 
|-
−
| f<sub>2</sub> || f<sub>0010</sub> || 0 0 1 0 || (x) y || y and not x || &not;x &and; y
+
| '''"u"''' || '''"A"'''
 
|-
 
|-
−
| f<sub>3</sub> || f<sub>0011</sub> || 0 0 1 1 || (x) || not x || &not;x
+
| '''"u"''' || '''"u"'''
 
|-
 
|-
−
| f<sub>4</sub> || f<sub>0100</sub> || 0 1 0 0 || x (y) || x and not y || x &and; &not;y
+
| '''"B"''' || '''"B"'''
 
|-
 
|-
−
| f<sub>5</sub> || f<sub>0101</sub> || 0 1 0 1 || (y) || not y || &not;y
+
| '''"B"''' || '''"i"'''
 
|-
 
|-
−
| f<sub>6</sub> || f<sub>0110</sub> || 0 1 1 0 || (x, y) || x not equal to y || x &ne; y
+
| '''"i"''' || '''"B"'''
 
|-
 
|-
−
| f<sub>7</sub> || f<sub>0111</sub> || 0 1 1 1 || (x&nbsp;y) || not both x and y || &not;x &or; &not;y
+
| '''"i"''' || '''"i"'''
−
|-
+
|}
−
| f<sub>8</sub> || f<sub>1000</sub> || 1 0 0 0 || x&nbsp;y || x and y || x &and; y
+
|}
−
|-
+
<br>
−
| f<sub>9</sub> || f<sub>1001</sub> || 1 0 0 1 || ((x, y)) || x equal to y || x = y
+
 
 +
{| align="center" style="width:90%"
 +
|
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
 +
|+ ''proj''<sub>OI</sub>('''L'''<sub>A</sub>)
 +
|- style="background:paleturquoise"
 +
! style="width:50%" | Object
 +
! style="width:50%" | Interpretant
 +
|-
 +
| '''A''' || '''"A"'''
 +
|-
 +
| '''A''' || '''"i"'''
 
|-
 
|-
−
| f<sub>10</sub> || f<sub>1010</sub> || 1 0 1 0 || y || y || y
+
| '''B''' || '''"B"'''
 
|-
 
|-
−
| f<sub>11</sub> || f<sub>1011</sub> || 1 0 1 1 || (x (y)) || not x without y || x &rarr; y
+
| '''B''' || '''"u"'''
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
 +
|+ ''proj''<sub>OI</sub>('''L'''<sub>B</sub>)
 +
|- style="background:paleturquoise"
 +
! style="width:50%" | Object
 +
! style="width:50%" | Interpretant
 
|-
 
|-
−
| f<sub>12</sub> || f<sub>1100</sub> || 1 1 0 0 || x || x || x
+
| '''A''' || '''"A"'''
 
|-
 
|-
−
| f<sub>13</sub> || f<sub>1101</sub> || 1 1 0 1 || ((x) y) || not y without x || x &larr; y
+
| '''A''' || '''"u"'''
 
|-
 
|-
−
| f<sub>14</sub> || f<sub>1110</sub> || 1 1 1 0 || ((x)(y)) || x or y  || x &or; y
+
| '''B''' || '''"B"'''
 
|-
 
|-
−
| f<sub>15</sub> || f<sub>1111</sub> || 1 1 1 1 || ((&nbsp;)) || true || 1
+
| '''B''' || '''"i"'''
 +
|}
 
|}
 
|}
 
<br>
 
<br>
  
−
===Template Draft===
+
====Method 2 : Subtitles as Top Rows====
  
−
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:mintcream; font-weight:bold; text-align:center; width:98%"
+
{| align="center" style="width:90%"
−
|+ '''Propositional Forms on Two Variables'''
+
| align="center" style="width:45%" | ''proj''<sub>OS</sub>('''L'''<sub>A</sub>)
−
|- style="background:aliceblue"
+
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
−
! style="width:14%" | L<sub>1</sub>
+
|- style="background:paleturquoise"
−
! style="width:14%" | L<sub>2</sub>
+
! style="width:50%" | Object
−
! style="width:14%" | L<sub>3</sub>
+
! style="width:50%" | Sign
−
! style="width:14%" | L<sub>4</sub>
+
|-
−
! style="width:14%" | L<sub>5</sub>
+
| '''A''' || '''"A"'''
−
! style="width:14%" | L<sub>6</sub>
 
−
! style="width:14%" | Name
 
−
|- style="background:aliceblue"
 
−
| &nbsp;
 
−
| align="right" | x :
 
−
| 1 1 0 0
 
−
| &nbsp;
 
−
| &nbsp;
 
−
| &nbsp;
 
−
| &nbsp;
 
−
|- style="background:aliceblue"
 
−
| &nbsp;
 
−
| align="right" | y :
 
−
| 1 0 1 0
 
−
| &nbsp;
 
−
| &nbsp;
 
−
| &nbsp;
 
−
| &nbsp;
 
 
|-
 
|-
−
| f<sub>0</sub> || f<sub>0000</sub> || 0 0 0 0 || (&nbsp;) || false || 0 || Falsity
+
| '''A''' || '''"i"'''
 
|-
 
|-
−
| f<sub>1</sub> || f<sub>0001</sub> || 0 0 0 1 || (x)(y) || neither x nor y || &not;x &and; &not;y || [[NNOR]]
+
| '''B''' || '''"B"'''
 
|-
 
|-
−
| f<sub>2</sub> || f<sub>0010</sub> || 0 0 1 0 || (x) y || y and not x || &not;x &and; y || Insuccede
+
| '''B''' || '''"u"'''
 +
|}
 +
| align="center" style="width:45%" | ''proj''<sub>OS</sub>('''L'''<sub>B</sub>)
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
 +
|- style="background:paleturquoise"
 +
! style="width:50%" | Object
 +
! style="width:50%" | Sign
 
|-
 
|-
−
| f<sub>3</sub> || f<sub>0011</sub> || 0 0 1 1 || (x) || not x || &not;x || Not One
+
| '''A''' || '''"A"'''
 
|-
 
|-
−
| f<sub>4</sub> || f<sub>0100</sub> || 0 1 0 0 || x (y) || x and not y || x &and; &not;y || Imprecede
+
| '''A''' || '''"u"'''
 
|-
 
|-
−
| f<sub>5</sub> || f<sub>0101</sub> || 0 1 0 1 || (y) || not y || &not;y || Not Two
+
| '''B''' || '''"B"'''
 
|-
 
|-
−
| f<sub>6</sub> || f<sub>0110</sub> || 0 1 1 0 || (x, y) || x not equal to y || x &ne; y || Inequality
+
| '''B''' || '''"i"'''
−
|-
+
|}
−
| f<sub>7</sub> || f<sub>0111</sub> || 0 1 1 1 || (x&nbsp;y) || not both x and y || &not;x &or; &not;y || NAND
+
|}
−
|-
+
<br>
−
| f<sub>8</sub> || f<sub>1000</sub> || 1 0 0 0 || x&nbsp;y || x and y || x &and; y || [[Conjunction]]
+
 
 +
{| align="center" style="width:90%"
 +
| align="center" style="width:45%" | ''proj''<sub>SI</sub>('''L'''<sub>A</sub>)
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
 +
|- style="background:paleturquoise"
 +
! style="width:50%" | Sign
 +
! style="width:50%" | Interpretant
 +
|-
 +
| '''"A"''' || '''"A"'''
 
|-
 
|-
−
| f<sub>9</sub> || f<sub>1001</sub> || 1 0 0 1 || ((x, y)) || x equal to y || x = y || Equality
+
| '''"A"''' || '''"i"'''
 
|-
 
|-
−
| f<sub>10</sub> || f<sub>1010</sub> || 1 0 1 0 || y || y || y || Two
+
| '''"i"''' || '''"A"'''
 
|-
 
|-
−
| f<sub>11</sub> || f<sub>1011</sub> || 1 0 1 1 || (x (y)) || not x without y || x &rarr; y || [[Logical implcation|Implication]]
+
| '''"i"''' || '''"i"'''
 
|-
 
|-
−
| f<sub>12</sub> || f<sub>1100</sub> || 1 1 0 0 || x || x || x || One
+
| '''"B"''' || '''"B"'''
 
|-
 
|-
−
| f<sub>13</sub> || f<sub>1101</sub> || 1 1 0 1 || ((x) y) || not y without x || x &larr; y || [[Logical involution|Involution]]
+
| '''"B"''' || '''"u"'''
 
|-
 
|-
−
| f<sub>14</sub> || f<sub>1110</sub> || 1 1 1 0 || ((x)(y)) || x or y  || x &or; y || [[Disjunction]]
+
| '''"u"''' || '''"B"'''
 
|-
 
|-
−
| f<sub>15</sub> || f<sub>1111</sub> || 1 1 1 1 || ((&nbsp;)) || true || 1 || Tautology
+
| '''"u"''' || '''"u"'''
 
|}
 
|}
−
<br>
+
| align="center" style="width:45%" | ''proj''<sub>SI</sub>('''L'''<sub>B</sub>)
−
 
+
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
−
===[[Truth Tables]]===
+
|- style="background:paleturquoise"
−
 
+
! style="width:50%" | Sign
−
====[[Logical negation]]====
+
! style="width:50%" | Interpretant
−
 
+
|-
−
'''Logical negation''' is an [[logical operation|operation]] on one [[logical value]], typically the value of a [[proposition]], that produces a value of ''true'' when its operand is false and a value of ''false'' when its operand is true.
+
| '''"A"''' || '''"A"'''
−
 
+
|-
−
The [[truth table]] of '''NOT p''' (also written as '''~p''' or '''&not;p''') is as follows:
+
| '''"A"''' || '''"u"'''
−
 
 
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:mintcream; font-weight:bold; text-align:center; width:40%"
 
−
|+ '''Logical Negation'''
 
−
|- style="background:aliceblue"
 
−
! style="width:20%" | p
 
−
! style="width:20%" | &not;p
 
 
|-
 
|-
−
| F || T
+
| '''"u"''' || '''"A"'''
 
|-
 
|-
−
| T || F
+
| '''"u"''' || '''"u"'''
 +
|-
 +
| '''"B"''' || '''"B"'''
 +
|-
 +
| '''"B"''' || '''"i"'''
 +
|-
 +
| '''"i"''' || '''"B"'''
 +
|-
 +
| '''"i"''' || '''"i"'''
 +
|}
 
|}
 
|}
 
<br>
 
<br>
  
−
The logical negation of a proposition '''p''' is notated in different ways in various contexts of discussion and fields of application.  Among these variants are the following:
+
{| align="center" style="width:90%"
−
 
+
| align="center" style="width:45%" | ''proj''<sub>OI</sub>('''L'''<sub>A</sub>)
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:mintcream; width:40%"
+
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
−
|+ '''Variant Notations'''
+
|- style="background:paleturquoise"
−
|- style="background:aliceblue"
+
! style="width:50%" | Object
−
! style="text-align:center" | Notation
+
! style="width:50%" | Interpretant
−
! Vocalization
+
|-
 +
| '''A''' || '''"A"'''
 
|-
 
|-
−
| style="text-align:center" | <math>\bar{p}</math>
+
| '''A''' || '''"i"'''
−
| bar ''p''
 
 
|-
 
|-
−
| style="text-align:center" | <math>p'\!</math>
+
| '''B''' || '''"B"'''
−
| ''p'' prime,<p> ''p'' complement
 
 
|-
 
|-
−
| style="text-align:center" | <math>!p\!</math>
+
| '''B''' || '''"u"'''
−
| bang ''p''
 
 
|}
 
|}
−
<br>
+
| align="center" style="width:45%" | ''proj''<sub>OI</sub>('''L'''<sub>B</sub>)
−
 
+
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
−
No matter how it is notated or symbolized, the logical negation &not;''p'' is read as "it is not the case that ''p''", or usually more simply as "not ''p''".
+
|- style="background:paleturquoise"
−
 
+
! style="width:50%" | Object
−
* Within a system of [[classical logic]], double negation, that is, the negation of the negation of a proposition ''p'', is [[logically equivalent]] to the initial proposition ''p''.  Expressed in symbolic terms, &not;(&not;''p'') &hArr; ''p''.
+
! style="width:50%" | Interpretant
−
 
+
|-
−
* Within a system of [[intuitionistic logic]], however, &not;&not;''p'' is a weaker statement than ''p''.  On the other hand, the logical equivalence &not;&not;&not;''p'' &hArr; &not;''p'' remains valid.
+
| '''A''' || '''"A"'''
−
 
 
−
Logical negation can be defined in terms of other logical operations.  For example, ~''p'' can be defined as ''p'' &rarr; ''F'', where &rarr; is [[material implication]] and ''F'' is absolute falsehood.  Conversely, one can define ''F'' as ''p'' &amp; ~''p'' for any proposition ''p'', where &amp; is [[logical conjunction]].  The idea here is that any [[contradiction]] is false.  While these ideas work in both classical and intuitionistic logic, they don't work in [[Brazilian logic]], where contradictions are not necessarily false.  But in classical logic, we get a further identity: ''p'' &rarr; ''q'' can be defined as ~''p'' &or; ''q'', where &or; is [[logical disjunction]].
 
−
 
 
−
Algebraically, logical negation corresponds to the ''complement'' in a [[Boolean algebra]] (for classical logic) or a [[Heyting algebra]] (for intuitionistic logic).
 
−
 
 
−
====[[Logical conjunction]]====
 
−
 
 
−
'''Logical conjunction''' is an [[logical operation|operation]] on two [[logical value]]s, typically the values of two [[proposition]]s, that produces a value of ''true'' if and only if both of its operands are true.
 
−
 
 
−
The [[truth table]] of '''p AND q''' (also written as '''p &and; q''', '''p & q''', or '''p<math>\cdot</math>q''') is as follows:
 
−
 
 
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:mintcream; font-weight:bold; text-align:center; width:45%"
 
−
|+ '''Logical Conjunction'''
 
−
|- style="background:aliceblue"
 
−
! style="width:15%" | p
 
−
! style="width:15%" | q
 
−
! style="width:15%" | p &and; q
 
 
|-
 
|-
−
| F || F || F
+
| '''A''' || '''"u"'''
 
|-
 
|-
−
| F || T || F
+
| '''B''' || '''"B"'''
 
|-
 
|-
−
| T || F || F
+
| '''B''' || '''"i"'''
−
|-
+
|}
−
| T || T || T
 
 
|}
 
|}
 
<br>
 
<br>
  
−
====[[Logical disjunction]]====
+
===Relation Reduction===
  
−
'''Logical disjunction''' is an [[logical operation|operation]] on two [[logical value]]s, typically the values of two [[proposition]]s, that produces a value of ''false'' if and only if both of its operands are false.
+
====Method 1 : Subtitles as Captions====
  
−
The [[truth table]] of '''p OR q''' (also written as '''p &or; q''') is as follows:
+
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:60%"
−
 
+
|+ '''L'''<sub>0</sub> = {(''x'', ''y'', ''z'') &#8712; '''B'''<sup>3</sup> : ''x'' + ''y'' + ''z'' = 0}
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:mintcream; font-weight:bold; text-align:center; width:45%"
+
|- style="background:paleturquoise"
−
|+ '''Logical Disjunction'''
+
! X !! Y !! Z
−
|- style="background:aliceblue"
 
−
! style="width:15%" | p
 
−
! style="width:15%" | q
 
−
! style="width:15%" | p &or; q
 
 
|-
 
|-
−
| F || F || F
+
| '''0''' || '''0''' || '''0'''
 
|-
 
|-
−
| F || T || T
+
| '''0''' || '''1''' || '''1'''
 
|-
 
|-
−
| T || F || T
+
| '''1''' || '''0''' || '''1'''
 
|-
 
|-
−
| T || T || T
+
| '''1''' || '''1''' || '''0'''
 
|}
 
|}
 
<br>
 
<br>
  
−
====[[Logical equality]]====
+
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:60%"
−
 
+
|+ '''L'''<sub>1</sub> = {(''x'', ''y'', ''z'') &#8712; '''B'''<sup>3</sup> : ''x'' + ''y'' + ''z'' = 1}
−
'''Logical equality''' is an [[logical operation|operation]] on two [[logical value]]s, typically the values of two [[proposition]]s, that produces a value of ''true'' if and only if both operands are false or both operands are true.
+
|- style="background:paleturquoise"
−
 
+
! X !! Y !! Z
−
The [[truth table]] of '''p EQ q''' (also written as '''p = q''', '''p &harr; q''', or '''p &equiv; q''') is as follows:
 
−
 
 
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:mintcream; font-weight:bold; text-align:center; width:45%"
 
−
|+ '''Logical Equality'''
 
−
|- style="background:aliceblue"
 
−
! style="width:15%" | p
 
−
! style="width:15%" | q
 
−
! style="width:15%" | p = q
 
 
|-
 
|-
−
| F || F || T
+
| '''0''' || '''0''' || '''1'''
 
|-
 
|-
−
| F || T || F
+
| '''0''' || '''1''' || '''0'''
 
|-
 
|-
−
| T || F || F
+
| '''1''' || '''0''' || '''0'''
 
|-
 
|-
−
| T || T || T
+
| '''1''' || '''1''' || '''1'''
 
|}
 
|}
 
<br>
 
<br>
  
−
====[[Exclusive disjunction]]====
+
{| align="center" style="width:90%"
−
 
+
|
−
'''Exclusive disjunction''' is an [[logical operation|operation]] on two [[logical value]]s, typically the values of two [[proposition]]s, that produces a value of ''true'' just in case exactly one of its operands is true.
+
{| border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
−
 
+
|+ proj<sub>''XY''</sub>('''L'''<sub>0</sub>)
−
The [[truth table]] of '''p XOR q''' (also written as '''p + q''', '''p &oplus; q''', or '''p &ne; q''') is as follows:
+
|- style="background:paleturquoise"
−
 
+
! X !! Y
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:mintcream; font-weight:bold; text-align:center; width:45%"
 
−
|+ '''Exclusive Disjunction'''
 
−
|- style="background:aliceblue"
 
−
! style="width:15%" | p
 
−
! style="width:15%" | q
 
−
! style="width:15%" | p XOR q
 
 
|-
 
|-
−
| F || F || F
+
| '''0''' || '''0'''
 
|-
 
|-
−
| F || T || T
+
| '''0''' || '''1'''
 
|-
 
|-
−
| T || F || T
+
| '''1''' || '''0'''
 
|-
 
|-
−
| T || T || F
+
| '''1''' || '''1'''
 
|}
 
|}
−
<br>
+
|
−
 
+
{| border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
−
The following equivalents can then be deduced:
+
|+ proj<sub>''XZ''</sub>('''L'''<sub>0</sub>)
−
 
+
|- style="background:paleturquoise"
−
: <math>\begin{matrix}
+
! X !! Z
−
p + q & = & (p \land \lnot q) & \lor & (\lnot p \land q) \\
 
−
\\
 
−
      & = & (p \lor q) & \land & (\lnot p \lor \lnot q) \\
 
−
\\
 
−
      & = & (p \lor q) & \land & \lnot (p \land q)
 
−
\end{matrix}</math>
 
−
 
 
−
'''Generalized''' or '''n-ary''' XOR is true when the number of 1-bits  is odd.
 
−
 
 
−
====[[Logical implication]]====
 
−
 
 
−
The '''material conditional''' and '''logical implication''' are both associated with an [[logical operation|operation]] on two [[logical value]]s, typically the values of two [[proposition]]s, that produces a value of ''false'' if and only if the first operand is true and the second operand is false.
 
−
 
 
−
The [[truth table]] associated with the material conditional '''if p then q''' (symbolized as '''p&nbsp;&rarr;&nbsp;q''') and the logical implication '''p implies q''' (symbolized as '''p&nbsp;&rArr;&nbsp;q''') is as follows:
 
−
 
 
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:mintcream; font-weight:bold; text-align:center; width:45%"
 
−
|+ '''Logical Implication'''
 
−
|- style="background:aliceblue"
 
−
! style="width:15%" | p
 
−
! style="width:15%" | q
 
−
! style="width:15%" | p &rArr; q
 
 
|-
 
|-
−
| F || F || T
+
| '''0''' || '''0'''
 
|-
 
|-
−
| F || T || T
+
| '''0''' || '''1'''
 
|-
 
|-
−
| T || F || F
+
| '''1''' || '''1'''
 
|-
 
|-
−
| T || T || T
+
| '''1''' || '''0'''
 
|}
 
|}
−
<br>
+
|
−
 
+
{| border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
−
====[[Logical NAND]]====
+
|+ proj<sub>''YZ''</sub>('''L'''<sub>0</sub>)
−
 
+
|- style="background:paleturquoise"
−
The '''NAND operation''' is a [[logical operation]] on two [[logical value]]s, typically the values of two [[proposition]]s, that produces a value of ''false'' if and only if both of its operands are true.  In other words, it produces a value of ''true'' if and only if at least one of its operands is false.
+
! Y !! Z
−
 
 
−
The [[truth table]] of '''p NAND q''' (also written as '''p&nbsp;|&nbsp;q''' or '''p&nbsp;&uarr;&nbsp;q''') is as follows:
 
−
 
 
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:mintcream; font-weight:bold; text-align:center; width:45%"
 
−
|+ '''Logical NAND'''
 
−
|- style="background:aliceblue"
 
−
! style="width:15%" | p
 
−
! style="width:15%" | q
 
−
! style="width:15%" | p &uarr; q
 
 
|-
 
|-
−
| F || F || T
+
| '''0''' || '''0'''
 
|-
 
|-
−
| F || T || T
+
| '''1''' || '''1'''
 
|-
 
|-
−
| T || F || T
+
| '''0''' || '''1'''
 
|-
 
|-
−
| T || T || F
+
| '''1''' || '''0'''
 +
|}
 
|}
 
|}
 
<br>
 
<br>
  
−
====[[Logical NNOR]]====
+
{| align="center" style="width:90%"
−
 
+
|
−
The '''NNOR operation''' is a [[logical operation]] on two [[logical value]]s, typically the values of two [[proposition]]s, that produces a value of ''true'' if and only if both of its operands are false.  In other words, it produces a value of ''false'' if and only if at least one of its operands is true.
+
{| border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
−
 
+
|+ proj<sub>''XY''</sub>('''L'''<sub>1</sub>)
−
The [[truth table]] of '''p NNOR q''' (also written as '''p&nbsp;&perp;&nbsp;q''' or '''p&nbsp;&darr;&nbsp;q''') is as follows:
+
|- style="background:paleturquoise"
−
 
+
! X !! Y
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:mintcream; font-weight:bold; text-align:center; width:45%"
 
−
|+ '''Logical NOR'''
 
−
|- style="background:aliceblue"
 
−
! style="width:15%" | p
 
−
! style="width:15%" | q
 
−
! style="width:15%" | p &darr; q
 
 
|-
 
|-
−
| F || F || T
+
| '''0''' || '''0'''
 
|-
 
|-
−
| F || T || F
+
| '''0''' || '''1'''
 
|-
 
|-
−
| T || F || F
+
| '''1''' || '''0'''
 
|-
 
|-
−
| T || T || F
+
| '''1''' || '''1'''
 +
|}
 +
|
 +
{| border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
 +
|+ proj<sub>''XZ''</sub>('''L'''<sub>1</sub>)
 +
|- style="background:paleturquoise"
 +
! X !! Z
 +
|-
 +
| '''0''' || '''1'''
 +
|-
 +
| '''0''' || '''0'''
 +
|-
 +
| '''1''' || '''0'''
 +
|-
 +
| '''1''' || '''1'''
 +
|}
 +
|
 +
{| border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
 +
|+ proj<sub>''YZ''</sub>('''L'''<sub>1</sub>)
 +
|- style="background:paleturquoise"
 +
! Y !! Z
 +
|-
 +
| '''0''' || '''1'''
 +
|-
 +
| '''1''' || '''0'''
 +
|-
 +
| '''0''' || '''0'''
 +
|-
 +
| '''1''' || '''1'''
 +
|}
 
|}
 
|}
 
<br>
 
<br>
  
−
===Exclusive Disjunction===
+
{| align="center" cellpadding="4" style="text-align:center; width:90%"
 +
| proj<sub>''XY''</sub>('''L'''<sub>0</sub>) = proj<sub>''XY''</sub>('''L'''<sub>1</sub>)
 +
| proj<sub>''XZ''</sub>('''L'''<sub>0</sub>) = proj<sub>''XZ''</sub>('''L'''<sub>1</sub>)
 +
| proj<sub>''YZ''</sub>('''L'''<sub>0</sub>) = proj<sub>''YZ''</sub>('''L'''<sub>1</sub>)
 +
|}
 +
<br>
  
−
A + B = (A &#8743; !B) &#8744; (!A &#8743; B)
+
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:60%"
−
      = {(A &#8743; !B) &#8744; !A} &#8743; {(A &#8743; !B) &#8744; B}
+
|+ '''L'''<sub>A</sub> = Sign Relation of Interpreter A
−
      = {(A &#8744; !A) &#8743; (!B &#8744; !A)} &#8743; {(A &#8744; B) &#8743; (!B &#8744; B)}
+
|- style="background:paleturquoise"
−
      = (!A &#8744; !B) &#8743; (A &#8744; B)
+
! style="width:20%" | Object
−
      = !(A &#8743; B) &#8743; (A &#8744; B)
+
! style="width:20%" | Sign
−
 
+
! style="width:20%" | Interpretant
−
 
+
|-
−
p + q = (p &#8743; !q)  &#8744; (!p &#8743; B)
+
| '''A''' || '''"A"''' || '''"A"'''
−
+
|-
−
      = {(p &#8743; !q) &#8744; !p} &#8743; {(p &#8743; !q) &#8744; q}
+
| '''A''' || '''"A"''' || '''"i"'''
−
+
|-
−
      = {(p &#8744; !q) &#8743; (!q &#8744; !p)} &#8743; {(p &#8744; q) &#8743; (!q &#8744; q)}
+
| '''A''' || '''"i"''' || '''"A"'''
−
 
−
      = (!p &#8744; !q) &#8743; (p &#8744; q)
 
−
 
−
      = !(p &#8743; q)  &#8743; (p &#8744; q)
 
−
 
 
−
 
 
−
p + q = (p &#8743; ~q)  &#8744; (~p &#8743; q)
 
−
 
−
      = ((p &#8743; ~q) &#8744; ~p) &#8743; ((p &#8743; ~q) &#8744; q)
 
−
 
−
      = ((p &#8744; ~q) &#8743; (~q &#8744; ~p)) &#8743; ((p &#8744; q) &#8743; (~q &#8744; q))
 
−
 
−
      = (~p &#8744; ~q) &#8743; (p &#8744; q)
 
−
 
−
      = ~(p &#8743; q)  &#8743; (p &#8744; q)
 
−
 
 
−
: <math>\begin{matrix}
 
−
p + q & = & (p \land \lnot q) & \lor & (\lnot p \land q) \\
 
−
& = & ((p \land \lnot q) \lor \lnot p) & \and & ((p \land \lnot q) \lor q) \\
 
−
& = & ((p \lor \lnot q) \land (\lnot q \lor \lnot p)) & \land & ((p \lor q) \land (\lnot q \lor q)) \\
 
−
& = & (\lnot p \lor \lnot q) & \land & (p \lor q) \\
 
−
& = & \lnot (p \land q) & \land & (p \lor q)
 
−
\end{matrix}</math>
 
−
 
 
−
==Relational Tables==
 
−
 
 
−
===Sign Relations===
 
−
 
 
−
{| cellpadding="4"
 
−
| width="20px" | &nbsp;
 
−
| align="center" | '''O''' || = || Object Domain
 
 
|-
 
|-
−
| width="20px" | &nbsp;
+
| '''A''' || '''"i"''' || '''"i"'''
−
| align="center" | '''S''' || = || Sign Domain
 
 
|-
 
|-
−
| width="20px" | &nbsp;
+
| '''B''' || '''"B"''' || '''"B"'''
−
| align="center" | '''I''' || = || Interpretant Domain
 
−
|}
 
−
<br>
 
−
 
 
−
{| cellpadding="4"
 
−
| width="20px" | &nbsp;
 
−
| align="center" | '''O'''
 
−
| =
 
−
| {Ann, Bob}
 
−
| =
 
−
| {A, B}
 
−
|-
 
−
| width="20px" | &nbsp;
 
−
| align="center" | '''S'''
 
−
| =
 
−
| {"Ann", "Bob", "I", "You"}
 
−
| =
 
−
| {"A", "B", "i", "u"}
 
−
|-
 
−
| width="20px" | &nbsp;
 
−
| align="center" | '''I'''
 
−
| =
 
−
| {"Ann", "Bob", "I", "You"}
 
−
| =
 
−
| {"A", "B", "i", "u"}
 
−
|}
 
−
<br>
 
−
 
 
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:60%"
 
−
|+ '''L'''<sub>A</sub> = Sign Relation of Interpreter A
 
−
|- style="background:paleturquoise"
 
−
! style="width:20%" | Object
 
−
! style="width:20%" | Sign
 
−
! style="width:20%" | Interpretant
 
−
|-
 
−
| '''A''' || '''"A"''' || '''"A"'''
 
−
|-
 
−
| '''A''' || '''"A"''' || '''"i"'''
 
−
|-
 
−
| '''A''' || '''"i"''' || '''"A"'''
 
−
|-
 
−
| '''A''' || '''"i"''' || '''"i"'''
 
−
|-
 
−
| '''B''' || '''"B"''' || '''"B"'''
 
 
|-
 
|-
 
| '''B''' || '''"B"''' || '''"u"'''
 
| '''B''' || '''"B"''' || '''"u"'''
Line 9,916: Line 11,284:
 
<br>
 
<br>
  
−
===Triadic Relations===
+
{| align="center" style="width:90%"
−
 
+
|
−
====Algebraic Examples====
+
{| border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
−
 
+
|+ proj<sub>''XY''</sub>('''L'''<sub>A</sub>)
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:60%"
 
−
|+ '''L'''<sub>0</sub> = {(''x'', ''y'', ''z'') &isin; '''B'''<sup>3</sup> : ''x'' + ''y'' + ''z'' = 0}
 
 
|- style="background:paleturquoise"
 
|- style="background:paleturquoise"
−
! X !! Y !! Z
+
! style="width:50%" | Object
 +
! style="width:50%" | Sign
 
|-
 
|-
−
| '''0''' || '''0''' || '''0'''
+
| '''A''' || '''"A"'''
 
|-
 
|-
−
| '''0''' || '''1''' || '''1'''
+
| '''A''' || '''"i"'''
 
|-
 
|-
−
| '''1''' || '''0''' || '''1'''
+
| '''B''' || '''"B"'''
 
|-
 
|-
−
| '''1''' || '''1''' || '''0'''
+
| '''B''' || '''"u"'''
 
|}
 
|}
−
<br>
+
|
−
 
+
{| border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:60%"
+
|+ proj<sub>''XZ''</sub>('''L'''<sub>A</sub>)
−
|+ '''L'''<sub>1</sub> = {(''x'', ''y'', ''z'') &isin; '''B'''<sup>3</sup> : ''x'' + ''y'' + ''z'' = 1}
 
 
|- style="background:paleturquoise"
 
|- style="background:paleturquoise"
−
! X !! Y !! Z
+
! style="width:50%" | Object
 +
! style="width:50%" | Interpretant
 
|-
 
|-
−
| '''0''' || '''0''' || '''1'''
+
| '''A''' || '''"A"'''
 
|-
 
|-
−
| '''0''' || '''1''' || '''0'''
+
| '''A''' || '''"i"'''
 
|-
 
|-
−
| '''1''' || '''0''' || '''0'''
+
| '''B''' || '''"B"'''
 
|-
 
|-
−
| '''1''' || '''1''' || '''1'''
+
| '''B''' || '''"u"'''
 
|}
 
|}
−
<br>
+
|
−
 
+
{| border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
−
====Semiotic Examples====
+
|+ proj<sub>''YZ''</sub>('''L'''<sub>A</sub>)
−
 
 
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:60%"
 
−
|+ '''L'''<sub>A</sub> = Sign Relation of Interpreter A
 
 
|- style="background:paleturquoise"
 
|- style="background:paleturquoise"
−
! style="width:20%" | Object
+
! style="width:50%" | Sign
−
! style="width:20%" | Sign
+
! style="width:50%" | Interpretant
−
! style="width:20%" | Interpretant
 
 
|-
 
|-
−
| '''A''' || '''"A"''' || '''"A"'''
+
| '''"A"''' || '''"A"'''
 
|-
 
|-
−
| '''A''' || '''"A"''' || '''"i"'''
+
| '''"A"''' || '''"i"'''
 
|-
 
|-
−
| '''A''' || '''"i"''' || '''"A"'''
+
| '''"i"''' || '''"A"'''
 
|-
 
|-
−
| '''A''' || '''"i"''' || '''"i"'''
+
| '''"i"''' || '''"i"'''
 
|-
 
|-
−
| '''B''' || '''"B"''' || '''"B"'''
+
| '''"B"''' || '''"B"'''
 
|-
 
|-
−
| '''B''' || '''"B"''' || '''"u"'''
+
| '''"B"''' || '''"u"'''
 
|-
 
|-
−
| '''B''' || '''"u"''' || '''"B"'''
+
| '''"u"''' || '''"B"'''
 
|-
 
|-
−
| '''B''' || '''"u"''' || '''"u"'''
+
| '''"u"''' || '''"u"'''
 +
|}
 
|}
 
|}
 
<br>
 
<br>
  
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:60%"
+
{| align="center" style="width:90%"
−
|+ '''L'''<sub>B</sub> = Sign Relation of Interpreter B
+
|
 +
{| border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
 +
|+ proj<sub>''XY''</sub>('''L'''<sub>B</sub>)
 
|- style="background:paleturquoise"
 
|- style="background:paleturquoise"
−
! style="width:20%" | Object
+
! style="width:50%" | Object
−
! style="width:20%" | Sign
+
! style="width:50%" | Sign
−
! style="width:20%" | Interpretant
 
 
|-
 
|-
−
| '''A''' || '''"A"''' || '''"A"'''
+
| '''A''' || '''"A"'''
 
|-
 
|-
−
| '''A''' || '''"A"''' || '''"u"'''
+
| '''A''' || '''"u"'''
 
|-
 
|-
−
| '''A''' || '''"u"''' || '''"A"'''
+
| '''B''' || '''"B"'''
 
|-
 
|-
−
| '''A''' || '''"u"''' || '''"u"'''
+
| '''B''' || '''"i"'''
 +
|}
 +
|
 +
{| border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
 +
|+ proj<sub>''XZ''</sub>('''L'''<sub>B</sub>)
 +
|- style="background:paleturquoise"
 +
! style="width:50%" | Object
 +
! style="width:50%" | Interpretant
 
|-
 
|-
−
| '''B''' || '''"B"''' || '''"B"'''
+
| '''A''' || '''"A"'''
 
|-
 
|-
−
| '''B''' || '''"B"''' || '''"i"'''
+
| '''A''' || '''"u"'''
 
|-
 
|-
−
| '''B''' || '''"i"''' || '''"B"'''
+
| '''B''' || '''"B"'''
 
|-
 
|-
−
| '''B''' || '''"i"''' || '''"i"'''
+
| '''B''' || '''"i"'''
 
|}
 
|}
−
<br>
+
|
−
 
+
{| border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
−
===Dyadic Projections===
+
|+ proj<sub>''YZ''</sub>('''L'''<sub>B</sub>)
−
 
+
|- style="background:paleturquoise"
−
{| cellpadding="4"
+
! style="width:50%" | Sign
−
| width="20px" | &nbsp;
+
! style="width:50%" | Interpretant
−
| '''L'''<sub>OS</sub>
+
|-
−
| =
+
| '''"A"''' || '''"A"'''
−
| ''proj''<sub>OS</sub>('''L''')
 
−
| =
 
−
| { (''o'', ''s'') &isin; '''O''' &times; '''S''' : (''o'', ''s'', ''i'') &isin; '''L''' for some ''i'' &isin; '''I''' }
 
 
|-
 
|-
−
| width="20px" | &nbsp;
+
| '''"A"''' || '''"u"'''
−
| '''L'''<sub>SO</sub>
 
−
| =
 
−
| ''proj''<sub>SO</sub>('''L''')
 
−
| =
 
−
| { (''s'', ''o'') &isin; '''S''' &times; '''O''' : (''o'', ''s'', ''i'') &isin; '''L''' for some ''i'' &isin; '''I''' }
 
 
|-
 
|-
−
| width="20px" | &nbsp;
+
| '''"u"''' || '''"A"'''
−
| '''L'''<sub>IS</sub>
 
−
| =
 
−
| ''proj''<sub>IS</sub>('''L''')
 
−
| =
 
−
| { (''i'', ''s'') &isin; '''I''' &times; '''S''' : (''o'', ''s'', ''i'') &isin; '''L''' for some ''o'' &isin; '''O''' }
 
 
|-
 
|-
−
| width="20px" | &nbsp;
+
| '''"u"''' || '''"u"'''
−
| '''L'''<sub>SI</sub>
 
−
| =
 
−
| ''proj''<sub>SI</sub>('''L''')
 
−
| =
 
−
| { (''s'', ''i'') &isin; '''S''' &times; '''I''' : (''o'', ''s'', ''i'') &isin; '''L''' for some ''o'' &isin; '''O''' }
 
 
|-
 
|-
−
| width="20px" | &nbsp;
+
| '''"B"''' || '''"B"'''
−
| '''L'''<sub>OI</sub>
+
|-
−
| =
+
| '''"B"''' || '''"i"'''
−
| ''proj''<sub>OI</sub>('''L''')
+
|-
−
| =
+
| '''"i"''' || '''"B"'''
−
| { (''o'', ''i'') &isin; '''O''' &times; '''I''' : (''o'', ''s'', ''i'') &isin; '''L''' for some ''s'' &isin; '''S''' }
 
 
|-
 
|-
−
| width="20px" | &nbsp;
+
| '''"i"''' || '''"i"'''
−
| '''L'''<sub>IO</sub>
+
|}
−
| =
+
|}
−
| ''proj''<sub>IO</sub>('''L''')
+
<br>
−
| =
+
 
−
| { (''i'', ''o'') &isin; '''I''' &times; '''O''' : (''o'', ''s'', ''i'') &isin; '''L''' for some ''s'' &isin; '''S''' }
+
{| align="center" cellpadding="4" style="text-align:center; width:90%"
 +
| proj<sub>''XY''</sub>('''L'''<sub>A</sub>) &#8800; proj<sub>''XY''</sub>('''L'''<sub>B</sub>)
 +
| proj<sub>''XZ''</sub>('''L'''<sub>A</sub>) &#8800; proj<sub>''XZ''</sub>('''L'''<sub>B</sub>)
 +
| proj<sub>''YZ''</sub>('''L'''<sub>A</sub>) &#8800; proj<sub>''YZ''</sub>('''L'''<sub>B</sub>)
 
|}
 
|}
 
<br>
 
<br>
  
−
====Method 1 : Subtitles as Captions====
+
====Method 2 : Subtitles as Top Rows====
  
−
{| align="center" style="width:90%"
+
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:60%"
−
|
+
|+ '''L'''<sub>0</sub> = {(''x'', ''y'', ''z'') &#8712; '''B'''<sup>3</sup> : ''x'' + ''y'' + ''z'' = 0}
−
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
 
−
|+ ''proj''<sub>OS</sub>('''L'''<sub>A</sub>)
 
 
|- style="background:paleturquoise"
 
|- style="background:paleturquoise"
−
! style="width:50%" | Object
+
! X !! Y !! Z
−
! style="width:50%" | Sign
 
 
|-
 
|-
−
| '''A''' || '''"A"'''
+
| '''0''' || '''0''' || '''0'''
 
|-
 
|-
−
| '''A''' || '''"i"'''
+
| '''0''' || '''1''' || '''1'''
 
|-
 
|-
−
| '''B''' || '''"B"'''
+
| '''1''' || '''0''' || '''1'''
 
|-
 
|-
−
| '''B''' || '''"u"'''
+
| '''1''' || '''1''' || '''0'''
 
|}
 
|}
−
|
+
<br>
−
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
+
 
−
|+ ''proj''<sub>OS</sub>('''L'''<sub>B</sub>)
+
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:60%"
 +
|+ '''L'''<sub>1</sub> = {(''x'', ''y'', ''z'') &#8712; '''B'''<sup>3</sup> : ''x'' + ''y'' + ''z'' = 1}
 
|- style="background:paleturquoise"
 
|- style="background:paleturquoise"
−
! style="width:50%" | Object
+
! X !! Y !! Z
−
! style="width:50%" | Sign
 
 
|-
 
|-
−
| '''A''' || '''"A"'''
+
| '''0''' || '''0''' || '''1'''
 
|-
 
|-
−
| '''A''' || '''"u"'''
+
| '''0''' || '''1''' || '''0'''
 
|-
 
|-
−
| '''B''' || '''"B"'''
+
| '''1''' || '''0''' || '''0'''
 
|-
 
|-
−
| '''B''' || '''"i"'''
+
| '''1''' || '''1''' || '''1'''
−
|}
 
 
|}
 
|}
 
<br>
 
<br>
  
 
{| align="center" style="width:90%"
 
{| align="center" style="width:90%"
−
|
+
| align="center" | proj<sub>''XY''</sub>('''L'''<sub>0</sub>)
−
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
+
{| border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
−
|+ ''proj''<sub>SI</sub>('''L'''<sub>A</sub>)
 
 
|- style="background:paleturquoise"
 
|- style="background:paleturquoise"
−
! style="width:50%" | Sign
+
! X !! Y
−
! style="width:50%" | Interpretant
 
 
|-
 
|-
−
| '''"A"''' || '''"A"'''
+
| '''0''' || '''0'''
 
|-
 
|-
−
| '''"A"''' || '''"i"'''
+
| '''0''' || '''1'''
 
|-
 
|-
−
| '''"i"''' || '''"A"'''
+
| '''1''' || '''0'''
 
|-
 
|-
−
| '''"i"''' || '''"i"'''
+
| '''1''' || '''1'''
 +
|}
 +
| align="center" | proj<sub>''XZ''</sub>('''L'''<sub>0</sub>)
 +
{| border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
 +
|- style="background:paleturquoise"
 +
! X !! Z
 
|-
 
|-
−
| '''"B"''' || '''"B"'''
+
| '''0''' || '''0'''
 
|-
 
|-
−
| '''"B"''' || '''"u"'''
+
| '''0''' || '''1'''
 
|-
 
|-
−
| '''"u"''' || '''"B"'''
+
| '''1''' || '''1'''
 
|-
 
|-
−
| '''"u"''' || '''"u"'''
+
| '''1''' || '''0'''
 
|}
 
|}
−
|
+
| align="center" | proj<sub>''YZ''</sub>('''L'''<sub>0</sub>)
−
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
+
{| border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
−
|+ ''proj''<sub>SI</sub>('''L'''<sub>B</sub>)
 
 
|- style="background:paleturquoise"
 
|- style="background:paleturquoise"
−
! style="width:50%" | Sign
+
! Y !! Z
−
! style="width:50%" | Interpretant
 
 
|-
 
|-
−
| '''"A"''' || '''"A"'''
+
| '''0''' || '''0'''
 
|-
 
|-
−
| '''"A"''' || '''"u"'''
+
| '''1''' || '''1'''
 
|-
 
|-
−
| '''"u"''' || '''"A"'''
+
| '''0''' || '''1'''
 
|-
 
|-
−
| '''"u"''' || '''"u"'''
+
| '''1''' || '''0'''
−
|-
 
−
| '''"B"''' || '''"B"'''
 
−
|-
 
−
| '''"B"''' || '''"i"'''
 
−
|-
 
−
| '''"i"''' || '''"B"'''
 
−
|-
 
−
| '''"i"''' || '''"i"'''
 
 
|}
 
|}
 
|}
 
|}
Line 10,136: Line 11,481:
  
 
{| align="center" style="width:90%"
 
{| align="center" style="width:90%"
−
|
+
| align="center" | proj<sub>''XY''</sub>('''L'''<sub>1</sub>)
−
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
+
{| border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
−
|+ ''proj''<sub>OI</sub>('''L'''<sub>A</sub>)
 
 
|- style="background:paleturquoise"
 
|- style="background:paleturquoise"
−
! style="width:50%" | Object
+
! X !! Y
−
! style="width:50%" | Interpretant
 
 
|-
 
|-
−
| '''A''' || '''"A"'''
+
| '''0''' || '''0'''
 
|-
 
|-
−
| '''A''' || '''"i"'''
+
| '''0''' || '''1'''
 
|-
 
|-
−
| '''B''' || '''"B"'''
+
| '''1''' || '''0'''
 
|-
 
|-
−
| '''B''' || '''"u"'''
+
| '''1''' || '''1'''
 
|}
 
|}
−
|
+
| align="center" | proj<sub>''XZ''</sub>('''L'''<sub>1</sub>)
−
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
+
{| border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
−
|+ ''proj''<sub>OI</sub>('''L'''<sub>B</sub>)
 
 
|- style="background:paleturquoise"
 
|- style="background:paleturquoise"
−
! style="width:50%" | Object
+
! X !! Z
−
! style="width:50%" | Interpretant
 
 
|-
 
|-
−
| '''A''' || '''"A"'''
+
| '''0''' || '''1'''
 
|-
 
|-
−
| '''A''' || '''"u"'''
+
| '''0''' || '''0'''
 
|-
 
|-
−
| '''B''' || '''"B"'''
+
| '''1''' || '''0'''
 
|-
 
|-
−
| '''B''' || '''"i"'''
+
| '''1''' || '''1'''
 
|}
 
|}
−
|}
+
| align="center" | proj<sub>''YZ''</sub>('''L'''<sub>1</sub>)
−
<br>
+
{| border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
−
 
 
−
====Method 2 : Subtitles as Top Rows====
 
−
 
 
−
{| align="center" style="width:90%"
 
−
| align="center" style="width:45%" | ''proj''<sub>OS</sub>('''L'''<sub>A</sub>)
 
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
 
 
|- style="background:paleturquoise"
 
|- style="background:paleturquoise"
−
! style="width:50%" | Object
+
! Y !! Z
−
! style="width:50%" | Sign
 
 
|-
 
|-
−
| '''A''' || '''"A"'''
+
| '''0''' || '''1'''
 
|-
 
|-
−
| '''A''' || '''"i"'''
+
| '''1''' || '''0'''
 
|-
 
|-
−
| '''B''' || '''"B"'''
+
| '''0''' || '''0'''
 
|-
 
|-
−
| '''B''' || '''"u"'''
+
| '''1''' || '''1'''
 +
|}
 +
|}
 +
<br>
 +
 
 +
{| align="center" cellpadding="4" style="text-align:center; width:90%"
 +
| proj<sub>''XY''</sub>('''L'''<sub>0</sub>) = proj<sub>''XY''</sub>('''L'''<sub>1</sub>)
 +
| proj<sub>''XZ''</sub>('''L'''<sub>0</sub>) = proj<sub>''XZ''</sub>('''L'''<sub>1</sub>)
 +
| proj<sub>''YZ''</sub>('''L'''<sub>0</sub>) = proj<sub>''YZ''</sub>('''L'''<sub>1</sub>)
 
|}
 
|}
−
| align="center" style="width:45%" | ''proj''<sub>OS</sub>('''L'''<sub>B</sub>)
+
<br>
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
+
 
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:60%"
 +
|+ '''L'''<sub>A</sub> = Sign Relation of Interpreter A
 
|- style="background:paleturquoise"
 
|- style="background:paleturquoise"
−
! style="width:50%" | Object
+
! style="width:20%" | Object
−
! style="width:50%" | Sign
+
! style="width:20%" | Sign
 +
! style="width:20%" | Interpretant
 
|-
 
|-
−
| '''A''' || '''"A"'''
+
| '''A''' || '''"A"''' || '''"A"'''
 
|-
 
|-
−
| '''A''' || '''"u"'''
+
| '''A''' || '''"A"''' || '''"i"'''
 
|-
 
|-
−
| '''B''' || '''"B"'''
+
| '''A''' || '''"i"''' || '''"A"'''
 
|-
 
|-
−
| '''B''' || '''"i"'''
+
| '''A''' || '''"i"''' || '''"i"'''
−
|}
+
|-
 +
| '''B''' || '''"B"''' || '''"B"'''
 +
|-
 +
| '''B''' || '''"B"''' || '''"u"'''
 +
|-
 +
| '''B''' || '''"u"''' || '''"B"'''
 +
|-
 +
| '''B''' || '''"u"''' || '''"u"'''
 
|}
 
|}
 
<br>
 
<br>
  
−
{| align="center" style="width:90%"
+
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:60%"
−
| align="center" style="width:45%" | ''proj''<sub>SI</sub>('''L'''<sub>A</sub>)
+
|+ '''L'''<sub>B</sub> = Sign Relation of Interpreter B
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
 
 
|- style="background:paleturquoise"
 
|- style="background:paleturquoise"
−
! style="width:50%" | Sign
+
! style="width:20%" | Object
−
! style="width:50%" | Interpretant
+
! style="width:20%" | Sign
 +
! style="width:20%" | Interpretant
 
|-
 
|-
−
| '''"A"''' || '''"A"'''
+
| '''A''' || '''"A"''' || '''"A"'''
 
|-
 
|-
−
| '''"A"''' || '''"i"'''
+
| '''A''' || '''"A"''' || '''"u"'''
 
|-
 
|-
−
| '''"i"''' || '''"A"'''
+
| '''A''' || '''"u"''' || '''"A"'''
 
|-
 
|-
−
| '''"i"''' || '''"i"'''
+
| '''A''' || '''"u"''' || '''"u"'''
 
|-
 
|-
−
| '''"B"''' || '''"B"'''
+
| '''B''' || '''"B"''' || '''"B"'''
 
|-
 
|-
−
| '''"B"''' || '''"u"'''
+
| '''B''' || '''"B"''' || '''"i"'''
 
|-
 
|-
−
| '''"u"''' || '''"B"'''
+
| '''B''' || '''"i"''' || '''"B"'''
 
|-
 
|-
−
| '''"u"''' || '''"u"'''
+
| '''B''' || '''"i"''' || '''"i"'''
 
|}
 
|}
−
| align="center" style="width:45%" | ''proj''<sub>SI</sub>('''L'''<sub>B</sub>)
+
<br>
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
+
 
 +
{| align="center" style="width:90%"
 +
| align="center" style="width:30%" | proj<sub>''XY''</sub>('''L'''<sub>A</sub>)
 +
{| border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
 
|- style="background:paleturquoise"
 
|- style="background:paleturquoise"
 +
! style="width:50%" | Object
 
! style="width:50%" | Sign
 
! style="width:50%" | Sign
−
! style="width:50%" | Interpretant
 
 
|-
 
|-
−
| '''"A"''' || '''"A"'''
+
| '''A''' || '''"A"'''
 
|-
 
|-
−
| '''"A"''' || '''"u"'''
+
| '''A''' || '''"i"'''
 
|-
 
|-
−
| '''"u"''' || '''"A"'''
+
| '''B''' || '''"B"'''
 
|-
 
|-
−
| '''"u"''' || '''"u"'''
+
| '''B''' || '''"u"'''
−
|-
 
−
| '''"B"''' || '''"B"'''
 
−
|-
 
−
| '''"B"''' || '''"i"'''
 
−
|-
 
−
| '''"i"''' || '''"B"'''
 
−
|-
 
−
| '''"i"''' || '''"i"'''
 
 
|}
 
|}
−
|}
+
| align="center" style="width:30%" | proj<sub>''XZ''</sub>('''L'''<sub>A</sub>)
−
<br>
+
{| border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
−
 
 
−
{| align="center" style="width:90%"
 
−
| align="center" style="width:45%" | ''proj''<sub>OI</sub>('''L'''<sub>A</sub>)
 
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
 
 
|- style="background:paleturquoise"
 
|- style="background:paleturquoise"
 
! style="width:50%" | Object
 
! style="width:50%" | Object
Line 10,266: Line 11,609:
 
| '''B''' || '''"u"'''
 
| '''B''' || '''"u"'''
 
|}
 
|}
−
| align="center" style="width:45%" | ''proj''<sub>OI</sub>('''L'''<sub>B</sub>)
+
| align="center" style="width:30%" | proj<sub>''YZ''</sub>('''L'''<sub>A</sub>)
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
+
{| border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
 
|- style="background:paleturquoise"
 
|- style="background:paleturquoise"
−
! style="width:50%" | Object
+
! style="width:50%" | Sign
 
! style="width:50%" | Interpretant
 
! style="width:50%" | Interpretant
 
|-
 
|-
−
| '''A''' || '''"A"'''
+
| '''"A"''' || '''"A"'''
 +
|-
 +
| '''"A"''' || '''"i"'''
 +
|-
 +
| '''"i"''' || '''"A"'''
 +
|-
 +
| '''"i"''' || '''"i"'''
 +
|-
 +
| '''"B"''' || '''"B"'''
 
|-
 
|-
−
| '''A''' || '''"u"'''
+
| '''"B"''' || '''"u"'''
 
|-
 
|-
−
| '''B''' || '''"B"'''
+
| '''"u"''' || '''"B"'''
 
|-
 
|-
−
| '''B''' || '''"i"'''
+
| '''"u"''' || '''"u"'''
 
|}
 
|}
 
|}
 
|}
 
<br>
 
<br>
  
−
===Relation Reduction===
+
{| align="center" style="width:90%"
−
 
+
| align="center" style="width:30%" | proj<sub>''XY''</sub>('''L'''<sub>B</sub>)
−
====Method 1 : Subtitles as Captions====
+
{| border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
−
 
 
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:60%"
 
−
|+ '''L'''<sub>0</sub> = {(''x'', ''y'', ''z'') &#8712; '''B'''<sup>3</sup> : ''x'' + ''y'' + ''z'' = 0}
 
 
|- style="background:paleturquoise"
 
|- style="background:paleturquoise"
−
! X !! Y !! Z
+
! style="width:50%" | Object
 +
! style="width:50%" | Sign
 
|-
 
|-
−
| '''0''' || '''0''' || '''0'''
+
| '''A''' || '''"A"'''
 
|-
 
|-
−
| '''0''' || '''1''' || '''1'''
+
| '''A''' || '''"u"'''
 
|-
 
|-
−
| '''1''' || '''0''' || '''1'''
+
| '''B''' || '''"B"'''
 
|-
 
|-
−
| '''1''' || '''1''' || '''0'''
+
| '''B''' || '''"i"'''
 
|}
 
|}
−
<br>
+
| align="center" style="width:30%" | proj<sub>''XZ''</sub>('''L'''<sub>B</sub>)
−
 
+
{| border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:60%"
 
−
|+ '''L'''<sub>1</sub> = {(''x'', ''y'', ''z'') &#8712; '''B'''<sup>3</sup> : ''x'' + ''y'' + ''z'' = 1}
 
 
|- style="background:paleturquoise"
 
|- style="background:paleturquoise"
−
! X !! Y !! Z
+
! style="width:50%" | Object
 +
! style="width:50%" | Interpretant
 
|-
 
|-
−
| '''0''' || '''0''' || '''1'''
+
| '''A''' || '''"A"'''
 
|-
 
|-
−
| '''0''' || '''1''' || '''0'''
+
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|-
 
|-
−
| '''1''' || '''0''' || '''0'''
+
| '''B''' || '''"B"'''
 
|-
 
|-
−
| '''1''' || '''1''' || '''1'''
+
| '''B''' || '''"i"'''
 
|}
 
|}
−
<br>
+
| align="center" style="width:30%" | proj<sub>''YZ''</sub>('''L'''<sub>B</sub>)
−
 
 
−
{| align="center" style="width:90%"
 
−
|
 
 
{| border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
 
{| border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
−
|+ proj<sub>''XY''</sub>('''L'''<sub>0</sub>)
 
 
|- style="background:paleturquoise"
 
|- style="background:paleturquoise"
−
! X !! Y
+
! style="width:50%" | Sign
 +
! style="width:50%" | Interpretant
 
|-
 
|-
−
| '''0''' || '''0'''
+
| '''"A"''' || '''"A"'''
 
|-
 
|-
−
| '''0''' || '''1'''
+
| '''"A"''' || '''"u"'''
 
|-
 
|-
−
| '''1''' || '''0'''
+
| '''"u"''' || '''"A"'''
 
|-
 
|-
−
| '''1''' || '''1'''
+
| '''"u"''' || '''"u"'''
−
|}
 
−
|
 
−
{| border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
 
−
|+ proj<sub>''XZ''</sub>('''L'''<sub>0</sub>)
 
−
|- style="background:paleturquoise"
 
−
! X !! Z
 
 
|-
 
|-
−
| '''0''' || '''0'''
+
| '''"B"''' || '''"B"'''
 
|-
 
|-
−
| '''0''' || '''1'''
+
| '''"B"''' || '''"i"'''
 
|-
 
|-
−
| '''1''' || '''1'''
+
| '''"i"''' || '''"B"'''
 
|-
 
|-
−
| '''1''' || '''0'''
+
| '''"i"''' || '''"i"'''
 
|}
 
|}
−
|
 
−
{| border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
 
−
|+ proj<sub>''YZ''</sub>('''L'''<sub>0</sub>)
 
−
|- style="background:paleturquoise"
 
−
! Y !! Z
 
−
|-
 
−
| '''0''' || '''0'''
 
−
|-
 
−
| '''1''' || '''1'''
 
−
|-
 
−
| '''0''' || '''1'''
 
−
|-
 
−
| '''1''' || '''0'''
 
 
|}
 
|}
 +
<br>
 +
 +
{| align="center" cellpadding="4" style="text-align:center; width:90%"
 +
| proj<sub>''XY''</sub>('''L'''<sub>A</sub>) &#8800; proj<sub>''XY''</sub>('''L'''<sub>B</sub>)
 +
| proj<sub>''XZ''</sub>('''L'''<sub>A</sub>) &#8800; proj<sub>''XZ''</sub>('''L'''<sub>B</sub>)
 +
| proj<sub>''YZ''</sub>('''L'''<sub>A</sub>) &#8800; proj<sub>''YZ''</sub>('''L'''<sub>B</sub>)
 
|}
 
|}
 
<br>
 
<br>
  
−
{| align="center" style="width:90%"
+
===Formatted Text Display===
−
|
+
 
−
{| border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
+
: So in a triadic fact, say, the example <br>
−
|+ proj<sub>''XY''</sub>('''L'''<sub>1</sub>)
+
{| align="center" cellspacing="8" style="width:72%"
−
|- style="background:paleturquoise"
+
| align="center" | ''A'' gives ''B'' to ''C''
−
! X !! Y
+
|}
−
|-
+
: we make no distinction in the ordinary logic of relations between the ''[[subject (grammar)|subject]] [[nominative]]'', the ''[[direct object]]'', and the ''[[indirect object]]''.  We say that the proposition has three ''logical subjects''.  We regard it as a mere affair of English grammar that there are six ways of expressing this: <br>
−
| '''0''' || '''0'''
+
{| align="center" cellspacing="8" style="width:72%"
 +
| style="width:36%" | ''A'' gives ''B'' to ''C''
 +
| style="width:36%" | ''A'' benefits ''C'' with ''B''
 
|-
 
|-
−
| '''0''' || '''1'''
+
| ''B'' enriches ''C'' at expense of ''A''
 +
| ''C'' receives ''B'' from ''A''
 
|-
 
|-
−
| '''1''' || '''0'''
+
| ''C'' thanks ''A'' for ''B''
−
|-
+
| ''B'' leaves ''A'' for ''C''
−
| '''1''' || '''1'''
 
 
|}
 
|}
−
|
+
: These six sentences express one and the same indivisible phenomenon. (C.S. Peirce, "The Categories Defended", MS 308 (1903), EP 2, 170-171).
−
{| border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
+
 
−
|+ proj<sub>''XZ''</sub>('''L'''<sub>1</sub>)
+
==Work Area==
−
|- style="background:paleturquoise"
+
 
−
! X !! Z
+
{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="0" style="text-align:center"
 +
|+ Binary Operations
 
|-
 
|-
−
| '''0''' || '''1'''
+
! style="width:2em" | x<sub>0</sub>
 +
! style="width:2em" | x<sub>1</sub>
 +
| style="width:2em" | <sup>2</sup>f<sub>0</sub>
 +
| style="width:2em" | <sup>2</sup>f<sub>1</sub>
 +
| style="width:2em" | <sup>2</sup>f<sub>2</sub>
 +
| style="width:2em" | <sup>2</sup>f<sub>3</sub>
 +
| style="width:2em" | <sup>2</sup>f<sub>4</sub>
 +
| style="width:2em" | <sup>2</sup>f<sub>5</sub>
 +
| style="width:2em" | <sup>2</sup>f<sub>6</sub>
 +
| style="width:2em" | <sup>2</sup>f<sub>7</sub>
 +
| style="width:2em" | <sup>2</sup>f<sub>8</sub>
 +
| style="width:2em" | <sup>2</sup>f<sub>9</sub>
 +
| style="width:2em" | <sup>2</sup>f<sub>10</sub>
 +
| style="width:2em" | <sup>2</sup>f<sub>11</sub>
 +
| style="width:2em" | <sup>2</sup>f<sub>12</sub>
 +
| style="width:2em" | <sup>2</sup>f<sub>13</sub>
 +
| style="width:2em" | <sup>2</sup>f<sub>14</sub>
 +
| style="width:2em" | <sup>2</sup>f<sub>15</sub>
 
|-
 
|-
−
| '''0''' || '''0'''
+
| 0 || 0 || 0 || 1 || 0 || 1 || 0 || 1 || 0 || 1 || 0 || 1 || 0 || 1 || 0 || 1 || 0 || 1
 
|-
 
|-
−
| '''1''' || '''0'''
+
| 1 || 0 || 0 || 0 || 1 || 1 || 0 || 0 || 1 || 1 || 0 || 0 || 1 || 1 || 0 || 0 || 1 || 1
 
|-
 
|-
−
| '''1''' || '''1'''
+
| 0 || 1 || 0 || 0 || 0 || 0 || 1 || 1 || 1 || 1 || 0 || 0 || 0 || 0 || 1 || 1 || 1 || 1
−
|}
 
−
|
 
−
{| border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
 
−
|+ proj<sub>''YZ''</sub>('''L'''<sub>1</sub>)
 
−
|- style="background:paleturquoise"
 
−
! Y !! Z
 
 
|-
 
|-
−
| '''0''' || '''1'''
+
| 1 || 1 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1
−
|-
 
−
| '''1''' || '''0'''
 
−
|-
 
−
| '''0''' || '''0'''
 
−
|-
 
−
| '''1''' || '''1'''
 
−
|}
 
 
|}
 
|}
 
<br>
 
<br>
  
−
{| align="center" cellpadding="4" style="text-align:center; width:90%"
+
===Draft 1===
−
| proj<sub>''XY''</sub>('''L'''<sub>0</sub>) = proj<sub>''XY''</sub>('''L'''<sub>1</sub>)
 
−
| proj<sub>''XZ''</sub>('''L'''<sub>0</sub>) = proj<sub>''XZ''</sub>('''L'''<sub>1</sub>)
 
−
| proj<sub>''YZ''</sub>('''L'''<sub>0</sub>) = proj<sub>''YZ''</sub>('''L'''<sub>1</sub>)
 
−
|}
 
−
<br>
 
  
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:60%"
+
<center><table>
−
|+ '''L'''<sub>A</sub> = Sign Relation of Interpreter A
+
<caption>TRUTH TABLES FOR THE BOOLEAN OPERATIONS OF ARITY UP TO 2</caption>
−
|- style="background:paleturquoise"
+
<tr valign="top">
−
! style="width:20%" | Object
+
<td><table border=5 cellspacing=0>
−
! style="width:20%" | Sign
+
<caption>Constants</caption>
−
! style="width:20%" | Interpretant
+
<tr><td></td>
−
|-
+
<td><sup>0</sup>f<sub>0</sub></td> <td><sup>0</sup>f<sub>1</sub></td>
−
| '''A''' || '''"A"''' || '''"A"'''
+
</tr> <tr><td></td>
−
|-
+
<td align=center>0</td> <td align=center>1</td>
−
| '''A''' || '''"A"''' || '''"i"'''
+
</tr></table></td><td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
−
|-
+
<td><table border=5 cellspacing=0><caption>Unary Operations</caption><tr>
−
| '''A''' || '''"i"''' || '''"A"'''
+
<td>x<sub>0</sub></td> <td></td>
−
|-
+
<td><sup>1</sup>f<sub>0 </sub></td> <td><sup>1</sup>f<sub>1 </sub></td>
−
| '''A''' || '''"i"''' || '''"i"'''
+
<td><sup>1</sup>f<sub>2 </sub></td> <td><sup>1</sup>f<sub>3 </sub></td>
−
|-
+
</tr><tr> <td align=center>0</td> <td></td>
−
| '''B''' || '''"B"''' || '''"B"'''
+
<td align=center>0</td> <td align=center>1</td> <td align=center>0</td> <td align=center>1</td>
−
|-
+
</tr> <tr> <td align=center>1</td> <td></td>
−
| '''B''' || '''"B"''' || '''"u"'''
+
<td align=center>0</td> <td align=center>0</td> <td align=center>1</td> <td align=center>1</td>
−
|-
+
</tr></table></td><td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
−
| '''B''' || '''"u"''' || '''"B"'''
+
<td><table border=5 cellspacing=0><caption>Binary Operations</caption><tr>
−
|-
+
<td>x<sub>0</sub></td> <td>x<sub>1</sub></td>
−
| '''B''' || '''"u"''' || '''"u"'''
+
<td></td>
−
|}
+
<td><sup>2</sup>f<sub>0</sub></td> <td><sup>2</sup>f<sub>1 </sub></td>
−
<br>
+
<td><sup> 2</sup>f<sub>2 </sub></td> <td><sup>2</sup>f<sub>3 </sub></td>
−
 
+
<td><sup>2</sup>f<sub>4 </sub></td> <td><sup>2</sup>f<sub>5 </sub></td>
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:60%"
+
<td><sup>2</sup>f<sub>6 </sub></td> <td><sup>2</sup>f<sub>7 </sub></td>
−
|+ '''L'''<sub>B</sub> = Sign Relation of Interpreter B
+
<td><sup>2</sup>f<sub>8 </sub></td> <td><sup>2</sup>f<sub>9 </sub></td>
−
|- style="background:paleturquoise"
+
<td><sup>2</sup>f<sub>10</sub></td> <td><sup>2</sup>f<sub>11</sub></td>
−
! style="width:20%" | Object
+
<td><sup>2</sup>f<sub>12</sub></td> <td><sup>2</sup>f<sub>13</sub></td>
−
! style="width:20%" | Sign
+
<td><sup>2</sup>f<sub>14</sub></td> <td><sup>2</sup>f<sub>15</sub></td>
−
! style="width:20%" | Interpretant
+
</tr><tr> <td align=center>0</td> <td align=center>0</td> <td></td>
−
|-
+
<td align=center>0</td> <td align=center>1</td> <td align=center>0</td> <td align=center>1</td>
−
| '''A''' || '''"A"''' || '''"A"'''
+
<td align=center>0</td> <td align=center>1</td> <td align=center>0</td> <td align=center>1</td>
−
|-
+
<td align=center>0</td> <td align=center>1</td> <td align=center>0</td> <td align=center>1</td>
−
| '''A''' || '''"A"''' || '''"u"'''
+
<td align=center>0</td> <td align=center>1</td> <td align=center>0</td> <td align=center>1</td>
−
|-
+
</tr> <tr> <td align=center>1</td> <td align=center>0</td> <td></td>
−
| '''A''' || '''"u"''' || '''"A"'''
+
<td align=center>0</td> <td align=center>0</td> <td align=center>1</td> <td align=center>1</td>
−
|-
+
<td align=center>0</td> <td align=center>0</td> <td align=center>1</td> <td align=center>1</td>
−
| '''A''' || '''"u"''' || '''"u"'''
+
<td align=center>0</td> <td align=center>0</td> <td align=center>1</td> <td align=center>1</td>
−
|-
+
<td align=center>0</td> <td align=center>0</td> <td align=center>1</td> <td align=center>1</td>
−
| '''B''' || '''"B"''' || '''"B"'''
+
</tr> <tr> <td align=center>0</td> <td align=center>1</td> <td></td>
−
|-
+
<td align=center>0</td> <td align=center>0</td> <td align=center>0</td> <td align=center>0</td>
−
| '''B''' || '''"B"''' || '''"i"'''
+
<td align=center>1</td> <td align=center>1</td> <td align=center>1</td> <td align=center>1</td>
−
|-
+
<td align=center>0</td> <td align=center>0</td> <td align=center>0</td> <td align=center>0</td>
−
| '''B''' || '''"i"''' || '''"B"'''
+
<td align=center>1</td> <td align=center>1</td> <td align=center>1</td> <td align=center>1</td>
−
|-
+
</tr> <tr> <td align=center>1</td> <td align=center>1</td> <td></td>
−
| '''B''' || '''"i"''' || '''"i"'''
+
<td align=center>0</td> <td align=center>0</td> <td align=center>0</td> <td align=center>0</td>
−
|}
+
<td align=center>0</td> <td align=center>0</td> <td align=center>0</td> <td align=center>0</td>
−
<br>
+
<td align=center>1</td> <td align=center>1</td> <td align=center>1</td> <td align=center>1</td>
 +
<td align=center>1</td> <td align=center>1</td> <td align=center>1</td> <td align=center>1</td>
 +
</tr> </table></td>
 +
</table></center>
 +
 
 +
===Draft 2===
  
−
{| align="center" style="width:90%"
+
<center><table>
−
|
+
<caption>TRUTH TABLES FOR THE BOOLEAN OPERATIONS OF ARITY UP TO 2</caption>
−
{| border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
+
<tr valign="top">
−
|+ proj<sub>''XY''</sub>('''L'''<sub>A</sub>)
+
<td><table border=5 cellspacing=0>
−
|- style="background:paleturquoise"
+
<caption>Constants</caption>
−
! style="width:50%" | Object
+
<tr><td></td>
−
! style="width:50%" | Sign
+
<td><sup>0</sup>f<sub>0</sub></td> <td><sup>0</sup>f<sub>1</sub></td>
−
|-
+
</tr> <tr><td></td>
−
| '''A''' || '''"A"'''
+
<td align=center>0</td> <td align=center>1</td>
−
|-
+
</tr></table></td><td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
−
| '''A''' || '''"i"'''
+
<td><table border=5 cellspacing=0><caption>Unary Operations</caption><tr>
 +
<td>x<sub>0</sub></td> <td></td>
 +
<td><sup>1</sup>f<sub>0 </sub></td> <td><sup>1</sup>f<sub>1 </sub></td>
 +
<td><sup>1</sup>f<sub>2 </sub></td> <td><sup>1</sup>f<sub>3 </sub></td>
 +
</tr><tr> <td align=center>0</td> <td></td>
 +
<td align=center>0</td> <td align=center>1</td> <td align=center>0</td> <td align=center>1</td>
 +
</tr> <tr> <td align=center>1</td> <td></td>
 +
<td align=center>0</td> <td align=center>0</td> <td align=center>1</td> <td align=center>1</td>
 +
</tr></table></td><td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
 +
<td><table border=5 cellspacing=0><caption>Binary Operations</caption><tr>
 +
<td>x<sub>0</sub></td> <td>x<sub>1</sub></td>
 +
<td></td>
 +
<td><sup>2</sup>f<sub>0</sub></td> <td><sup>2</sup>f<sub>1 </sub></td>
 +
<td><sup> 2</sup>f<sub>2 </sub></td> <td><sup>2</sup>f<sub>3 </sub></td>
 +
<td><sup>2</sup>f<sub>4 </sub></td> <td><sup>2</sup>f<sub>5 </sub></td>
 +
<td><sup>2</sup>f<sub>6 </sub></td> <td><sup>2</sup>f<sub>7 </sub></td>
 +
<td><sup>2</sup>f<sub>8 </sub></td> <td><sup>2</sup>f<sub>9 </sub></td>
 +
<td><sup>2</sup>f<sub>10</sub></td> <td><sup>2</sup>f<sub>11</sub></td>
 +
<td><sup>2</sup>f<sub>12</sub></td> <td><sup>2</sup>f<sub>13</sub></td>
 +
<td><sup>2</sup>f<sub>14</sub></td> <td><sup>2</sup>f<sub>15</sub></td>
 +
</tr><tr> <td align=center>0</td> <td align=center>0</td> <td></td>
 +
<td align=center>0</td> <td align=center>1</td> <td align=center>0</td> <td align=center>1</td>
 +
<td align=center>0</td> <td align=center>1</td> <td align=center>0</td> <td align=center>1</td>
 +
<td align=center>0</td> <td align=center>1</td> <td align=center>0</td> <td align=center>1</td>
 +
<td align=center>0</td> <td align=center>1</td> <td align=center>0</td> <td align=center>1</td>
 +
</tr> <tr> <td align=center>1</td> <td align=center>0</td> <td></td>
 +
<td align=center>0</td> <td align=center>0</td> <td align=center>1</td> <td align=center>1</td>
 +
<td align=center>0</td> <td align=center>0</td> <td align=center>1</td> <td align=center>1</td>
 +
<td align=center>0</td> <td align=center>0</td> <td align=center>1</td> <td align=center>1</td>
 +
<td align=center>0</td> <td align=center>0</td> <td align=center>1</td> <td align=center>1</td>
 +
</tr> <tr> <td align=center>0</td> <td align=center>1</td> <td></td>
 +
<td align=center>0</td> <td align=center>0</td> <td align=center>0</td> <td align=center>0</td>
 +
<td align=center>1</td> <td align=center>1</td> <td align=center>1</td> <td align=center>1</td>
 +
<td align=center>0</td> <td align=center>0</td> <td align=center>0</td> <td align=center>0</td>
 +
<td align=center>1</td> <td align=center>1</td> <td align=center>1</td> <td align=center>1</td>
 +
</tr> <tr> <td align=center>1</td> <td align=center>1</td> <td></td>
 +
<td align=center>0</td> <td align=center>0</td> <td align=center>0</td> <td align=center>0</td>
 +
<td align=center>0</td> <td align=center>0</td> <td align=center>0</td> <td align=center>0</td>
 +
<td align=center>1</td> <td align=center>1</td> <td align=center>1</td> <td align=center>1</td>
 +
<td align=center>1</td> <td align=center>1</td> <td align=center>1</td> <td align=center>1</td>
 +
</tr> </table></td>
 +
</table></center>
 +
 
 +
==Inquiry and Analogy==
 +
 
 +
===Test Patterns===
 +
 
 +
{| align="center"
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 
|-
 
|-
−
| '''B''' || '''"B"'''
+
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
|}<br>
 +
 
 +
{| align="center"
 +
| style="background:white; color:black" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 0
 
|-
 
|-
−
| '''B''' || '''"u"'''
+
| style="background:black; color:white" | 0
−
|}
+
| style="background:white; color:black" | 1
−
|
+
| style="background:black; color:white" | 0
−
{| border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
+
| style="background:white; color:black" | 1
−
|+ proj<sub>''XZ''</sub>('''L'''<sub>A</sub>)
+
| style="background:black; color:white" | 0
−
|- style="background:paleturquoise"
+
| style="background:white; color:black" | 1
−
! style="width:50%" | Object
+
| style="background:black; color:white" | 0
−
! style="width:50%" | Interpretant
+
| style="background:white; color:black" | 1
 +
|}<br>
 +
 
 +
{| align="center"
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 
|-
 
|-
−
| '''A''' || '''"A"'''
+
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
|}<br>
 +
 
 +
===Table 10===
 +
 
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
 +
|+ '''Table 10.  Higher Order Propositions (''n'' = 1)'''
 +
|- style="background:ghostwhite"
 +
| align="right" | <math>x</math>:
 +
| 1 0
 +
| <math>f</math>
 +
| <math>m_0</math>
 +
| <math>m_1</math>
 +
| <math>m_2</math>
 +
| <math>m_3</math>
 +
| <math>m_4</math>
 +
| <math>m_5</math>
 +
| <math>m_6</math>
 +
| <math>m_7</math>
 +
| <math>m_8</math>
 +
| <math>m_9</math>
 +
| <math>m_{10}</math>
 +
| <math>m_{11}</math>
 +
| <math>m_{12}</math>
 +
| <math>m_{13}</math>
 +
| <math>m_{14}</math>
 +
| <math>m_{15}</math>
 
|-
 
|-
−
| '''A''' || '''"i"'''
+
| <math>f_0</math>
 +
| 0 0
 +
| <math>0\!</math>
 +
| 0 || 1 || 0 || 1 || 0 || 1 || 0 || 1 || 0 || 1 || 0 || 1 || 0 || 1 || 0 || 1
 
|-
 
|-
−
| '''B''' || '''"B"'''
+
| <math>f_1</math>
 +
| 0 1
 +
| <math>(x)\!</math>
 +
| 0 || 0 || 1 || 1 || 0 || 0 || 1 || 1 || 0 || 0 || 1 || 1 || 0 || 0 || 1 || 1
 
|-
 
|-
−
| '''B''' || '''"u"'''
+
| <math>f_2</math>
−
|}
+
| 1 0
−
|
+
| <math>x\!</math>
−
{| border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
+
| 0 || 0 || 0 || 0 || 1 || 1 || 1 || 1 || 0 || 0 || 0 || 0 || 1 || 1 || 1 || 1
−
|+ proj<sub>''YZ''</sub>('''L'''<sub>A</sub>)
 
−
|- style="background:paleturquoise"
 
−
! style="width:50%" | Sign
 
−
! style="width:50%" | Interpretant
 
 
|-
 
|-
−
| '''"A"''' || '''"A"'''
+
| <math>f_3</math>
 +
| 1 1
 +
| <math>1\!</math>
 +
| 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1
 +
|}<br>
 +
 
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:white; color:black; font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
 +
|+ '''Table 10.  Higher Order Propositions (''n'' = 1)'''
 +
|- style="background:ghostwhite"
 +
| align="right" | <math>x:</math>
 +
| 1 0
 +
| <math>f\!</math>
 +
| <math>m_0</math>
 +
| <math>m_1</math>
 +
| <math>m_2</math>
 +
| <math>m_3</math>
 +
| <math>m_4</math>
 +
| <math>m_5</math>
 +
| <math>m_6</math>
 +
| <math>m_7</math>
 +
| <math>m_8</math>
 +
| <math>m_9</math>
 +
| <math>m_{10}</math>
 +
| <math>m_{11}</math>
 +
| <math>m_{12}</math>
 +
| <math>m_{13}</math>
 +
| <math>m_{14}</math>
 +
| <math>m_{15}</math>
 
|-
 
|-
−
| '''"A"''' || '''"i"'''
+
| <math>f_0</math>
 +
| 0 0
 +
| <math>0\!</math>
 +
| 0 || style="background:black; color:white" | 1
 +
| 0 || style="background:black; color:white" | 1
 +
| 0 || style="background:black; color:white" | 1
 +
| 0 || style="background:black; color:white" | 1
 +
| 0 || style="background:black; color:white" | 1
 +
| 0 || style="background:black; color:white" | 1
 +
| 0 || style="background:black; color:white" | 1
 +
| 0 || style="background:black; color:white" | 1
 
|-
 
|-
−
| '''"i"''' || '''"A"'''
+
| <math>f_1</math>
 +
| 0 1
 +
| <math>(x)\!</math>
 +
| 0 || 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| 0 || 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| 0 || 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| 0 || 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 
|-
 
|-
−
| '''"i"''' || '''"i"'''
+
| <math>f_2</math>
 +
| 1 0
 +
| <math>x\!</math>
 +
| 0 || 0 || 0 || 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| 0 || 0 || 0 || 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 
|-
 
|-
−
| '''"B"''' || '''"B"'''
+
| <math>f_3</math>
 +
| 1 1
 +
| <math>1\!</math>
 +
| 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
|}<br>
 +
 
 +
===Table 11===
 +
 
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
 +
|+ '''Table 11.  Interpretive Categories for Higher Order Propositions (''n'' = 1)'''
 +
|- style="background:ghostwhite"
 +
| Measure
 +
| Happening
 +
| Exactness
 +
| Existence
 +
| Linearity
 +
| Uniformity
 +
| Information
 
|-
 
|-
−
| '''"B"''' || '''"u"'''
+
| <math>m_0\!</math>
 +
| Nothing happens
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 
|-
 
|-
−
| '''"u"''' || '''"B"'''
+
| <math>m_1\!</math>
 +
| &nbsp;
 +
| Just false
 +
| Nothing exists
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 
|-
 
|-
−
| '''"u"''' || '''"u"'''
+
| <math>m_2\!</math>
−
|}
+
| &nbsp;
−
|}
+
| Just not <math>x\!</math>
−
<br>
+
| &nbsp;
−
 
+
| &nbsp;
−
{| align="center" style="width:90%"
+
| &nbsp;
−
|
+
| &nbsp;
−
{| border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
 
−
|+ proj<sub>''XY''</sub>('''L'''<sub>B</sub>)
 
−
|- style="background:paleturquoise"
 
−
! style="width:50%" | Object
 
−
! style="width:50%" | Sign
 
 
|-
 
|-
−
| '''A''' || '''"A"'''
+
| <math>m_3\!</math>
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
| Nothing is <math>x\!</math>
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 
|-
 
|-
−
| '''A''' || '''"u"'''
+
| <math>m_4\!</math>
 +
| &nbsp;
 +
| Just <math>x\!</math>
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 
|-
 
|-
−
| '''B''' || '''"B"'''
+
| <math>m_5\!</math>
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
| Everything is <math>x\!</math>
 +
| <math>f\!</math> is linear
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 
|-
 
|-
−
| '''B''' || '''"i"'''
+
| <math>m_6\!</math>
−
|}
+
| &nbsp;
−
|
+
| &nbsp;
−
{| border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
+
| &nbsp;
−
|+ proj<sub>''XZ''</sub>('''L'''<sub>B</sub>)
+
| &nbsp;
−
|- style="background:paleturquoise"
+
| <math>f\!</math> is not uniform
−
! style="width:50%" | Object
+
| <math>f\!</math> is informed
−
! style="width:50%" | Interpretant
 
 
|-
 
|-
−
| '''A''' || '''"A"'''
+
| <math>m_7\!</math>
 +
| &nbsp;
 +
| Not just true
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 
|-
 
|-
−
| '''A''' || '''"u"'''
+
| <math>m_8\!</math>
 +
| &nbsp;
 +
| Just true
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 
|-
 
|-
−
| '''B''' || '''"B"'''
+
| <math>m_9\!</math>
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
| <math>f\!</math> is uniform
 +
| <math>f\!</math> is not informed
 
|-
 
|-
−
| '''B''' || '''"i"'''
+
| <math>m_{10}\!</math>
−
|}
+
| &nbsp;
−
|
+
| &nbsp;
−
{| border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
+
| Something is not <math>x\!</math>
−
|+ proj<sub>''YZ''</sub>('''L'''<sub>B</sub>)
+
| <math>f\!</math> is not linear
−
|- style="background:paleturquoise"
+
| &nbsp;
−
! style="width:50%" | Sign
+
| &nbsp;
−
! style="width:50%" | Interpretant
 
 
|-
 
|-
−
| '''"A"''' || '''"A"'''
+
| <math>m_{11}\!</math>
 +
| &nbsp;
 +
| Not just <math>x\!</math>
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 
|-
 
|-
−
| '''"A"''' || '''"u"'''
+
| <math>m_{12}\!</math>
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
| Something is <math>x\!</math>
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 
|-
 
|-
−
| '''"u"''' || '''"A"'''
+
| <math>m_{13}\!</math>
 +
| &nbsp;
 +
| Not just not <math>x\!</math>
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 
|-
 
|-
−
| '''"u"''' || '''"u"'''
+
| <math>m_{14}\!</math>
 +
| &nbsp;
 +
| Not just false
 +
| Something exists
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 
|-
 
|-
−
| '''"B"''' || '''"B"'''
+
| <math>m_{15}\!</math>
−
|-
+
| Anything happens
−
| '''"B"''' || '''"i"'''
+
| &nbsp;
−
|-
+
| &nbsp;
−
| '''"i"''' || '''"B"'''
+
| &nbsp;
−
|-
+
| &nbsp;
−
| '''"i"''' || '''"i"'''
+
| &nbsp;
−
|}
+
|}<br>
−
|}
 
−
<br>
 
−
 
 
−
{| align="center" cellpadding="4" style="text-align:center; width:90%"
 
−
| proj<sub>''XY''</sub>('''L'''<sub>A</sub>) &#8800; proj<sub>''XY''</sub>('''L'''<sub>B</sub>)
 
−
| proj<sub>''XZ''</sub>('''L'''<sub>A</sub>) &#8800; proj<sub>''XZ''</sub>('''L'''<sub>B</sub>)
 
−
| proj<sub>''YZ''</sub>('''L'''<sub>A</sub>) &#8800; proj<sub>''YZ''</sub>('''L'''<sub>B</sub>)
 
−
|}
 
−
<br>
 
  
−
====Method 2 : Subtitles as Top Rows====
+
===Table 12===
  
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:60%"
+
{| align="center" border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" style="font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
−
|+ '''L'''<sub>0</sub> = {(''x'', ''y'', ''z'') &#8712; '''B'''<sup>3</sup> : ''x'' + ''y'' + ''z'' = 0}
+
|+ '''Table 12.  Higher Order Propositions (''n'' = 2)'''
−
|- style="background:paleturquoise"
+
|- style="background:ghostwhite"
−
! X !! Y !! Z
+
| align="right" | <math>x:</math><br><math>y:</math>
 +
| 1100<br>1010
 +
| <math>f\!</math>
 +
| <math>m_0</math>
 +
| <math>m_1</math>
 +
| <math>m_2</math>
 +
| <math>m_3</math>
 +
| <math>m_4</math>
 +
| <math>m_5</math>
 +
| <math>m_6</math>
 +
| <math>m_7</math>
 +
| <math>m_8</math>
 +
| <math>m_9</math>
 +
| <math>m_{10}</math>
 +
| <math>m_{11}</math>
 +
| <math>m_{12}</math>
 +
| <math>m_{13}</math>
 +
| <math>m_{14}</math>
 +
| <math>m_{15}</math>
 +
| <math>m_{16}</math>
 +
| <math>m_{17}</math>
 +
| <math>m_{18}</math>
 +
| <math>m_{19}</math>
 +
| <math>m_{20}</math>
 +
| <math>m_{21}</math>
 +
| <math>m_{22}</math>
 +
| <math>m_{23}</math>
 
|-
 
|-
−
| '''0''' || '''0''' || '''0'''
+
| <math>f_0</math> || 0000 || <math>(~)</math>
 +
| 0    || 1    || 0    || 1    || 0    || 1    || 0    || 1
 +
| 0    || 1    || 0    || 1    || 0   || 1    || 0   || 1
 +
| 0   || 1    || 0    || 1    || 0    || 1    || 0    || 1
 
|-
 
|-
−
| '''0''' || '''1''' || '''1'''
+
| <math>f_1</math> || 0001 || <math>(x)(y)\!</math>
 +
|&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    || 0    || 0    || 1    || 1
 +
| 0    || 0    || 1    || 1    || 0    || 0    || 1    || 1
 +
| 0    || 0    || 1    || 1    || 0    || 0   || 1   || 1
 
|-
 
|-
−
| '''1''' || '''0''' || '''1'''
+
| <math>f_2</math> || 0010 || <math>(x) y\!</math>
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    || 1    || 1
 +
| 0    || 0    || 0    || 0    || 1    || 1    || 1    || 1
 +
| 0    || 0   || 0    || 0    || 1    || 1    || 1    || 1
 
|-
 
|-
−
| '''1''' || '''1''' || '''0'''
+
| <math>f_3</math> || 0011 || <math>(x)\!</math>
−
|}
+
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
−
<br>
+
| 1   || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1
−
 
+
| 0    || 0    || 0    || 0    || 0    || 0    || 0    || 0
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:60%"
 
−
|+ '''L'''<sub>1</sub> = {(''x'', ''y'', ''z'') &#8712; '''B'''<sup>3</sup> : ''x'' + ''y'' + ''z'' = 1}
 
−
|- style="background:paleturquoise"
 
−
! X !! Y !! Z
 
 
|-
 
|-
−
| '''0''' || '''0''' || '''1'''
+
| <math>f_4</math> || 0100 || <math>x (y)\!</math>
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
| 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1
 
|-
 
|-
−
| '''0''' || '''1''' || '''0'''
+
| <math>f_5</math> || 0101 || <math>(y)\!</math>
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
|-
 
|-
−
| '''1''' || '''0''' || '''0'''
+
| <math>f_6</math> || 0110 || <math>(x, y)\!</math>
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
|-
 
|-
−
| '''1''' || '''1''' || '''1'''
+
| <math>f_7</math> || 0111 || <math>(x y)\!</math>
−
|}
+
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
−
<br>
+
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
−
 
+
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
−
{| align="center" style="width:90%"
 
−
| align="center" | proj<sub>''XY''</sub>('''L'''<sub>0</sub>)
 
−
{| border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
 
−
|- style="background:paleturquoise"
 
−
! X !! Y
 
 
|-
 
|-
−
| '''0''' || '''0'''
+
| <math>f_8</math> || 1000 || <math>x y\!</math>
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
|-
 
|-
−
| '''0''' || '''1'''
+
| <math>f_9</math> || 1001 || <math>((x, y))\!</math>
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
|-
 
|-
−
| '''1''' || '''0'''
+
| <math>f_{10}</math> || 1010 || <math>y\!</math>
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|-
 +
| <math>f_{11}</math> || 1011 || <math>(x (y))\!</math>
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|-
 +
| <math>f_{12}</math> || 1100 || <math>x\!</math>
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|-
 +
| <math>f_{13}</math> || 1101 || <math>((x) y)\!</math>
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|-
 +
| <math>f_{14}</math> || 1110 || <math>((x)(y))\!</math>
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 +
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
|-
 
|-
−
| '''1''' || '''1'''
+
| <math>f_{15}</math> || 1111 || <math>((~))\!</math>
−
|}
+
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
−
| align="center" | proj<sub>''XZ''</sub>('''L'''<sub>0</sub>)
+
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
−
{| border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
+
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
−
|- style="background:paleturquoise"
+
|}<br>
−
! X !! Z
+
 
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" style="background:white; color:black; font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
 +
|+ '''Table 12.  Higher Order Propositions (''n'' = 2)'''
 +
|- style="background:ghostwhite"
 +
| align="right" | <math>u:</math><br><math>v:</math>
 +
| 1100<br>1010
 +
| <math>f\!</math>
 +
| <math>m_0</math>
 +
| <math>m_1</math>
 +
| <math>m_2</math>
 +
| <math>m_3</math>
 +
| <math>m_4</math>
 +
| <math>m_5</math>
 +
| <math>m_6</math>
 +
| <math>m_7</math>
 +
| <math>m_8</math>
 +
| <math>m_9</math>
 +
| <math>m_{10}</math>
 +
| <math>m_{11}</math>
 +
| <math>m_{12}</math>
 +
| <math>m_{13}</math>
 +
| <math>m_{14}</math>
 +
| <math>m_{15}</math>
 +
| <math>m_{16}</math>
 +
| <math>m_{17}</math>
 +
| <math>m_{18}</math>
 +
| <math>m_{19}</math>
 +
| <math>m_{20}</math>
 +
| <math>m_{21}</math>
 +
| <math>m_{22}</math>
 +
| <math>m_{23}</math>
 
|-
 
|-
−
| '''0''' || '''0'''
+
| <math>f_0</math>
 +
| 0000
 +
| <math>(~)</math>
 +
| 0 || style="background:black; color:white" | 1
 +
| 0 || style="background:black; color:white" | 1
 +
| 0 || style="background:black; color:white" | 1
 +
| 0 || style="background:black; color:white" | 1
 +
| 0 || style="background:black; color:white" | 1
 +
| 0 || style="background:black; color:white" | 1
 +
| 0 || style="background:black; color:white" | 1
 +
| 0 || style="background:black; color:white" | 1
 +
| 0 || style="background:black; color:white" | 1
 +
| 0 || style="background:black; color:white" | 1
 +
| 0 || style="background:black; color:white" | 1
 +
| 0 || style="background:black; color:white" | 1
 
|-
 
|-
−
| '''0''' || '''1'''
+
| <math>f_1</math>
 +
| 0001
 +
| <math>(u)(v)\!</math>
 +
| 0 || 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| 0 || 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| 0 || 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| 0 || 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| 0 || 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| 0 || 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 
|-
 
|-
−
| '''1''' || '''1'''
+
| <math>f_2</math>
 +
| 0010
 +
| <math>(u) v\!</math>
 +
| 0 || 0 || 0 || 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| 0 || 0 || 0 || 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| 0 || 0 || 0 || 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 
|-
 
|-
−
| '''1''' ||  '''0'''
+
| <math>f_3</math>
−
|}
+
| 0011
−
| align="center" | proj<sub>''YZ''</sub>('''L'''<sub>0</sub>)
+
| <math>(u)\!</math>
−
{| border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
+
| 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0
−
|- style="background:paleturquoise"
+
| style="background:black; color:white" | 1
−
! Y !! Z
+
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0
 
|-
 
|-
−
| '''0''' || '''0'''
+
| <math>f_4</math>
 +
| 0100
 +
| <math>u (v)\!</math>
 +
| 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0
 +
| 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 
|-
 
|-
−
| '''1''' || '''1'''
+
| <math>f_5</math>
 +
| 0101
 +
| <math>(v)\!</math>
 +
| 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0
 +
| 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0
 +
| 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0
 
|-
 
|-
−
| '''0''' || '''1'''
+
| <math>f_6</math>
 +
| 0110
 +
| <math>(u, v)\!</math>
 +
| 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0
 +
| 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0
 +
| 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0
 
|-
 
|-
−
| '''1''' || '''0'''
+
| <math>f_7</math>
−
|}
+
| 0111
−
|}
+
| <math>(u v)\!</math>
−
<br>
+
| 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0
 +
| 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0
 +
| 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0
 +
|-
 +
| <math>f_8</math>
 +
| 1000
 +
| <math>u v\!</math>
 +
| 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0
 +
| 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0
 +
| 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0
 +
|-
 +
| <math>f_9</math>
 +
| 1001
 +
| <math>((u, v))\!</math>
 +
| 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0
 +
| 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0
 +
| 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0
 +
|-
 +
| <math>f_{10}</math>
 +
| 1010
 +
| <math>v\!</math>
 +
| 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0
 +
| 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0
 +
| 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0
 +
|-
 +
| <math>f_{11}</math>
 +
| 1011
 +
| <math>(u (v))\!</math>
 +
| 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0
 +
| 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0
 +
| 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0
 +
|-
 +
| <math>f_{12}</math>
 +
| 1100
 +
| <math>u\!</math>
 +
| 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0
 +
| 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0
 +
| 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0
 +
|-
 +
| <math>f_{13}</math>
 +
| 1101
 +
| <math>((u) v)\!</math>
 +
| 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0
 +
| 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0
 +
| 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0
 +
|-
 +
| <math>f_{14}</math>
 +
| 1110
 +
| <math>((u)(v))\!</math>
 +
| 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0
 +
| 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0
 +
| 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0
 +
|-
 +
| <math>f_{15}</math>
 +
| 1111
 +
| <math>((~))\!</math>
 +
| 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0
 +
| 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0
 +
| 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0
 +
|}<br>
 +
 
 +
===Table 13===
  
−
{| align="center" style="width:90%"
+
{| align="center" border="1" cellpadding="1" cellspacing="0" style="font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
−
| align="center" | proj<sub>''XY''</sub>('''L'''<sub>1</sub>)
+
|+ '''Table 13.  Qualifiers of Implication Ordering:&nbsp; <math>\alpha_i f = \Upsilon (f_i, f) = \Upsilon (f_i \Rightarrow f)</math>'''
−
{| border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
+
|- style="background:ghostwhite"
−
|- style="background:paleturquoise"
+
| align="right" | <math>u:</math><br><math>v:</math>
−
! X !! Y
+
| 1100<br>1010
 +
| <math>f\!</math>
 +
| <math>\alpha_0</math>
 +
| <math>\alpha_1</math>
 +
| <math>\alpha_2</math>
 +
| <math>\alpha_3</math>
 +
| <math>\alpha_4</math>
 +
| <math>\alpha_5</math>
 +
| <math>\alpha_6</math>
 +
| <math>\alpha_7</math>
 +
| <math>\alpha_8</math>
 +
| <math>\alpha_9</math>
 +
| <math>\alpha_{10}</math>
 +
| <math>\alpha_{11}</math>
 +
| <math>\alpha_{12}</math>
 +
| <math>\alpha_{13}</math>
 +
| <math>\alpha_{14}</math>
 +
| <math>\alpha_{15}</math>
 +
|-
 +
| <math>f_0</math>
 +
| 0000
 +
| <math>(~)</math>
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
|-
 +
| <math>f_1</math>
 +
| 0001
 +
| <math>(u)(v)\!</math>
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
|-
 +
| <math>f_2</math>
 +
| 0010
 +
| <math>(u) v\!</math>
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
|-
 +
| <math>f_3</math>
 +
| 0011
 +
| <math>(u)\!</math>
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 
|-
 
|-
−
| '''0''' || '''0'''
+
| <math>f_4</math>
 +
| 0100
 +
| <math>u (v)\!</math>
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 
|-
 
|-
−
| '''0''' || '''1'''
+
| <math>f_5</math>
 +
| 0101
 +
| <math>(v)\!</math>
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 
|-
 
|-
−
| '''1''' || '''0'''
+
| <math>f_6</math>
 +
| 0110
 +
| <math>(u, v)\!</math>
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 
|-
 
|-
−
| '''1''' || '''1'''
+
| <math>f_7</math>
−
|}
+
| 0111
−
| align="center" | proj<sub>''XZ''</sub>('''L'''<sub>1</sub>)
+
| <math>(u v)\!</math>
−
{| border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
+
| style="background:black; color:white" | 1
−
|- style="background:paleturquoise"
+
| style="background:black; color:white" | 1
−
! X !! Z
+
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 
|-
 
|-
−
| '''0''' || '''1'''
+
| <math>f_8</math>
 +
| 1000
 +
| <math>u v\!</math>
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 
|-
 
|-
−
| '''0''' || '''0'''
+
| <math>f_9</math>
 +
| 1001
 +
| <math>((u, v))\!</math>
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 
|-
 
|-
−
| '''1''' || '''0'''
+
| <math>f_{10}</math>
 +
| 1010
 +
| <math>v\!</math>
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 
|-
 
|-
−
| '''1''' || '''1'''
+
| <math>f_{11}</math>
−
|}
+
| 1011
−
| align="center" | proj<sub>''YZ''</sub>('''L'''<sub>1</sub>)
+
| <math>(u (v))\!</math>
−
{| border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
+
| style="background:black; color:white" | 1
−
|- style="background:paleturquoise"
+
| style="background:black; color:white" | 1
−
! Y !! Z
+
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 
|-
 
|-
−
| '''0''' || '''1'''
+
| <math>f_{12}</math>
 +
| 1100
 +
| <math>u\!</math>
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 
|-
 
|-
−
| '''1''' || '''0'''
+
| <math>f_{13}</math>
 +
| 1101
 +
| <math>((u) v)\!</math>
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 
|-
 
|-
−
| '''0''' || '''0'''
+
| <math>f_{14}</math>
 +
| 1110
 +
| <math>((u)(v))\!</math>
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 
|-
 
|-
−
| '''1''' || '''1'''
+
| <math>f_{15}</math>
−
|}
+
| 1111
−
|}
+
| <math>((~))</math>
−
<br>
+
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
|}<br>
 +
 
 +
===Table 14===
  
−
{| align="center" cellpadding="4" style="text-align:center; width:90%"
+
{| align="center" border="1" cellpadding="1" cellspacing="0" style="font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
−
| proj<sub>''XY''</sub>('''L'''<sub>0</sub>) = proj<sub>''XY''</sub>('''L'''<sub>1</sub>)
+
|+ '''Table 14.  Qualifiers of Implication Ordering:&nbsp; <math>\beta_i f = \Upsilon (f, f_i) = \Upsilon (f \Rightarrow f_i)</math>'''
−
| proj<sub>''XZ''</sub>('''L'''<sub>0</sub>) = proj<sub>''XZ''</sub>('''L'''<sub>1</sub>)
+
|- style="background:ghostwhite"
−
| proj<sub>''YZ''</sub>('''L'''<sub>0</sub>) = proj<sub>''YZ''</sub>('''L'''<sub>1</sub>)
+
| align="right" | <math>u:</math><br><math>v:</math>
−
|}
+
| 1100<br>1010
−
<br>
+
| <math>f\!</math>
−
 
+
| <math>\beta_0</math>
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:60%"
+
| <math>\beta_1</math>
−
|+ '''L'''<sub>A</sub> = Sign Relation of Interpreter A
+
| <math>\beta_2</math>
−
|- style="background:paleturquoise"
+
| <math>\beta_3</math>
−
! style="width:20%" | Object
+
| <math>\beta_4</math>
−
! style="width:20%" | Sign
+
| <math>\beta_5</math>
−
! style="width:20%" | Interpretant
+
| <math>\beta_6</math>
 +
| <math>\beta_7</math>
 +
| <math>\beta_8</math>
 +
| <math>\beta_9</math>
 +
| <math>\beta_{10}</math>
 +
| <math>\beta_{11}</math>
 +
| <math>\beta_{12}</math>
 +
| <math>\beta_{13}</math>
 +
| <math>\beta_{14}</math>
 +
| <math>\beta_{15}</math>
 +
|-
 +
| <math>f_0</math>
 +
| 0000
 +
| <math>(~)</math>
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
|-
 +
| <math>f_1</math>
 +
| 0001
 +
| <math>(u)(v)\!</math>
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
|-
 +
| <math>f_2</math>
 +
| 0010
 +
| <math>(u) v\!</math>
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
|-
 +
| <math>f_3</math>
 +
| 0011
 +
| <math>(u)\!</math>
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
|-
 +
| <math>f_4</math>
 +
| 0100
 +
| <math>u (v)\!</math>
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
|-
 +
| <math>f_5</math>
 +
| 0101
 +
| <math>(v)\!</math>
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
|-
 +
| <math>f_6</math>
 +
| 0110
 +
| <math>(u, v)\!</math>
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
|-
 +
| <math>f_7</math>
 +
| 0111
 +
| <math>(u v)\!</math>
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 
|-
 
|-
−
| '''A''' || '''"A"''' || '''"A"'''
+
| <math>f_8</math>
 +
| 1000
 +
| <math>u v\!</math>
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 
|-
 
|-
−
| '''A''' || '''"A"''' || '''"i"'''
+
| <math>f_9</math>
 +
| 1001
 +
| <math>((u, v))\!</math>
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 
|-
 
|-
−
| '''A''' || '''"i"''' || '''"A"'''
+
| <math>f_{10}</math>
 +
| 1010
 +
| <math>v\!</math>
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 
|-
 
|-
−
| '''A''' || '''"i"''' || '''"i"'''
+
| <math>f_{11}</math>
 +
| 1011
 +
| <math>(u (v))\!</math>
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 
|-
 
|-
−
| '''B''' || '''"B"''' || '''"B"'''
+
| <math>f_{12}</math>
 +
| 1100
 +
| <math>u\!</math>
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 
|-
 
|-
−
| '''B''' || '''"B"''' || '''"u"'''
+
| <math>f_{13}</math>
 +
| 1101
 +
| <math>((u) v)\!</math>
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 
|-
 
|-
−
| '''B''' || '''"u"''' || '''"B"'''
+
| <math>f_{14}</math>
 +
| 1110
 +
| <math>((u)(v))\!</math>
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 
|-
 
|-
−
| '''B''' || '''"u"''' || '''"u"'''
+
| <math>f_{15}</math>
−
|}
+
| 1111
−
<br>
+
| <math>((~))\!</math>
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
|}<br>
 +
 
 +
===Figure 15===
 +
 
 +
===Table 16===
 +
 
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
 +
|+ '''Table 16.  Syllogistic Premisses as Higher Order Indicator Functions'''
 +
|
 +
<math>\begin{array}{clcl}
 +
\mathrm{A}                          &
 +
\mathrm{Universal~Affirmative}      &
 +
\mathrm{All}\ u\ \mathrm{is}\ v      &
 +
\mathrm{Indicator~of}\ u (v) = 0    \\
 +
\mathrm{E}                          &
 +
\mathrm{Universal~Negative}          &
 +
\mathrm{All}\ u\ \mathrm{is}\ (v)    &
 +
\mathrm{Indicator~of}\ u \cdot v = 0 \\
 +
\mathrm{I}                          &
 +
\mathrm{Particular~Affirmative}      &
 +
\mathrm{Some}\ u\ \mathrm{is}\ v    &
 +
\mathrm{Indicator~of}\ u \cdot v = 1 \\
 +
\mathrm{O}                          &
 +
\mathrm{Particular~Negative}        &
 +
\mathrm{Some}\ u\ \mathrm{is}\ (v)  &
 +
\mathrm{Indicator~of}\ u (v) = 1    \\
 +
\end{array}</math>
 +
|}<br>
 +
 
 +
===Table 17===
  
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:60%"
+
{| align="center" border="1" cellpadding="2" cellspacing="0" style="font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
−
|+ '''L'''<sub>B</sub> = Sign Relation of Interpreter B
+
|+ '''Table 17.  Simple Qualifiers of Propositions (Version 1)'''
−
|- style="background:paleturquoise"
+
|- style="background:ghostwhite"
−
! style="width:20%" | Object
+
| align="right" | <math>u:</math><br><math>v:</math>
−
! style="width:20%" | Sign
+
| 1100<br>1010
−
! style="width:20%" | Interpretant
+
| <math>f\!</math>
 +
| <math>(\ell_{11})</math><br><math>\text{No } u </math><br><math>\text{is } v </math>
 +
| <math>(\ell_{10})</math><br><math>\text{No } u </math><br><math>\text{is }(v)</math>
 +
| <math>(\ell_{01})</math><br><math>\text{No }(u)</math><br><math>\text{is } v </math>
 +
| <math>(\ell_{00})</math><br><math>\text{No }(u)</math><br><math>\text{is }(v)</math>
 +
| <math> \ell_{00} </math><br><math>\text{Some }(u)</math><br><math>\text{is }(v)</math>
 +
| <math> \ell_{01} </math><br><math>\text{Some }(u)</math><br><math>\text{is } v </math>
 +
| <math> \ell_{10} </math><br><math>\text{Some } u </math><br><math>\text{is }(v)</math>
 +
| <math> \ell_{11} </math><br><math>\text{Some } u </math><br><math>\text{is } v </math>
 +
|-
 +
| <math>f_0</math>
 +
| 0000
 +
| <math>(~)</math>
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 
|-
 
|-
−
| '''A''' || '''"A"''' || '''"A"'''
+
| <math>f_1</math>
 +
| 0001
 +
| <math>(u)(v)\!</math>
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 
|-
 
|-
−
| '''A''' || '''"A"''' || '''"u"'''
+
| <math>f_2</math>
 +
| 0010
 +
| <math>(u) v\!</math>
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 
|-
 
|-
−
| '''A''' || '''"u"''' || '''"A"'''
+
| <math>f_3</math>
 +
| 0011
 +
| <math>(u)\!</math>
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 
|-
 
|-
−
| '''A''' || '''"u"''' || '''"u"'''
+
| <math>f_4</math>
 +
| 0100
 +
| <math>u (v)\!</math>
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 
|-
 
|-
−
| '''B''' || '''"B"''' || '''"B"'''
+
| <math>f_5</math>
 +
| 0101
 +
| <math>(v)\!</math>
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 
|-
 
|-
−
| '''B''' || '''"B"''' || '''"i"'''
+
| <math>f_6</math>
 +
| 0110
 +
| <math>(u, v)\!</math>
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 
|-
 
|-
−
| '''B''' || '''"i"''' || '''"B"'''
+
| <math>f_7</math>
 +
| 0111
 +
| <math>(u v)\!</math>
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 
|-
 
|-
−
| '''B''' || '''"i"''' || '''"i"'''
+
| <math>f_8</math>
−
|}
+
| 1000
−
<br>
+
| <math>u v\!</math>
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
|-
 +
| <math>f_9</math>
 +
| 1001
 +
| <math>((u, v))\!</math>
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
|-
 +
| <math>f_{10}</math>
 +
| 1010
 +
| <math>v\!</math>
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
|-
 +
| <math>f_{11}</math>
 +
| 1011
 +
| <math>(u (v))\!</math>
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
|-
 +
| <math>f_{12}</math>
 +
| 1100
 +
| <math>u\!</math>
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
|-
 +
| <math>f_{13}</math>
 +
| 1101
 +
| <math>((u) v)\!</math>
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
|-
 +
| <math>f_{14}</math>
 +
| 1110
 +
| <math>((u)(v))\!</math>
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
|-
 +
| <math>f_{15}</math>
 +
| 1111
 +
| <math>((~))</math>
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
|}<br>
 +
 
 +
===Table 18===
  
−
{| align="center" style="width:90%"
+
{| align="center" border="1" cellpadding="2" cellspacing="0" style="font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
−
| align="center" style="width:30%" | proj<sub>''XY''</sub>('''L'''<sub>A</sub>)
+
|+ '''Table 18.  Simple Qualifiers of Propositions (Version 2)'''
−
{| border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
+
|- style="background:ghostwhite"
−
|- style="background:paleturquoise"
+
| align="right" | <math>u:</math><br><math>v:</math>
−
! style="width:50%" | Object
+
| 1100<br>1010
−
! style="width:50%" | Sign
+
| <math>f\!</math>
 +
| <math>(\ell_{11})</math><br><math>\text{No } u </math><br><math>\text{is } v </math>
 +
| <math>(\ell_{10})</math><br><math>\text{No } u </math><br><math>\text{is }(v)</math>
 +
| <math>(\ell_{01})</math><br><math>\text{No }(u)</math><br><math>\text{is } v </math>
 +
| <math>(\ell_{00})</math><br><math>\text{No }(u)</math><br><math>\text{is }(v)</math>
 +
| <math> \ell_{00} </math><br><math>\text{Some }(u)</math><br><math>\text{is }(v)</math>
 +
| <math> \ell_{01} </math><br><math>\text{Some }(u)</math><br><math>\text{is } v </math>
 +
| <math> \ell_{10} </math><br><math>\text{Some } u </math><br><math>\text{is }(v)</math>
 +
| <math> \ell_{11} </math><br><math>\text{Some } u </math><br><math>\text{is } v </math>
 
|-
 
|-
−
| '''A''' || '''"A"'''
+
| <math>f_0</math>
 +
| 0000
 +
| <math>(~)</math>
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 
|-
 
|-
−
| '''A''' || '''"i"'''
+
| <math>f_1</math>
 +
| 0001
 +
| <math>(u)(v)\!</math>
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 
|-
 
|-
−
| '''B''' || '''"B"'''
+
| <math>f_2</math>
 +
| 0010
 +
| <math>(u) v\!</math>
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 
|-
 
|-
−
| '''B''' || '''"u"'''
+
| <math>f_4</math>
−
|}
+
| 0100
−
| align="center" style="width:30%" | proj<sub>''XZ''</sub>('''L'''<sub>A</sub>)
+
| <math>u (v)\!</math>
−
{| border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
+
| style="background:black; color:white" | 1
−
|- style="background:paleturquoise"
+
| style="background:white; color:black" | 0
−
! style="width:50%" | Object
+
| style="background:black; color:white" | 1
−
! style="width:50%" | Interpretant
+
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 
|-
 
|-
−
| '''A''' || '''"A"'''
+
| <math>f_8</math>
 +
| 1000
 +
| <math>u v\!</math>
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 
|-
 
|-
−
| '''A''' || '''"i"'''
+
| <math>f_3</math>
 +
| 0011
 +
| <math>(u)\!</math>
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 
|-
 
|-
−
| '''B''' || '''"B"'''
+
| <math>f_{12}</math>
 +
| 1100
 +
| <math>u\!</math>
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 
|-
 
|-
−
| '''B''' || '''"u"'''
+
| <math>f_6</math>
−
|}
+
| 0110
−
| align="center" style="width:30%" | proj<sub>''YZ''</sub>('''L'''<sub>A</sub>)
+
| <math>(u, v)\!</math>
−
{| border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
+
| style="background:black; color:white" | 1
−
|- style="background:paleturquoise"
+
| style="background:white; color:black" | 0
−
! style="width:50%" | Sign
+
| style="background:white; color:black" | 0
−
! style="width:50%" | Interpretant
+
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 
|-
 
|-
−
| '''"A"''' || '''"A"'''
+
| <math>f_9</math>
 +
| 1001
 +
| <math>((u, v))\!</math>
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 
|-
 
|-
−
| '''"A"''' || '''"i"'''
+
| <math>f_5</math>
 +
| 0101
 +
| <math>(v)\!</math>
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 
|-
 
|-
−
| '''"i"''' || '''"A"'''
+
| <math>f_{10}</math>
 +
| 1010
 +
| <math>v\!</math>
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 
|-
 
|-
−
| '''"i"''' || '''"i"'''
+
| <math>f_7</math>
 +
| 0111
 +
| <math>(u v)\!</math>
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 
|-
 
|-
−
| '''"B"''' || '''"B"'''
+
| <math>f_{11}</math>
 +
| 1011
 +
| <math>(u (v))\!</math>
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 
|-
 
|-
−
| '''"B"''' || '''"u"'''
+
| <math>f_{13}</math>
 +
| 1101
 +
| <math>((u) v)\!</math>
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 
|-
 
|-
−
| '''"u"''' || '''"B"'''
+
| <math>f_{14}</math>
 +
| 1110
 +
| <math>((u)(v))\!</math>
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 
|-
 
|-
−
| '''"u"''' || '''"u"'''
+
| <math>f_{15}</math>
−
|}
+
| 1111
−
|}
+
| <math>((~))</math>
−
<br>
+
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:white; color:black" | 0
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
| style="background:black; color:white" | 1
 +
|}<br>
 +
 
 +
===Table 19===
  
−
{| align="center" style="width:90%"
+
{| align="center" border="1" cellpadding="2" cellspacing="0" style="font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
−
| align="center" style="width:30%" | proj<sub>''XY''</sub>('''L'''<sub>B</sub>)
+
|+ '''Table 19.  Relation of Quantifiers to Higher Order Propositions'''
−
{| border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
+
|- style="background:ghostwhite"
−
|- style="background:paleturquoise"
+
| <math>\text{Mnemonic}</math>
−
! style="width:50%" | Object
+
| <math>\text{Category}</math>
−
! style="width:50%" | Sign
+
| <math>\text{Classical Form}</math>
 +
| <math>\text{Alternate Form}</math>
 +
| <math>\text{Symmetric Form}</math>
 +
| <math>\text{Operator}</math>
 
|-
 
|-
−
| '''A''' || '''"A"'''
+
| <math>\text{E}\!</math><br><math>\text{Exclusive}</math>
 +
| <math>\text{Universal}</math><br><math>\text{Negative}</math>
 +
| <math>\text{All}\ u\ \text{is}\ (v)</math>
 +
| &nbsp;
 +
| <math>\text{No}\  u\ \text{is}\  v </math>
 +
| <math>(\ell_{11})</math>
 
|-
 
|-
−
| '''A''' || '''"u"'''
+
| <math>\text{A}\!</math><br><math>\text{Absolute}</math>
 +
| <math>\text{Universal}</math><br><math>\text{Affirmative}</math>
 +
| <math>\text{All}\ u\ \text{is}\  v </math>
 +
| &nbsp;
 +
| <math>\text{No}\  u\ \text{is}\ (v)</math>
 +
| <math>(\ell_{10})</math>
 
|-
 
|-
−
| '''B''' || '''"B"'''
+
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
| <math>\text{All}\ v\  \text{is}\  u </math>
 +
| <math>\text{No}\  v\  \text{is}\ (u)</math>
 +
| <math>\text{No}\ (u)\ \text{is}\  v </math>
 +
| <math>(\ell_{01})</math>
 
|-
 
|-
−
| '''B''' || '''"i"'''
+
| &nbsp;
−
|}
+
| &nbsp;
−
| align="center" style="width:30%" | proj<sub>''XZ''</sub>('''L'''<sub>B</sub>)
+
| <math>\text{All}\ (v)\ \text{is}\  u </math>
−
{| border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
+
| <math>\text{No}\  (v)\ \text{is}\ (u)</math>
−
|- style="background:paleturquoise"
+
| <math>\text{No}\  (u)\ \text{is}\ (v)</math>
−
! style="width:50%" | Object
+
| <math>(\ell_{00})</math>
−
! style="width:50%" | Interpretant
 
 
|-
 
|-
−
| '''A''' || '''"A"'''
+
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
| <math>\text{Some}\ (u)\ \text{is}\ (v)</math>
 +
| &nbsp;
 +
| <math>\text{Some}\ (u)\ \text{is}\ (v)</math>
 +
| <math>\ell_{00}\!</math>
 
|-
 
|-
−
| '''A''' || '''"u"'''
+
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
| <math>\text{Some}\ (u)\ \text{is}\ v</math>
 +
| &nbsp;
 +
| <math>\text{Some}\ (u)\ \text{is}\ v</math>
 +
| <math>\ell_{01}\!</math>
 
|-
 
|-
−
| '''B''' || '''"B"'''
+
| <math>\text{O}\!</math><br><math>\text{Obtrusive}</math>
 +
| <math>\text{Particular}</math><br><math>\text{Negative}</math>
 +
| <math>\text{Some}\ u\ \text{is}\ (v)</math>
 +
| &nbsp;
 +
| <math>\text{Some}\ u\ \text{is}\ (v)</math>
 +
| <math>\ell_{10}\!</math>
 
|-
 
|-
−
| '''B''' || '''"i"'''
+
| <math>\text{I}\!</math><br><math>\text{Indefinite}</math>
−
|}
+
| <math>\text{Particular}</math><br><math>\text{Affirmative}</math>
−
| align="center" style="width:30%" | proj<sub>''YZ''</sub>('''L'''<sub>B</sub>)
+
| <math>\text{Some}\ u\ \text{is}\ v</math>
−
{| border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
+
| &nbsp;
−
|- style="background:paleturquoise"
+
| <math>\text{Some}\ u\ \text{is}\ v</math>
−
! style="width:50%" | Sign
+
| <math>\ell_{11}\!</math>
−
! style="width:50%" | Interpretant
+
|}<br>
−
|-
 
−
| '''"A"''' || '''"A"'''
 
−
|-
 
−
| '''"A"''' || '''"u"'''
 
−
|-
 
−
| '''"u"''' || '''"A"'''
 
−
|-
 
−
| '''"u"''' || '''"u"'''
 
−
|-
 
−
| '''"B"''' || '''"B"'''
 
−
|-
 
−
| '''"B"''' || '''"i"'''
 
−
|-
 
−
| '''"i"''' || '''"B"'''
 
−
|-
 
−
| '''"i"''' || '''"i"'''
 
−
|}
 
−
|}
 
−
<br>
 
−
 
 
−
{| align="center" cellpadding="4" style="text-align:center; width:90%"
 
−
| proj<sub>''XY''</sub>('''L'''<sub>A</sub>) &#8800; proj<sub>''XY''</sub>('''L'''<sub>B</sub>)
 
−
| proj<sub>''XZ''</sub>('''L'''<sub>A</sub>) &#8800; proj<sub>''XZ''</sub>('''L'''<sub>B</sub>)
 
−
| proj<sub>''YZ''</sub>('''L'''<sub>A</sub>) &#8800; proj<sub>''YZ''</sub>('''L'''<sub>B</sub>)
 
−
|}
 
−
<br>
 
−
 
 
−
===Formatted Text Display===
 
−
 
 
−
: So in a triadic fact, say, the example <br>
 
−
{| align="center" cellspacing="8" style="width:72%"
 
−
| align="center" | ''A'' gives ''B'' to ''C''
 
−
|}
 
−
: we make no distinction in the ordinary logic of relations between the ''[[subject (grammar)|subject]] [[nominative]]'', the ''[[direct object]]'', and the ''[[indirect object]]''.  We say that the proposition has three ''logical subjects''.  We regard it as a mere affair of English grammar that there are six ways of expressing this: <br>
 
−
{| align="center" cellspacing="8" style="width:72%"
 
−
| style="width:36%" | ''A'' gives ''B'' to ''C''
 
−
| style="width:36%" | ''A'' benefits ''C'' with ''B''
 
−
|-
 
−
| ''B'' enriches ''C'' at expense of ''A''
 
−
| ''C'' receives ''B'' from ''A''
 
−
|-
 
−
| ''C'' thanks ''A'' for ''B''
 
−
| ''B'' leaves ''A'' for ''C''
 
−
|}
 
−
: These six sentences express one and the same indivisible phenomenon. (C.S. Peirce, "The Categories Defended", MS 308 (1903), EP 2, 170-171).
 
−
 
 
−
==Work Area==
 
−
 
 
−
{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="0" style="text-align:center"
 
−
|+ Binary Operations
 
−
|-
 
−
! style="width:2em" | x<sub>0</sub>
 
−
! style="width:2em" | x<sub>1</sub>
 
−
| style="width:2em" | <sup>2</sup>f<sub>0</sub>
 
−
| style="width:2em" | <sup>2</sup>f<sub>1</sub>
 
−
| style="width:2em" | <sup>2</sup>f<sub>2</sub>
 
−
| style="width:2em" | <sup>2</sup>f<sub>3</sub>
 
−
| style="width:2em" | <sup>2</sup>f<sub>4</sub>
 
−
| style="width:2em" | <sup>2</sup>f<sub>5</sub>
 
−
| style="width:2em" | <sup>2</sup>f<sub>6</sub>
 
−
| style="width:2em" | <sup>2</sup>f<sub>7</sub>
 
−
| style="width:2em" | <sup>2</sup>f<sub>8</sub>
 
−
| style="width:2em" | <sup>2</sup>f<sub>9</sub>
 
−
| style="width:2em" | <sup>2</sup>f<sub>10</sub>
 
−
| style="width:2em" | <sup>2</sup>f<sub>11</sub>
 
−
| style="width:2em" | <sup>2</sup>f<sub>12</sub>
 
−
| style="width:2em" | <sup>2</sup>f<sub>13</sub>
 
−
| style="width:2em" | <sup>2</sup>f<sub>14</sub>
 
−
| style="width:2em" | <sup>2</sup>f<sub>15</sub>
 
−
|-
 
−
| 0 || 0 || 0 || 1 || 0 || 1 || 0 || 1 || 0 || 1 || 0 || 1 || 0 || 1 || 0 || 1 || 0 || 1
 
−
|-
 
−
| 1 || 0 || 0 || 0 || 1 || 1 || 0 || 0 || 1 || 1 || 0 || 0 || 1 || 1 || 0 || 0 || 1 || 1
 
−
|-
 
−
| 0 || 1 || 0 || 0 || 0 || 0 || 1 || 1 || 1 || 1 || 0 || 0 || 0 || 0 || 1 || 1 || 1 || 1
 
−
|-
 
−
| 1 || 1 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1
 
−
|}
 
−
<br>
 
−
 
 
−
===Draft 1===
 
−
 
 
−
<center><table>
 
−
<caption>TRUTH TABLES FOR THE BOOLEAN OPERATIONS OF ARITY UP TO 2</caption>
 
−
<tr valign="top">
 
−
<td><table border=5 cellspacing=0>
 
−
<caption>Constants</caption>
 
−
<tr><td></td>
 
−
<td><sup>0</sup>f<sub>0</sub></td> <td><sup>0</sup>f<sub>1</sub></td>
 
−
</tr> <tr><td></td>
 
−
<td align=center>0</td> <td align=center>1</td>
 
−
</tr></table></td><td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
 
−
<td><table border=5 cellspacing=0><caption>Unary Operations</caption><tr>
 
−
<td>x<sub>0</sub></td> <td></td>
 
−
<td><sup>1</sup>f<sub>0 </sub></td> <td><sup>1</sup>f<sub>1 </sub></td>
 
−
<td><sup>1</sup>f<sub>2 </sub></td> <td><sup>1</sup>f<sub>3 </sub></td>
 
−
</tr><tr> <td align=center>0</td> <td></td>
 
−
<td align=center>0</td> <td align=center>1</td> <td align=center>0</td> <td align=center>1</td>
 
−
</tr> <tr> <td align=center>1</td> <td></td>
 
−
<td align=center>0</td> <td align=center>0</td> <td align=center>1</td> <td align=center>1</td>
 
−
</tr></table></td><td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
 
−
<td><table border=5 cellspacing=0><caption>Binary Operations</caption><tr>
 
−
<td>x<sub>0</sub></td> <td>x<sub>1</sub></td>
 
−
<td></td>
 
−
<td><sup>2</sup>f<sub>0</sub></td> <td><sup>2</sup>f<sub>1 </sub></td>
 
−
<td><sup> 2</sup>f<sub>2 </sub></td> <td><sup>2</sup>f<sub>3 </sub></td>
 
−
<td><sup>2</sup>f<sub>4 </sub></td> <td><sup>2</sup>f<sub>5 </sub></td>
 
−
<td><sup>2</sup>f<sub>6 </sub></td> <td><sup>2</sup>f<sub>7 </sub></td>
 
−
<td><sup>2</sup>f<sub>8 </sub></td> <td><sup>2</sup>f<sub>9 </sub></td>
 
−
<td><sup>2</sup>f<sub>10</sub></td> <td><sup>2</sup>f<sub>11</sub></td>
 
−
<td><sup>2</sup>f<sub>12</sub></td> <td><sup>2</sup>f<sub>13</sub></td>
 
−
<td><sup>2</sup>f<sub>14</sub></td> <td><sup>2</sup>f<sub>15</sub></td>
 
−
</tr><tr> <td align=center>0</td> <td align=center>0</td> <td></td>
 
−
<td align=center>0</td> <td align=center>1</td> <td align=center>0</td> <td align=center>1</td>
 
−
<td align=center>0</td> <td align=center>1</td> <td align=center>0</td> <td align=center>1</td>
 
−
<td align=center>0</td> <td align=center>1</td> <td align=center>0</td> <td align=center>1</td>
 
−
<td align=center>0</td> <td align=center>1</td> <td align=center>0</td> <td align=center>1</td>
 
−
</tr> <tr> <td align=center>1</td> <td align=center>0</td> <td></td>
 
−
<td align=center>0</td> <td align=center>0</td> <td align=center>1</td> <td align=center>1</td>
 
−
<td align=center>0</td> <td align=center>0</td> <td align=center>1</td> <td align=center>1</td>
 
−
<td align=center>0</td> <td align=center>0</td> <td align=center>1</td> <td align=center>1</td>
 
−
<td align=center>0</td> <td align=center>0</td> <td align=center>1</td> <td align=center>1</td>
 
−
</tr> <tr> <td align=center>0</td> <td align=center>1</td> <td></td>
 
−
<td align=center>0</td> <td align=center>0</td> <td align=center>0</td> <td align=center>0</td>
 
−
<td align=center>1</td> <td align=center>1</td> <td align=center>1</td> <td align=center>1</td>
 
−
<td align=center>0</td> <td align=center>0</td> <td align=center>0</td> <td align=center>0</td>
 
−
<td align=center>1</td> <td align=center>1</td> <td align=center>1</td> <td align=center>1</td>
 
−
</tr> <tr> <td align=center>1</td> <td align=center>1</td> <td></td>
 
−
<td align=center>0</td> <td align=center>0</td> <td align=center>0</td> <td align=center>0</td>
 
−
<td align=center>0</td> <td align=center>0</td> <td align=center>0</td> <td align=center>0</td>
 
−
<td align=center>1</td> <td align=center>1</td> <td align=center>1</td> <td align=center>1</td>
 
−
<td align=center>1</td> <td align=center>1</td> <td align=center>1</td> <td align=center>1</td>
 
−
</tr> </table></td>
 
−
</table></center>
 
−
 
 
−
===Draft 2===
 
−
 
 
−
<center><table>
 
−
<caption>TRUTH TABLES FOR THE BOOLEAN OPERATIONS OF ARITY UP TO 2</caption>
 
−
<tr valign="top">
 
−
<td><table border=5 cellspacing=0>
 
−
<caption>Constants</caption>
 
−
<tr><td></td>
 
−
<td><sup>0</sup>f<sub>0</sub></td> <td><sup>0</sup>f<sub>1</sub></td>
 
−
</tr> <tr><td></td>
 
−
<td align=center>0</td> <td align=center>1</td>
 
−
</tr></table></td><td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
 
−
<td><table border=5 cellspacing=0><caption>Unary Operations</caption><tr>
 
−
<td>x<sub>0</sub></td> <td></td>
 
−
<td><sup>1</sup>f<sub>0 </sub></td> <td><sup>1</sup>f<sub>1 </sub></td>
 
−
<td><sup>1</sup>f<sub>2 </sub></td> <td><sup>1</sup>f<sub>3 </sub></td>
 
−
</tr><tr> <td align=center>0</td> <td></td>
 
−
<td align=center>0</td> <td align=center>1</td> <td align=center>0</td> <td align=center>1</td>
 
−
</tr> <tr> <td align=center>1</td> <td></td>
 
−
<td align=center>0</td> <td align=center>0</td> <td align=center>1</td> <td align=center>1</td>
 
−
</tr></table></td><td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
 
−
<td><table border=5 cellspacing=0><caption>Binary Operations</caption><tr>
 
−
<td>x<sub>0</sub></td> <td>x<sub>1</sub></td>
 
−
<td></td>
 
−
<td><sup>2</sup>f<sub>0</sub></td> <td><sup>2</sup>f<sub>1 </sub></td>
 
−
<td><sup> 2</sup>f<sub>2 </sub></td> <td><sup>2</sup>f<sub>3 </sub></td>
 
−
<td><sup>2</sup>f<sub>4 </sub></td> <td><sup>2</sup>f<sub>5 </sub></td>
 
−
<td><sup>2</sup>f<sub>6 </sub></td> <td><sup>2</sup>f<sub>7 </sub></td>
 
−
<td><sup>2</sup>f<sub>8 </sub></td> <td><sup>2</sup>f<sub>9 </sub></td>
 
−
<td><sup>2</sup>f<sub>10</sub></td> <td><sup>2</sup>f<sub>11</sub></td>
 
−
<td><sup>2</sup>f<sub>12</sub></td> <td><sup>2</sup>f<sub>13</sub></td>
 
−
<td><sup>2</sup>f<sub>14</sub></td> <td><sup>2</sup>f<sub>15</sub></td>
 
−
</tr><tr> <td align=center>0</td> <td align=center>0</td> <td></td>
 
−
<td align=center>0</td> <td align=center>1</td> <td align=center>0</td> <td align=center>1</td>
 
−
<td align=center>0</td> <td align=center>1</td> <td align=center>0</td> <td align=center>1</td>
 
−
<td align=center>0</td> <td align=center>1</td> <td align=center>0</td> <td align=center>1</td>
 
−
<td align=center>0</td> <td align=center>1</td> <td align=center>0</td> <td align=center>1</td>
 
−
</tr> <tr> <td align=center>1</td> <td align=center>0</td> <td></td>
 
−
<td align=center>0</td> <td align=center>0</td> <td align=center>1</td> <td align=center>1</td>
 
−
<td align=center>0</td> <td align=center>0</td> <td align=center>1</td> <td align=center>1</td>
 
−
<td align=center>0</td> <td align=center>0</td> <td align=center>1</td> <td align=center>1</td>
 
−
<td align=center>0</td> <td align=center>0</td> <td align=center>1</td> <td align=center>1</td>
 
−
</tr> <tr> <td align=center>0</td> <td align=center>1</td> <td></td>
 
−
<td align=center>0</td> <td align=center>0</td> <td align=center>0</td> <td align=center>0</td>
 
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<td align=center>1</td> <td align=center>1</td> <td align=center>1</td> <td align=center>1</td>
 
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<td align=center>0</td> <td align=center>0</td> <td align=center>0</td> <td align=center>0</td>
 
−
<td align=center>1</td> <td align=center>1</td> <td align=center>1</td> <td align=center>1</td>
 
−
</tr> <tr> <td align=center>1</td> <td align=center>1</td> <td></td>
 
−
<td align=center>0</td> <td align=center>0</td> <td align=center>0</td> <td align=center>0</td>
 
−
<td align=center>0</td> <td align=center>0</td> <td align=center>0</td> <td align=center>0</td>
 
−
<td align=center>1</td> <td align=center>1</td> <td align=center>1</td> <td align=center>1</td>
 
−
<td align=center>1</td> <td align=center>1</td> <td align=center>1</td> <td align=center>1</td>
 
−
</tr> </table></td>
 
−
</table></center>
 

Latest revision as of 03:22, 26 April 2012

Cactus Language

Ascii Tables

o-------------------o
|                   |
|         @         |
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o-------------------o
|                   |
|       a b c       |
|         @         |
|                   |
o-------------------o
|                   |
|       a b c       |
|       o o o       |
|        \|/        |
|         o         |
|         |         |
|         @         |
|                   |
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|                   |
|         a   b     |
|         o---o     |
|         |         |
|         @         |
|                   |
o-------------------o
|                   |
|       a   b       |
|       o---o       |
|        \ /        |
|         @         |
|                   |
o-------------------o
|                   |
|       a   b       |
|       o---o       |
|        \ /        |
|         o         |
|         |         |
|         @         |
|                   |
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|                   |
|      a  b  c      |
|      o--o--o      |
|       \   /       |
|        \ /        |
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|                   |
|      a  b  c      |
|      o  o  o      |
|      |  |  |      |
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|                   |
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|                   |
|         b  c      |
|         o  o      |
|      a  |  |      |
|      o--o--o      |
|       \   /       |
|        \ /        |
|         @         |
|                   |
o-------------------o

Table 13.  The Existential Interpretation
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
| Ex |   Cactus Graph    | Cactus Expression |    Existential    |
|    |                   |                   |  Interpretation   |
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
|    |                   |                   |                   |
|  1 |         @         |        " "        |       true.       |
|    |                   |                   |                   |
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
|    |                   |                   |                   |
|    |         o         |                   |                   |
|    |         |         |                   |                   |
|  2 |         @         |        ( )        |      untrue.      |
|    |                   |                   |                   |
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
|    |                   |                   |                   |
|    |         a         |                   |                   |
|  3 |         @         |         a         |         a.        |
|    |                   |                   |                   |
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
|    |                   |                   |                   |
|    |         a         |                   |                   |
|    |         o         |                   |                   |
|    |         |         |                   |                   |
|  4 |         @         |        (a)        |       not a.      |
|    |                   |                   |                   |
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
|    |                   |                   |                   |
|    |       a b c       |                   |                   |
|  5 |         @         |       a b c       |   a and b and c.  |
|    |                   |                   |                   |
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
|    |                   |                   |                   |
|    |       a b c       |                   |                   |
|    |       o o o       |                   |                   |
|    |        \|/        |                   |                   |
|    |         o         |                   |                   |
|    |         |         |                   |                   |
|  6 |         @         |    ((a)(b)(c))    |    a or b or c.   |
|    |                   |                   |                   |
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
|    |                   |                   |                   |
|    |                   |                   |    a implies b.   |
|    |         a   b     |                   |                   |
|    |         o---o     |                   |    if a then b.   |
|    |         |         |                   |                   |
|  7 |         @         |     ( a (b))      |    no a sans b.   |
|    |                   |                   |                   |
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
|    |                   |                   |                   |
|    |       a   b       |                   |                   |
|    |       o---o       |                   | a exclusive-or b. |
|    |        \ /        |                   |                   |
|  8 |         @         |     ( a , b )     | a not equal to b. |
|    |                   |                   |                   |
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
|    |                   |                   |                   |
|    |       a   b       |                   |                   |
|    |       o---o       |                   |                   |
|    |        \ /        |                   |                   |
|    |         o         |                   | a if & only if b. |
|    |         |         |                   |                   |
|  9 |         @         |    (( a , b ))    | a equates with b. |
|    |                   |                   |                   |
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
|    |                   |                   |                   |
|    |      a  b  c      |                   |                   |
|    |      o--o--o      |                   |                   |
|    |       \   /       |                   |                   |
|    |        \ /        |                   |  just one false   |
| 10 |         @         |   ( a , b , c )   |  out of a, b, c.  |
|    |                   |                   |                   |
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
|    |                   |                   |                   |
|    |      a  b  c      |                   |                   |
|    |      o  o  o      |                   |                   |
|    |      |  |  |      |                   |                   |
|    |      o--o--o      |                   |                   |
|    |       \   /       |                   |                   |
|    |        \ /        |                   |   just one true   |
| 11 |         @         |   ((a),(b),(c))   |   among a, b, c.  |
|    |                   |                   |                   |
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
|    |                   |                   |                   |
|    |                   |                   |   genus a over    |
|    |         b  c      |                   |   species b, c.   |
|    |         o  o      |                   |                   |
|    |      a  |  |      |                   |   partition a     |
|    |      o--o--o      |                   |   among b & c.    |
|    |       \   /       |                   |                   |
|    |        \ /        |                   |   whole pie a:    |
| 12 |         @         |   ( a ,(b),(c))   |   slices b, c.    |
|    |                   |                   |                   |
o----o-------------------o-------------------o-------------------o

Table 14.  The Entitative Interpretation
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
| En |   Cactus Graph    | Cactus Expression |    Entitative     |
|    |                   |                   |  Interpretation   |
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
|    |                   |                   |                   |
|  1 |         @         |        " "        |      untrue.      |
|    |                   |                   |                   |
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
|    |                   |                   |                   |
|    |         o         |                   |                   |
|    |         |         |                   |                   |
|  2 |         @         |        ( )        |       true.       |
|    |                   |                   |                   |
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
|    |                   |                   |                   |
|    |         a         |                   |                   |
|  3 |         @         |         a         |         a.        |
|    |                   |                   |                   |
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
|    |                   |                   |                   |
|    |         a         |                   |                   |
|    |         o         |                   |                   |
|    |         |         |                   |                   |
|  4 |         @         |        (a)        |       not a.      |
|    |                   |                   |                   |
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
|    |                   |                   |                   |
|    |       a b c       |                   |                   |
|  5 |         @         |       a b c       |    a or b or c.   |
|    |                   |                   |                   |
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
|    |                   |                   |                   |
|    |       a b c       |                   |                   |
|    |       o o o       |                   |                   |
|    |        \|/        |                   |                   |
|    |         o         |                   |                   |
|    |         |         |                   |                   |
|  6 |         @         |    ((a)(b)(c))    |   a and b and c.  |
|    |                   |                   |                   |
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
|    |                   |                   |                   |
|    |                   |                   |    a implies b.   |
|    |                   |                   |                   |
|    |         o a       |                   |    if a then b.   |
|    |         |         |                   |                   |
|  7 |         @ b       |      (a) b        |    not a, or b.   |
|    |                   |                   |                   |
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
|    |                   |                   |                   |
|    |       a   b       |                   |                   |
|    |       o---o       |                   | a if & only if b. |
|    |        \ /        |                   |                   |
|  8 |         @         |     ( a , b )     | a equates with b. |
|    |                   |                   |                   |
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
|    |                   |                   |                   |
|    |       a   b       |                   |                   |
|    |       o---o       |                   |                   |
|    |        \ /        |                   |                   |
|    |         o         |                   | a exclusive-or b. |
|    |         |         |                   |                   |
|  9 |         @         |    (( a , b ))    | a not equal to b. |
|    |                   |                   |                   |
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
|    |                   |                   |                   |
|    |      a  b  c      |                   |                   |
|    |      o--o--o      |                   |                   |
|    |       \   /       |                   |                   |
|    |        \ /        |                   | not just one true |
| 10 |         @         |   ( a , b , c )   | out of a, b, c.   |
|    |                   |                   |                   |
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
|    |                   |                   |                   |
|    |      a  b  c      |                   |                   |
|    |      o--o--o      |                   |                   |
|    |       \   /       |                   |                   |
|    |        \ /        |                   |                   |
|    |         o         |                   |                   |
|    |         |         |                   |   just one true   |
| 11 |         @         |  (( a , b , c ))  |   among a, b, c.  |
|    |                   |                   |                   |
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
|    |                   |                   |                   |
|    |      a            |                   |                   |
|    |      o            |                   |   genus a over    |
|    |      |  b  c      |                   |   species b, c.   |
|    |      o--o--o      |                   |                   |
|    |       \   /       |                   |   partition a     |
|    |        \ /        |                   |   among b & c.    |
|    |         o         |                   |                   |
|    |         |         |                   |   whole pie a:    |
| 12 |         @         |  (((a), b , c ))  |   slices b, c.    |
|    |                   |                   |                   |
o----o-------------------o-------------------o-------------------o

Table 15.  Existential & Entitative Interpretations of Cactus Structures
o-----------------o-----------------o-----------------o-----------------o
|  Cactus Graph   |  Cactus String  |  Existential    |   Entitative    |
|                 |                 | Interpretation  | Interpretation  |
o-----------------o-----------------o-----------------o-----------------o
|                 |                 |                 |                 |
|        @        |       " "       |      true       |      false      |
|                 |                 |                 |                 |
o-----------------o-----------------o-----------------o-----------------o
|                 |                 |                 |                 |
|        o        |                 |                 |                 |
|        |        |                 |                 |                 |
|        @        |       ( )       |      false      |      true       |
|                 |                 |                 |                 |
o-----------------o-----------------o-----------------o-----------------o
|                 |                 |                 |                 |
|   C_1 ... C_k   |                 |                 |                 |
|        @        |   C_1 ... C_k   | C_1 & ... & C_k | C_1 v ... v C_k |
|                 |                 |                 |                 |
o-----------------o-----------------o-----------------o-----------------o
|                 |                 |                 |                 |
|  C_1 C_2   C_k  |                 |  Just one       |  Not just one   |
|   o---o-...-o   |                 |                 |                 |
|    \       /    |                 |  of the C_j,    |  of the C_j,    |
|     \     /     |                 |                 |                 |
|      \   /      |                 |  j = 1 to k,    |  j = 1 to k,    |
|       \ /       |                 |                 |                 |
|        @        | (C_1, ..., C_k) |  is not true.   |  is true.       |
|                 |                 |                 |                 |
o-----------------o-----------------o-----------------o-----------------o

Wiki TeX Tables


\(\text{Table A.}~~\text{Existential Interpretation}\)
\(\text{Cactus Graph}\!\) \(\text{Cactus Expression}\!\) \(\text{Interpretation}\!\)
Cactus Node Big Fat.jpg \({}^{\backprime\backprime}\texttt{~}{}^{\prime\prime}\) \(\operatorname{true}.\)
Cactus Spike Big Fat.jpg \(\texttt{(~)}\) \(\operatorname{false}.\)
Cactus A Big.jpg \(a\!\) \(a.\!\)
Cactus (A) Big.jpg \(\texttt{(} a \texttt{)}\)

\(\begin{matrix} \tilde{a} \'"`UNIQ-MathJax1-QINU`"' '''Generalized''' or '''n-ary''' XOR is true when the number of 1-bits is odd. '"`UNIQ--pre-0000001A-QINU`"' '"`UNIQ--pre-0000001B-QINU`"' '"`UNIQ--pre-0000001C-QINU`"' '"`UNIQ-MathJax2-QINU`"' ===='"`UNIQ--h-39--QINU`"'[[Logical implication]]==== The '''material conditional''' and '''logical implication''' are both associated with an [[logical operation|operation]] on two [[logical value]]s, typically the values of two [[proposition]]s, that produces a value of ''false'' if and only if the first operand is true and the second operand is false. The [[truth table]] associated with the material conditional '''if p then q''' (symbolized as '''p → q''') and the logical implication '''p implies q''' (symbolized as '''p ⇒ q''') is as follows: {| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:mintcream; font-weight:bold; text-align:center; width:45%" |+ '''Logical Implication''' |- style="background:aliceblue" ! style="width:15%" | p ! style="width:15%" | q ! style="width:15%" | p ⇒ q |- | F || F || T |- | F || T || T |- | T || F || F |- | T || T || T |} <br> ===='"`UNIQ--h-40--QINU`"'[[Logical NAND]]==== The '''NAND operation''' is a [[logical operation]] on two [[logical value]]s, typically the values of two [[proposition]]s, that produces a value of ''false'' if and only if both of its operands are true. In other words, it produces a value of ''true'' if and only if at least one of its operands is false. The [[truth table]] of '''p NAND q''' (also written as '''p | q''' or '''p ↑ q''') is as follows: {| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:mintcream; font-weight:bold; text-align:center; width:45%" |+ '''Logical NAND''' |- style="background:aliceblue" ! style="width:15%" | p ! style="width:15%" | q ! style="width:15%" | p ↑ q |- | F || F || T |- | F || T || T |- | T || F || T |- | T || T || F |} <br> ===='"`UNIQ--h-41--QINU`"'[[Logical NNOR]]==== The '''NNOR operation''' is a [[logical operation]] on two [[logical value]]s, typically the values of two [[proposition]]s, that produces a value of ''true'' if and only if both of its operands are false. In other words, it produces a value of ''false'' if and only if at least one of its operands is true. The [[truth table]] of '''p NNOR q''' (also written as '''p ⊥ q''' or '''p ↓ q''') is as follows: {| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:mintcream; font-weight:bold; text-align:center; width:45%" |+ '''Logical NOR''' |- style="background:aliceblue" ! style="width:15%" | p ! style="width:15%" | q ! style="width:15%" | p ↓ q |- | F || F || T |- | F || T || F |- | T || F || F |- | T || T || F |} <br> =='"`UNIQ--h-42--QINU`"'Relational Tables== ==='"`UNIQ--h-43--QINU`"'Factorization=== {| align="center" style="text-align:center; width:60%" | {| align="center" style="text-align:center; width:100%" | \(\text{Table 7. Plural Denotation}\!\)

|- |

\(\text{Object}\!\) \(\text{Sign}\!\) \(\text{Interpretant}\!\)

\(\begin{matrix} o_1 \\ o_2 \\ o_3 \\ \ldots \\ o_k \\ \ldots \end{matrix}\)

\(\begin{matrix} s \\ s \\ s \\ \ldots \\ s \\ \ldots \end{matrix}\)

\(\begin{matrix} \ldots \\ \ldots \\ \ldots \\ \ldots \\ \ldots \\ \ldots \end{matrix}\)

|}


\(\text{Table 8. Sign Relation}~ L\)
\(\text{Object}\!\) \(\text{Sign}\!\) \(\text{Interpretant}\!\)

\(\begin{matrix} o_1 \\ o_2 \\ o_3 \end{matrix}\)

\(\begin{matrix} s \\ s \\ s \end{matrix}\)

\(\begin{matrix} \ldots \\ \ldots \\ \ldots \end{matrix}\)

Sign Relations

  O = Object Domain
  S = Sign Domain
  I = Interpretant Domain


  O = {Ann, Bob} = {A, B}
  S = {"Ann", "Bob", "I", "You"} = {"A", "B", "i", "u"}
  I = {"Ann", "Bob", "I", "You"} = {"A", "B", "i", "u"}


LA = Sign Relation of Interpreter A
Object Sign Interpretant
A "A" "A"
A "A" "i"
A "i" "A"
A "i" "i"
B "B" "B"
B "B" "u"
B "u" "B"
B "u" "u"


LB = Sign Relation of Interpreter B
Object Sign Interpretant
A "A" "A"
A "A" "u"
A "u" "A"
A "u" "u"
B "B" "B"
B "B" "i"
B "i" "B"
B "i" "i"


Triadic Relations

Algebraic Examples

L0 = {(x, y, z) ∈ B3 : x + y + z = 0}
X Y Z
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0


L1 = {(x, y, z) ∈ B3 : x + y + z = 1}
X Y Z
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1


Semiotic Examples

LA = Sign Relation of Interpreter A
Object Sign Interpretant
A "A" "A"
A "A" "i"
A "i" "A"
A "i" "i"
B "B" "B"
B "B" "u"
B "u" "B"
B "u" "u"


LB = Sign Relation of Interpreter B
Object Sign Interpretant
A "A" "A"
A "A" "u"
A "u" "A"
A "u" "u"
B "B" "B"
B "B" "i"
B "i" "B"
B "i" "i"


Dyadic Projections

  LOS = projOS(L) = { (o, s) ∈ O × S : (o, s, i) ∈ L for some i ∈ I }
  LSO = projSO(L) = { (s, o) ∈ S × O : (o, s, i) ∈ L for some i ∈ I }
  LIS = projIS(L) = { (i, s) ∈ I × S : (o, s, i) ∈ L for some o ∈ O }
  LSI = projSI(L) = { (s, i) ∈ S × I : (o, s, i) ∈ L for some o ∈ O }
  LOI = projOI(L) = { (o, i) ∈ O × I : (o, s, i) ∈ L for some s ∈ S }
  LIO = projIO(L) = { (i, o) ∈ I × O : (o, s, i) ∈ L for some s ∈ S }


Method 1 : Subtitles as Captions

projOS(LA)
Object Sign
A "A"
A "i"
B "B"
B "u"
projOS(LB)
Object Sign
A "A"
A "u"
B "B"
B "i"


projSI(LA)
Sign Interpretant
"A" "A"
"A" "i"
"i" "A"
"i" "i"
"B" "B"
"B" "u"
"u" "B"
"u" "u"
projSI(LB)
Sign Interpretant
"A" "A"
"A" "u"
"u" "A"
"u" "u"
"B" "B"
"B" "i"
"i" "B"
"i" "i"


projOI(LA)
Object Interpretant
A "A"
A "i"
B "B"
B "u"
projOI(LB)
Object Interpretant
A "A"
A "u"
B "B"
B "i"


Method 2 : Subtitles as Top Rows

projOS(LA)
Object Sign
A "A"
A "i"
B "B"
B "u"
projOS(LB)
Object Sign
A "A"
A "u"
B "B"
B "i"


projSI(LA)
Sign Interpretant
"A" "A"
"A" "i"
"i" "A"
"i" "i"
"B" "B"
"B" "u"
"u" "B"
"u" "u"
projSI(LB)
Sign Interpretant
"A" "A"
"A" "u"
"u" "A"
"u" "u"
"B" "B"
"B" "i"
"i" "B"
"i" "i"


projOI(LA)
Object Interpretant
A "A"
A "i"
B "B"
B "u"
projOI(LB)
Object Interpretant
A "A"
A "u"
B "B"
B "i"


Relation Reduction

Method 1 : Subtitles as Captions

L0 = {(x, y, z) ∈ B3 : x + y + z = 0}
X Y Z
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0


L1 = {(x, y, z) ∈ B3 : x + y + z = 1}
X Y Z
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1


projXY(L0)
X Y
0 0
0 1
1 0
1 1
projXZ(L0)
X Z
0 0
0 1
1 1
1 0
projYZ(L0)
Y Z
0 0
1 1
0 1
1 0


projXY(L1)
X Y
0 0
0 1
1 0
1 1
projXZ(L1)
X Z
0 1
0 0
1 0
1 1
projYZ(L1)
Y Z
0 1
1 0
0 0
1 1


projXY(L0) = projXY(L1) projXZ(L0) = projXZ(L1) projYZ(L0) = projYZ(L1)


LA = Sign Relation of Interpreter A
Object Sign Interpretant
A "A" "A"
A "A" "i"
A "i" "A"
A "i" "i"
B "B" "B"
B "B" "u"
B "u" "B"
B "u" "u"


LB = Sign Relation of Interpreter B
Object Sign Interpretant
A "A" "A"
A "A" "u"
A "u" "A"
A "u" "u"
B "B" "B"
B "B" "i"
B "i" "B"
B "i" "i"


projXY(LA)
Object Sign
A "A"
A "i"
B "B"
B "u"
projXZ(LA)
Object Interpretant
A "A"
A "i"
B "B"
B "u"
projYZ(LA)
Sign Interpretant
"A" "A"
"A" "i"
"i" "A"
"i" "i"
"B" "B"
"B" "u"
"u" "B"
"u" "u"


projXY(LB)
Object Sign
A "A"
A "u"
B "B"
B "i"
projXZ(LB)
Object Interpretant
A "A"
A "u"
B "B"
B "i"
projYZ(LB)
Sign Interpretant
"A" "A"
"A" "u"
"u" "A"
"u" "u"
"B" "B"
"B" "i"
"i" "B"
"i" "i"


projXY(LA) ≠ projXY(LB) projXZ(LA) ≠ projXZ(LB) projYZ(LA) ≠ projYZ(LB)


Method 2 : Subtitles as Top Rows

L0 = {(x, y, z) ∈ B3 : x + y + z = 0}
X Y Z
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0


L1 = {(x, y, z) ∈ B3 : x + y + z = 1}
X Y Z
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1


projXY(L0)
X Y
0 0
0 1
1 0
1 1
projXZ(L0)
X Z
0 0
0 1
1 1
1 0
projYZ(L0)
Y Z
0 0
1 1
0 1
1 0


projXY(L1)
X Y
0 0
0 1
1 0
1 1
projXZ(L1)
X Z
0 1
0 0
1 0
1 1
projYZ(L1)
Y Z
0 1
1 0
0 0
1 1


projXY(L0) = projXY(L1) projXZ(L0) = projXZ(L1) projYZ(L0) = projYZ(L1)


LA = Sign Relation of Interpreter A
Object Sign Interpretant
A "A" "A"
A "A" "i"
A "i" "A"
A "i" "i"
B "B" "B"
B "B" "u"
B "u" "B"
B "u" "u"


LB = Sign Relation of Interpreter B
Object Sign Interpretant
A "A" "A"
A "A" "u"
A "u" "A"
A "u" "u"
B "B" "B"
B "B" "i"
B "i" "B"
B "i" "i"


projXY(LA)
Object Sign
A "A"
A "i"
B "B"
B "u"
projXZ(LA)
Object Interpretant
A "A"
A "i"
B "B"
B "u"
projYZ(LA)
Sign Interpretant
"A" "A"
"A" "i"
"i" "A"
"i" "i"
"B" "B"
"B" "u"
"u" "B"
"u" "u"


projXY(LB)
Object Sign
A "A"
A "u"
B "B"
B "i"
projXZ(LB)
Object Interpretant
A "A"
A "u"
B "B"
B "i"
projYZ(LB)
Sign Interpretant
"A" "A"
"A" "u"
"u" "A"
"u" "u"
"B" "B"
"B" "i"
"i" "B"
"i" "i"


projXY(LA) ≠ projXY(LB) projXZ(LA) ≠ projXZ(LB) projYZ(LA) ≠ projYZ(LB)


Formatted Text Display

So in a triadic fact, say, the example
A gives B to C
we make no distinction in the ordinary logic of relations between the subject nominative, the direct object, and the indirect object. We say that the proposition has three logical subjects. We regard it as a mere affair of English grammar that there are six ways of expressing this:
A gives B to C A benefits C with B
B enriches C at expense of A C receives B from A
C thanks A for B B leaves A for C
These six sentences express one and the same indivisible phenomenon. (C.S. Peirce, "The Categories Defended", MS 308 (1903), EP 2, 170-171).

Work Area

Binary Operations
x0 x1 2f0 2f1 2f2 2f3 2f4 2f5 2f6 2f7 2f8 2f9 2f10 2f11 2f12 2f13 2f14 2f15
0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1


Draft 1

TRUTH TABLES FOR THE BOOLEAN OPERATIONS OF ARITY UP TO 2
Constants
0f0 0f1
0 1
    
Unary Operations
x0 1f0 1f1 1f2 1f3
0 0 1 0 1
1 0 0 1 1
    
Binary Operations
x0 x1 2f0 2f1 2f2 2f3 2f4 2f5 2f6 2f7 2f8 2f9 2f10 2f11 2f12 2f13 2f14 2f15
0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

Draft 2

TRUTH TABLES FOR THE BOOLEAN OPERATIONS OF ARITY UP TO 2
Constants
0f0 0f1
0 1
    
Unary Operations
x0 1f0 1f1 1f2 1f3
0 0 1 0 1
1 0 0 1 1
    
Binary Operations
x0 x1 2f0 2f1 2f2 2f3 2f4 2f5 2f6 2f7 2f8 2f9 2f10 2f11 2f12 2f13 2f14 2f15
0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

Inquiry and Analogy

Test Patterns

1 0 1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 1 0 1


1 0 1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 1 0 1


1 0 1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 1 0 1


Table 10

Table 10. Higher Order Propositions (n = 1)
\(x\): 1 0 \(f\) \(m_0\) \(m_1\) \(m_2\) \(m_3\) \(m_4\) \(m_5\) \(m_6\) \(m_7\) \(m_8\) \(m_9\) \(m_{10}\) \(m_{11}\) \(m_{12}\) \(m_{13}\) \(m_{14}\) \(m_{15}\)
\(f_0\) 0 0 \(0\!\) 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
\(f_1\) 0 1 \((x)\!\) 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
\(f_2\) 1 0 \(x\!\) 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
\(f_3\) 1 1 \(1\!\) 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1


Table 10. Higher Order Propositions (n = 1)
\(x:\) 1 0 \(f\!\) \(m_0\) \(m_1\) \(m_2\) \(m_3\) \(m_4\) \(m_5\) \(m_6\) \(m_7\) \(m_8\) \(m_9\) \(m_{10}\) \(m_{11}\) \(m_{12}\) \(m_{13}\) \(m_{14}\) \(m_{15}\)
\(f_0\) 0 0 \(0\!\) 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
\(f_1\) 0 1 \((x)\!\) 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
\(f_2\) 1 0 \(x\!\) 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
\(f_3\) 1 1 \(1\!\) 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1


Table 11

Table 11. Interpretive Categories for Higher Order Propositions (n = 1)
Measure Happening Exactness Existence Linearity Uniformity Information
\(m_0\!\) Nothing happens          
\(m_1\!\)   Just false Nothing exists      
\(m_2\!\)   Just not \(x\!\)        
\(m_3\!\)     Nothing is \(x\!\)      
\(m_4\!\)   Just \(x\!\)        
\(m_5\!\)     Everything is \(x\!\) \(f\!\) is linear    
\(m_6\!\)         \(f\!\) is not uniform \(f\!\) is informed
\(m_7\!\)   Not just true        
\(m_8\!\)   Just true        
\(m_9\!\)         \(f\!\) is uniform \(f\!\) is not informed
\(m_{10}\!\)     Something is not \(x\!\) \(f\!\) is not linear    
\(m_{11}\!\)   Not just \(x\!\)        
\(m_{12}\!\)     Something is \(x\!\)      
\(m_{13}\!\)   Not just not \(x\!\)        
\(m_{14}\!\)   Not just false Something exists      
\(m_{15}\!\) Anything happens          


Table 12

Table 12. Higher Order Propositions (n = 2)
\(x:\)
\(y:\) 		1100
1010 		\(f\!\) \(m_0\) \(m_1\) \(m_2\) \(m_3\) \(m_4\) \(m_5\) \(m_6\) \(m_7\) \(m_8\) \(m_9\) \(m_{10}\) \(m_{11}\) \(m_{12}\) \(m_{13}\) \(m_{14}\) \(m_{15}\) \(m_{16}\) \(m_{17}\) \(m_{18}\) \(m_{19}\) \(m_{20}\) \(m_{21}\) \(m_{22}\) \(m_{23}\)
\(f_0\) 0000 \((~)\) 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
\(f_1\) 0001 \((x)(y)\!\)     1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
\(f_2\) 0010 \((x) y\!\)         1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
\(f_3\) 0011 \((x)\!\)                 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
\(f_4\) 0100 \(x (y)\!\)                                 1 1 1 1 1 1 1 1
\(f_5\) 0101 \((y)\!\)                                                
\(f_6\) 0110 \((x, y)\!\)                                                
\(f_7\) 0111 \((x y)\!\)                                                
\(f_8\) 1000 \(x y\!\)                                                
\(f_9\) 1001 \(((x, y))\!\)                                                
\(f_{10}\) 1010 \(y\!\)                                                
\(f_{11}\) 1011 \((x (y))\!\)                                                
\(f_{12}\) 1100 \(x\!\)                                                
\(f_{13}\) 1101 \(((x) y)\!\)                                                
\(f_{14}\) 1110 \(((x)(y))\!\)                                                
\(f_{15}\) 1111 \(((~))\!\)                                                


Table 12. Higher Order Propositions (n = 2)
\(u:\)
\(v:\) 		1100
1010 		\(f\!\) \(m_0\) \(m_1\) \(m_2\) \(m_3\) \(m_4\) \(m_5\) \(m_6\) \(m_7\) \(m_8\) \(m_9\) \(m_{10}\) \(m_{11}\) \(m_{12}\) \(m_{13}\) \(m_{14}\) \(m_{15}\) \(m_{16}\) \(m_{17}\) \(m_{18}\) \(m_{19}\) \(m_{20}\) \(m_{21}\) \(m_{22}\) \(m_{23}\)
\(f_0\) 0000 \((~)\) 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
\(f_1\) 0001 \((u)(v)\!\) 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
\(f_2\) 0010 \((u) v\!\) 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
\(f_3\) 0011 \((u)\!\) 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
\(f_4\) 0100 \(u (v)\!\) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
\(f_5\) 0101 \((v)\!\) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
\(f_6\) 0110 \((u, v)\!\) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
\(f_7\) 0111 \((u v)\!\) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
\(f_8\) 1000 \(u v\!\) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
\(f_9\) 1001 \(((u, v))\!\) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
\(f_{10}\) 1010 \(v\!\) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
\(f_{11}\) 1011 \((u (v))\!\) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
\(f_{12}\) 1100 \(u\!\) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
\(f_{13}\) 1101 \(((u) v)\!\) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
\(f_{14}\) 1110 \(((u)(v))\!\) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
\(f_{15}\) 1111 \(((~))\!\) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0


Table 13

Table 13. Qualifiers of Implication Ordering:  \(\alpha_i f = \Upsilon (f_i, f) = \Upsilon (f_i \Rightarrow f)\)
\(u:\)
\(v:\) 		1100
1010 		\(f\!\) \(\alpha_0\) \(\alpha_1\) \(\alpha_2\) \(\alpha_3\) \(\alpha_4\) \(\alpha_5\) \(\alpha_6\) \(\alpha_7\) \(\alpha_8\) \(\alpha_9\) \(\alpha_{10}\) \(\alpha_{11}\) \(\alpha_{12}\) \(\alpha_{13}\) \(\alpha_{14}\) \(\alpha_{15}\)
\(f_0\) 0000 \((~)\) 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
\(f_1\) 0001 \((u)(v)\!\) 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
\(f_2\) 0010 \((u) v\!\) 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
\(f_3\) 0011 \((u)\!\) 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
\(f_4\) 0100 \(u (v)\!\) 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
\(f_5\) 0101 \((v)\!\) 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
\(f_6\) 0110 \((u, v)\!\) 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
\(f_7\) 0111 \((u v)\!\) 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
\(f_8\) 1000 \(u v\!\) 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
\(f_9\) 1001 \(((u, v))\!\) 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0
\(f_{10}\) 1010 \(v\!\) 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0
\(f_{11}\) 1011 \((u (v))\!\) 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0
\(f_{12}\) 1100 \(u\!\) 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
\(f_{13}\) 1101 \(((u) v)\!\) 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0
\(f_{14}\) 1110 \(((u)(v))\!\) 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
\(f_{15}\) 1111 \(((~))\) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1


Table 14

Table 14. Qualifiers of Implication Ordering:  \(\beta_i f = \Upsilon (f, f_i) = \Upsilon (f \Rightarrow f_i)\)
\(u:\)
\(v:\) 		1100
1010 		\(f\!\) \(\beta_0\) \(\beta_1\) \(\beta_2\) \(\beta_3\) \(\beta_4\) \(\beta_5\) \(\beta_6\) \(\beta_7\) \(\beta_8\) \(\beta_9\) \(\beta_{10}\) \(\beta_{11}\) \(\beta_{12}\) \(\beta_{13}\) \(\beta_{14}\) \(\beta_{15}\)
\(f_0\) 0000 \((~)\) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
\(f_1\) 0001 \((u)(v)\!\) 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
\(f_2\) 0010 \((u) v\!\) 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
\(f_3\) 0011 \((u)\!\) 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
\(f_4\) 0100 \(u (v)\!\) 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
\(f_5\) 0101 \((v)\!\) 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1
\(f_6\) 0110 \((u, v)\!\) 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1
\(f_7\) 0111 \((u v)\!\) 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1
\(f_8\) 1000 \(u v\!\) 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
\(f_9\) 1001 \(((u, v))\!\) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1
\(f_{10}\) 1010 \(v\!\) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1
\(f_{11}\) 1011 \((u (v))\!\) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1
\(f_{12}\) 1100 \(u\!\) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1
\(f_{13}\) 1101 \(((u) v)\!\) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1
\(f_{14}\) 1110 \(((u)(v))\!\) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1
\(f_{15}\) 1111 \(((~))\!\) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1


Figure 15

Table 16

Table 16. Syllogistic Premisses as Higher Order Indicator Functions

\(\begin{array}{clcl} \mathrm{A} & \mathrm{Universal~Affirmative} & \mathrm{All}\ u\ \mathrm{is}\ v & \mathrm{Indicator~of}\ u (v) = 0 \\ \mathrm{E} & \mathrm{Universal~Negative} & \mathrm{All}\ u\ \mathrm{is}\ (v) & \mathrm{Indicator~of}\ u \cdot v = 0 \\ \mathrm{I} & \mathrm{Particular~Affirmative} & \mathrm{Some}\ u\ \mathrm{is}\ v & \mathrm{Indicator~of}\ u \cdot v = 1 \\ \mathrm{O} & \mathrm{Particular~Negative} & \mathrm{Some}\ u\ \mathrm{is}\ (v) & \mathrm{Indicator~of}\ u (v) = 1 \\ \end{array}\)


Table 17

Table 17. Simple Qualifiers of Propositions (Version 1)
\(u:\)
\(v:\) 		1100
1010 		\(f\!\) \((\ell_{11})\)
\(\text{No } u \)
\(\text{is } v \) 		\((\ell_{10})\)
\(\text{No } u \)
\(\text{is }(v)\) 		\((\ell_{01})\)
\(\text{No }(u)\)
\(\text{is } v \) 		\((\ell_{00})\)
\(\text{No }(u)\)
\(\text{is }(v)\) 		\( \ell_{00} \)
\(\text{Some }(u)\)
\(\text{is }(v)\) 		\( \ell_{01} \)
\(\text{Some }(u)\)
\(\text{is } v \) 		\( \ell_{10} \)
\(\text{Some } u \)
\(\text{is }(v)\) 		\( \ell_{11} \)
\(\text{Some } u \)
\(\text{is } v \)
\(f_0\) 0000 \((~)\) 1 1 1 1 0 0 0 0
\(f_1\) 0001 \((u)(v)\!\) 1 1 1 0 1 0 0 0
\(f_2\) 0010 \((u) v\!\) 1 1 0 1 0 1 0 0
\(f_3\) 0011 \((u)\!\) 1 1 0 0 1 1 0 0
\(f_4\) 0100 \(u (v)\!\) 1 0 1 1 0 0 1 0
\(f_5\) 0101 \((v)\!\) 1 0 1 0 1 0 1 0
\(f_6\) 0110 \((u, v)\!\) 1 0 0 1 0 1 1 0
\(f_7\) 0111 \((u v)\!\) 1 0 0 0 1 1 1 0
\(f_8\) 1000 \(u v\!\) 0 1 1 1 0 0 0 1
\(f_9\) 1001 \(((u, v))\!\) 0 1 1 0 1 0 0 1
\(f_{10}\) 1010 \(v\!\) 0 1 0 1 0 1 0 1
\(f_{11}\) 1011 \((u (v))\!\) 0 1 0 0 1 1 0 1
\(f_{12}\) 1100 \(u\!\) 0 0 1 1 0 0 1 1
\(f_{13}\) 1101 \(((u) v)\!\) 0 0 1 0 1 0 1 1
\(f_{14}\) 1110 \(((u)(v))\!\) 0 0 0 1 0 1 1 1
\(f_{15}\) 1111 \(((~))\) 0 0 0 0 1 1 1 1


Table 18

Table 18. Simple Qualifiers of Propositions (Version 2)
\(u:\)
\(v:\) 		1100
1010 		\(f\!\) \((\ell_{11})\)
\(\text{No } u \)
\(\text{is } v \) 		\((\ell_{10})\)
\(\text{No } u \)
\(\text{is }(v)\) 		\((\ell_{01})\)
\(\text{No }(u)\)
\(\text{is } v \) 		\((\ell_{00})\)
\(\text{No }(u)\)
\(\text{is }(v)\) 		\( \ell_{00} \)
\(\text{Some }(u)\)
\(\text{is }(v)\) 		\( \ell_{01} \)
\(\text{Some }(u)\)
\(\text{is } v \) 		\( \ell_{10} \)
\(\text{Some } u \)
\(\text{is }(v)\) 		\( \ell_{11} \)
\(\text{Some } u \)
\(\text{is } v \)
\(f_0\) 0000 \((~)\) 1 1 1 1 0 0 0 0
\(f_1\) 0001 \((u)(v)\!\) 1 1 1 0 1 0 0 0
\(f_2\) 0010 \((u) v\!\) 1 1 0 1 0 1 0 0
\(f_4\) 0100 \(u (v)\!\) 1 0 1 1 0 0 1 0
\(f_8\) 1000 \(u v\!\) 0 1 1 1 0 0 0 1
\(f_3\) 0011 \((u)\!\) 1 1 0 0 1 1 0 0
\(f_{12}\) 1100 \(u\!\) 0 0 1 1 0 0 1 1
\(f_6\) 0110 \((u, v)\!\) 1 0 0 1 0 1 1 0
\(f_9\) 1001 \(((u, v))\!\) 0 1 1 0 1 0 0 1
\(f_5\) 0101 \((v)\!\) 1 0 1 0 1 0 1 0
\(f_{10}\) 1010 \(v\!\) 0 1 0 1 0 1 0 1
\(f_7\) 0111 \((u v)\!\) 1 0 0 0 1 1 1 0
\(f_{11}\) 1011 \((u (v))\!\) 0 1 0 0 1 1 0 1
\(f_{13}\) 1101 \(((u) v)\!\) 0 0 1 0 1 0 1 1
\(f_{14}\) 1110 \(((u)(v))\!\) 0 0 0 1 0 1 1 1
\(f_{15}\) 1111 \(((~))\) 0 0 0 0 1 1 1 1


Table 19

Table 19. Relation of Quantifiers to Higher Order Propositions
\(\text{Mnemonic}\) \(\text{Category}\) \(\text{Classical Form}\) \(\text{Alternate Form}\) \(\text{Symmetric Form}\) \(\text{Operator}\)
\(\text{E}\!\)
\(\text{Exclusive}\) 		\(\text{Universal}\)
\(\text{Negative}\) 		\(\text{All}\ u\ \text{is}\ (v)\)   \(\text{No}\ u\ \text{is}\ v \) \((\ell_{11})\)
\(\text{A}\!\)
\(\text{Absolute}\) 		\(\text{Universal}\)
\(\text{Affirmative}\) 		\(\text{All}\ u\ \text{is}\ v \)   \(\text{No}\ u\ \text{is}\ (v)\) \((\ell_{10})\)
    \(\text{All}\ v\ \text{is}\ u \) \(\text{No}\ v\ \text{is}\ (u)\) \(\text{No}\ (u)\ \text{is}\ v \) \((\ell_{01})\)
    \(\text{All}\ (v)\ \text{is}\ u \) \(\text{No}\ (v)\ \text{is}\ (u)\) \(\text{No}\ (u)\ \text{is}\ (v)\) \((\ell_{00})\)
    \(\text{Some}\ (u)\ \text{is}\ (v)\)   \(\text{Some}\ (u)\ \text{is}\ (v)\) \(\ell_{00}\!\)
    \(\text{Some}\ (u)\ \text{is}\ v\)   \(\text{Some}\ (u)\ \text{is}\ v\) \(\ell_{01}\!\)
\(\text{O}\!\)
\(\text{Obtrusive}\) 		\(\text{Particular}\)
\(\text{Negative}\) 		\(\text{Some}\ u\ \text{is}\ (v)\)   \(\text{Some}\ u\ \text{is}\ (v)\) \(\ell_{10}\!\)
\(\text{I}\!\)
\(\text{Indefinite}\) 		\(\text{Particular}\)
\(\text{Affirmative}\) 		\(\text{Some}\ u\ \text{is}\ v\)   \(\text{Some}\ u\ \text{is}\ v\) \(\ell_{11}\!\)


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